матем., 1953, том 17, выпуск 5, 461–472

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. Б. Стечкин, Оценка остатка ряда Тейлора для некото- рых классов аналитических функций, Изв. АН СССР. Сер.

матем., 1953, том 17, выпуск 5, 461–472

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 22:02:01

Серия математическая

17 (1953), 461-472

С. Б . СТЕЧКИН

ОЦЕНКА ОСТАТКА РЯДА ТЕЙЛОРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

(Представлено академиком А. Н. Колмогоровым)

В работе исследуется поведение остатков ряда Тейлора для функций

оо

F

(*) = 2

А:=0

аналитических в круге I z | < 1 и удовлетворяющих в этом круге условию

| F ^ (z)|<! 1 для некоторого натурального г. В частности, устанавли­

вается асимптотическая формула д л я верхней грани п-то остатка ряда Тейлора, распространенной на все z из круга | z | ^ 1 и все функции F (z), для которых | F^ (z) К 1 (| z | < 1).

Введение

Пусть W^ (г = 1, 2, . . .) есть класс непрерывных периодических (с периодом 2тс) функций

оо

/ (х) = •—- + У, (ak cos kx + bk sin Arc),

имеющих непрерывную производную f^ (x) , удовлетворяющую условию l/W(a;)|<l. Положим

n

rn (ж, /) = / (я) тг — 2J (^ak ^{c o s} ^ + bk sin fe), Дп (/) = max | rn (x, /)| и Rn [WW] = sup Rn (/).

Поведение верхних граней i?n[T;F(r)] исследовалось А. Н. Колмогоро­

вым (2), который показал, что для любого натурального г

* ^ - ^ ? * - +

(<гНг) с -

- ' -

- - ) - <»•«>

В настоящей работе рассматривается аналогичная задача для клас­

сов В^) (г = 1, 2, . . .) функций

оо

аналитических в круге |z | < 1 и удовлетворяющих условию

!^

(*)1<1 (М<1),

где . Fr (z) — r-я производная функции F(z). Пусть F(z)^B(x)\ положим

п

Pn(z,F)=2iC

z\ r

(z,F) = F(z)—p

(z,F) (n = 0, 1, 2,. . .),

I 2 I < 1 p £В(Г)

•462 С. Б . СТЕЧКИН

Мы будем также считать, что p_1(z, F) = 0, r_x(z, F) — F (z). Таким образом, rn(z, F) есть я-й остаток ряда Тейлора функции F (z)"в точке z, Rn (F) — максимум этого остатка во всем круге | z \ <^ 1, a Rn[B^r)]— верхняя грань п-то остатка ряда Тейлора, распространенная

на все z из круга | z | <; 1 и все функции F (z) 6 В^г\

§ 1 и 2 настоящей работы имеют вспомогательный характер. В § 1 излагается несколько лемм о суммировании числовых рядов методом (С, 1);

с их помощью в § 2 доказывается асимптотическая формула для прибли­

жений функций классов 5( г ) их суммами Фейера.

§ 3 и 4 посвящены нашей основной теме: изучению поведения остат­

ков rn (z, F) и Rn (F) для функций F (z) 6 J3(r), а также поведения их верх­

них граней Rⁿ[B^] *. В § 3 устанавливается, что для любого натураль­

ного г

^•

-TTW

'-^'""^

{TTW) <">

-

» <°- ² >

равномерно в круге | z | ^ 1 и равномерно относительно всего класса функ­

ций F (z) (:B . Доказательство этой формулы опирается на результаты §2.

Наконец, в § 4 уточняется известная оценка (см., например, (12), § 3.72):

\ (п + 1) J Именно, мы выводим здесь формулу

Rn[B

^

±M^l

f i \ (n>r-l), (0.3)

тс . (п + 1)г V (п + 1)' У

вполне аналогичную формуле А. Н. Колмогорова (0.1). В этом же пара­

графе исследуется поведение последовательностей Rn{F) для индиви­

дуальных функций F (z) G ВР\

Из формул (0.1) и (0.3) вытекает, что при п -> оо справедливо асимпто­

тическое равенство

Rn lw(r)] 4 .

Rn[B{r) тс'

вычисляя же асимптотически отношение констант Лебега Ln [см. (х),

§ 8.3] к константам Ландау Gn [см. (9)], вновь получаем, что

Это совпадение не случайно.

В заключение заметим, что применяемые нами методы могут иметь приложения и при рассмотрении ряда других задач теории приближения функций.

§ 1. Леммы о числовых рядах Рассмотрим числовые ряды

оо

п==0

* Автор с благодарностью отмечает, что задача изучения асимптотического пове­

дения последовательности Rn[B^\ была поставлена перед ним А. Н. Колмогоровым в 1942 г.

2 (» + 1) и„н- (1-2)

Обозначим через sⁿ и £^п частные суммы рядов (1.1) и (1.2), а через сп и тп — средние арифметические частных сумм этих рядов. Таким об­

разом, для /г = 0, 1 , 2 , . . . имеем:

Sn

°п

*п = 2 (А + 1) в

, ^ = 2 (

- irrV (* + *)

*+i-

л=о * = оV + У

Кроме того, нам будет удобно считать, что 5_^х.= £_-,_ = а_^х = т_^х = 0.

Нас будет интересовать вопрос о том, как связана суммируемость (С, 1) ряда (1.2) со сходимостью и суммируемостью ряда (1.1). Как хорошо известно, если ряд (1.2) ограничен (С, 1), т. е. тп = 0 ( 1 ) , то ряд (1.1) суммируется (С, 1) [см., например, (⁶), § 6.5, теорема 71]. В 1941 г.

Д. Алексич (7) [см. также (10), стр. 84] получил следующее важное уточ­

нение этого предложения:

ЛЕММА А Л Е К С И Ч А . Пусть ряд (1.2) ограничен (С, 1). Тогда ряд (1.1) суммируется (С, 1) к некоторому конечному значению s и

Здесь мы установим несколько аналогичных предложений. Предвари­

тельно выведем одну вспомогательную формулу.

ЛЕММА 1. Пусть ряд (1.2) ограничен (С, 1) и tn=o(n). Тогда ряд (1.1) сходится к некоторой конечной сумме s и

2

•" ' п—1 "V 1 9

+ 2 ^ ^ + 31 (* = < >flf2f. . . ) . (1-3) (n + l)(n + 2) ' ^ (Л + 2)(* + 3)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

s — z -4- 'n _ 1 O n -*n i^ /г + 1 ' о т к у д а

N

• < * , = о \

2

TV n °]V n. * /г + 1

Дважды применяя преобразование Абеля, получаем:

Л=п-{-1

i V - 1 iV—1 ,

= У * f r - l , *JV--1 _ у *ТЛ - 1 ~~ <* ~~ *> ТА - 2

к (к + 1) ' N *-* к(к+1) ' N

л^г-з ^

= - ПТп~1 л- У * ! 1ДГ-2 4- АГ~1 (1 4) (п + 1) (/г + 2) ^ / - J (Л + 2) (к + 3) ^ Л' ^ iV * v * ' Но, согласно условиям леммы, тдг = (9(1) и ^Y = o(iV). Поэтому правая

464 С. Б. СТЕЧКИЫ

часть равенства (1.4) имеет предел при N->oo. Отсюда вытекает, что ряд (1.1) сходится. Обозначая его сумму через s, имеем:

GO

S — in = — {п + 1} (п + 2 ) + ^ (* + 2)(F+3)~ (П = ° ' *' 2' ' " "^

и лемма доказана.

Отметим, что условия этой леммы выполняются, в частности, если ряд (1.2) суммируется (С, 1) к некоторому конечному значению t. Действи­

тельно, тогда

In = П ( тп — In-j) + Тп = О (П).

Переходим к доказательству аналогов леммы Алексича.

ЛЕММА 2. Пусть М > 0 ,

| ,П| < Ж ( и = 0 , 1 , 2 , . . ) (1.5) гг г?г = о (/г). Тогда ряд (1.1) сходится к некоторой конечной сумме s и

\*-°«\<М1£Т^+Щ<^ТТ С» = 0 , 1 , 2 , . . . ) . (1.6) Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 1, ряд (1.1) сходится и

5 - ап = ( я+ ! ) " " +2) + Д 7 ^ Г 2 И Г ^ Г (^ = 0, 1, 2, . . .)•

Отсюда, в силу (1.5),

оо

\s-sⁿ\<M ( ^{( п +} !) ^{(п + 2)} + ^ (А + 2) (Л + 3) ) ⁼

», 3/г + 2 ., 3-М , n л о \

= М-^Г-ГЩ^<-^П (я = 0 , 1 , 2 , . . . ) , и лемма доказана.

ЛЕММА 3. Пусть Хп| 0 *, /?яЗ (1.2) суммируется (С, 1) к конечному значению t и

\г-ъп\<К (л = 0, 1, 2,...). (1.7)

Тогда ряд (1.1) сходится к некоторой сумме s и

+ KJ:J*^n-i (» = 0 , 1 , 2 , . . . ) , (1.8)

5 — ап =

л + 1 -г v« ( „+i ) (w +2 ) где Х_1==Х0 и | дп| < 1 (/г==0, 1, 2 , . . . ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 1, ряд (1.1) сходится, и спра­

ведлива формула (1.3), а в силу (1.7)

• Ъ - ' + ч Л < 1 ъ 1 < 1 . * = 0, 1, 2 , . . . ) . (1.9) Пусть сперва п = 0. Полагая в формуле (1.3) тг = 0 и пользуясь

соотношениями (1.9), получаем:

оо оо

2тЛ ^ 2t , V ^ * _

' — -о — Z.' (Л +2НА + 3) ~~ ^ (/с + 2)(/с + 3) ^ / Ч

27)Л<

Лв0(А+2)(А + 3 ) ^ ^ ( Л + 2)(й + 3 ) ^ ^ ( Л + 2 ) ( А + 3)-

= * + 2

й=>0 (Л + 2)(Л + 3)

•Запись лпф0 означает, что 10 > ^ > . . . > \ > *п + 1 > . . • и Хп->0 при и->ос.

Но в силу условия Хп| 0

2

<>ч>2

Л—о, (* + 2)(* + 3) ^{= An}

Отсюда s — с0 = г -}- *V4o> гДе l ^ o l ^1' и соотношение (1.8) для п — О установлено.

Пусть теперь гс>0. Тогда то же рассуждение дает:

s — a* *ч

nt

1)(я+2) ^ / ^ , . _ . ,

^ со

(л + 1) (л +2) ^ £ п (* + 2) (Л + 3)

2) + 2 j (Л + 2)("Л + 3 )+ 7^ (п + 1)(п + 2) (Л + 1)(л + 2) ' / ^ (Л+ 2) (А

пг1пЛ^

(Л + 2)(Л + 3)

/г + 1 (я + 1)(я + 2) ^ / - J 1*+~2) (Л + 3) '

К=П

4- У , -

(я + 1) (л + 2) ' ^ "(/с + 2) (Л + 3)

< К-г

S

<

Зя + 2

И

s — ап= —1—г +Ъп ,„ , " * • • v. ^ - 1 (л = 1, 2 , . . . ) , я + 1 ' " (я + 1) (я + 2)

где |&п|<С1 (/г = 1, 2 , . . .). Этим установлено соотношение (1.8) для п^>0, и лемма 3 доказана.

Из этой леммы вытекает, в частности, что если ряд (1.2) суммируется (С, 1) к конечному значению t, то ряд (1.1) сходится к некоторой сумме s и

Я

- ° - = 1 Г Т Г

( ^ Т ) -

'

Отметим тдкже, что заключение леммы 3 можно представить в следующей, несколько более слабой, но зато более простой форме:

* - ° n = VTi + 3 0- ^ р т ( 1 М < 1 > " = 0 , 1 , 2 , . . . ) . (1.11) ЛЕММА 4. Пусть т^О, > ^ | 0 , /?я9 (1.2) суммируется (С, 1) к значению t и

t—*n= -j^rr + Ч Л (л = m, m + 1, • • 0, (1.12) где | т ]п| ^ 10 Тогда ряд (1.1) сходится к некоторой сумме s и

s-on= - ^ гГ + Збп ^ L (n = m + l,m + 2,...), (1.13) где | 6П| < 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 1, ряд (1.1) сходится и s — оп = —

+ 2

В силу же (1.12),

(я + 1) (я + 2) ' ZJ (Л + 2)(Л + 3) к—п

x

n = t--^-

— r

l

(n = m,m + l,...).

466 С. Б. СТЕЧКИН

П у с т ь п ; > т + 1. П о д с т а в л я я это з н а ч е н и е тп в п р е д ы д у щ у ю ф о р м у л у , п о л у ч а е м :

п (/г + 1) (/г + 2) Т (/г + 1) (п + 2) ^ (л + 1) (п + 2) ^

+ 2

(к + 2) (/с + 3) ZJ (/С + 1) (Л + 2) (/с +3) ZJ (Л + 2) (Л + 3)

&=»п к—п к=п

/г + 1 ' (/г + 1) (п + 2) ZJ (Л + 2) (Л + 3)

2

Д а л е е , и з у с л о в и я Хп| 0 в ы в о д и м , что (/г + 1) (п + 2) ZJ {к + 2) (* + 3)

к = п

<г 3^ + 2 3 хп - 1

^ (и + 1) (и + 2) n-x ^ n + 1 "

Отсюда

5 - ^an = 7TFT + ^{3 G}- - ^ Т Т (« = ^ + 1, ^ + 2 , . . . ) , где | 6П| < ^ 1 , и лемма 4 доказана.

Следует подчеркнуть тот факт, что в оценку (1.13) значение и не входит.

§ 2. О приближении функций класса В^ суммами Фейера

оо

П у с т ь F (z) = 2 ckZk ( | z | < [ 1). П о л о ж и м д л я w = 0 , 1 , 2 , . . . n

aⁿ (z, F) = 2 ( l - ^ ^ j ) c^ftz*, p„ (z, F) = J? (z) - a„ (z, F ) . Таким образом, a (z, F) есть гг-я сумма Фейера для функции F (z)v

а р (z, F ) — уклонение функции JF(Z) от ее суммы Фейера cⁿ(z, F) в точке z.

В этом параграфе исследуется поведение pⁿ (z, .F) для функций F (z), принадлежащих классу £( г\

Д. Алексич (7) показал, что если F (z) 6 В', то

max |P n( z , f ) | < - ^ (л = 0, 1, 2 , . . . ) , (2.1)

1 2 1 < 1 л , 1

где ^4Х — абсолютная положительная константа. Этот результат Алексича был затем передоказан А. Зигмундом [см. (¹³), лемма]. Здесь будет установлено следующее более общее предложение:

ТЕОРЕМА 1. Пусть г — натуральное число и F(z) 6 Z?^(r). Тогда для г = 1

i P n ^ ^ K T T T (« = 0 , 1 , 2 , . . . ) , (2-2) а для г ;> 2

Р « ^ ^ = ^ Т - + ° ( о Г П Г г ) ( Я - Г - 2 . Г - 1 , . . . ) (2.3)

равномерно относительно z в круге | z | <С 1 1г равномерно относительно всего класса В^ГК

Отметим, что неравенство (2.2) несколько сильнее неравенства Алексича (2.1), так как метод Алексича дает Л1^>3.

Д о к а з а т е л ь с т в о . С л у ч а й г = 1. Как хорошо известно, если F(z)£B' (т. е. F(z)eB), то

|an(z, Л | < 1 (я = 0 , 1 , 2 , . . . , | z | < l ) . Кроме того, при тех же условиях

pn(z,F')=0(ln(n + 2)) ( л > 0 , | z | < l , FZB') *.

Воспользуемся леммой 2, положив в ней

GO DO

^un = ^cnzn=F(z). (2.4),

Тогда

sn = Pn (^, J P ) , an = an (z, F), tn = z/?n (z, i*7'), тп = z an (z, F ) , 5 = F (Z), *n - О (In (Л + 2)) = О (Л) , | ТЯ | < 1,

и мы получаем, что

JP n( z , F ) | = | F ( z ) - an( z , F)\< -^j ( л > 0 , | z | < l , ^ 6 Я')- Тем самым утверждение (2.2) установлено.

С л у ч а й г = 2. Если i7 (z) € .В", то .F' {z)dBr. Поэтому, применяя к функции /?' (z) неравенство (2.2), получаем:

P n ( ^ F ) = ^ ( - ^ r ) ( л > 0 , | z | < 1 , * " € Я ' ) - (2.5) я + 1

Далее, определим, как и выше, Е ггп согласно (2.4) и воспользуемся леммой 3. Имеем: t = z F'(z) и, в силу (2.5),

* - тп = з { F (z) - оп (z, *")} = 2 Рп (z, /г") = О (~±-Л (л = 0, 1, 2 . . .)•

. П+ 1

Отсюда

( и > 0 , | г [ < 1 , FC-B").

С л у ч а й г > 2 . Допустим, что утверждение теоремы доказано для некоторого г >-2 и установим его справедливость для г 4- 1. Если F (z) 6 Б№ ), то 7?' (z) £B(r). Применяя к функции F' (z) соотношение (2.3), получаем, что

Р» (*. П =£№+0 (-_*—) (п > г - 2, | z | < 1, F € 5(г)). (2.6>

Воспользуемся леммой 4, снова определив £ ип согласно (2.4). Так как, в силу (2.6),

t — xn = z {F (z) - an (z, /г")} = z pn (z, Л _

* Эта запись означает, что соотношение /?п (2, F') = О (In (л + 2)) выполняется равномерно относительно тг > 0, равномерно относительно z в круге | z | < 1 и равно­

мерно относительно всех функций F(z) класса В'. Аналогичная запись применяется, и в дальнейшем.

468 С. Б. СТЕЧКИН

то получаем, что

s-cn = Pn(z, F) = z ^ l + 0 (( в + 1 i ) f + 1) ( п > г - 1 , | з | < 1 , F6B(r+1)), т. е. утверждение (2.3) для г + 1. Так как это утверждение установлено выше для г = 2, то оно справедливо для любого г ^>2, и теорема пол­

ностью доказана.

§ 3. О приближении функций класса JB(r) суммами Тейлора Переходим к основной теме настоящей работы — рассмотрению вопро­

са о приближении функций класса J5(r) суммами Тейлора. Начнем с до­

казательства теоремы о приближении.функций класса 5( г ) суммами Тей­

лора в фиксированной точке z единичного круга.

ТЕОРЕМА 2. Пусть г — натуральное число и F(z)^B('r\ Тогда rn(z,F) = -—^pn_r(z,F(r)) + 0(-L-r-) ( » > r - l ) (3.1) равномерно е круге \z\<^l и равномерно относительно всего класса В .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем:

а

(z, F) = 2 (

- ТГТТ) <**' = S

* ^ - ^ Г 2 *«* *-* =

k-=d &=о k=i

= рп (z, F) - -^-j Pn^ (z, F) (n = 0, 1, 2, . . .), откуда

rn(z,F) = --^Tpn^1(z,F') + 9n(z,F) (71 = 0,1,2,...). (3.2) Пусть F(z)(iB'. Согласно утверждению (2.2) теоремы 1,

pn(Z)jP) = ( ? ( ^: T) (л > 0, | z | < l , FdB').

Отсюда и из (3.2) выводим, что

rⁿ(^{Z ) J}P) = - ^^T/ >ⁿ_¹( z ,^JF " ) + c ( ^ ^T ) ( n > 0 , | 2 j < l , F 6 5 ' ) . (3.3) Это доказывает утверждение (3.1) для г = 1.

Пусть теперь F(z)(:B('r\ где г ^>2. Тогда имеем:

Pn-x (*, Л = ^ ' (*) ~ /•„_! (z, F') (п = 0, 1, 2,. . .) и, согласно утверждению (2.3) теоремы 1,

Подставляя эти соотношения в формулу (3.2), получаем:

'» <*• *) = - 7Г^Т ^ W - ' - <* ^ » + ?ТТ + ° ( ~ 7 f ) -

- - ? - rn- i (z, F) + О (—*—) (п > г - 2, | z | < 1, F 6 5(г)).

/г + 1 \(л + 1)Г/

Далее, если г^З, то применим эту формулу, с заменой п на я — 1?

к функции JF' (Z) € В( г _ 1 ). Получаем:

rn-! (z, F) = -1 /•„_! (z, F") + О (J^ (» - 1 > г - 3, | z | < 1, F 6 S( r-x )) .

Отсюда и из (3.4) следует, что

п (п + 1) " -^ ' ' \пт } \(п+1)

= ^тй'- ^

") + °(

7w)

~

' '

Вообще, если /ге^>,0 и r^>m-\-l, то повторное применение этого при­

ема показывает, что

Гп ( Z' ^{F) =} ( i . - w + 2 ) ( i . - « + 3 ) . . . ( n + l) ^Г" -^{т ( Z}' ^ ^ ⁺ ° ( ( 7 T I 7 ( л > г - 2 , | z | < l , F£B(r)).

В частности, полагая в этой формуле m = r — 1, получаем, что для г > 2

(3.4) ( n > r — 2 , | z | < l , i ? 6 5( r )) .

Наконец, если F(z)(:B^(r), то _Р^(г-1) (z) € В'. Поэтому, в силу (3.3), для любого г ;> 1

.ⁿ_^{r + 1} (z, * < - » ) = - -JL— ^Pn_^r (^z, F") + О ( ⁿ _ i ^

= - ^ + - ² ^ (*. ^^{( г )}) + ^ ( - ^ т ) (п>г- 1, | z | < 1 , F 6 S^{( r )}) . Подставляя эту оценку в формулу (3.4), получаем, что для г ^>2

\(п+1)г

^ *•>=- (п-,

^...

1) » ~ <*•

) + °(dw)

( л > г - 1 , | z | < l , F<cBKr)(rh ), (3.5) а согласно (3.3), это соотношение справедливо также для г = 1.

Для завершения доказательства теоремы остается заметить, что если функция ср (z) регулярна в круге j z | < l и | ср (z) | < ; 1 ( j z | < < l ) , то

pn( z , ср) = О (In (я + 2)) ( / г > - 1 , М < 1 , ? € Д ) . Отсюда для любого г ^> 1

( n_ r + 2 ) . . . ( « + l ) ' ' " - ' ^ ' - ' (i.+ l ) ' -r" -, v ' ' ' V^+l)1

^ _

(

>

> )

0 ( _ J - J ) ( « > r - l , | z | < l , /?€Я

)

{n+l)^r \(n+l)^r

и

1 \ (лг>- r — 1, 12:1 >< 1, ^ € . B^{( r )}) .

Теорема доказана.

6 Известия АН СССР, серия математическая, № 5

470 С. Б. СТЕЧКИН

Эта теорема показывает, что для функций F (z) d 5( r ) имеется тесная связь между поведением остатков ряда Тейлора rⁿ (z, F) и поведением сумм Тейлора pⁿ-r (z, F^). В частности, она позволяет редуцировать задачу исследования остатков ряда Тейлора rn(z, F) для функций F(z)<cB{r) к более простой задаче исследования сумм Тейлора pn(z, ?) для функций ®(z), аналитических в круге | z | < ^ l и удовлетворяющих условию | ср (z) | < ; 1 ( | z j < ^ l ) ; в дальнейшем этот класс функций будет обозначаться через В.

Отметим несколько следствий.

С л е д с т в и е 1. Пусть г — натуральное число, F(z)6В^г\ Rn (F) = max | rn (z, F) |, Рп (F{r)) = max | рп (z, F{T)) |.

I 2 | < 1 ' | 2 !<1

Тогда

' Rn^=rTW-Pn-^F^+°(rT^) (n>r-l,F^r)). (3.6)

(тг + I )7 \ ( л + 1)? У В частности, для того чтобы

необходимо и достаточно, чтобы

Рп(Р™) = 0(1) ( п > - 1 ) .

С л е д с т в и е 2. Пусть г — натуральное число и F (z) 6 В . Тогда для почти всех z на окружности ]z| = 1

rⁿ( z , F ) = o ( ? ^ - ) (#*->«>)• (3.7) Действительно, из [теоремы Колмогорова —Селиверстова [см. (3), а

также (¹), § 10.32] вытекает, что если cp(z)6S, то для почти всех z на окружности | z | — 1

pn(z, ср) г= о (]/ln rc) (и—>ос). (3.8) Впрочем, оценку (3.7) нетрудно вывести из (3.8) и непосредственно, не

обращаясь к теореме 2.

§ 4. Асимптотическая формула для JB„[JB(r)].

В этом параграфе исследуется поведение верхних граней Rn[B^\, a также последовательностей Rn(F) для индивидуальных функций F (z) € J5( r ). Напомним предварительно несколько известных предложений о поведении сумм Тейлора для функций ср (z) € В.

ТЕОРЕМА ЛАНДАУ [см. (9), § 2].

sup max \pⁿ(z, ср) | = Gⁿ (/г = 0, 1, 2, . . .),

Ф £ £ 1г|<1 где

с ^{0 =} 1, ^Ся = 1 + 2 ( ^L r r i ^ ⁱ ) ' о»= i. ² > • • •)••

В частности,

G* = lln(/z + l) + 0(l) (п>0).

ТЕОРЕМА БОРА [см. (8)]. Существует функция ?i(z) 6 В, для которой

— 1/>п(*»Ф1)1 , l i m = 1 . n—>oo п

ТЕОРЕМА БОРА—НЕДЕРА, Пусть Ф (z) € Я. Тогда lim {Gⁿ — max | pⁿ (z, ср) |} = оо

П->СО ] 2 | < 1

гг <Улш любой последовательности [1^п], удовлетворяющей условию 1^п -> оо (w->oo), найдется функция ср2 (z) 6 i? такая, что

l i M¹» ?²) | >^Gn ~ ^г для бесконечного числа значений п.

Первая половина этого предложения установлена Г. Бором (⁸), а вто­

р а я — Л. Недером (п) .

Теперь мы в состоянии получить асимптотическую формулу для Лп[В(г)).

ТЕОРЕМА 3. Пусть г — натуральное число. Тогда Rn [B{r)] = sup max \ rn (z, F) | =

а ^ И ^ о Ш (i»>r-1).

Формулировка этой теоремы приводилась автором ранее в работе (⁵) (теорема 7).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно следствию 1 из теоремы 2, для лю­

бого г ^> 1

(п + 1; • \ (и + 1) У Отсюда

i?ⁿ[B^{( r )}] = sup Rⁿ(F) = * - _ sup / >ⁿ_^r( F^{( r )}) + 0

F 6 Б(

) (

+ ¹ ) ^{/ F} € £ ^(r) \ (л + 1)'

1 - s u p / >n_r(?) + # ( — 1 — ) ( / г > г - 1 ) .

\r

Пользуясь теоремой Ландау, получаем окончательно:

Rn [B(r)} = _1__^ Gn_r + о (—<—Л = -L lnU + 2 - r ) ^ / _ 1 _

1 lllv7l + 1) , / ! ( i \ / \ /14

7 + ° 7 7 7 7 ( л > г — 1 ) ,

* (и + 1)г \(л + 1)г

и теорема доказана.

Наконец, рассмотрим поведение остатков ряда Тейлора для индиви­

дуальных функций F (z) £ В^^г\

ТЕОРЕМА 4 . Пусть г — натуральное число. Существует функция F1(z)^B• , для которой

ВШ-L

п-»со 1 1п(* + 1)

тс (п + I)7'

Это устанавливается точно так же, как и предыдущее предложение, только вместо теоремы Ландау нужно воспользоваться теоремой Бора-

472 С. Б . СТЕЧКИН

Таким образом, существуют функции F (z) 6 В , для которых lim V";——гт1>0

п->оо ln(tt + l ) "

(/г + 1)г

в некоторых точках окружности | z | = l . Однако, согласно] следствию 2 из теоремы 2, мера множества] таких точек равна 0. Это заключение любопытно сопоставить с одним замечанием Н. Н. Лузина [см. (4), стр.

375-376, проблема 28].

Применяя теорему Бора—Недера, получаем вместо теоремы 4 следую­

щее более точное предложение:

ТЕОРЕМА 5. Пусть г — натуральное число и F(z)^B⁽-^r). Тогда lim {Gⁿ - n^rRⁿ (F)} = oo

n->oo

и для любой последовательности {1п}, 1п—>®о (п—>оо), найдется функция F2 (z) 6 Z?(r) такая, что

лг| гп( 1 , F2) | > Gn —Zn

для бесконечного числа значений п.

Математический институт Поступило им. В. А. Стеклова 16. XII. 1952

Академии наук СССР

ЛИТЕРАТУРА

1 З и г м у н д А., Тригонометрические ряды, М.— Л., 1939.

2 К о л м о г о р о в A., Zur Grossenordnung des Restgliedes Fourierscher Reihen dif- ferenzierbarer Funktionen, Annals of Math*., 36 (1935), 521—526.

3 К о л м о г о р о в А. и С е л и в е р с т о в Г., Sur la convergence des series de Fou­

rier, Atti Accad. naz. Lincei, 3 (1926), 307—310.

4 Л у з и н Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.— Л., 1951.

5 С т е ч к и н С Б . , О приближении непрерывных функций суммами Фурье, Успехи матем. наук, 7, вып. 4 (50) (1952), 139—141.

6 Х а р д и Г., Расходящиеся ряды, М., 1951.

7A l e x i t s G., A Fourier-sor Cesaro-kozepeivel valo approximacionagysagrendjerol, Matem. es Fiz. Lapok, 48 (1941), 410—422.

8 B o h r H., Uber die Koeffizientensumme einer beschrankten Potenzreihe (Zweite Mitt.), Nachr. v. d. K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, math, phys. Klasse (1917), 119—128.

9 L a n d a u E., Darstellung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funk- tionentheorie, Berlin, 1916.

10 N a g y В., Approximation der Funktionen durch die arithmetischen Mittel ihrer Fourierschen Reihen, Acta Sc. Mathematicarum, 11 (1946), 71—84.

11 N e d e r L., Uber die Koeffizientensumme einer beschrankten Potenzreihe, Math.

Zeitschr., 11 (1921), 115—123.

12 S e w e 11 W. E., Degree of approximation by polynomials in the complex domain, Annals of math, studies, N 9, Princeton, 1942;

13 Z y g m u n d A., On the degree of approximation of functions by Fejer means, Bull.

Amer. Math. S o c , 51 (1945), 274—278.