В. И. Плотников, Необходимые и достаточные условия оп- тимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1972, том 36, выпуск 3, 652–679

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. И. Плотников, Необходимые и достаточные условия оп- тимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1972, том 36, выпуск 3, 652–679

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 21:51:33

И З В Е С Т И Я А К А Д Е М И И НАУК СССР

Серия математическая

36 (1972), 652—679

УДК 517.9

в. и. плотников

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ И УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ ОПТИМИЗИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ОБЩЕГО ВИДА

В работе устанавливаются необходимые и достаточные условия опти­

мальности, а также теорема единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида.

Введение

Работа посвящена изложению единой (унифицированной) методики доказательства основных критериев оптимальности (необходимость, до­

статочность, единственность) допустимых управляющих элементов для широкого класса задач оптимизации объектов с распределенными па­

раметрами (описываемых нелинейными функциональными системами эволюционных и стационарных уравнений математической физики), включающего в себя как частный случай все важнейшие классы задач, связанных с нелинейными системами параболического, гиперболическо­

го, эллиптического типов, а также системами типа Дарбу — Гурса, инте­

гральными, системами с запаздыванием, смешанными интегро-диффе- ренциальными различных типов и т. д. При этом в формулировке за­

дач будет фигурировать набор естественных ограничений без упро­

щающих предположений. Будет рассмотрен общий минимаксный случай.

-Несмотря на то, что системам с распределенными параметрами в по­

следнее время было посвящено немало работ [см., например, (^{) — (^п) и др.], необходимо отметить, что методика, примененная в этих рабо­

тах, весьма специфична и не поддается унификации и что результаты ра­

бот по совокупности далеко не исчерпывают решаемую проблему в це­

лом. Напротив, предлагаемая ниже новая методика изучения задач оп­

тимизации допускает естественную унификацию (на достаточно широкий класс задач, включающий в себя, как уже отмечалось выше, основные функциональные уравнения математической физики), причем, поскольку системы с сосредоточенными параметрами есть частный случай систем с распределенными параметрами, то приводимая ниже схема дает единый подход к решению задач оптимизации обоих классов.

§ 1. Закон движения объекта. Функционалы.

Постановка задачи

Итак, рассмотрим управляемый объект с распределенными парамет­

рами, эволюция которого во времени характеризуется некоторой вектор- функцией u(t^t р), где fe(0, Г), /?<=Q, Т — время длительности процес­

са, Q — область изменения распределенного параметра. При фиксиро-

—>• —>

ванном / е ( 0 , Т) значение вектор-функции u(t, p)=u^t(p) можно рас­

сматривать как элемент («точку») некоторого банахова конфигурацион­

ного пространства, а при текущих / — как траекторию в этом простран­

стве.

Будем предполагать, что закон движения (в конфигурационном про­

странстве) управляемого объекта описывается некоторым конечным на­

бором операторных соотношений (связей, наложенных на конфигура- ционные координаты и и рули (v, v^m, w)), которые символически можно записать в виде трех векторных равенств (для эволюционных систем):

а) F[R,D^a'A⁹v]^Q{T) = 0,

б) F^m[R⁹D*'A^m, v^m]s^m(T) = 0, (1)

в) N [р, {D^y°C}, w]^t=o = О,

m = 1 — m⁰,

где R = {txp}, S^m= 2^mx ( 0 , T), 2^m— кусочно-гладкие компоненты (различ­

ной размерности) границы области Q, {D^a°A} — набор обобщенных производ­

ных от функций-операторов А = A [R, {D^aiu}, V]Q-—нелинейных операторов, действующих на произведении пространств конфигурационных координат и управляющих функций. Аналогично,

A^m = A^m[R⁹ {ОЫ, v^m]s^m, C=C[p, {D^y*u}⁹ w]^t-⁰.

Предполагается, что A [R, . . . ] : [Wi,^p(Q)xD^v(Q)-*W^T-(Q)]⁹ где W^itF, W^T- — некоторые пространства типа Ссболева, D^V(Q) — множество измеримых функ­

ций управления, определенных на Q(T), со значениями в области управле­

ния V. Аналогичный смысл имеют A^m[R⁹ . . . ] |⁵ и С[р, . . . ] |^{/ = = 0}. Предпола­

гается далее, что F[R⁹ . . . ] : {QxE^{s)xV->E^{r)}, где £^{( а )}— эвклидовы про­

странства размерности а. Аналогичными свойствами обладают также F^m (R, . . . ) и N(p^t .. .)•

Относительно структуры функций F, F^m, N будем предполагать, что они измеримы по первому аргументу и непрерывны по остальным аргу­

ментам; кроме того, будем считать, что каждая из этих функций обла­

дает непрерывным дифференциалом Фреше (матрицей) по второму ар­

гументу. Точно так же будем предполагать, что операторы Л, Л^ш, С об­

ладают непрерывным дифференциалом Фреше по конфигурационным координатам и непрерывны по совокупности D ^aiu(R) Xv(R).

654 В. И. ПЛОТНИКОВ

Наконец, заметим,что результат суперпозиции F(Ry Da°A(R...)y v(R)) принадлежит по крайней мере пространству L2(Q) и т. д.

Чтобы система (1) действительно выражала физический закон эво­

люции некоторого управляемого объекта, необходимо потребовать для нее выполнения свойства определенности и непротиворечивости; другими словами, при каждом наборе допустимых управляющих функций v, vmy

w из фиксированного класса DvX{DVfn}xDw система (1) должна быть однозначно разрешима относительно конфигурационных координат в не­

котором цилиндре Q{T), где Г=Г(и, vm, w).

Таким образом, здесь будет предполагаться, что система (1) служит неявной формой задания оператора

Нетрудно проверить, что такая форма задания оператора и обладает достаточной для нас общностью. Например, физически определенные не­

линейные системы эволюционных уравнений в частных производных всех видов и порядков в нашу схему а), б), в), очевидно, укладываются, если

—>

считать, что операторы А суть просто операторы-суперпозиции типа F и т. д. Если считать, что оператор А содержит нелинейные интегральные операторы, то мы получаем нелинейные интегро-дифференциальные си­

стемы всех видов и порядков и т. д.

Что касается управляющих функций V(R)\Q, vm(R)\sm, W(P)\Q, TO

характер их функциональной природы, а также вопросы их взаимной функциональной зависимости или независимости будут определяться в каждой конкретной постановке оптимальной задачи видом системы а), б), в) (законом движения объекта) и ограничивающих условий, а также и самой постановкой оптимальной задачи (классическая, неклассическая, смешанная и т. д.).

Пусть, далее, B[R, {D*u}, v]Q :[WlxDv^W2l где Wx и ^ — неко­

торые функциональные пространства (Wi и W2B приложениях чаще про­

странства С. Л. Соболева W или С2, ») —оператор, аналогичный Л,

—> —*

Bm[R, {Dvu}, vm] аналогичен Ат и G[p, {DGu}, w] аналогичен С.

Для формулировки задачи введем три группы функционалов:

h[6, v, {vm}, w] = Ф0[б, В, {Bm}, G, и, {Vm), w],

//[6, v, {vm}, w] = Ф/[б, В, {Bm}, G, v, {vm}9 w], / = 1, . . . , /o, Ij[V, {Vm}, W] = Ф/ [B, {Bm}, G, V, {Vm}, W], / = /0 + 1, . . . , /0 + /l, где 6^Д, А — некоторый топологический бикомпакт, Ф^ предполагаем непрерывными по всем аргументам и, кроме того, имеющими непрерыв­

ные дифференциалы Фреше по аргументам В, Bjy G. Дальнейшее уточне­

ние свойств функционалов Ф& будет дано ниже.

Рассмотрим теперь следующую оптимальную задачу: найти мини­

мальное значение функционала

/о№> {^m}, w] = max /⁰[б, v, {v^m}^f w\= max Ф⁰ [6, В, {В^т}, G, v, {v^m}> w]

6<=Д б = А

среди всех допустимых управлений (У, {vm}, w)y удовлетворяющих усло­

виям (ограничениям):

1) /j(6, v, {vm}, w)^0t / = 1—/о, б^А (ограничения типа неравен­

ства);

2) Ij(v, {vm}, w)=0, / = /0+ 1 , ..., /о-Ь/i (ограничения типа равен­

ства).

Отметим, что проблема существования таких оптимизирующих уп­

равлений здесь рассматриваться не будет [см. (12)]. Здесь мы сформу­

лируем и докажем необходимые и достаточные критерии, а также крите­

рии единственности, которым должны удовлетворять оптимальные эле­

менты задачи.

§ 2. Классический случай

Главной отличительной чертой этого случая будем считать требова­

ние непрерывной дифференцируемости (по Фреше) всех функций, опера­

торов и функционалов, входящих в задачу, по набору управляющих па­

раметров. В соответствии с этим будем предполагать, что области управ­

ления У, Vm и W суть выпуклые множества некоторых линейных норми­

рованных пространств. Будем предполагать также для определенности, что функции управления v (R) и т. д. независимы и принадлежат фикси­

рованному функциональному классу DvX{DVm}xDw. (Примеры функ­

циональных классов: измеримые, кусочно-непрерывные, непрерывные, дифференцируемые, релейные, аналитические функции и т. д.) Будем считать также, что время Г > 0 длительности процесса в задаче фикси­

ровано.

1. В ы в о д ф о р м у л ы д л я п р и р а щ е н и я ф у н к ц и о н а л а Фь. Покажем, что при некоторых добавочных предположениях о харак­

тере системы (1) будет иметь место следующая унифицированная фор­

мула для приращения функционала Ф^(б, ...), годная для любых двух допустимых наборов управлений (v0i vmo, w0) и (У, um, w):

bOklv,v09...] = <Dklvt...] — (bklVo,--.]= f qllR, ...]&vFdQ +

Q(T)

+ 2 J tyU (/?,...) bvJ?mdSm + J ty*ok (p, . . . ) AwNdQ + A0iiFm.»a>Jk, (2)

m Sm(T) Q

где ^ (/?) G iLa (Q), fti (R) G L2 (sm), ^ o * ( p ) e M Q ) , a приращения AyF и т. д. имеют следующий смысл:

AVF=F{R, DaM[/?, Da*u0(R*)f v{R% v(R)}- -F{R, D«°A[R, Da4(/?•), v0(R% v0{R)}9

где R = (t, p)e=Q(T), R*=(t\ p*)z=Q(t), 0 < f < f , т.е., другими словами, AVF — приращение, вычисленное на траектории u0[R, Vo, vm0, щ0] и

вызванное лишь приращением Дп^а—и0. Аналогичный смысл имеют AvJ^m, &wN И A0f0 ШФЛ.

656

в. и. плотников

Чтобы доказать формулу (2), воспользуемся теоремой Лагранжа а приращении для непрерывно дифференцируемых функций, функционал лов и операторов (13). По упомянутой теореме имеем:

дФи хп дфь дФи

дВь т dBmk dGh (3>

где производные Фреше вычислены для некоторых промежуточных зна­

чений, а

ABk = Bk{R9 D6uVtVm,w (/?*), v(R*)}— &{/?, D6uVo,VnlQ,Wo(R\ v(R*)}

и т. д. Так как, однако, В и т . д.— также непрерывно-дифференцируемые операторы, то для (3) получаем выражение:

«.-ЕЗ**Н?

^{*D* * w}

^Г

« + Ь - 1 ^

+ А-^*Ф*

(4>

Преобразуем, например, первую фигурную скобку в правой части (4).

Для этого воспользуемся линеаризованной системой, которую, как и (4) „ получим из (1) с помощью теоремы Лагранжа о приращении:

AF- ^OF

d{Da°A)

(Da0JA £>а1Д Л _j_ д J= 0 (5) где AVF имеет тот же смысл, что и в (2). По тому же правилу вычисля-

—> —>

ются AFm и AN.

Далее, если закрепить наборы (и, vm, w) и (у0, ут0, ОУ0) И тем самым за­

фиксировать (заморозить) производные Фреше ^dF и т. д., то выраже­

ния ^dF

/p^rf-jj-V

д \Da°A)

£>а'[гШ и др. будут представлять собой некото­

рые, вообще говоря, неограниченные линейные операторы, действующие на элементы г|з. Обозначая эти операторы соответственно символами F, Fm и N, мы можем записать систему (5) в виде равенств

F (Да) = — AVF,

Fm(Au)\s = —A0mFm\Sm

N(M)\t^a = -AwN.

Предположим теперь, что система

?(?) = -7eMQ),

" ^ « S ) l sm = — / m |S me L2( 5m) , от = 1 — m0r

(6>

(7>

однозначно разрешима для любого набора (Д fm, п), т. е., другими сло­

вами, существует обратный оператор г|э = Л[Д {f^m}⁹ /г]; тогда из (6) полу­

чаем: Au^=A[AvF, {&vmFm},Av>N].

Итак, для первой фигурной скобки из (4) имеем выражение

«5». ^-6D6A[AvFAAvJ}y AJV].

дБ dD

Пусть

Дф£ = Дф£[Д /w, n] = ^ | ^ D6A [Д / 1 , л].

Тогда ДФ& можно рассматривать как некоторый функционал на [L2(Q)X x{L2(5m)}xL2(Q)]. Если оператор —6D6A ограниченный, то по теореме Рисса функционал АФ^ тоже ограниченный и, следовательно, существует сопряженный оператор [ —g D А \ такой, что

ДФ* it /«, П] = j J (fl)/dQ + S j imfe (B)7m dSm + j & (Я) " <&> (8>

где

(S(B), ft^B), &>(*)) =

(9>

Аналогичные формулы справедливы для ДФ/гт и Дф£. Полагая в формулах (8) / = A^VF, f^m = A^VrnF^m> n = A^WN, мы тем самым устанавливаем справедливость представления (2) для случая ограниченных операторов J—^ D Al.

Чтобы оператор —-6D6A был ограниченным, очевидно, достаточно огра­

ниченности оператора D6A. Другими словами, для ограниченности —^D6A достаточно существования априорных оценок типа

i

%

Q> < и

*

ii Mbm+217« IL

+II » U •

т '

Аналогичные оценки должны выполняться также и для Dpty и DGty, чтобы*

получить ограниченность операторов —™ DPA и —- DGA.

Из этих замечаний мы видим, что теория априорных оценок обобщен­

ных решений и их производных для линейных систем типа (7) играет важную роль в теории оптимизации управляемых систем с распределен­

ными параметрами.

С другой стороны, известно, что для существования сопряженного опера­

тора (—ID°A\ требование ограниченности —&D°A не является необходи-

658 В. И. ПЛОТНИКОВ

мым. Однако мы здесь не будем приводить полного анализа случая неогра­

ниченности оператора —^ D6A, так как, по-видимому, такой анализ в нашей широкой постановке мало эффективен.

2. В ы ч и с л е н и е п е р в ы х в а р и а ц и й ф у н к ц и о н а л о в Ф^ в с л у ч а е к л а с с и ч е с к о г о в а р ь и р о в а н и я . Пусть семейство не­

зависимых вариант (vEt vme, ше) = (и0+е8и, vm0 + edvm, эд0+е6и>), e ^ O , является допустимым, т. е. при достаточно малых е ^ е о , &о>0, д л я груп­

пы (ve, vme, we) выполняется включение ve^V, vme^Vmy we^W и при любом е = О о функции иг, vme, we принадлежат фиксированному в задаче классу. Тогда, к а к обычно, под первой вариацией функционала Ф& будем понимать

ДФь (е)

l i m — ^ - Lt (10)

е->о е

если последний существует. Здесь

АФ/е (б) = Ф^к [. . . V^e, Vme у W^e] — Ф * [. . . V^0> У^{т 0}, W⁰].

П о к а ж е м , что при предположениях классического случая, который мы рассматриваем, пределы (10) всегда существуют. Действительно, в силу представления ( 2 ) ,

ДФ*(е) = А^Ф^(е) + J 2 &Ftn®k(z) + АуФ*(е) + Av,VtnWOk^

т

где, например,

АрФк(е)= ^*kAvF(e)dQ. (11)

Q

Н а й д е м предел (10) д л я каждого члена типа (11) в отдельности.

— •

Пользуясь дифференцируемостью по п а р а м е т р а м и, vm, w функций F, -—» —»

Fm, N и операторов Da<>A, D Mm, Dy°G, получим (см. ( 2 ) ) :

AV

F

А *?<в) \*ы .

\+*m 4 (12)

V ; [d{Da°A] { dv J do J V

где приращение AvF(e) взято из (11). Аналогичные формулы могут быть

—* —»

получены также для AVmFm и AWN.

З а м е ч а н и е . П р и некоторых добавочных предположениях можно ограничиться требованием непрерывной дифференцируемости по парамет-

—> —* —*

рам v, vm, w лишь группы функций F, Fm, N и операторов Л, Ат, С. Од­

нако эти «тонкости» мы здесь анализировать не будем.

Покажем, что семейство функций | — — - — J имеет пределом в L²(Q) яри е - > 0 выражение

6F \dJp^A}_d ) + №д ( 1 3 )

d{Da°A) { dv J dv

вычисленное на нулевых элементах v0(R), vm0(R), w0(p), u0(R, v0, vm0y

Wo).

Но это непосредственно вытекает из предположений о непрерывности частных производных Фреше dF

как || ебу | - > 0, е - > 0 , то

d{Da>A} dF „ „

д ( г,а п Л, , — 4 • и т - • Действительно, так д {Da°A} dv dv

д{Ра°А(е)} d{Da°A(0)}

dv dv И з (14) вытекает, что

0, 8 - > 0 .

dv •0, 8 - > 0 ,

L»{Q)

(14)

(15)

OF (г) dF(e) / 1 C W

и в силу непрерывности — — и •—— из (15) будет следовать сходимость dDaA dv

dF(e) dF (0)

d{DaA) d{Da°A] •0, 8 - ^ 0 ,

IL2(Q)

dF (e) dF (0)

dv dv •0, 8 - > 0 , что и доказывает наше утверждение.

По той же схеме могут быть получены пределы в L2(Sm):

lim и в L2(Q):

vm m dFm \dD**An dF„

я / п Р о А х\— bvm\ + —bvm% m=l—m0, (16) d {D^Am} ( dvm ) dvm

ttn/M|_

8-0 I 8 J

1 L^W-\ $Wt

d£>Y°c to dw

Установим теперь сходимость в L2(Q) X {L2(Sm)} XL2(Q) функций

—* —»

% ( e , R)X{i*km(e, R)\sm}XtyhAs> P) при e->0. В силу (9),

?* (e, Я) X {^m (e, /?)} x i * (e, p) = [ { Ц D6A (e)}* ^ ^ ]

+

(17)

при любом 8 ^ 0 .

Рассмотрим, например, вопрос о существовании предела при е-Я) для первой квадратной скобки правой части (17). Оценим норму разности

{%°щ-

дВ г . б л / л ч ) * ^⁰) dD' ^:D⁶A(0)}

дВ <

dD6 У '

дВ дВ II 3D6 V dD6 v '

дФА (в)

5В (18)

660

в. и. плотников

так как нормы любых ограниченных операторов А и А* совпадают. Пер­

вое слагаемое в правой части (18) стремится к нулю при е->0 в силу предположенной непрерывности функционала _ , ибо Ди = е6с\

Avmi Aw стремятся к нулю при е->0 и в соответствии с предельным ра­

венством (13) также имеем:

ll

^(

)IU)-

' \\^Л(гЦ

->0, \\Aj(z)\\

->0,

откуда в силу равномерной по е ограниченности (которую мы будем предпо­

лагать) операторов D6A(e), DpA(e), DaA(e) и непрерывности производных

дВ дВт 3G

—£-, — - , а вытекают также предельные условия:

|| ДВ (е) || — 0, ||ДВШ (е) || -> 0, || AG (е) || -> 0 при е -> 0 [см. (3), (4)].

Чтобы доказать, что и второе слагаемое в правой части (18) стремится к нулю при е->0, достаточно предположить, что операторное произведение

—^-D6A(e) непрерывно по норме относительно приращений Ди(е), Дут(е),.

Aw (г).

т , дв (е)

Так как множитель — Y непрерывен, то достаточным условием непрерыв- ности произведения — ^ D6A (e) будет непрерывность оператора D6A (e) отно­

сительно операторной нормы.

Известно, однако, что последнее условие непрерывности D6A(e) вы­

ражает фундаментальный физический факт устойчивости системы (7) от­

носительно малых изменений коэффициентов и, как правило, выполня­

ется в случае корректно поставленных физических задач. Тем не менее математическая проверка этого факта в большинстве важных задач со­

пряжена с немалыми трудностями (это связано со структурой фунда­

ментальных матриц Грина, например> для дифференциальных систем).

В действительности, как показывают нижеприведенные рассужде­

ния, требование непрерывности по операторной норме для D6A является чрезмерным и может быть заменено слабой непрерывностью /)бА(е).

Приведем кратко это рассуждение. Из формулы (11) непосредственно ясно, что мы можем ограничиться слабой непрерывностью семейства (г|)£ (R (&)) при е —> 0, что в силу формулы (8) эквивалентно требованию ВеПре- рывности (при е-^0) функционалов типа ДФ*. (е) = —- .—ЪВ А (г) [Д /т, п\

дВ \dD

при каждом фиксированном наборе [Д {/т}, п]. Но легко видеть, что доста­

точным условием такой непрерывности может служить (слгбая) непрерывность оператора Da\A (е) при е —> 0, если имеют место вложения

\\D6A (б) [Д /т, Ф] | | < С || Da'A [Д U Ф] !•

Сходимость же DaiA (е) -> DaiA (0), в -> 0, может быть доказана, если пред­

положить, что ЦГ>а1Л(е)|КС1э где Сх не зависит от s. Действительно, в этом случае, в силу (5),

dDa°A \ dDau и т. д., где

Л? (с) _- J dF <е) Da° дА (е) dF (0) Ра° дА (0) 1

W \ dDa°A dDa4i dDa°A dDa4i j и Дг|> (е) = Da'A (e), (f, fm, q>) - Da'A (0) (f, /,„, <p), откуда имеем:

II Аг|> (е) \\Ш) < С, || А? (е) $ (0) || -> 0 при в - * 0,

так как операторы Т и D*»A считаются непрерывнно дифференцируемыми.

Наконец, заметим, что hm существует и равен

е-*о е

*М*. ...

^ в ^ м

Ф,...) ас ав а, ^ ^ ^

а

ао а„

аФ

(в,...)

da>

(6, . . . )

, ao

(6, . . . ) .

3. Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м ы х к р и т е р и е в о п т и ­ м а л ь н о с т и . Очевидно, что для первой вариации функционала Фь[6, ...], существование которой мы только что установили, справедли­

ва формула

ДФЬ (бе, ...) дФь (б) ав л

дФк (6, . . . ) = lim — ^ - = - ^ ^ D 6 A [6f (бу), 6Fm (*0да), 6ЛГ(6ш)]+...

8->о 8 дВ dD

. . . + Ц в * - - • * * " • • • • > , ( 2 0 )

8->0 8

причем многоточие означает, что пропущены члены, аналогичные первому слагаемому, a 8F(Sv) — lim AF(e,6v) и т. д.

8->Э 8

Из (19) и (20) непосредственно ясно, в силу предположенной непре-

дФь(6) Л А

рывиости производных 511 , ... по параметру б^Д, что первые ва- дВ

риации бФ^[б, ...] суть непрерывные функции аргумента 6<=Д.

Из выражений (13) и им аналогичных, а также из (19) и (20), в силу линейности их относительно вариант 8v, dvm, 6w, легко вытекает, что на­

бор первых вариаций функционалов Ф&:

{бФ0(б), бФДб) (/ = 1 - /0) , 6ФУ (/ = / о + 1 /о + /i)>

при всевозможных значениях допустимых вариант 6 У ( / ? ) , 8vm(R), Sw(p) образует выпуклый конус в топологическом произведении пространств

С°(А)хС°(А)х . . . xC°(A)xJR1x,R1x . . . x / ?1= C / ?f (/o+l) Ра з /i раз

662

в. и. плотников

где С0(А) —пространство непрерывных функций с равномерной метри­

кой {g(8) :A-*R1}, a Rl— одномерное эвклидово пространство. Верши­

ной конуса К будем считать нулевую точку пространства CR.

Пусть теперь набор (v0, vm0, w0) является оптимальным, т. е. таким,.

что на нем реализуется min /0 при ограничениях

(v, v^m, w)

а) /у( 6 ) < 0 , б е А , / = Г = 7 о ,

б) / / = 0 , / = / о + 1 , . . . . /о + М с м . § 1).

Докажем, что конус К, построенный для оптимальной тройки (v0, vmor

w0), можно отделить нетривиальным функционалом из (CR)* от отрица­

тельного «угла»

{/0(Й)<0, / ; ( б ) < 0 , / = 1 /о, / / = 0 , / = / о + 1 , . . . /0 + /l} = £ в пространстве CR.

Обозначим символом С минимальное подпространство пространства CR, содержащее угол L. Так как относительно С угол L есть выпуклый конус, содержащий внутренние (в топологии С) точки (это легко дока­

зывается), то достаточным условием разделяемости L и К является их непересекаемость [см., например, (14)].

В связи с этим рассмотрим два логически возможных случая. Пусть R — пространство такое, что CxR = CR, т. е.

R==RixRix . . . xR\

/ i раз

1) Предположим сначала, что проекция конуса К на подпространст­

во R не заполняет всего этого пространства. Так как проекция выпукло­

го множества есть снова выпуклое множество, то для конуса KR, KR =

= {8Ih / = /0-+-1, ..., /о+ /i}, существует (в пространстве R) нетривиальный опорный функционал (lj, / = / о + 1 , ••, /o+/i) такой, что 2 / j 6 / j ^ 0 , каковы бы ни были допустимые варианты 6а, 8vm, 8w. Функционал {lj}, рассмат­

риваемый во всем пространстве CR, и будет в случае 1) искомым разде­

ляющим «угол» L и конус К функционалом.

2) Пусть конус KR совпадает со всем пространством R. Покажем, что в этом случае открытый (в пространстве С) угол L и конус К не имеют общих точек и, следовательно, разделяемы. Допустим противное. Тогда существует такой набор 8v, {6am}, 8w, что для него

max 67(6) < — а < 0, max б7/ (6) < — а, / = 1 — /0,

в7/=о, / = /о+ 1, ..., io + iv

Покажем, что это противоречит оптимальности {v0, vmQ, wQ}. Можно ука­

зать настолько малую окрестность вектора

{6/0(6), в/,(8) (/ = Т = 7 о ) . Й* (/ = 1, . . . , /о + /i)>,

что, во-первых, для компонент, попавших в эту окрестность, б/0(6) и 6/j(6) (/=-1—/о) будут выполняться неравенства:

а г / * \ / ОС

т а х /0( 6 ) < - ^ , т а х / Д б ) < - ^( / = 1 - /0 >

бед 2 бед 2

а во-вторых, часть конуса /С, попавшая в коническую окрестность, опре­

деляемую указанной выше малой окрестностью, будет проектироваться на все подпространство R. Действительно, пусть { г ^ ( / = /0+ 1 , ..., /о + +/i}=7^0 — произвольный элемент пространства R. По предположению существует вариация 6/*(6), 6/}(6) ( / = 1—/о), *//(/ = / ог+ 1 , . . . , /o+/i>

такая, что 6/у = гу (/ = /0 + 1, /0 + А)- Положим

{в/0 (в, т), в// (б, т). в// (т)} ={тб/о (б) + б/0(б), T6/J(6) + б/у (б), Тб/; + б7;}.

Очевидно, при достаточно малых у > 0

т а х б /0( б , т ) < — —, т а х 6 / / ( б т ) < — —, / = 1— /0.

бед 2 бед 2

Далее, б/у ( Y ) = T^/y = ТО (/ = / о + 1» • • •» /o+/i)> что и доказывает наше утверждение.

Пусть As (5=1, ..., /i + l) —вершины правильного вписанного в еди­

ничную сферу (с центром в начале координат пространства R) тетраэд­

ра. По доказанному, существуют вариации {б/о (6), 6/у (6), б/у} и множителе A s > 0 такие, что

6 / * ( 6 ) < - | ,

6 /* ( 6 ) < _ ^ , б е А , / = 1 - / о , Д5б/у = Ai, ] = /0 + 1, . . . , /0 + /х, при любом s = l — ( / i + l) и 6 е Д .

Зададим с помощью формул

ЛУ(Г) = 2 M i / = /4i+l /о+А» (21>

f

I

гомеоморфное (линейное) отображение пирамиды П: <К> О, V ^s = 1 > на правильный тетраэдр; так как AJ (к) = 2 Vis = 2 ^s^s6/y, то при любом

S S

—*

Я ^ П вектор, определяемый (21), будет проекцией на R некоторой вариации {б/0(б, X), б/у (6, X), 6/у (Я)} из конической окрестности, о которой говорилось выше.

Пусть (As6i>s, A«6i^, As6^s), s = l — ( / i + l),— допустимые прираще­

ния, соответствующие вершинам тетраэдра As; покажем, что

664

в. и. плотников

// U + S 2 \Кби$> vmo -Ь 8 2 As46t,m> ^о + 6 2 Ast o $

li m_ b ! ! « : = ЛХХ)

(22) равномерно по Я для любого / = /о + 1 , ..., /о+/ь а также, что

,. Г А / , (е, б , X) Л ->

hmJ 'v' ' 1 = 67/(6,*,), / = 0,/0, 6 е Д , (23)

£->о I» g j

равномерно по (б, А,). Но (22) непосредственно вытекает из доказательст­

ва формул (13) и им аналогичных, а для установления (23), кроме ис­

пользования формул (13), (16), нужно еще предположить равномерную относительно б е А непрерывность функций Ф^[б, ...], к( ) , ... по остальным аргументам.

Нетрудно видеть, далее, что приращения A/j(e, б, К) и A/j(e, X) при г ^ О непрерывным образом зависят от своих аргументов.

Таким образом, с учетом (22) мы получаем гомотопическое семейст­

во непрерывных отображений пирамиды П на некоторое замкнутое мно­

жество пространства R> которое определим формулами:

[е^Д/ДеД), е > 0 ,

U'(b), е = 0, / = /о + 1. . . - . /о + Ь Ь е П .

—»

Нас будет интересовать степень отображения г(е, X) для центра тет­

раэдра, т. е. начала координат пространства R при различных е ^ О . При е^=0 эта степень, очевидно, равна + 1 (или —1), так как г(0, к)=А(к) есть гомеоморфизм. При достаточно малых 0 < е ^ е0, ео>0, образ гра­

ницы пирамиды П не может отобразиться в центр тетраэдра, поэтому по теореме Брауера об инвариантности степени отображения для гомото­

пического семейства е<ео степень начала координат также будет равна + 1 (или —1) и, следовательно, найдется по крайней мере одно такое Я ( е ) е П , что

б"1 А/, (е, Цг)) = 0, / = /о + 1, - . . , /о + /i. 0 < е < 80. (24) Покажем, что соотношения (23), (24) противоречат оптимальности набора (v0, vm0, w0). Из (23) получаем:

Mi (8, т, К) = ев/, (б, к) + о/ (8, б, X), (/ = 077о),

I 0 / (8> б» ^ ) I л л т т

где — ->0 равномерно по A G I I И О Е А . НО

| 8 J

б / / ( 6 Д ) = 2 A

M//(S),

S = l

следовательно,

61 j (6, £) < - ™ min As, б е А , / = 677o. (25)

^ S

Поэтому при достаточно малых 0 < e < e i ^ e0 и любых Х^Н имеем:

А//(б) = /у [б, v0 + г%Аа%М ...] — I, [б, v0, vm, w] < 0. (26) Из (24) при 0 < 8 < 8 i и А, = А,(е) заключаем, что

Mj[v0 + e2As^s(8), . . . ] = Mj[ v0i vm, w0]=0, j = /0 + 1, . . . , /o + /i.

Из этих рассуждений следует, что набор (u0 + e2AsA,s(e)6a, ^mo+

+e2AsXs(e)6£>m, ...) является допустимым, причем для него

/ о ( * ) < Л > [ М о э 0 т о > О у , (27)

что, очевидно, противоречиво. Следовательно, можно утверждать, что открытый угол L и конус К не имеют общих точек (в случае 2) и поэто­

му в данном случае также существует нетривиальный разделяющий функционал.

Как известно (14), общей формой непрерывного линейного функцио­

нала из (С)* служит набор регулярных счетно-аддитивных мер \ij(8) с ограниченной полной вариацией. Итак, существует нетривиальный набор

{^(б), / = 0, /о}, {/j, / = /о+1, /о + Ы , где \ij(6) неотрицательны, a lj про­

извольного знака, такой, что для любого элемента 6/j(6), / = 0, /о, б/j, / = /0+1, /o+/i конуса К в силу разделяющего характера функционала должно выполняться неравенство

|2*//(*)Ф/(в)+ 2 //*//><>.

Пусть бо = ^—и0, {бУш} = {ут—ит 0}, 6а> = а>—ш0, где {*>(/?), {vm(R)\ s }, ш(/?)} — произвольный допустимый набор.

Так как управления v, {vm}, w независимы, то получаем следующие гоотношения линеаризованного «интегрального» принципа минимума

[см. (13), (19), (20)]:

2 1 ^d ~^dir ^d ' ^{U/ (6)} {Ё* D6A [6JF {UO) ' ^{bFm {Vmo)} ' ^{ш K)] +} lr 4 +

^ р ф / (6) 0„ + 2

i Ш {Ё

'

'

' ^

^

°}

от c(R) ( j J дВ

x j|LD«A[6F(t;,) 6Fm (Offl0), M(w0)]+ d£v} + j ^ - d ^ ^ v +

Д

1 s"'/ ^a -S- { 5 ^D * ^{A [d/7 (y)} ' ^{6Fm ( y} ™ ^} ' ^{b N W]} +f- ^y }+s'' ^r 4'

(28)

l.J ^-еряя математическая, № 3

666 в. и. плотников

или в эквивалентной форме

/о ^ - 1 гдФ.ф) Х1\дф11 дВ

2 j Й (Я, 6) 6F (

) ф/ dQ + 2 J - ^ " Ф / (

) «o + 2 J -£ dn, £ v

+

• • J л л v

«< ^ J V ; andv dB dv J rlR Urt

v / = / o + i

= mmn%$$(R,6)6F(v)diL!dQ+ ^t^] (R)6F(v)dQ +

V{R) {Q j A Q

/=/о+1 А Л J

Аналогичные соотношения имеют место также для vmo и w0.

Сделаем одно важное замечание. Так как набор {|Lij(6), l}} опреде­

ляется, вообще говоря, неоднозначно, то всегда можно меры |ij(6) выбрать таким образом, чтобы они были сосредоточены на бикомпак­

тах:

А0: {б : /0 (би0, {ит}у w0) = min /0 (vy {vm}, w)},

(v,vm,w)

Д,: {б : /у(бу0, {ymo}, ^o) = 0» / = U /o>-

Действительно, для этого достаточно только заменить пространство С х / ? = С°(Д)хС°(Д)Х . . . X Cc(A)x/?1Xi?1X . . . X R1

(Уо+1) Раз h раз

на пространство

ПС(Д/)х П Rl = CxR

/ = о /t раз

п провести все предыдущие рассуждения без изменений; необходимые коррективы нужно внести лишь в неравенства (25), (26), (27), которые будут справедливы теперь только на бикомпактах Aj. Но в силу равно­

мерной непрерывности по б вариаций 6/j(6) неравенства (25), (26) и (27) будут справедливы и на некотором открытом множестве Gjy содер­

жащем AjCzGj. А так как на дополнении А—Gj, которое есть снова би­

компакт, /j(6, v0, vm(h w0)<0, / = 1 , /о, /о(6)< min I0[v, vm, w], то можно считать неравенства (26), (27) выполненными на всем А и, сле­

довательно, наше утверждение доказано.

4. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о г о к р и т е р и я о п т и ­ м а л ь н о с т и . Для формулировки достаточных критериев оптимально­

сти необходимо ввести в рассмотрение так называемые ^-функции Вей- ерштрасса, которые, как известно, определяются для непрерывно диффе­

ренцируемых функций, функционалов или операторов следующим об­

разом:

Еф [х, х0] = Ф (х) - Ф (*0) - д-^~ Ах, ох