(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. Н. Родионова, Задача с интегральным условием для одного пространствен- ного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на координатных плоскостях, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, вы- пуск 2(23), 189–193

DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu834

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 01:37:00

УДК 517.956.3

ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ОДНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА КООРДИНАТНЫХ

ПЛОСКОСТЯХ И. Н. Родионова

Самарский государственный университет, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.

E-mail:mvdolg@ssu.samara.ru

Для полного уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом простран- стве решена краевая задача с сопряжением на нехарактеристической плоско- сти в области, ограниченной плоскостями сингулярности коэффициентов урав- нения.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение гиперболического типа, интеграль- ные уравнения, интегральные условия.

Рассмотрим на множестве H=H₁∪H₂ уравнение Uxyz+γ

zUxy +β

yUxz+α

xUyz+βγ

yzUx+αγ

xzUy+αβ

xyUz+αβγ

xyzU = 0, (1) где α, β, γ ∈ (0,1); H₁ = {(x, y, z) : 0 < y < x < h, 0 < z < +∞}, H₂ =

={(x, y, z) : 0< y < x < h,0< z <+∞},h >0.

В соответствии с классификацией [1] уравнений со старшими частными производными∂^N/(∂x₁. . . ∂xN)уравнение (1) относится к уравнениям гипер- болического типа.

Задача. Найти на множестве H непрерывное решение уравнения (1) с условиями

Z y 0

U(t, y, z)dt=ψ(y, z), (y, z)∈ D₁ ={0< y < h,0< z <+∞}, (2) z^γU(x, y, z)

z=0=f1(x, y), (x, y)∈ D2 ={0< x < y < h}, (3) z^γU(x, y, z)

z=0=f₂(x, y), (x, y)∈ D₃ ={0< y < x < h}, (4) y^βU(x, y, z)

y=0 =ϕ(x, z), (x, z)∈ D4 ={0< x < h, 0< z <+∞} (5) и условиями сопряжения на плоскостиx=y:

y→limx+0U(x, y, z) = lim

y→x−0U(x, y, z); (6)

y→limx+0x^2α(Ux−Uy) = lim

y→x−0[x^2β(Ux−Uy)] + (x^2βU(x, x, z))^′_x. (7)

Ирина Николаевна Родионова (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. математики и бизнес-ин- форматики; научно-исследовательская лаборатория математической физики.

Р о д и о н о в а И. Н.

На заданные функции налагаются следующие требования: f1(x, y), f2(x, y), ϕ(x, z), ψ(y, z)непрерывны в своих областях определения вместе со своими смешанными частными производными второго порядка;

f₁(x, x) =f₂(x, x) = 0, ∂f1

∂x

y=x= ∂f2

∂x

y=x, ∂f1

∂y

y=x= ∂f2

∂y

y=x; (8) Z y

0

f₁(t, y)dt= 0, 06y 6h.

Замечание. Простейшим примером функции f₁(x, y), удовлетворяющей указанным условиям, является

f₁(x, y) =f₁₁(y)

x^γ(y−x)^δ−x^δ(y−x)^γ

, γ >1, δ >1, f₁₁(y)∈C_[0,h]⁽¹⁾ .

Полагая для определённости 2α−β >0, потребуем представления ψ(y, z) =yψ^∗(y, z), ϕ(x, z) =xϕ^∗(x, z), (9) гдеψ^∗,ϕ^∗ удовлетворяют условиям непрерывности в своих областях опреде- ления вместе со своими смешанными частными производными второго поряд- ка, причём ϕ(y,0) =ψ(x, 0) = 0. Для решения поставленной задачи возьмём за основу полученное методом Римана в работе [2] решение задачи Коши—

Гурса для уравнения (1) в областиH1 при выполнении условий U(x, x, z) =τ₁(x, z), (Ux−Uy)_x=y =ν₁(x, z), (x, z)∈ D₄ и (3). Оно имеет вид [2]:

U(x, y, z) =z^−γf₁(x, y) + 1 2

hy x

α

τ₁(y, z) +x y

β

τ₁(x, z)i

−

−x^−αy^−β Z y

x

t^α+βν₁(t, z)dt+ (β−α)x^−αy^−β Z y

x

t^α+β−1τ₁(t, z)dt. (10) С помощью интегрального представления функции τ₁ упростим форму- лу (10), положив

τ1(x, z) = Z x

0

T1(s, z)s x

2β

ds, (11)

гдеT₁(x, z)— новая функция, непрерывная вD₄вместе со своей производной

∂T₁/∂z;x^2βT₁(x, z) интегрируема поx в[0, h]при любом z∈[0,+∞),

T₁(x, 0) = 0. (12)

Подставляя в функцию (10) вместо τ₁ её интегральное представление (11), после некоторых преобразований получаем

U(x, y, z)=z^−γf₁(x, y)+ 1 x^βy^β

Z x 0

T₁(s, z)s^2βds+ 1 x^αy^β

Z y x

N₁(s, z)s^α+βds, (13)

N₁(s, z) = 1

2[T₁(s, z)−ν₁(s, z)]. (14) Аналогичными рассуждениями получаем в области H₂ решение задачи Коши—Гурса с условиями

U(x, x, z) =τ₂(x, z), (Ux−Uy)_x=y =ν₂(x, z), (x, z)∈ D₄ и (4), которое, при представлении

τ2(x, z) = Z x

0

T2(s, z)s x

2α

ds, (15)

имеет вид

U(x, y, z) = 1 x^αy^α

Z x 0

T2(s, z)s^2αds+ 1 x^αy^β

Z x y

N2(s, z)s^α+βds+

+z^−γf₂(x, y), (16)

N₂(s, z) = 1

2[T₂(s, z) +ν₂(s, z)], (17) гдеT₂(x, z)вводится по аналогии сT₁(x, z)и удовлетворяет условиюT₂(x,0) =

= 0.

Функции (13), (16) подчиним условиям (2), (5) соответственно, из которых находим

N2(x, z)x^α+β =−

x^αϕ(x, z)p x, Z y

0

T₁(s, z)s^2βds+N₁(y, z)y^1+2β 1−α =y^β

y^βψ(y, z)^′

y. (18)

Условия сопряжения (7), соотношения (14), (17) приводят к интегрально- му уравнению

x^2βT1(x, z) +2(1−α) x

Z x 0

T1(s, z)s^2βds= G(x, z)

x ,

где

G(x, z) = x^α−β+1[x^αϕ(x, z)]^′_x

1−α +x^β[x^βψ(x, z)]^′_x,

единственное решение которого получено методом последовательных прибли- жений:

T₁(x, z)x^2β = G(x, z)

x −2(1−α) x

Z x 0

G(t, z) t

t x

2(1−α)

dt, (19)

при этом (19) удовлетворяет условиям (12). Из условий сопряжения (6), пред- ставлений (11), (15), а также формулы (19) находим

Z x 0

T₂(s, z)s^2αds=x^2α−2β Z x

0

G(t, z) t

t x

2(1−α)

dt. (20)

Р о д и о н о в а И. Н.

Из (18) имеем

N₁(x, z)x^α+β = (1−α)x^α−β−1h

x^β(x^βψ(x, z))^′_x−G(t, z) t

t x

2(1−α)

dti

. (21)

Подставляя найденные значения Ni, Ti в формулы (10), (13) получаем в явном виде решение поставленной задачи:

U(x, y, z) =z^−γf₁(x, y) + 1 x^βy^β

Z x 0

G(t, z) t

t x

2(1−α)

dt+

+1−α x^αy^β

Z y x

s^α−1

s^βψ(s, z)^′

sds−

− 1−α (3α−β−2)x^αy^β

y^α−β

Z y 0

G(t, z) t

t x

2(1−α)

dt−

− Z y

x

G(t, z)t^α−β−1dt−x^α−β Z x

0

G(t, z) t

t x

2(1−α)

dt

(22)

в области H₁ и

U(x, y, z) = y^α−2β x^α

Z y 0

G(t, z) t

t x

2(1−α)

dt+z^−γf₂(x, y)+

+ 1

x^αy^β

x^αϕ(x, z)−y^αϕ(y, z) (23)

в области H₂.

Проверкой показано, что при выполнении условий непрерывности, нала- гаемых на заданные функции, и условий (8), (9) функция, определяемая фор- мулами (22), (23), является решением поставленной задачи. Единственность следует из единственности решения задачи Коши—Гурса, полученного мето- дом Римана, и единственности решения интегрального уравнения, к которому свелась задача.

При ограничениях, налагаемых на коэффициенты уравнения и данные задачи, решение ее непрерывно на множестве H∪ {(x, y, z) : 0< x=y < h, 0< z <+∞}, а на координатных плоскостях, являющихся частью границы множества H, обращается в бесконечность порядка меньше единицы.

Научная работа выполнена при поддержке грантом ведомственной программы Мини- стерства образования и науки РФ(проект АВЦП № 3341, № 2.2.1.1/10854).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан. мат. общ., 2001. 226 с. [Zhegalov V. I., Mironov A. N.

Differential equations with higher partial derivatives. Kazan’: Kazan. Mat. Obshch., 2001.

226 pp.]

2. Захаров В. Н.Краевая задача для одного уравнения, вырождающегося на координат- ных плоскостях / В сб.: Доклады 52-ой научной конференции СГПУ. Самара: СГПУ, 1998. С. 49–53.[Zakharov V. N.Boundary value problem for one equation degenerate on a coordinate planes / In: Doklady 52-oy nauchnoy konferencii SGPU. Samara: SGGU, 1998.

Pp. 49–53].

Поступила в редакцию 01/X/2010;

в окончательном варианте — 21/II/2011.

MSC: 35L25

THE PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR ONE SPACE ANALOG OF HYPERBOLIC TYPE EQUATION DEGENERATED ON COORDINATE PLANES

I. N. Rodionova

Samara State University,

1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia.

E-mail:mvdolg@ssu.samara.ru

For the full equation of the third order in a three-dimensional Euclidean space the boundary value problem with interface on non-characteristic plane in the area limited by planes of a singularity of the equation factors is solved.

Key words:boundary value problem, hyperbolic type equation, integral equations, inte- gral conditions.

Original article submitted 01/X/2010;

revision submitted 21/II/2011.

Irina N. Rodionova(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Mathematics

& Business Informatics; Research Lab. of Mathematical Physics.