К. Е. Старков, Достаточные условия глобальной наблю- даемости некоторых классов динамических систем, Авто- мат. и телемех. , 1981, выпуск 12, 31–38

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

К. Е. Старков, Достаточные условия глобальной наблю- даемости некоторых классов динамических систем, Авто- мат. и телемех. , 1981, выпуск 12, 31–38

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:11:47

У Д К 6 2 - 5 0 1 . 4 + 6 2 - 5 0 1 . 5

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

СТАРКОВ К. Е.

( М о с к в а )

Д л я л и н е й н ы х систем, не удовлетворяющих критерию наблюдаемо­

сти К а л м а н а , к о н с т р у и р у ю т с я т а к и е ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я в классе по­

линомов, п р и которых д а н н а я система становится наблюдаемой. Д л я некоторых классов н е л и н е й н ы х систем п р е д л а г а ю т с я новые достаточ­

н ы е у с л о в и я наблюдаемости, у ч и т ы в а ю щ и е качественное поведение ф а з о в ы х к р и в ы х системы.

В теории н а б л ю д а е м о с т и д и н а м и ч е с к и х систем н а и б о л е е хорошо и с ­ с л е д о в а н ы л и н е й н ы е с и с т е м ы с л и н е й н ы м з а к о н о м н а б л ю д е н и я , о д н а к о не все р е а л ь н ы е с и с т е м ы с к о с в е н н ы м и з м е р е н и е м м о ж н о а д е к в а т н о о п и ­ с а т ь л и н е й н ы м и м о д е л я м и . П о э т о м у последние п я т н а д ц а т ь лет многие- а в т о р ы б ы л и з а н я т ы п о и с к а м и необходимых и д о с т а т о ч н ы х у с л о в и й н а ­ блюдаемости н е л и н е й н ы х систем. П о и с к и к о н с т р у к т и в н ы х д о с т а т о ч н ы х у с л о в и й г л о б а л ь н о й н а б л ю д а е м о с т и ш л и в д в у х н а п р а в л е н и я х . Р а б о ­ т ы первого н а п р а в л е н и я [ 1 ] (см. т а к ж е б и б л и о г р а ф и ю в [ 1 ] ) о б ъ е д и н я ­ ет о с н о в н а я и д е я — к о н с т р у и р о в а н и е глобального д и ф ф е о м о р ф и з м а , д е й ­ с т в у ю щ е г о из фазового п р о с т р а н с т в а Rm в л и н е й н о е п р о с т р а н с т в о т о й ж е р а з м е р н о с т и . Обычно этот д и ф ф е о м о р ф и з м с т р о и т с я с п о м о щ ь ю п о ­ следовательного д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я и з м е р я е м ы х в ы х о д о в . Р а б о т ы в т о ­ рого н а п р а в л е н и я [2—4] о п и р а ю т с я н а к р и т е р и й К а л м а н а в л и н е й н о й с и т у а ц и и . И з этого к р и т е р и я в [ 2 ] п о л у ч е н ы достаточные у с л о в и я н а ­ блюдаемости в н е л и н е й н о м с л у ч а е Для окрестности особой точки д и н а ­ мической системы, а в [ 3 ] с о д е р ж а т с я достаточные у с л о в и я г л о б а л ь н о й н а б л ю д а е м о с т и д л я систем с м а л о й н е л и н е й н о с т ь ю и с л и н е й н ы м з а к о ­ ном н а б л ю д е н и я . В работе [ 4 ] и с п о л ь з у ю т с я э л е м е н т ы д и ф ф е р е н ц и а л ь ­ ной д и н а м и к и и р е з у л ь т а т ы [ 2 ] д л я п о л у ч е н и я д о с т а т о ч н ы х у с л о в и й г л о б а л ь н о й н а б л ю д а е м о с т и н а к о м п а к т н ы х м н о г о о б р а з и я х и в н е к о т о р ы х д р у г и х с п е ц и а л ь н ы х с л у ч а я х . В н а с т о я щ е й работе д л я д и н а м и ч е с к и х систем к о н с т р у и р у ю т с я т а к и е ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я , п р и к о т о р ы х эти с и с т е м ы с т а н о в я т с я глобально н а б л ю д а е м ы м и . G этой ц е л ь ю в ы д е л я е т с я к л а с с л и н е й н ы х систем, не у д о в л е т в о р я ю щ и х к р и т е р и ю К а л м а н а , и д л я него с т р о я т с я п о д х о д я щ и е ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я в виде полиномов. Д а ­ лее о б с у ж д а ю т с я общие п р и н ц и п ы п о с т р о е н и я ф у н к ц и й наблюдения,, п р и к о т о р ы х д а н н а я «истема н а б л ю д а е м а , и в з а к л ю ч е н и е , и с х о д я и з построенного д л я л и н е й н ы х систем более ш и р о к о г о к л а с с а ф у н к ц и й н а ­ б л ю д е н и я и и м е ю щ е й с я и н ф о р м а ц и и о ф а з о в о м п о р т р е т е , с т р о я т с я ф у н к ­ ц и и н а б л ю д е н и я д л я н е к о т о р ы х к л а с с о в н е л и н е й н ы х систем. Т е п е р ь п е ­ р е й д е м к основным о п р е д е л е н и я м .

П р е д п о л о ж и м , что д и н а м и ч е с к а я система, з а д а н н а я н а л и н е й н о м т- мерном п р о с т р а н с т в е R^m, имеет в и д

1. С о д е р ж а н и е задачи

(1) (2)

x=f(x, t), же R» т>2,

h: R"¹-^

R

,

г д е о т о б р а ж е н и е / : R^WX R*-> R¹ т а к о е , что (1) у д о в л е т в о р я е т теореме е д и н с т в е н н о с т и р е ш е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я . К а к п р а в и л о , ш и к е будет п р е д п о л а г а т ь с я , что / и ф у н к ц и я н а б л ю д е н и я к, я в л я ю т с я л и н е й н ы м и и л и а н а л и т и ч е с к и м и .

П у с т ь о т о б р а ж е н и е £«-нр(/?, t) я в л я е т с я р е ш е н и е м ( ^ у д о в л е т в о р я ю ­ щ и м н а ч а л ь н о м у у с л о в и ю ф(/?, 0) =р. Т о г д а образ этого о т о б р а ж е н и я

н а з ы в а е т с я ф а з о в о й к р и в о й с и с т е м ы ( 1 ) , п р о х о д я щ е й ч е р е з т о ч к у р.. Ото­

б р а ж е н и е **-*<р (р, t) м о ж е т б ы т ь о п р е д е л е н о и л и н а всем R1, и л и н а н е ­ к о т о р о м м а к с и м а л ь н о в о з м о ж н о м и н т е р в а л е с у щ е с т в о в а н и я р е ш е н и я

(®iCP.)» ®*(Р)).ч с о д е р ж а щ е м н у л ь . П о э т о м у , вообще говоря, в е л и ч и н а и н т е р в а л а н а б л ю д е н и я м о ж е т з а в и с е т ь от в ы б о р а т о ч к и р. Н о в а н а л и т и ­ ч е с к о й с и т у а ц и и д л я п р о в е р к и с и с т е м ы н а н а б л ю д а е м о с т ь достаточно, ч т о б ы и н т е р в а л н а б л ю д е н и я [ 0 , Т] б ы л строго б о л ь ш е н у л я , а его в е л и ­ ч и н а н е с у щ е с т в е н н а . Это в ы т е к а е т и з т е о р е м ы е д и н с т в е н н о с т и д л я а н а ­ л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й [ 5 ] .

Определение 1. Система (1) с ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я (2) н а з ы в а е т с я г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м о й , е с л и д л я л ю б ы х н е р а в н ы х р, R^m й(ф(р, • ) ) и М ф ( ? , .'•)) ^{н е} с о в п а д а ю т к а к о т о б р а ж е н и я и з [ 0 , Т] в R V

О п р е д е л е н и е 1 м о ж н о л е г к о п е р е н е с т и н а с л у ч а й д и н а м и ч е с к и х сис­

т е м и ф у н к ц и й н а б л ю д е н и я , о п р е д е л е н н ы х н а к о м п л е к с н о м п р о с т р а н с т ­ ве C^w. Н е т р у д н о в и д е т ь , что в л и н е й н о й с и т у а ц и и д л я н и х будет с п р а ­ ведлив к о м п л е к с н ы й в а р и а н т к р и т е р и я К а л м а н а .

2. Ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я д л я л и н е й н ы х с и с т е м

И з в е с т н о , ч т о д л я с и с т е м ы

( 3 ) х=Ах, х*= R^m

к р и т е р и й К а л м а н а о п р е д е л я е т т а к и е л и н е й н ы е ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я , п р и к о т о р ы х (3) н а б л ю д а е м а . О д н а к о с у щ е с т в у ю т л и н е й н ы е с и с т е м ы , у к о т о р ы х р а н г м а т р и ц ы К а л м а н а м е н ь ш е m д л я л ю б о й л и н е й н о й ф у н к ­ ц и и н а б л ю д е н и я . К л а с с т а к и х систем в ы д е л я е т с я в п р е д л о ж е н и и 1.

П р е д в а р и т е л ь н о з а ф и к с и р у е м н е к о т о р ы й б а з и с (e^k) в R^w. О б о з н а ч и м той ж е б у к в о й А л и н е й н ы й о п е р а т о р , к о т о р ы й в этом базисе и м е е т мат-, ф и ц у A, A: R^w- > R^m.

П у с т ь F: Rw-*- Rm, G: Cm±>~ О71 — о т о б р а ж е н и я к о н е ч н о й г л а д к о с т и . Т о г д а , с л е д у я [ 6 ] , м о ж н о д а т ь с л е д у ю щ е е :

Определение 2. К о м п л е к с и ф и к а ц и я F — это о т о б р а ж е н и е ^CF: C^m- > Cⁿ,

cF(x+iy) =F (x)+iF (у). О в е щ е с т в л е н и е G — это о т о б р а ж е н и е ^RG: R^{2 m}-**

- » R²" , ^RG(x, g)=.(.Re G(x+iy), lmG(x+iy)).

К а к и з в е с т н о , о п е р а т о р °A з а д а е т в базисе (e^h+i0) к о м п л е к с и ф и ц и - р о в а н н у ю с и с т е м у

<4) z=^cAz, z e C^m.

Предложение 1. Д л я с и с т е м ы (3) с у щ е с т в у е т л и н е й н а я ф у н к ц и я н а б л ю д е н и я h, т а к а я , что ( 3 ) г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а тогда и т о л ь к о тог­

да, к о г д а о п е р а т о р °А в ж о р д а н о в о м базисе н е имеет д в у х ж о р д а н о в ы х к л е т о к с о д и н а к о в ы м и с о б с т в е н н ы м и ч и с л а м и .

О т м е т и м здесь, ч т о один с х о д н ы й ч а с т н ы й р е з у л ь т а т п о у п р а в л я е - .мости с о д е р ж и т с я в [ 2 ] без д о к а з а т е л ь с т в а .

Д л я д о к а з а т е л ь с т в а с ф о р м у л и р у е м две л е м м ы .

Лемма 1. Система (3) с ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я h(x)= ^h^x1, где h: R^m- > R¹ и Q — некоторое м н о ж е с т в о м у л ь т и и н д е к с о в , я в л я е т с я г л о ­ б а л ь н о н а б л ю д а е м о й тогда и только тогда, к о г д а ( 4 ) с ф у н к ц и е й ^ch •: C^m= >

-> С¹ я в л я е т с я г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м о й .

Лемма ,2. П у с т ь д а н о у р а в н е н и е

(5) • ' J]^I' P j( * ) e x p ( a^jt) . s O , - t^R\

y=i • •

где Pj(t) — п о л и н о м с к о м п л е к с н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и ; — к о м п л е к с н ы е числа, т а к и е , ч т о [Re а^\^\Re a^j+i\ д л я всех / ; в м н о ж е с т в о {а^и ..., a^s} вместе с к а ж д ы м к о м п л е к с н ы м а входит и с о п р я ж е н н о е к н е м у а, к о т о ­ рое стоит р я д о м с а.Уравнение (5) имеет единственное р е ш е н и е Pi(t)=0, Z G R¹, / = 1 , . . . , s, тогда и только тогда, когда д л я л ю б ы х i , /, 1Ф] в ы п о л ­ н е н о а^{Фа^

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1 очевидно, а д о к а з а т е л ь с т в а п р е д л о ж е н и я 1 и л е м м ы 2 п р и в е д е н ы в п р и л о ж е н и и .

П о с к о л ь к у д л я л и н е й н о й системы, н е у д о в л е т в о р я ю щ е й условию п р е д ­ л о ж е н и я 1, н е с у щ е с т в у е т л и н е й н о й ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я , п р и которой она с т а н о в и т с я н а б л ю д а е м о й , то естественно и с к а т ь т а к у ю ф у н к ц и ю в к л а с с е полиномов. О д н а к о н е т р у д н о в и д е т ь , ч т о если с у щ е с т в у ю т две ж о р д а н о в ы к л е т к и с с о б с т в е н н ы м и ч и с л а м и , р а в н ы м и н у л ю , т о т а к а я система н е н а б л ю д а е м а , д а ж е если h я в л я е т с я ( 7т- г л а д к о й ф у н к ц и е й .

В д е й с т в и т е л ь н о с т и и м е е т место более общее у т в е р ж д е н и е , которое будет д о к а з а н о в п р и л о ж е н и и .

Предложение 2. П у с т ь д а н а система

(6) m>2^r' х^ R^w,

/.— C^m — г л а д к а я п р а в а я ч а с т ь , у которой &im{x^ R^m| f(x) = Ю } > 2 [ 7 ] . Т о г д а д л я любой С^т- г л а д к о й ф у н к ц и и (2) система (6) н е н а б л ю д а е м а .

Т е п е р ь п о к а ж е м , ч т о д л я л и н е й н ы х систем во в с е х о с т а л ь н ы х с л у ч а ­ я х м о ж н о н а й т и п о д х о д я щ и е ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я в к л а с с е полиномов.

Теорема 1. Р а с с м о т р и м систему (7) z = A z , z& G^m,

где Л — м а т р и ц а о п е р а т о р а ^СА в ж о р д а н о в о м базисе в и д а d i a g l A , . . . Л ] , п р и ч е м ж о р д а н о в а к л е т к а y = l , . . . , s имеет п о р я д о к lrij и собственное

3 - 1

число Xj. В в е д е м о б о з н а ч е н и е : ^ = 1 + ^ m^h m⁰=0. Тогда (7) с ф у н к ц и -

1 - 0

е й н а б л ю д е н и я

(8) h(z^u...,z^m) = y^fygji,⁶'

н а б л ю д а е м а н а R^m+ i Q , если hj¥=0; ^ — н е ч е т н ы е ч и с л а , / = 1 , . . . , s и в с е Xj I , п о п а р н о р а з л и ч н ы .

Т е о р е м а 1 д о к а з а н а в п р и л о ж е н и и .

З а м е т и м , ч т о ( 8 ) я в л я е т с я м и н и м а л ь н о й в т о м смысле, ч т о система (7.) с любой ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я от м е н ь ш е г о ч и с л а п е р е м е н н ы х н е ­ н а б л ю д а е м а .

К р о м е того, система ( 7 ) с ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я в и д а g(zu... , Zm) =k {ZU . . . , Zm) +\ ^ Kz^' . . . -ZnP*,

Г]<=Я

*l=(ili,...,nm)

где h(z^u...,z^w) имеет в и д ( 8 ) , я в л я е т с я н а б л ю д а е м о й н а К ^ + Ю , если м н о ж е с т в о м у л ь т и и н д е к с о в Q у д о в л е т в о р я е т с л е д у ю щ и м у с л о в и я м :

2 Автоматика и телемеханика, N « 1 2

1) д л я к а ж д о г о т у е й все и н д е к с ы , м о ж е т б ы т ь за и с к л ю ч е н и е м с т о я ­ щ и х н а м е с т а х с н о м е р а м и • 1+т±+.. .+т^г-и г = 1 , . . . s, р а в н ы н у л ю ;

«

2)

J ^ M J 4

o } .

В о з в р а щ а я с ь к системе ( 3 ) , м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь с л е д у ю щ и е ут­

в е р ж д е н и я .

Предложение 3. Е с л и с и с т е м а (7) вместе с ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я ( 8 ) н а б л ю д а е м а н а R^m+ i O , то (3) г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а с ф у н к ц и е й

(9) G:

R™-*

где G=Re(^R(hD)), D — м а т р и ц а п е р е х о д а от б а з и с а (e^k+iO) к ж о р д а н о - в у б а з и с у о п е р а т о р а ^СА и hD — п о л и н о м с д е й с т в и т е л ь н ы м и к о э ф ф и ­ ц и е н т а м и .

Теорема 2. П р е д п о л о ж и м , что с о б с т в е н н ы е ч и с л а о п е р а т о р а ^ р а ц и о ­ н а л ь н о н е з а в и с и м ы [ 6 ] . Т о г д а в к л а с с е п о л и н о м о в л ю б а я ф у н к ц и я н а ­ б л ю д е н и я G: . R^m- * R¹, п р и к о т о р о й (3) г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а , и м е е т в и д G = R e (^B( g D ) ) , где D я в л я е т с я т е м ж е , ч т о и в ы ш е , а

g: G^m С¹, g fa,z^m)=

V

fa*...»Zm)r

п р и ч е м в п о л и н о м е h н е с о д е р ж а т с я м о н о м ы в и д а z^yj , 7 = 1 , . . . , т ; K i < o o ; все н е ч е т н ы е и # D — п о л и н о м с д е й с т в и т е л ь н ы м и к о э ф ­ ф и ц и е н т а м и .

П р е д л о ж е н и е 3 с л е д у е т и з л е м м ы 1, а т е о р е м а 2 с л е д у е т и з т е о р е м ы 1, п р е д л о ж е н и я 3 и л е м м ы 2.

3. Ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я д л я н е л и н е й н ы * с и с т е м

Н а р я д у с С*-гладкой ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я h : R^w->- R¹, к>т д л я с и с т е м ы ( 6 ) будем р а с с м а т р и в а т ь и о т о б р а ж е н и е н а б л ю д е н и я Н: R^w- >

—> R^m, которое п о л у ч а е т с я (т— 1) - к р а т н ы м д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м h в с и л у с и с т е м ы ( 6 ) .

Предложение 4. Е с л и д л я а н а л и т и ч е с к о й с и с т е м ы (6) с у щ е с т в у ю т п о п а р н о н е п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а Mjcz R^{m v}/ = l^?. . , , Z< 00 ^г т а к и е⁹ ч т о V p e R^m Я^о, т а к о е , ч т о з а м ы к а н и е <р(р,[£о, о )²( р ) ] ) п р и н а д л е ж и т н е к о т о ­ р о м у Afj, у = = 1 , . . . , Z, то (6) в м е с т е с а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я h: R^w- > R¹ г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а н а любом к о н е ч н о м и н т е р в а л е в р е ­ м е н и , е с л и :

1) о г р а н и ч е н и е (6) н а M^h / = 1 , . ..,Z я в л я е т с я н а б л ю д а е м о й с и с т е м о й ; 2) V i , 7 = l , . . . , Z , ЪФ], » ( А Г * ) П Л ( Л Г 0 = ^ .

В ч а с т н о с т и , у т в е р ж д е н и е п р е д л о ж е н и я о с т а е т с я с п р а в е д л и в ы м , е с л и 1) з а м е н и т ь н а I^х) : о г р а н и ч е н и е о т о б р а ж е н и я н а б л ю д е н и я П\Шу в з а и м ­ н о - о д н о з н а ч н о , / = 1 , . . . ,Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о и м е е т с я в п р и л о ж е н и и .

З а м е т и м , что д л я систем к о н е ч н о й г л а д к о с т и п р е д л о ж е н и е 4 о с т а е т ­ с я с п р а в е д л и в ы м , если д о п у с к а е т с я , что и н т е р в а л н а б л ю д е н и я м о ж е т б ы т ь с к о л ь у г о д н о б о л ь ш и м , но к о н е ч н ы м .

Это п р е д л о ж е н и е сводит а н а л и з н а б л ю д а е м о с т и во в с е м ф а з о в о м п р о ­ с т р а н с т в е к к о н е ч н о м у ч и с л у п р о в е р о к у с л о в и й в з а и м н о й о д н о з н а ч н о с т и н а м н о ж е с т в а х М⁵. Х о т я в о б щ е м с л у ч а е н а х о ж д е н и е т а к и х м н о ж е с т в

я в л я е т с я н е о б о з р и м о й з а д а ч е й , однако иногда у д а е т с я п о л у ч и т ь д о с т а ­ точно п о л н у ю и н ф о р м а ц и ю относительно Mj.

П р е д п о л о ж и м т е п е р ь , что р е ш е н и я с и с т е м ы (6) с у щ е с т в у ю т д л я л ю ­

бого R¹.

Определение 3. Е с л и ф ( р , t) — р е ш е н и е ( 6 ) , ф ( р , 0 ) = р , то м н о ж е с т в о м Q^p его © - п р е д е л ь н ы х точек н а з о в е м м н о ж е с т в о ( в о з м о ж н о , пустое) то­

ч е к x^Q, д л я к а ж д о й из к о т о р ы х с у щ е с т в у е т п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь tⁿ-+<x> п р и

#г->'«>, т а к а я , что ц>(р, tⁿ)-+x⁰. А н а л о г и ч н о о п р е д е л я е т с я д л я ^{0 0} м н о ­ ж е с т в о А^р: а - п р е д е л ь н ы х точек р е ш е н и я ф ( р , t).

Н а п р и м е р , если р — о с о б а я точка, то Q^p=A^p={p}; если ^ ^ ^ ( R¹) , Т (R¹) — п р е д е л ь н ы й ц и к л , то £1^р=А^р=ч (R * ) .

Вообще говоря, в к а ч е с т в е Mj естественно б р а т ь м а л ы е окрестности если Q^p=0, и л и А^р, если А^РФ&, а т а к ж е м н о ж е с т в о у х о д я щ и х точек {р<= R^m\Q^p[}A^p=0}. П р и т а к о м о п р е д е л е н и и Mj д л я э ф ф е к т и в н о г о постро­

е н и я ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я о г р а н и ч и т ь с я с л у ч а е м , к о г д а (6) имеет л и ш ь к о н е ч н у ю совокупность особых точек, ф а з о в ы х к р и в ы х п е р и о д и ч е с к и х р е ш е н и й и к о м п о н е н т с в я з н о с т и м н о ж е с т в а у х о д я щ и х точек.

П р и в е д е м н е к о т о р ы е ф а к т ы относительно с т р у к т у р ы со- и а - п р е д е л ь ­ н ы х м н о ж е с т в : Q^p и А^р — з а м к н у т ы е и н в а р и а н т н ы е относительно ф ( р , t) м н о ж е с т в а , п р и ч е м QP(AP) — с в я з н ы е м н о ж е с т в а , если {ф(р, t) \ t>0}

(соотвественно {ф(р, t) £ < 0 } ) имеет к о м п а к т н о е з а м ы к а н и е [ 8 ] . Предложение 5 [ 8 ] . Е с л и с у щ е с т в у е т С⁴- г л а д к а я ф у н к ц и я V: R^m<=>- R¹, т а к а я , что:

1) д л я к а ж д о й точки R™ либо V(x)>0, V^r(x) = (f(x)^r g r a d F ( ^ ) ) ^ 0 , л и б о У (ж) < 0 и t ( i ) = ( / ( * > , g r a d F ( ^ ) ) ^ 0 ;

2) l i m F ( ^ ) = o o ,

тогда п р и p^{p^ R^m\V(p)>0}: Q^P¥=0, Q^V^iO), п р и p^{p^ R^m\V(p)<

<0}: А^рФ0, А^Р<=#-^ХШ, если ж е f -¹( 0 ) = {^⁰}, то | | / . ( з ) . | | > 0 п р и х⁰| | > 0 , f(x⁰)=0 и р е ш е н и е (6) ф ( я⁰, t)=x⁰ а с и м п т о т и ч е с к и устойчиво Д л я п о с т р о е н и я н а б л ю д а е м о й с и с т е м ы (6) с ф у н к ц и е й h м о ж н о п р и ­ в л е к а т ь р а з л и ч н ы е д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я в з а и м н о й однозначности H\Mj, / = ! , . . . , / . В ч а с т н о с т и , если Mj — м а л а я о к р е с т н о с т ь особой т о ч к и х^0у то м о ж н о в о с п о л ь з о в а т ь с я л о к а л ь н ы м у с л о в и е м д и ф ф е о м о р ф и з м а : r a n k Н'(х⁰) =т (это следует и з т е о р е м ы об обратной ф у н к ц и и ) и л и у с л о ­ в и е м : р а н г м а т р и ц ы К а л м а н а с и с т е м ы , п о л у ч е н н о й л и н е а р и з а ц и е й (6) в точке х^ р а в е н т [ 2 ] . Е с л и Mj имеет в и д в ы п у к л о й и л и п р я м о у г о л ь н о й о б л а с т и , то м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь у с л о в и я : о г р а н и ч е н и е Н \ Мj — д и ф ф е о м о р ­

ф и з м , с о д е р ж а щ и е с я в [ 1 ] . Е с л и ж е Mj и м е е т в и д м а л о й т р у б ч а т о й ок­

рестности п р е д е л ь н о г о ц и к л а ^, то м о ж н о п р и м е н и т ь достаточное условие н а б л ю д а е м о с т и в о к р е с т н о с т и ^ ( R¹) , а н о н с и р о в а н н о е в [ 4 ] : с у щ е с т в у е т т о ч к а х⁰^у( R¹) и т а к а я , что р а н г м а т р и ц ы К а л м а н а системы, п о л у ч е н н о й л и н е а р и з а ц и е й (6) в х⁰, р а в е н т и н а и м е н ь ш и е п е р и о д ы у и h\ р а в н ы м е ж д у собой. Очевидно, что первое и з этих у с л о в и й м о ж н о з а м е н и т ь н а условие тъкН' {х<>)=т.

Определение 4. Система

н а з ы в а е т с я почти л и н е й н о й , если Fi(t, О, . . . , 0 ) = 0 , i = l , . . . , т и с у щ е с т ­ в у е т н е п р е р ы в н а я ф у н к ц и я g{t), т а к а я , что

| | * | | - * о о

в целом.

т

(10) i i = > a^ikx^h+Fi(t⁹xⁱ⁹..., х^т), i = l , . . . /ЛН1а<*11

m

Теорема 3 [ 9 ] . Р а с с м о т р и м в о б о з н а ч е н и я х т е о р е м ы 1 с и с т е м у (11). z=Az+f{t, z),f^C%

п о л у ч е н н у ю и з (10) к о м п л е к с и ф и к а ц и е й и п е р е х о д о м к ж о р д а н о в у б а з и ­ су. В в е д е м о б о з н а ч е н и я : X = max, R e A'ij тп — ш а х 7tii\ р— ш а х Ш\\

i г'.НеЯ = & »:ReX =0

i t

/ ? = 1 , е с л и н е т Х^{ с R e A . = 0 . Е с л и д л я п о ч т и л и н е й н о й с и с т е м ы (11) Я ^ О и

и V£⁰, i i J ^^{m + p}" V * g ( ^ ) d t < o o , то с у щ е с т в у е т г о м е о м о р ф и з м Ф г О ^ С * , .

л.

т а к о й , ч т о д л я к а ж д о й т о ч к и p^G^m и р е ш е н и й систем (11) и (7) ф (/?,'£) и e x p (At) Ф (р) соответственно в ы п о л н е н о : ||ф(/?, £) — e x p (At) Ф (р) | | - > 0 п р и £-><».

Т е о р е м ы 1 и 3 д а ю т в о з м о ж н о с т ь н а х о д и т ь д л я п о ч т и л и н е й н ы х с и с т е м п о д х о д я щ и е ф у н к ц и и н а б л ю д е н и я в более ш и р о к о м к л а с с е ф у н к ц и й , ч е м к л а с с , о п р е д е л я е м ы й к р и т е р и е м К а л м а н а д л я ( 3 ) .

Теорема 4. П р е д п о л о ж и м , ч т о если у м а т р и ц ы Л нет с о б с т в е н н ы х ч и с е л X с R e X < 0 , то (11) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м т е о р е м ы 3 , в п р о т и в н о м с л у ­ ч а е п у с т ь z = — A z — f ( t , z) т а к ж е у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м т е о р е м ы 3 . Т о г д а е с л и (7) с ф у н к ц и е й (8) г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а , то и (10) с ф у н к ц и е й (9) г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4 п р и в е д е н о в п р и л о ж е н и и .

В з а к л ю ч е н и е п о л у ч и м у с л о в и я н а б л ю д а е м о с т и , и с х о д я и з т е о р е м ы о л о к а л ь н о й а н а л и т и ч е с к о й э к в и в а л е н т н о с т и .

Теорема 5 [ 9 ] . П у с т ь (3) — л и н е а р и з о в а н н а я в н у л е а н а л и т и ч е с к а я с и с т е м а ( 6 ) , у д о в л е т в о р я ю щ а я у с л о в и я м т е о р е м ы 2, и, к р о м е того, с у щ е ­ с т в у е т п р я м а я н а к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и , п р о х о д я щ а я ч е р е з н а ч а л о к о о р ­ д и н а т и т а к а я , что все Xj н а х о д я т с я по одну сторону от этой п р я м о й . Т о г д а с у щ е с т в у е т а н а л и т и ч е с к и й д и ф ф е о м о р ф и з м Ф = ( ф⁴ , с р^т) , п е р е в о д я щ и й д а н н у ю с и с т е м у в с и с т е м у j / = | | a ^ | | z / в н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и н у л я U^r

em

п р и ч е м ф у н к ц и и ф/ у д о в л е т в о р я ю т у р а в н е н и ю У¹ (XjZj+fj) - ^ ^ = Хл>*,.

е с л и в той ж е о к р е с т н о с т и U д а н н а я система н е к о т о р ы м н е в ы р о ж д е н н ы м л и н е й н ы м о т о б р а ж е н и е м п р и в о д и т с я к в и д у z^j=XjZ^j+f^j(z^u ..., z^m), /=

= 1 , , т и р а з л о ж е н и е в р я д /j н а ч и н а е т с я с к в а д р а т и ч н ы х ч л е н о в . Следствие. Е с л и система (3) вместе с а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й g г л о ­ б а л ь н о н а б л ю д а е м а , то и (6) вместе с ф у н к ц и е й G==gO т а к ж е н а б л ю д а е м а в о б л а с т и U.

В [8] п р и в е д е н ы д р у г и е у с л о в и я л о к а л ь н о й а н а л и т и ч е с к о й э к в и в а л е н т ­ н о с т и систем, и з к о т о р ы х м о ж н о п о л у ч и т ь а н а л о г и ч н ы е у с л о в и я н а б л ю ­ д а е м о с т и .

Пример 1. Р а с с м о т р и м с и с т е м у :

(12) Х\==: Х\ Х\ х%, Х2— х<ь\~Х\Х<1.

С и с т е м а (12) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю п р е д л о ж е н и я 5 с ф у н к ц и е й Л я ­ п у н о в а V=x¹²+x²². С л е д о в а т е л ь н о , достаточно н а й т и ф у н к ц и ю h, такую,, что (12) н а б л ю д а е м а в о к р е с т н о с т и н у л я . М а т р и ц а К а л м а н а л и н е а р и з о ­ в а н н о й в н у л е с и с т е м ы (12) в ы р о ж д е н а д л я любой л и н е й н о й ф у н к ц и и /г, о д н а к о д л я в с я к о г о п о л и н о м а h (#1), Ы- ( 0 ) ^ 0 (12) о к а з ы в а е т с я г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м о й , т а к к а к

/ , . dh , dh , dh \

H(xⁱ¹x²)=lh(xⁱ),-x¹- xⁱ³-j—-x²³—\

A dxi dxt dxtJ в з а и м н о - о д н о з н а ч н о в м а л о й о к р е с т н о с т и н у л я .

Пример 2. Р а с с м о т р и м с и с т е м у :

(13) i i = S i+ e~2' £ 2 s i n #2 j # 2 = # 2+ е~2' # 1 s i n #1.

Л е г к о в и д е т ь , ч т о с и с т е м а ( 1 3 ) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м т е о р е м ы 4 . П о э т о м у ( 1 3 ) с ф у н к ц и е й н а б л ю д е н и я h=x^Y+x²^ г л о б а л ь н о н а б л ю д а е м а .

ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство леммы 2. Необходимость очевидна, поэтому с р а з у переходим к достаточности.

П р е д п о л о ж и м сначала, что a i — действительное число > 0 . У м н о ж и м (5) н а ехр(—att) и у с т р е м и м t к °°, Тогда все слагаемые -*0, з а и с к л ю ч е н и е м первого.

Поэтому pi(t)=0. П у с т ь т е п е р ь а4 - комплексное, aj=%j+i\ij, / = 1 , и если г

|Xj|==|Xj+i|, то КзЖз+ь П о в т о р я я р а с с у ж д е н и е , получим, что ^ ^j(Qexp(i|XjQ-> Q, если ^ i = . . . = X r > 0 , X i > Xr+ i . Можно в ы б р а т ь д в е последовательности {tk} и {ti}-+°° п р и /с, т а к и е , что

г г

i?i (**) e x p j f o ) > 8 , e > 0 ; ^ />j ( * * ) e x p < - e.

j = l z = i

Отсюда следует, что р Д г ) = 0 , / = 1 , . . . , Z . Проводя о п и с а н н у ю п р о ц е д у р у необ­

ходимое число р а з , получим, ч т о pj(t) = 0, / = 1 , . . . , Доказательство предложения 1.

1. Необходимость. И з комплексного в а р и а н т а к р и т е р и я К а л м а н а , л е м м ы 1 и того очевидного ф а к т а , что наблюдаемость н е зависит от выбора системы координат, в ы т е к а е т , что м о ж н о о г р а н и ч и т ь с я с л у ч а е м системы ( 7 ) .

П у с т ь м а т р и ц а Л ' имеет две ж о р д а н о в ы к л е т к и с о д и н а к о в ы м и собственными ч и с л а м и X. Тогда э л е м е н т ы Л ' , с т о я щ и е в п р а в о м н и ж н е м у г л у этих к л е т о к н а диаго­

н а л и и р а в н ы е Я, дадут п р о п о р ц и о н а л ь н ы е строки в м а т р и ц е К а л м а н а , т. е. ее р а н г м е н ь ш е m д л я любой л и н е й н о й ф у н к ц и и h, поэтому (7) н е наблюдаема.

2. Достаточность. В о б о з н а ч е н и я х теоремы 1 п о к а ж е м , ч т о (7) с ф у н к ц и е й н а ­ блюдения

« i - i (14) h(zu ..., zm) = h^ftf \Xj=l + ^ \ mh

где m o = 0 , я в л я е т с я глобально наблюдаемой, если в с е н е р а в н ы н у л ю .

П р е д п о л о ж и м , что с у щ е с т в у ю т д в а р е ш е н и я (7) с н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и щ и UQ, т а к и е , что

h (exp (Xt) ио) = f t (exp (At) v0)

и р и t&[0, T ] , а значит, и п р и любом t. Отсюда следует, что

hi \ (uoj—voj) - е М + . . . + й \ -(izoj—»0j) е М = Q.

J ( / - 1 ) ! Z-J ( 7 - 1 ) !

^ Из л е м м ы 2 в ы т е к а е т , что mj=v0j, / = 1 , . . . , иг, т. е. система (7) — (14) глобально наблюдаема.

П о с к о л ь к у в (14) — п р о и з в о л ь н ы е , hi&C, hi=£Q, то и х м о ж н о в ы б р а т ь т а к , что­

бы g=hD и м е л д е й с т в и т е л ь н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы , где D — м а т р и ц а перехода от базиса (бА+Ю) к ж о р д а н о в у базису оператора СА . Т а к к а к (4) вместе с g: С ^ С 1 глобально наблюдаема, то, о в е щ е с т в л я я g, получим, что (3) и Re(Rg) : К ^ К1 глобально н а ­ блюдаема по лемме 1.

Доказательство предложения 2. Д о к а з а т е л ь с т в о следует и з следующего у т в е р ж ­ д е н и я .

Е с л и с е [R1 я в л я е т с я р е г у л я р н ы м з н а ч е н и е м £т- г л а д к о й ф у н к ц и и h: -Rp^R*, то /г- 1 (С) я в л я е т с я многообразием р а з м е р н о с т и т—1[ 10].

Действительно, п у с т ь м н о ж е с т в о {x<^Rm\f(x)=0} содержит связное многообра­

зие Af, d i m М ^ 2 . П р е д п о л о ж и м сначала, что h(M) н е содержит р е г у л я р н ы х з н а ч е ­ ний. ^Тогда, п о с к о л ь к у Н (М) - связное, то по теореме Сарда [10] h(M) состоит и з одной точки и, следовательно, система не наблюдаема. Поэтому М(\Н^(с)Фф для

некоторого регулярного з н а ч е н и я с. Тогда и з сформулированного у т в е р ж д е н и я и соображений р а з м е р н о с т и следует, что \ М ( \ к - * ( с ) не сводится к одной точке, т . е .

(6) не наблюдаема.

Доказательство теоремы 1. П р е д п о л о ж и м , что существуют д в а р е ш е н и я (7) с н а ­ ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и щ и vo, т а к и е , что

h (exp (At) щ) = h (exp (At) v0), telR*.

Тогда отсюда следует, что п р и любом t^U¹

Е* {(1>"7Гш) " ( Х Л " " ^ ) }

*""

'

j = i г' = 1 г=1

Из л е м м ы 2 в ы т е к а е т , что все к о э ф ф и ц и е н т ы п р и э к с п о н е н т а х р а в н ы н у л ю . Поэтому, у ч и т ы в а я у с л о в и я т е о р е м ы 1, з а к л ю ч а е м , что ког—^о*, i—^-, • •.» Щ т . е . с и ­ стема (7) н а б л ю д а е м а н а Ц^т+Ю.

Доказательство предложения 4. П у с т ь t-+<p(p, t) — р е ш е н и е ( 6 ) , у д о в л е т в о р я ю ­ щ е е условию <р(р, 0)=р.

Если д л я л ю б ы х р, qe= {R^m„ p¥^q с у щ е с т в у е т т, такое, что ср(/?, т) e-Mi, ф ( д , т ) &Mj, гФ}, то п о условию 2 /г(ф(р, 'т))=^М<р(д, Е с л и ж е д л я любого £>£о ф(/>, О и ф(<7» t)&Mi, то по условию 1 с у щ е с т в у е т т в любой окрестности т о ч к и £, такой, что h(q)(p^r%))=9^£=h(<p(q, т ) ) . Отсюда следует у т в е р ж д е н и е п р е д л о ж е н и я 4.

Доказательство теоремы 4. П р е д п о л о ж и м сначала, что Я > 0 . Тогда д л я л ю б ы х рц г = 1 , 2, ², т а к и х , что

| | e x p ( A ^ )^Jp i^/- e x p ( A f) / ? 2/l l -^{> 0}° п р и

в ы п о л н я е т с я | | Л ( е х р ( Л* ) р 1/) - ^ ( е х р . ( Л^ ) р 2| /) . 1 К^{0 0}, где Ф(рг)=Рг\ i = l , 2. Отсюда и и з т е о р е м ы 3 в ы т е к а е т , что V e > 0 3 i o , такое, что п р и t>to в ы п о л н я е т с я

\h(exv(At)pi')-h(ty(p^irt))\<e, * = 1 , 2;

| /г (exp (At) p i ' ) - Л (exp (At)p^2f) | > 3 е . И з этих н е р а в е н с т в легко получить, что (15) \h(^(pu О Ь М Ф О ъ t))\>e.

В о с т а л ь н ы х с л у ч а я х аналогично м о ж н о п о л у ч и т ь н е р а в е н с т в а в и д а (15) п р и

£-><» и л и >»—«>, и л и д л я н е к о т о р ы х trr*⁰⁰, и л и tn-*- — °°, л->«>. Поэтому (11) — (8) н а б л ю д а е м а н а R^m+iO, а т а к к а к л е м м а 1 о с т а е т с я справедливой, если вместо (3) в з я т ь (10), то теорема д о к а з а н а .

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Брандин В. #., Костюковский Ю. М-Л., Разоренов Г. Н. Глобальные у с л о в и я н а б л ю д а е м о с т и н е л и н е й н ы х д и н а м и ч е с к и х с и с т е м . — А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и ­ к а , 1975, № 10, с. 1 8 - 2 5 .

2. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального у п р а в л е н и я . М.: Н а у к а , 1972.

3. Yamamoto Y., Sugiura I. Some sufficient conditions for t h e observability of n o n l i ­ n e a r s y s t e m s . - J. Opt. T h . a n d Appl., 1974, v. 13, № 6, p . 6 6 0 - 6 6 9 .

4. Aeyels D., Elliott D. L. Global observability for n o n l i n e a r a u t o n o m o u s differential e q u a t i o n s . - I n : Proc. 1978 I E E E Conf. on Decision a n d Control I n c l u d i n g 1 7^{t h} S y m ­ p o s i u m on Adaptive Processes. S a n Diego, Calif., J a n . 1979, p . 1057—1061.

5. Шилов Г. E. М а т е м а т и ч е с к и й а н а л и з / Ф у н к ц и и одного переменного. М . : Н а у ­ к а , 1969.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я . М.: Н а у к а , 1975.

7. Sussmann Н. Single-input observability of c o n t i n u o u s - t i m e systems.— Math. Syst.

Th., 1979, v. 12, № 4, p . 3 7 1 - 3 9 3 .

8. Хартман Ф. Обыкновенные д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я . М.: Мир, 1970.

9. Немыцкий В, В., Степанов В. В. К а ч е с т в е н н а я т е о р и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в ­ н е н и й . М.: Гостехиздат, 1949.

10. Милнор Дж., Уоллес А. Д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я топология. Н а ч а л ь н ы й к у р с . М.: Мир, 1972.

П о с т у п и л а в р е д а к ц и ю 8.VIII.1980 S U F F I C I E N T CONDITIONS F O R GLOBAL O B S E R V A B I L I T Y O F SOME

C L A S S E S O F DYNAMIC S Y S T E M S STARKOV K. Ye.

For l i n e a r s y s t e m s w h i c h do n o t satisfy t h e K a l m a n o b s e r v a b i l i t y condition obser­

v a t i o n functions i n t h e class of p o l y n o m i a l s a r e designed s u c h t h a t m a k e t h e s y s t e m observable. F o r some classes of n o n l i n e a r s y s t e m s n e w sufficient conditions of obser­

v a b i l i t y a r e f o r m u l a t e d w h i c h recognize t h e q u a l i t a t i v e b e h a v i o u r of t h e s y s t e m p h a s e c u r v e s .