Л. С. Давтян, Г. С. Погосян, А. Н. Сисакян, В. М. Тер- Антонян, Двумерный атом водорода. Взаимные разложения полярного и параболического базисов непрерывного спек- тра, ТМФ , 1986, том 66, номер 2, 222–233

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Л. С. Давтян, Г. С. Погосян, А. Н. Сисакян, В. М. Тер- Антонян, Двумерный атом водорода. Взаимные разложения полярного и параболического базисов непрерывного спек- тра, ТМФ , 1986, том 66, номер 2, 222–233

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 16:10:05

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К А Я И М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ф И 3 И К А

Том 66, № 2 февраль, 1986

ДВУМЕРНЫЙ АТОМ ВОДОРОДА.

ВЗАИМНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛЯРНОГО

И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО БАЗИСОВ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА Давтян Л. С.1}, Погосян Г. С.1}, Сисакян А. Н.,

Тер-Антонян В. М.1}

В области непрерывного спектра найдено разложение параболиче­

ского базиса двумерного атома водорода по полярному и обратное ему разложение. Прослежена связь между этими разложениями и соответ­

ствующими им разложениями в дискретном спектре. Установлен теоре­

тико-групповой смысл двумерной кулоновской фазы рассеяния.

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, в уравнении Шредингера для двумерного атома водоро­

да (ДАВ) переменные разделяются в полярных [1], параболических [2]

и эллиптических координатах [3]. Соответствующие этим координатам ре­

шения, или базисы, связаны унитарными преобразованиями. Знание таких межбазисных разложений существенно облегчает задачу вычисления мат­

ричных элементов, в которых начальное и конечное состояния заданы в виде базисов, соответствующих различным системам координат.

В области дискретного спектра взаимные связи между указанными выше тремя базисами были установлены в работах [4—7].

Для полного решения проблемы межбазисных разложений в ДАВ необходимо также исследовать область непрерывного спектра2). В настоя­

щей работе делается первый шаг IB ЭТОМ направлении, а именно найдено разложение параболического базиса по полярному и обратное ему разло­

жение. В разделе 1 приводятся формулы, определяющие эти два базиса, в разделе 2 получено разложение базиса, описывающего рассеяние на дву­

мерном кулоновском центре, по полярному, в разделе 3 — разложение общего параболического базиса по полярному, в разделе 4 — разложение полярного базиса по параболическому, в разделах 5 и 6 — согласованность разложений в непрерывном и дискретном спектрах.

1. БАЗИСЫ

В атомной системе единиц (Й=ц,=е=1, к=У~2Е, Е>0) полярный и параболический базисы ДАВ имеют вид

1} Ереванский государственный университет.

2) Для трехмерного атома водорода такое исследование частично было прове­

дено в работах [8-10].

(-2ikr)m

(1) 4km(r,<p)=Ckm\ e~*>X

/ 1 i \ eim,f

XF\ — + \m\ ; 21/rel+l; -2ikr )—=r,

V 2 к ' У2я

(2) Ч^*' (и, v) =с4±)е'^"2+-"2Аэ<± ( в ) / ^ (v),

где р — константа разделения в параболических координатах,

'- ^м «-^(4-4-1*-т'-^)-

а координаты выбраны так:

£=rcoscp, z/=rsin<p;

X=(u2 — V2)/2, y = UV, 0 < И < « > , — o o < y < o o .

Отметим еще, что соблюдение условия

со 2Я #

J J ^h*m'(r,q))xirhm(r^)rdrd^=2n8(k/-k)6m'm

о о

обеспечивается константой С&т, равной

(3) С*

=(0

е

*У2^|г(4- + М - 4 - ) 1

1 ^ 2 /с * >

(о константах CftP(±) будет сказано ниже в разделе 4).

Кулоновская фаза рассеяния определяется выражением (4) 6|m| = a r g r ( - i + | m | - - ^ ) .

Разбиение параболического базиса на два подбазиса объясняется темг

что формально парам (и, v) и (—и, —v) соответствуют одни и те же декар­

товы координаты (я, у): W (и, v) может быть произведением двух функций с данной четностью относительно инверсии своего аргумента.

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО БАЗИСА ПО ПОЛЯРНОМУ (ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ)

Задаче рассеяния соответствует волновая функция, получающаяся из (2) в частном случае, когда $=—l—ik/2. Легко проверить, что при та­

ком выборе в пределе v-*°° волновая функция (2) (с индексом « + ») с точностью до характерных для кулоновского поля логарифмических ис­

кажений переходит в суперпозицию плоской и круговой расходящейся волн. Полагая амплитуду падающей плоской волны равной единице, по­

лучаем

en/2k / 1 - V

X? (U v) = . _ ,Г( _ _ _ еЩи*-«)/г х

Уд v 2 к¹

Х

(±;±:**).

223*

Рассмотрим теперь разложение

оо

т = — оо

Пользуясь ортонормируемостью функций егтф/У2я и предварительно убе­

дившись в справедливости равенства

2л

2 ^ ! ^ [ 4 - Т; Т5 -**(1-совф)г]е—Ар- V 2 к | т | / (2tAr)lm|

г(---)

XF(-L + \m\—L; 2\m\+l; -2ikr) ,

2 ' • • • ' к

приходим к разложению

<5)

т=—оо г Л'

в котором б|ш| дается выражением (4).

Как известно [4], в дискретном спектре разложение параболического базиса ДАВ по полярному имеет вид

5

(в) v„ («,»)= Z<< ( Y )^( ^Г .Ф),

m = — j

где dw, / — вещественная функция, связанная с D-функцией Вигнера соот­

ношением [8]

Dj§M. (a, р, ?) =e~iMad£M' ( ? ) е "ш* а индексы имеют следующий смысл:

Я1+гс2 ^4- п2 1

2 ' " 2 ' " ' (2/+1)я

(^i, ^2=0, 1, 2, . . . ) . Сами базисы определяются выражениями

v

(г, Ф) - v . . (г, ф ) = w * ]/^

|

|>; х

' ( n - | i » | ) ! (2Яг) 'т' £гтф

X V <г* — . F ( -B+ H ; 2 | m | + 1 ; 2 H , (21 /?г | ) ! У2я

Я,\, / ,^».(/Хи)5я,(УгЬ)

X X в ^ ^ \ Х=/— 2£.

2n1 +n2^ j ^2)

Из формулы [11]

2 / 2* Г (;+|77z|)!(/-|m|)!

полагая j=i/k—i/2, после простых вычислений приходим к равенству

— ( _ j)|m| (_ l)i/*-V, | / F(i7^) Ш' Ve"i/fe I 2 J ' лаз которого следует, что разложение (5) является аналитическим про­

должением (6) в область Е>0 (при дальнейшем отборе решений, соот­

ветствующих рассеянию).

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО БАЗИСА ПО ПОЛЯРНОМУ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)

Запишем искомое разложение в виде

оо

.(7) Wl? (и, v) = X, Wi^

(r,

).

т=—оо

Из ортонормированности функций е™щ/^2п, обращения в нуль при .s+t<\m\, s+t+K\m\ интегралов

A3tm = -z=r J (1 + cos ф)s (1 - cos ф) *е-™* dtp, 12л ₀

2JX

Bstm = —=r J (1 + cos ф)s (1 - cos ф)' sin фе-гт<р йф

У2я rt

л из равенств

А8,\т\-8=\ — 1) р |т ! » #e,|m|-i-a = & S g I l 7 7 l - Ae >|T O| _e

(sgn — знаковая функция) после некоторых вычислений получим

т(_+)

^ Г = ( - 1 )1- ' У 2 я ^ ( Ь )1 т 1Х

У Л «. - 1 4 , v,-|i»| | д

1 /г, 72—|»г|—6 I J

W£ = (-1) ««"-'

У2^^*_( ±- + Ъ ) X

v„ f V2+ a , V2- | m | , l - | m | I \

Здесь использованы обозначения (3F2 — обобщенная гипергеометрическая функция)

4 ' 2 &ч~ 'г" ' 4 2к^ r" v- 'n Г(а) '

Теоретическая и математическая физика, т. 66, № 2 005

Учитывая формулу [12]

т F { '• s'' ~N I Л г.(Нч+*)г«) f s , i'-s', - t f I V

имеем

Q ( + )

И ^} = ( - DM- 7 ^ V 2 K ( a + f e )l m lX

X / , l V „ a+b \Ч>

c<->

W^ = ( - 1 ) "»'-• -£— тУ2я (1+о+Ь) ,„,,_, X

Х з М V2, l+a+Ь I1/ '

Полученные формулы полностью решают проблему перехода от ку- лоновского параболического базиса ДАВ к полярному в непрерывном спектре.

При R e ( a + a + l ) > 0 , R e ( a + p + l ) > 0 справедливо тождество Г -N, iV+2a+2p+l, -а+а I I

3 2 I a + p + i , a + p - 2 a i J

~ ^ 2 / Г(а+а+1) r(2a-N-a-$+l)r(2a+N+g+$+2)Nl

XT{2a-a-$+l)r(a+$+l)T(a+$+N+l)

1

X j ( 1 - я ) °+Ч 1 + * )а + аР к+ М + Р (*)<&,

- 1

в котором можно убедиться прямой проверкой (Р%у (#)~~ полином Якоби).

Пользуясь этим тождеством и замечая, что [13]

Pw (C0S<P) ( 2 И ) И ^{С08|7га|ф}'

P|m[-1 (СОЭф)=2-

X

( 2 | i » | ) l ! вшф ' приходим к интегральном представлениям

(9) WMm -2 У2я ^ Г( 72- а ) Г ( 72- Ь ) Х я

X J (1 — cos ф) "а (1 + cos ф) ~ь cos тер йф,

226

<ю) ^ ' - ^ v a - ^ y ' - ¹ - ' - ^ x

Ckm Г ( 1 - а ) Г ( 1 - Ь ) X J (1 — cosq))~a(l + cosq)~b sinmydq).

4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ

А. Параболические нормировочные константы @Ш. Так как базисы

^ЛР \u,v) и 4яftp }(и, У) имеют разную четность по переменной у, то

ОО 0 0

J dv J d» (tt*+i^) VM'. * («, У) ViT» (a,i>)=0.

— oo О

Будем считать, что выполняется условие ортонормированности

ОО ОО

J du Jdv(u²+v²) V&* (в, z;) 4^f > (и, v) = 2 я б ( к ' - к ) б ( р ' - р ) .

О — о о

На языке коэффициентов И⁷^ выписанные формулы принимают вид

ОО

(И) £ , И#«* И^ =0,

m = — oo

<12) X **#»* ^ t ' =б(Р'-Р).

т = — оо

Соотношение (12) и интегральные представления (9) и (10) позво­

ляют вычислить параболические нормировочные константы Cffi. Дейст­

вительно, используя формулы

ОО

/ I созтфсо8 77гф/=яб(ф—ф'),

т = — о о

/ , sin тер sin ш р ' = я 6 (ф—ф')

т = —оо

(—Я^ф—ф'^я),

( 3 - ('-«"чмт *-"

_

,

J ЭШф \ 1 + С 0 8 ф у VY Y "

получим

(13) C

i«__^

|r(-L

J.

iWi.

i_-fi-)|,

2яУя ' х 4 2Л: 2А; 7 v 4 2к 2к п

(14) ClS -.__^L| ^r (± ⁺ ± ⁺ i) ^I /«. ⁺ i__!L)|.

ттУтг ' ^Х Л 9Ь <>Ь' ^ / 9 £ 9 ^ / 1

,Я/2Л

яУя ' х 4 2& 2&7 ч 4 2к .' 2к

3* 227

Б. Разложение полярного базиса ДАВ по параболическому. Из ин­

тегральных представлений (9) и (10) и формулы Г Г (l-cosq>)(l + cosq/) Г"/2Й

^J- ( l + c o s ф ) ( l - c o s ф,) - ^

О R/ ' \ ( ^{C 0 S (}P = ^{t h v} \

=2n6(v - v ) I , J

v COS ф = t h V '

выводятся условия

oo

(15) J Witi* Wifi dp =-i-[6m'.m±6m-._„,].

— CO

Эти условия позволяют сразу записать разложение полярного базиса по параболическому:

со

(16) w

(г,

) = J [ w£> M

(и, v) +w£ "4JT (и, v) ] d$.

Подчеркнем нетривиальность разложения (16): заранее не очевидно, по каким р следует интегрировать, чтобы обеспечить ортогональность (15).

Наконец, пользуясь вещественностью параболических нормировочных констант (13) и (14), явным видом фазового множителя в; полярной нор­

мировочной константе Ckm и соотношением (8), после некоторых вы­

числений приходим к свойству

5. СОГЛАСОВАННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ (7) И (6)

Переходя в (7) к дискретному спектру, т. е. совершая замены к-+1\к\=1(п+Чг)-*=1К

1 i П\ 1 i По

т-2^ ⁽¹⁺ »—т- т-* ^{( 1} -»~г

(rii и По, четны и неотрицательны для Ч^40),

4 2 Г F ; 2 2 ' 4 2& Н 2 2 (тг4 и 7г2 нечетны и неотрицательны для W("})

и учитывая (8) и интегральное представление коэффициентов Клебша — Гор дана [11]

р CY

-У-

f —а—Ь+с, —а+а, — Ь—р 1 1

х бу,с т + р | - а - 6 + с , - а + а , - Ь - р

( с - 6 + а ) ! ( с - а + р ) ! 3 2 1 - а + с - р + 1 , - Ь + с + а + 1 получим

п

(17) ¥„,»,(», i>)= £ ТГп*2 т¥п т(г,Ф),

тп=—п

где

W f !+(-!)Wt , l - ( - l ) *2 1 (-1)»+»./»

Wnin2m = i + i— Sg n m \~—J— X

1 •*> 9 J т / ^ 12

A Un / 2- l / 4 , -1/4+(П2-Щ)/2; П/2-1/4, - 1 / 4 - ( П2- Щ ) / 2 »

Учитывая, что согласно [ 1 1 ]

с,

(-0—-»-,/ (с+^т)! (/-2с)!(/+!)!

• X

1

1 **(а-а)1

2J + 1 fi ( а - а ) ! (о+а)! ( 6 - р ) ! (6+р)! ( с -т) ! ( / - 2 а ) ! . ( / - 2 6 ) !

получим

X J (l-x)a~a(l+x)b+ti Jv [ (l-a;)e-T(l+a;)e+T]da;

(J=a+b+c+l), и формулу

X (5£^ ⁽¹ - ^cos4, "'"'= ^c,>s| "' ^l<p '

(_l)»+»t-lm| J l + ( _ l ) » t 1—(—l)»"t )

И/П1П2т = • i + sgn m / X

л v Z 2 J

^ я

X У. ' ; \ ' u j (cos <p) *« (sin Ф) ».e-"»* Ар.

Сравнивая этот результат с интегральным представлением [ 1 4 ]

— Г - / я \

и т щ—п2 Q I =

/

2n1+n2 / ^ i + п2 + 1 m| \ ; / foi)! (>г2)!

( nj + п2 + \т\ ^ ( nj + n2 — \m

fai)! (л.)!

Л "z ; r L

X , \ (sin cp)n* (cos ф)п1 e~im(P йф,

У

s

имеем

_ n+lml+-^j1 + (_1 ) r i l ! _(_1 ) Я 1

— 1 - " - ^ (-4—2 ' \ s^nm\X

-п2

^ _Z!L ni ~n2 ( " о " ) • щ-\-п2

2

Наконец, используя свойство [11]

<M' ( - | - ) = ( - i )j-M' d _j M,M. ( ^ - ) ,

приходим к выводу, что Wnin2m в точности совпадает с коэффициентом, реализующим разложение (6).

229

6. ПЕРЕХОД К ДИСКРЕТНОМУ СПЕКТРУ В РАЗЛОЖЕНИИ ПОЛЯРНОГО БАЗИСА ПО ПАРАБОЛИЧЕСКОМУ

Перейдем в (16) от переменной [J к переменной z

- т ~ а г < ^{1 +} »

и введем обозначения

w£)(u,v)=ei^WF(z; - i ; -iku*) F( | — - i — z ; ^ - ; -Mrc*),

Wk(f > (и, у) = (-4*A;ui;)ei*<'"+!*,/2F ( - | - + z; - | - ; - J / w2) X

( i - - f - *

i - ; - * * ) .

Wftw(r,(p) =

= (~2^r )'m l^ F ( - l + \m\- — ; 2 K | + 1 ; -2ifcrX =

(21 m |) I V 2 ft У2я

Тогда вместо (16) получим

1 . {

г (4 + И - т ) i - i -

X -Ffc? («, i;) + 4^{_ )} (z) wS»Ti;> (it,i>)] dz, где

i i «

- r

r ( i , - . ) r ( 4 - l - , ) r ( l . + , ) .

i,'-

W-r<i-,)r(l- + « ) r (

- i -

) r ( i - + i - +

),

а коэффициенты W^ даются выражениями

(+) (-1)""' У2я~ Л ' А - г , М . - М 1 Д 2я2 Г ( 7 г Н / й ) ' *l V2, V2+i/A; I J '

(-, (-1)'""-' ЁтУ2я _ f l -Z, l + | m | , l - | m | I I

*"" я2 r(V2+i/fe)3 *l V„ VrH/* I "

Особенности подынтегрального выражения в (18) по z совпадают с полюсами функций L^(z) и представлены соответственно на рис. 1 и 2,

Рассмотрим интегралы

1 . гД

I^(k,m,R) = —1 — Г Т - 2 я Г S /*»(*, m,*)<b, r

(-2- + l

l-XJ Ч—I"

• • •

• • • -3

X

-2

X

Iml к А С -1 0

Mi

'/г

•

Hz

09

• to 09

•

• • • ReZ

• 9 •-•

Рис. 1

Iml -S/² -Ц^г -Ц^г *

—® ® ® -

ReZ

Рис. 2 Iml {

~h-1 -П -2-1 0

"9-П-3/7-П- У? * —

Рис. 3 Iml\

...-"-% «-% 3/2 %

•"-п-2 -п-1 »

Иг 3 *1

ReZ

1 г з

-х- х х - ReZ

Рис. 4

в которых

/<±> (к, т, z) =L?' (z) W£! Ф,1*' (и, v).

Совершим аналитическое продолжение по i в область k-*iX+&=i(n+

+1/г)~1+8, где Я>0, а е мало и положительно. При этом контур интегри­

рования приближается к вещественной оси, а полюсы занимают положе­

ния, представленные соответственно на рис. 3 и 4. Замкнем контур в верхней полуплоскости z и запишем

X f £ Res/W (к, т, - - U + £ R eS/ « (*, т, - ±-\ +

4=0,2 ^ ' *=2n-f2 ^ '

4

+ j H Res/W (A, m, - Л — у ) - - ^ $ /(+>(fc, т , г) dz),

(=1,3 ^ ' Vp

231

/ " ( * + *«. Я ) = Г ( - п + - Ы + в )

As)

Лп—1 lR

x{_Res/(->(fc,ml--L) + _ Res/(-)(ft,m,-4-) +

/ = 1 , 3 ^ ' *=27l+l ' ,(4)

*=2,4 YR

Здесь ^н — полуокружность радиуса R, t<$ — крайние левые полюсы каж­

дого типа, находящиеся внутри контура С. При е->0 вклады последних трех членов в предыдущих формулах конечны, а первые суммы стремят­

ся к бесконечности. Вследствие сказанного зависимость от R выпадает, и можно написать

_(+) (iX + е,т) = -^ п— — —т X

N

' Г (— п + \ т\ + е)

v

V ( 1У'« Г(У, + */2)Г(п + У,-*/2)

(+) .. а?(+)

X

Х Г ( - П + t/2 + 6) Wtie, -*/,. mT O e , -t/2 (И, »),

1 ^ + г'т)=Г(-п + \т\ + г)

* 2 V f_ l f ^ Г(1 + */2)1'(я + 1-*/2)

X _ Л ' r(V« + */2) x

2n—1 i—1

1 ( 1 +

T(Va + */2)

X Г (V. - л + t/2 + e) Ш;1е, -t/2, « Ж е , -t/2 («, »;- Учитывая теперь свойство гамма-функций

Г(2) {_iyT(n+l-z) T(z-n) T(l-z) и устремляя е-»-0, получим

т ( \ i А\* ы( i m i V Г(У2+^/2)Г(У2+7У2/2) ^

2 n - i

+ _ (-1)

2Vt_l,3

^ Г ( 1 + ^ / 2 ) Г ( 1 + ^ / 2 ) <-> м 1 /TVi-rV / ^ 2 - i \ ™ ^ - ^ 'w 4 f t t- - ^ ^t t»и) J

V о / А ' 9 7 !

где n={Ni+N2)l2. Применяя, далее, к коэффициентам Wix*-Ni/2,m пре­

образование (8), переходя от вырожденных гипергеометрических функ­

ций к полиномам Эрмита, учитывая, что

'-•""-ШШ*.^).

232

после некоторых вычислений приходим к разложению (17).

Мы признательны Г. С. Саакяну, Л. И. Пономареву, С. И. Виницко- му и Л. Г. Мардояну за интересные обсуждения.

Литература

Zaslow В., Zandler М. Е.- Am. J. Phys., 1967, 35, 1118-1119.

Cisneros A., Mcintosh H. У . - J. Math. Phys., 1968, 10, 277-286.

Мардоян Л. Г., Погосян Г. С, Сисакян А. Н.} Тер-Антонян В. М.- ТМФ, 1984, 61, № 1, 99-117.

[4] Mardoyan L. G., Pogosyan G. S., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M.- J. Phys., 1985, A18, № 3, 455-466.

[5] Мардоян Л. Г., Погосян Г. С, Сисакян А. Н., Тер-Антонян В. М - Т М Ф , 1985,, 63, № 3, 406-416.

[6] Мардоян Л. Г., Погосян Г. С, Сисакян А. Н., Тер-Антонян В. М. К эллиптиче­

скому базису двумерного атома водорода. Препринт Р2-84-110. Дубна: ОИЯИ, 1984.

[7] Арутюнян Г. М., Давтян Л. С, Мардоян Л. Г., Погосян Г. С, Тер-Антонян В. Ж.

Связь между волновыми функциями двумерных квантовых систем со скрытой симметрией. Препринт ПЛРФ-79-17. Ереван: ЕГУ, 1979.

[8] Переломов А. М., Попов В. С- ЖЭТФ, 1968, 54, 1799-1805.

[9] Majundar S. D., Basu В.- J. Phys. A, 1974, 7, 787-793.

[10] Погосян Г. С, Тер-Антонян В. М. Связь между сферическими и параболиче­

скими кулоновскими волновыми функциями в непрерывном спектре. Препринт Р2-80-318. Дубна: ОИЯИ, 1980.

[11] Варшалович Д. А., Москалев А. П., Херсонский В. К. Квантовая теория угле*

вого момента. Л.: Наука, 1975.

[12] Slater L. Generalized Hypergeometric Functions. London, N.-Y.: Cambridge Uni­

versity Press, 1966.

[13] Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

[14] Погосян Г. С, Тер-Антонян В. М- ТМФ, 1979, 40, № 1, 140-143.

Объединенный институт Поступила в редакцию ядерных исследований 14.1.1985 г.

TWO-DIMENSIONAL HYDROGEN ATOM.

RECIPROCAL EXPANSIONS OF POLAR AND PARABOLIC BASES IN CONTINUOUS SPECTRUM

Davtyan L. S., Sissakyan A. N., Pogosyan G. S., Ter-Antonyan V. M.

In the region of continuous spectrum we have found the expansion of the para­

bolic basis of two-dimensional hydrogen atom over the polar basis and the inverse expansion as well. We have also analysed the connection between these expansions and the corresponding expansions in the discrete spectrum. The group-theoretic meaning of the two-dimensional Coulomb scattering phase is established.

233