Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. Ф. Сухинин, О топологических ко- нусах, операторных уравнениях и методе Ньютона–Канторовича, Матем. заметки , 1983, том 33, выпуск 1, 65–70
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 11:02:28
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
т. 33, № 1 (1983)
О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОНУСАХ, ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ И МЕТОДЕ НЬЮТОНА —КАНТОРОВИЧА
М.Ф.Сухинин
Всюду в дальнейшем X — линейное пространство;
К а. X — выпуклый заостренный (т. е. содержащий вер
шину) конус с вершиной в нуле; R — действительная пря
мая; N — натуральное число; со W — замкнутая выпук
лая оболочка W; если W С X выпукло, О G W H O ; F X , то положим
| М{Х > 0 | х ЕЕ XW} при х е U;- .о W,
Р^М=\оо при * £ U x > o ^ -
Назовем К топологическим конусом (ТК), если в К задана топология, удовлетворяющая следующим усло
виям: 1) отображение (х, у) >-*• х 4- у из К X К в К не
прерывно в точке (О, 0); ?) для к аж до го а ЕЕ К отображе
ние х*-+х-\-ажзКвК непрерывно и открыто на К;
3) отображение (X, х) «-* Хх из [0, оо) х К в К непрерывно в точке (0, 0); 4) для каждого ^ ЕЕ [0, оо) отображение х н* Хх из К в К непрерывно в точке 0; 5) для каждого х ЕЕ К отображение X ь* tac из [0, оо) в J£ непрерывно в точке 0.
Если и — базис окрестностей нуля в ТК К я х^К,то из 2) следует, что {х + С/ | Е/е= и} — базис окрестностей точки #, а из 5) вытекает, что VE/CI u Ух ЕЕ К 36 ]> 0:
[0, 6] xClU. _ _ Для I f C X положим W = Пб>1 ^ ' 61 ^ и назовем W
сегментной оболочкой W. Множество W CZ X назовем сег
ментным, если W =•= W.
3 Матем. заметки, т. 33, № 1 g Издательство «Наука». 65 Главная редакция
физико-математической литературы.
П р е д л о ж е н и е 1. В ТК К существует базис ок
рестностей нуля, состоящий из сегментных множеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть U — окрестность нуля в К. Из 3) следует, что существуют такие б ]> 0 и V — окрестность нуля в К, для которых [0, 26] V CZ U.
Положим U" = П8 > б Ю» 81 U'. Очевидно, что 6U' d U" =
= С/" С U, а так как согласно 4) 6С/' — окрестность ну
ля в К, то С/" — окрестность нуля в К.
ТК К назовем локально выпуклым, если в К суще
ствует базис окрестностей нуля, состоящий из выпуклых множеств. ТК К назовем нормируемым, если существует такая неотрицательная сублинейная (т. е. выпуклая и по
ложительно однородная) функция р: К-+ R, называемая нормой, что система множеств и = {р~г [0, 6] | б ]> 0}
образует базис окрестностей нуля в К, причем равенство р (х) — 0 влечет х = 0. Нормируемый конус может не быть хаусдорфовым. Например,
К = {х = (хг, х2) ЕЕ
E R2 | * i - > 0 } U {(0,0)}, р(х) =хг. Пусть К — ТК. Последовательность хп Ez К назовем контрсходящейся к точке х Ez X, если х — хпЕЕ К при до
статочно больших п и последовательность х — хп сходит
ся к нулю. В этом случае назовем х контрпределом после
довательности хп.
П р е д л о ж е н и е 2. В хаусдорфовом ТК последова
тельность может контр сходиться только к одному контр
пределу.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если х', х" ЕЕ К — контр
пределы последовательности хп и х Ф х", то для некото
рой окрестности нуля U CZ К будет
(х' + U) П (хк -;- U)=0<F±[Z' — (х' + х") + U) П
П U" - {х' + х") +U] = 0 44 (х" - U) П {х - СО = 0 . тогда как хпЕЕ хг — U и #n ЕЕ Ж" — С/ для достаточно больших п.
Последовательность хп в ТК К назовем монотонно фун
даментальной, если для каждой окрестности нуля U d К выполняется условие V e > 0 37V: (m^> n^> N) =^>
•=$• хт — хп^ &U. Множество PF в ТК i£ называется мо
нотонно секвенциально полным, если каждая монотонно
66
фундаментальная [последовательность хп ЕЕ W контрсхо- дится к некоторой точке х £= W.
П р е д л о ж е н и е 3. Пусть К — монотонно сек
венциально полный ТК. Тогда каждая выпуклая сегмент
ная окрестность нуля U в К является монотонно секвен- ционально полным множеством.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть хп ЕЕ U — монотон
но фундаментальная последовательность, контрсходящая- ся к х е К. Тогда Ve > О 3N Vft > N: x — хп е zU, т . е . х i Xyi ~у~ ги d U + EU = (1 + е) U. Ввиду про
извольности г будет х ЕЕ U = U.
ТЕОРЕМА 1 (ср. с [1]). Пусть К — монотонно сек- венционально полный хаусдорфов локально выпуклый ТК в X, и — базис выпуклых сегментных окрестностей нуля в К, W а X, а отображение /: W —.> X удовлетворяет следующему условию:
\fU e ulqu <= (0, l):Pulh-f(x + h)+f (x)] < quPu (h) для всех х ЕЕ W я h ЕЕ К f) (W — х). Тогда для каждых х ЕЕ W и U ЕЕ и, таких, что х -\- U a W, и для каждого б <= (0, 1] будет f (х + 6U) - / (х) Z) (1 — Qu) &U. Если f (xi) = f (#2) для некоторых х±, х2 ЕЕ W, то х1 — х2 ЕЕ
е {0} U ( A ^ U (-*)]>•
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х ЕЕ W, U0 ЕЕ i*, ж + U0 a W, 8 G ( 0 , 1] и к е (1 — ?170) бС7о- Положим i? (#', h) = f (х '+ h) — / (xf) — h и заметим, что
Д (ж, Л') — Д (a?, h") = / (ж + h') — f (x + Л") - (Л' -
— А") = Д (ж + Л", Л' - Л"). (1) Покажем, что уравнение h = ср (К) = — i? (x, к + /г) имеет решение h Ez QufiU0. Для доказательства исполь
зуем метод последовательных приближений. Положим й0 = 0, hn+1 = ф (йп). Пусть An e gc/0 бС/0. Тогда к + hn(=
S бС/0 и /гп+1 = — 7? (я, & + fen) e qufiU0. Далее, пусть U ЕЕ и. Предположим, что
PU (К) < fc (I — ?t7)"XjPr7 (к).
Тогда
Ри № + йп) < [1 + qu (I ~ gr;)"1] Pt/ (fc) = (1 - quf'Pu (к)
3- 67
и, следовательно,
Ри (hn+1) = pu [-R (х, к + hn)] < qu (1 — qu^pu (к) для всех п. Далее, при т^> п с помощью (1) получаем, что
Ри (hm — К) = Pu[—R(x + k + hn-u hm-i — Лп-i)] <
< qvPu (Лш-i — Ая-i) < • • • < ??//>£/ (Ати-п — Ло) <
< ? ^1( 1 - в с ; Г1^ ( А ) . (2) В силу монотонной секвенциальной полноты U0 и U последовательность hm контрсходится к единственному контрпределу h £= qufiU0, причем в силу (2) h — hn е=
е д!/1 (1 — Ы "1] ^ (А) С/, а тогда ^ [q> (h) — ф (й*)] =
= Ри [-R (х + к + hn, Л - ЛЛ)] < q™ (1 - g c 7) - i ^ (Л), т. е. hn+1 = ф (йп) контрсходится к ф (А) и, значит, ф (h) =
= h. В этом случае h -{- R (х, к -f А) = 0, т. е. / (# + + к + Л) — / (х) = к + А + R (я, к + К) = к, причем
к + h<=6U
0.
Пусть х' ЕЕ WV i ' G X П (W7 - а?') и / (ж' + Л') =
= / (xf). Тогда для каждой U ЕЕ и будет ри (hf) - ри [hf~\~
+ f (xf) - / ( * ' + h')] < quPu (hf), т. e. pc (h') (1 - ffc7)<
^ О и , следовательно, /?а (A') = 0, откуда h' = 0.
ТЕОРЕМА 2 (ср. с [2]). Пусть X — отделимое локаль
но выпуклое пространство, К — нормируемый хаусдор- фовмонотонно секвенциально полный конус в X с нормой \\ ||, причем R = {х ЕЕ К | || х || <; 1} замкнуто в X и К —
— К = X. Далее, пусть х0 ЕЕ X, числа а, у, б, е положи
тельны, причем а < е, а^б < 1, а отображение /: #0 + + гВ —•» X имеет производные (возможно, не являющиеся аддитивными) по направлениям из К на множестве S =
= х0 + а # и удовлетворяет следующим условиям:
1) ( x e < S , h ^ К П (5 — я)) =ф функция <р: [0, 1]—>
—> X, ф (£) = / (я + th), непрерывна на [0, 1] и дифферен
цируема на (0, 1);
2) ( x E S ) 4 [/' (х) - /' (*„)] (5) с - Т«5;
3) / ' (#о) — линейный оператор, причем [/' (#0)] х с#*
ществует и [/' (^0)]- 1^ CI б/?;
4) [/' Ы Г1 / (*о) €= - (1 - аТб) а/?.
Тогда уравнение f (х) = 0 имеет решение х* ЕЕ 5 , я#- ляющееся контрпределом в К последовательных прибли
жений хп+1 = хп — [/' (яо)Г1/ 0 0 - £ ^ w / (#г) = / (#2)
68
для некоторых хх, х2 ЕЕ S, то либо х± ~ х2, либо Х\ —
- £ & к и (-к).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Можно считать, что х0 = 0.
Положим А = / ' (0) и рассмотрим отображение F: аВ—>Х, определяемое формулой F (х) = A'1 f (х). Пусть х Ez OLB, ftG^ П (a^ ~~ x)- Тогда по теореме о среднем [3, стр. 54]
h ~~ [F (х + h) - F (х)\ = А~1 {/' (0) h - - [f(x + h)-f(x)]}£E
е Л ^ с о {[/' (0) - /' (х + th)\ i | i E [ 0 , 1]}(Z С ^_ 1у а | | А | | Д с а 7 б | | Л | | Д - . Из теоремы 1 следует, что F (аВ) — F (0) Z) (1 — ауЬ)аВ.
Тогда существует такая точка х* ЕЕ ос5, являющаяся контрпределом указанных в условии последовательных приближений (см. доказательство теоремы 1), что F (#*) —
— F (0) = — Л"1/ (0), т. е. F (х*) = 0 и, следовательно, / (ж*) - 0. Если х ^ аВ, h^ К () (аВ — х) и / (х) =
= / (х + А), то Л - Л "1 {/' (0) h - [f (х + h) - f (x))} 6E ЕЕ ay8 || A || В и, значит, || / г | | < ay6 || /г ||, т. е. h = 0.
П р и м е р . Пусть
K = {(t, s ) e R2U > o , s > o > u { ( 0 , 0)},
Я - {(*, s ) E i | tf> < ^ < ^ } ,
где p^> 1. Тогда К — нормированный хаусдорфов моно
тонно секвенциально полный конус в R2 с единичным шаром В. Рассмотрим систему уравнений
\s-&* = w, ( 3 )
где I > 0. Пусть 0 < а < {ЪрУ1-&~1, у = a^-2gp. Тогда при (г;, w) ЕЕ (1 — ау)аВ система (3) имеет решение (£, 5) ЕЕ 5 ос5. Для доказательства достаточно положить / (х) ==
== / [(*, 5)] = (* — £ ^ — г;, s - It* -w), е = (tp)№-\
6 = 1, х0 = (0, 0) и применить теорему 2.
Московский текстильный Поступило
институт 20.1.1978 Переработанный вариант
5.П.1982 69
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] Д е л я н у А., М а р и н е с к у Г., Теорема о неподвижной точке и неявных функциях в локально выпуклых пространствах, Revue Math. Pure Appl, 8, № 1 (1963), 91—99.
[2] К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, М., «Наука», 1977.
[3] Ф р ё л и х е р А., Б у х е р В., Дифференциальное исчисле
ние в векторных пространствах без нормы, М., «Мир», 1970.
