Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ю. П. Попов, Е. А. Самарская, О сходимости итерацион- ного метода Ньютона для решения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, том 17, номер 1, 276–280
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 07:14:27
Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а
1. Д. А . Стрэттон. Т е о р и я электромагнетизма. М . - Л., Гостехиздат, 1948.
2. А . П. Тихонов, А . А . Самарский. У р а в н е н и я м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и . М., «Наука», 1966. •
3. В. В. Новиков. Обзор работ по распространению и м п у л ь с н ы х э л е к т р о м а г н и т н ы х сигналов в п р о в о д я щ и х средах и н а д земной поверхностью. В сб. «Проблемы ди
ф р а к ц и и и р а с п р о с т р а н е н и я волн». Вып. И . Л., Изд-во ЛГУ, 1962, 7 - 3 8 .
4. В. Я. Арсенин, В. В. Иванов. О р е ш е н и и н е к о т о р ы х и н т е г р а л ь н ы х у р а в н е н и й I рода т и п а с в е р т к и методом р е г у л я р и з а ц и и . Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1968, 8,
№ 2 , 3 1 0 - 3 2 1 .
5. А . Н. Тихонов. О р е ш е н и и некорректно п о с т а в л е н н ы х задач. Докл. АН СССР, 1963, 151, № 3 , 5 0 1 - 5 0 4 .
6. Г. Дёч. Руководство к п р а к т и ч е с к о м у п р и м е н е н и ю п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а . М., Ф и з м а т г и з , 1960.
7. А . Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы р е ш е н и я н е к о р р е к т н ы х задач. М., «Наука», 1974.
8. В. И. Смирнов. К у р с в ы с ш е й м а т е м а т и к и . Т. IV. М., Гостехиздат, 1957.
У Д К 518:533.7 О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА НЬЮТОНА
Д Л Я РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ю . П. ПОПОВ, Е. Ао САМАРСКАЯ
(Москва)
Исследованы у с л о в и я сходимости итерационного метода Ньютона в п р и м е н е н и и к р е ш е н и ю н е я в н ы х р а з н о с т н ы х схем д л я одномерных н е с т а ц и о н а р н ы х у р а в н е н и й газовой д и н а м и к и в л а г р а н ж е в ы х м а с с о в ы х к о о р д и н а т а х . Р е з у л ь т а т ы , п о л у ч е н н ы е д л я адиабатического с л у ч а я с учетом л и н е й н о й псевдовязкости, сопоставлены с известными, р а н е е у с л о в и я м и д л я изотермических т е ч е н и й в отсутствие в я з к о с т и .
В з а д а ч а х газовой д и н а м и к и д л я р е ш е н и я н е я в н ы х р а з н о с т н ы х схем, к о т о р ы е п р е д с т а в л я ю т собой системы н е л и н е й н ы х алгебраических у р а в н е н и й , обычно п р и м е няют и т е р а ц и о н н ы е методы. В [*»2] описано численное р е ш е н и е системы одномер
н ы х н е с т а ц и о н а р н ы х г а з о д и н а м и ч е с к и х у р а в н е н и й в л а г р а н ж е в ы х массовых коорди
н а т а х с помощью итерационного метода Ньютона. Т е о р е т и ч е с к и й а н а л и з , а т а к ж е р е з у л ь т а т ы расчетов свидетельствуют о том, что метод Ньютона обладает в этом слу
ч а е о п р е д е л е н н ы м и п р е и м у щ е с т в а м и по сравнению с д р у г и м и и т е р а ц и о н н ы м и мето
дами, н а п р и м е р методом «явной итерации», т а к к а к допускает использование г р у б ы х сеток со сравнительно большим ш а г о м по в р е м е н и . Оценки сходимости и т е р а ц и о н ного процесса Ньютона в ы п о л н е н ы в [1 > 2] д л я изотермического с л у ч а я без у ч е т а псевдовязкости.
В н а с т о я щ е й работе эти оценки обобщены д л я адиабатического с л у ч а я п р и н а л и ч и и л и н е й н о й в я з к о с т и .
1. Система у р а в н е н и й газовой д и н а м и к и , о п и с ы в а ю щ а я одномерное плоское не
стационарное течение г а з а в л а г р а н ж е в ы х , массовых п е р е м е н н ы х , д л я а д и а б а т и ч е ского с л у ч а я м о ж е т быть з а п и с а н а в виде [2«3]
dv dg дх дц ди дг dv dt ds ' dt ,l7- dt ds dt ds '
(1) dv
g=P + (o, © = Qjfrb — \ , p = P(r),T), е = Е(ц,Т).
З д е с ь t - в р е м я ; х - п е р е м е н н а я Эйлера; ц - у д е л ь н ы й объем; s, ds^-^dx- л а г р а н - ж е в а массовая п е р е м е н н а я ; v, р , 8 , Т — соответственно, скорость, давление, в н у т р е н н я я э н е р г и я и т е м п е р а т у р а газа; со — в я з к о с т ь ; g — т а к н а з ы в а е м о е полное д а в л е н и е ; п р о и з в о д н а я по в р е м е н и л а г р а н ж е в а . Последние д в а соотношения в (1) п р е д с т а в л я ют собой термодинамические у р а в н е н и я состояния.
У р а в н е н и я (1) р е ш а ю т с я в некоторой области Q={0<s<M, £>0}, н а г р а н и ц а х которой п р и s = 0 и s=M з а д а н ы к р а е в ы е условия, н а п р и м е р з а к о н ы и з м е н е н и я со в р е м е н е м скорости и л и д а в л е н и я .
Д л я определенности будем р а с с м а т р и в а т ь и д е а л ь н ы й г а з с у р а в н е н и я м и состояния p=RT/r\, &=арц, а = 1 / ( 7 — 1 ) ,
а т а к ж е л и н е й н у ю в я з к о с т ь
у dv • jf v , dv/ds<0, со = , где v = 1
ц ds 1 0 , dv/ds>0.
П р и построении разностной схемы, а п п р о к с и м и р у ю щ е й систему д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й (1), введем в области Q равномерную, д л я простоты, сетку
<*hx={(si, Ъ), i=0, 1 , . . . , N, / = 0 , 1, 2 , . . . ;si+i=Si+h, tj+i=tj+%}.
К у з л а м {s^ tj) («целым точкам») сетки Ших будем относить ф у н к ц и и х==х^, v=vtj,
5 i i з
а к « п о л у ц е л ы м точкам» (si+^2, ^ — ф у н к ц и и р=Рг+у2, r ] = r ] i+v2, e = e i + v2, Т=Т{+у2,
i з
о ) = ( ог +. /2, g=gi+42, причем Si+42=Si+h/2.
Полностью к о н с е р в а т и в н а я р а з н о с т н а я схема, а п п р о к с и м и р у ю щ а я систему у р а в н е н и й (1) в случае идеального газа, имеет в и д [*»2»4] '
(а) ( 0 . 5 )
(2)
g=p + (u, G ) = - v i >s/ r ) , p=RTIx\, г=ару\.
П а р а м е т р 0 < a < l произволен.
П р и записи схемы (2) использованы безындексные обозначения [*» 2> 4> 5]
y = y j , y = y ij+\ у(а)=оу+(1—о)у,
(3)
У1=(У—У)/Х, ys=(yi+i—yi)/h, yi=(yi—yi-i)/h.
Несколько п р е о б р а з у я последние ч е т ы р е у р а в н е н и я в (2), м о ж н о п е р е п и с а т ь э т у си
стему р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й в виде
( а ) ( 0 . 5 ) vt=-g~ •, xt=v(°-5\ 4t = vs , et= -g^r\u (20
E-agY)— avvs=0.
П р и o = 0 система р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й (2) и л и (2') р е ш а е т с я явно, однако полу
ч а ю щ а я с я п р и этом схема условно устойчива п р и весьма ж е с т к о м ограничении н а ш а г сетки по времени. В акустическом п р и б л и ж е н и и условие устойчивости имеет в и д т<кк2, где к— н е к о т о р а я п о с т о я н н а я [ * '2] . П р и с ^ О . 5 р а з н о с т н а я схема (2) без
условно устойчива, однако в этом случае д л я ее р е ш е н и я необходимо п р и м е н я т ь и т е р а ц и о н н ы е методы.
2. Применение метода Ньютона к системе н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й (2) д л я отыска
н и я неизвестных з н а ч е н и й сеточных ф у н к ц и й v, х,-р, т], е, Т, со, g н а верхнем в р е -
м е н н б м слое tj+i п р и а ^ 0 . 5 приводит к у р а в н е н и я м
dv+o%dg-=—Л, дх—0.5Т6У=—/2, 6**—6*n=—/s,
(4)
б е + ^ б ^ + а т ^ б ^ - Д , 6 8 - a T ] 6 g - a ^ 6 T i - a v 6 ys= - / 5 .
З д е с ь ду — р а з н о с т ь з н а ч е н и й сеточной ф у н к ц и и у н а соседних и т е р а ц и я х (&+1)-й и &-й:
(5) dy=Sy[k+i]=y
[h+i]__
y[ki
Все и с к о м ы е п р и р а щ е н и я 6j/ имеют здесь н о м е р и т е р а ц и и а к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и й g(a\ r\t, g, т] и п р а в ы е ч а с т и /р, р=1, 2, 5, в ы ч и с л я ю т с я н а н и ж н е й fe-й и т е р а ц и и и с ч и т а ю т с я и з в е с т н ы м и . В к а ч е с т в е исходной «нулевой» и т е р а ц и и
y
i0Jм о ж н о и с п о л ь з о в а т ь п р е д ы д у щ и й в р е м е н н о й слой yi0]=yj.
Система л и н е й н ы х у р а в н е н и й (4) после и с к л ю ч е н и я всех н е и з в е с т н ы х ф у н к ц и й , креме dv, сводится в к а ж д о м у з л е сетки к т р е х т о ч е ч н о м у у р а в н е н и ю
(6) AidVi-i-CSvi+BSvi+^-Fi, i = l , 2, . . . , JV—1,
к о э ф ф и ц и е н т ы которого Ai, Bi,d и п р а в а я ч а с т ь Fi з а в и с я т л и ш ь от з н а ч е н и й сеточ
н ы х ф у н к ц и й н а к-й и т е р а ц и и и / - м в р е м е н н о м слое.
У р а в н е н и я ( 6 ) н а к а ж д о й и т е р а ц и и р е ш а ю т с я методом п р о г о н к и [2 > 5] , и т е р а ц и и п р о д о л ж а ю т с я до т е х пор, п о к а н е будет в ы п о л н е н о некоторое условие сходимости, н а п р и м е р пока п р и р а щ е н и е ди во всех у з л а х сетки не станет достаточно м а л ы м .
3. Исследуем сходимость описанного в ы ш е итерационного процесса Н ь ю т о н а . В ы ч т е м и з к а ж д о г о у р а в н е н и я системы (4) соответствующее у р а в н е н и е с и с т е м ы (2')..
В р е з у л ь т а т е п о л у ч и м с л е д у ю щ у ю систему л и н е й н ы х у р а в н е н и й :
Av^+^ + oxAgf*"
=0, Д з [ * + п - о . 5 т Д ^ *+ 11 = 0 ,Д *в № + 1 3 - Д г ^ + ^ О ,
(7)
Д е[ й + 1Н о т |с*]Д ^[ Л + 1 ]+ о ^[ Л ]Д т 1[ ь + 1 1- - а Д т 11 Л 1Д ^ 1ЛН о т 1 ^С А + 11 + + ( 1 — а ) ^ Д г р +1 ]= 0 ,
д8[ ь + 1 ] _а Г ][ ь ] Agik+n_ag[h] Д т ^ + ^ + а A T I ^ A g ™ - a v Д рв № + 1 1= 0 .
Здесь
Ау
т=у
[к]—yi
+i — р а з н о с т ь м е ж д у з н а ч е н и е м сеточной ф у н к ц и и н ак-й
и т е р а ц и и и точным р е ш е н и е м р а з н о с т н о й з а д а ч и . З а м е т и м , ч т о это обозначение о т л и ч а е т с я от о б о з н а ч е н и я ( 5 ) , где р а з н о с т ь б е р е т с я м е ж д у соседними и т е р а ц и я м и .Система (7) более удобна д л я теоретического а н а л и з а . И с к л ю ч а я и з (7) в с е ф у н к
ции Ayih+1]
, кроме Ag
[h+il, приходим к уравнению
[ft] [ f t + l ] ih] [ft+1] ' [ft]
(8) Ai Zi
-Bi
( zi + i)=F
t, i = l , 2 , . . . ; / V - l ,
где
[ft] [ft] [ft] [hi [ft]
Zi =Agi , Ai = ( a + a ) r ) i - o V +2# i ,
[ft] Т Г T [ft]
Bi =o 0.5 ((o+a)gi +{l-o)gi
j)+av
h i h
[ft] 1 [ft] [ft]
Fi = ( а + а ) Д т } г zt . ,
Очевидно, 2 ? i[ f t ]> 0 . Потребуем, чтобы в ы п о л н я л о с ь неравенство [hi [hi [hi [hi
(9) Di =Ai - 2 B i = ( а + а ) т ] г - 0Щ> > 0.
З а м е т и м , что п р и этом т а к ж е выполнено неравенство Л г[ й ]> 0 .
Ограничимся д л я определенности рассмотрением задачи, в которой на г р а н и ц а х области Q з а д а н ы р е ж и м ы и з м е н е н и я д а в л е н и я со временем. У ч и т ы в а я т а к ж е , что
i+ i i+ i •
в г р а н и ч н ы х т о ч к а х п р и н я т о «занулять» п с е в д о в я з к о с т ь . со0 = COJV = О (см. L J ) , имеем д л я у р а в н е н и я (8) к р а е в ы е у с л о в и я zQ = zN = 0. Д л я неоднородного у р а в н е н и я (8) с однородными к р а е в ы м и у с л о в и я м и п р и в ы п о л н е н и и неравенства (9) п р и м е н и м п р и н ц и п м а к с и м у м а [2 > 5] , и з которого, в частности, следует
И F[h] U -II ( a + a ) A r ][ f e ] у Не II (a+a)r]W-OTi | |c где
(a+a) ( r j[ f t ]- T ] ) | | у г )[Ы - г ]
He = т а х | г / г | , gf t = ["
(a+a)r][ f t^-ar] He II r][ f tl-ori/(o+a) || с Очевидно, сходимость итерационного процесса Ньютона имеет место, если ^ < 1 , а т а к ж е выполнено условие (9), которое м о ж н о з а п и с а т ь в виде
( И ) .т]^] > — — у ] . о+а
Неравенство д&<1 выполнено, если п р и всех t = l , 2, . . , , N справедливо
(12) - 1 < < 1 . т ] г[ А 1- о т ] * / ( а + а )
Рассмотрим две возможности.
П е р в а я , о т в е ч а ю щ а я процессу р а з р е ж е н и я газа,— когда г\>ц. Тогда в (12) пра
вое условие выполнено автоматически, а левое приводит к н е р а в е н с т в у (13)
2 \ о + а / »
которое одновременно г а р а н т и р у е т в ы п о л н е н и е у с л о в и я (11).
В противоположном случае (fj < г ] ) , отвечающем с ж а т и ю газа, условие (12) ока
з ы в а е т с я в ы п о л н е н н ы м , если справедливо неравенство (13), а т а к ж е неравенство a
(14) к] > — — л , а+а
п р и ч е м условие ( И ) т а к ж е в ы п о л н я е т с я .
Р а з у м н о предположить, и это п о д т в е р ж д а е т с я расчетами, что д л я в ы п о л н е н и я неравенства (13) п р и любом к достаточно потребовать его в ы п о л н е н и я на нулевой и т е р а ц и и к=0. Условие (13) п р и к=0 (TJC°]=T]J) м о ж е т быть преобразовано к виду
- а
Г) - Г] < Г),
G+a ; откуда после д е л е н и я на т, у ч е т а обозначений (3), а т а к ж е ф о р м у л ы разностного
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я р*=-т)*/т]Т1, ' H ^ V P (р — плотность), имеем (15) (i+a/a)Tfjp*>—1.
З а м е т и м , что д л я с л у ч а я с ж а т и я р / > 0 , и тем с а м ы м условие (15) в ы п о л н е н о . Н е р а венство (14) после н е с л о ж н ы х п р е о б р а з о в а н и й п р и в о д и т с я к в и д у
(16) ( l + c / a ) r f j p , < l . • • I
О б ъ е д и н я я (15) и (16), п р и х о д и м к условию (17) ( 1 + о / а ) т 1 К ) р , | |с< 1 .
Отметим, что условие сходимости и т е р а ц и й , полученное в [2»4] д л я и з о т е р м и ч е с к о г о с л у ч а я без у ч е т а псевдовязкости, имеет вид
(18) т | | т ) | |с| | р , | |с< 1 .
Условие (17) д л я изотермического с л у ч а я ^ = 1 , а = ° ° переходит в неравенство T||fjpfIIc<l,
которое я в л я е т с я менее «жестким», н е ж е л и (18). З а м е т и м , что п р и с у т с т в и е в схеме псевдовязкости не о к а з ы в а е т в л и я н и я на условие сходимости (17) и о ц е н к у скорости сходимости (10). Следует у к а з а т ь , что сходимость исследованного в ы ш е и т е р а ц и о н ного процесса (10) имеет х а р а к т е р геометрической прогрессии со з н а м е н а т е л е м qh, в то в р е м я к а к в [2-4] х а р а к т е р сходимости, и з у ч е н н ы й д л я изотермического с л у ч а я , я в л я е т с я к в а д р а т и ч н ы м . И з н е р а в е н с т в а (17) в ы т е к а е т т а к ж е , что в а д и а б а т и ч е с к о м случае ограничение на ш а г сетки т я в л я е т с я более ж е с т к и м , чем в изотермическом.
Поступила в редакцию 19.02.1976 1
Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а
1. Ю. П. Попов, А. А. Самарский. Полностью консервативные, р а з н о с т н ы е схемы. Ж . в ы ч и с л . матем. и матем. физ., Ii969, 9, № 4, 9 5 3 - 9 5 8 .
2. А. А. Самарский, Ю. П. Попов. Р а з н о с т н ы е схемы газовой д и н а м и к и . М., «Наука», 1975.
3. Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. Системы к в а з и л и н е й н ы х у р а в н е н и й . М.,
«Наука», 1968.
4. Ю. П. Попов, А. А. Самарский. О методах численного р е ш е н и я одномерных н е с т а ц и о н а р н ы х задач газовой д и н а м и к и , Ж . в ы ч и с л . матем. и матем. физ., 1976, 16„
№ 6, 1503-1518.
5. А. А. Самарский. Введение в теорию р а з н о с т н ы х схем. М., «Наука», 1971.
