Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. В. Тищенко, О нильпотентности в смысле А. И. Мальцева сплетения полугрупп, УМН , 1988, том 43, выпуск 5(263), 221–222
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
3 ноября 2022 г., 22:25:55
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ 2 2 1
О НИЛЬПОТЕНТНОСТИ В СМЫСЛЕ А. И. МАЛЬЦЕВА СПЛЕТЕНИЯ ПОЛУГРУПП
А. В. Т и щ е н к о
Баумслаг [1] нашел] критерий нильпотентности стандартного сплетения групп, а именно:
Т е о р е м а Б а у м с л а г а. Стандартное сплетение двух неодноэлементных групп нилъпотентно тогда и только тогда, когда активная группа сплетения — конечная р-группа, а пассивная группа сплетения является нилъпотентной р-группой ограниченной экспоненты.
В заметке предлагается один из вариантов обобщения этой теоремы на полугруппы.
Сплетение полугрупп было определено Б. X. Нейманом [2]. Обзор работ по сплетениям полугрупп, опубликованных за 1975—1981 гг., имеется в [3]. Стандартным сплетением Т = S wr R полугрупп S и R называется декартово произведение F(R, S) X R, где F(R, S) — множество всех функций из R в S, а умножение задается формулой (/, r)(g, q) =
= (frg, rcl)> B которой (frg) (a) = f(a)g(ar) для всех а £ R. При этом R называется актив
ной, a S — пассивной полугруппой сплетения.
С другой стороны, в 1953 г. А. И. Мальцев определил полугруппы, обобщающие по
нятие нильпотентных групп [4]. А именно, пусть UQ == г, V0 == у, Uh = ^ f e - i ^ ^ - i , Vk = Vh-izkUh-i № ^ *)• Полугруппа называется к-ступенно нилъпотентной в смысле А. И. Мальцева, если в ней справедливо тождество Uk = Vk. Многообразие всех к-сту- пенно нильпотентных в смысле Мальцева полугрупп обозначим через ffik, а класс всех групп через 6 . Тогда 9J? ft П ^ — это в точности групповое многообразие /с-ступенно нильпотентных групп [4]. Как было замечено позднее, такое обобщение нильпотентности групп на полугруппы возможно не единственным образом (см. [5] или [6], с. 32). Важные необходимые условия нильпотентности в смысле Мальцева сплетения полугрупп дает следующая
Т е о р е м а 1. Если S нилъпотентна (в обычном смысле), a R нилъпотентна в смыс
ле Мальцева, то стандартное сплетение Т = S wr R полугрупп нилъпотентно в смысле Мальцева. Если стандартное сплетение Т нилъпотентно в смысле Мальцева, a S не нилъ
потентна, то полугруппы R и S удовлетворяют некоторому тождеству периодичности
хт — хт+п.
Класс 3J? = U Sffik всех нильпотентных в смысле Мальцева полугрупп не являет- ся многообразием, но зато является обобщенным многообразием. Обобщенным много
образием полугрупп называется класс, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов, подполугрупп, конечных прямых произведений и декартовых степеней любой мощности. Обобщенные многообразия — это также в точности классы полугрупп, кото
рые можно представить в виде объединения возрастающей цепи многообразий [7].
Для нахождения достаточных условий нильпотентности в смысле Мальцева сплете
ния полугрупп важно иметь развитую структурную теорию. Вместе с тем, обобщенное многообразие 3D? является слишком широким классом, который содержит: 1) коммута
тивные полугруппы, 2) нильпотентные группы, 3) нильпотентные в обычном смысле полу
группы, 4) вполне 0-простые полугруппы Брандта над нильпотентными группами. Теоре
ма 1 показывает, что в задаче характеризации сплетений полугрупп, нильпотентных в смысле Мальцева, достаточно ограничиться периодическими многообразиями. Среди периодических многообразий полугрупп со структурной точки зрения наиболее изучены многообразия, не содержащие полугрупп Брандта [8]. Среди них, в частности, выделен важный подкласс многообразий, охарактеризованный в следующей теореме:
Т е о р е м а С [8]. Для периодического многообразия Ж полугрупп следующие усло
вия эквивалентны:
1) X состоит из полурешеток идеальных нильпотентных расширений вполне про
стых полугрупп]
2) каждая нилъполугруппа из 36 нилъпотентна;
3) 36 <= ttm, п для некоторых целых т, п^ 1, где 1Хт, п = var {хг . . . хгауг . . . . . .ymzx . . . zm = хг . . . хт(уг . . . ут)1+п zt . . . zm}\
2 2 2 В МОСКОВСКОМ М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М О Б Щ Е С Т В Е
4) каждая полугруппа S из Ж обладает свойствами: а) объединение Gr S всех под
групп в S образует подполугруппу, б) факторполу группа S/SES, где Е — множество- всех идемпотентов в S, нилъпотентна; в) для любого тождества и = и, истинного в Gr Sr
тождество хиу = xvy истинно в SES.
Обозначим через И обобщенное многообразие U Um, n, а через Um, n, k — МНОГО- образие Um, n П 3J?fe.
Т е о р е м а 2. Стандартное сплетение Т = Swr R неодноэлементных полугрупп S, R из U нилъпотентно в смысле Мальцева тогда и только тогда, когда справедливо одно- из следующих условий:
1) S нилъпотентна, a R £ U;
2) R — конечная нилъпотентная группа нечетного порядка, a S £ U и S — полу
решетка нилъпотентных полугрупп ограниченной степени нильпотентности', 3) R — конечная р-группа для нечетного простого числа р, a S £ Um, n, ^ для неко
торых к, т и п = р*;
4) R — конечная 2-группа, a S — идеальное нилъпотентное расширение нилъпо- тентной 2-группы ограниченной экспоненты.
Т е о р е м а 3. Стандартное сплетение Т = £wr R принадлежит обобщенному многообразию U П Ж тогда и только тогда, когда справедливо одно из следующих условий:
1) S — нилъпотентная полугруппа, R (; IX П 3^5
2) R — конечная р-группа для простого р, a S — идеальное расширение нилъпотент- ной р-группы ограниченной экспоненты при помощи нилъпотентной полугруппы.
Отметим, что теорема Баумслага содержится и в теореме 2, и в теореме 3. С другой стороны, она существенно используется в доказательстве. В заключение автор благодарит А. В. Михалёва за полезные обсуждения и постоянный интерес к работе.
СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы
[1] B a u m s l a g G. Wreath products and p-groups/УРгос. Cambridge Phil. Soc.—1959.—
V. 5 5 . - P. 2 2 4 - 2 3 1 .
[2] N e u m a n n B. H. Embedding theorems for semigroups//J. London Math. Soc—
I960.— V. 35.— P. 184—192.
[3] К i 1 p M., K n a u e r U., M i с h a 1 e v A. V., S k o r n j a k o v L. A. Acts over monoids. A bibliographical survey of publications 1975—1981.— Oldenburg: Biblio- theks — und Informationssystem der Universitat, 1982.
[4] M а л ь ц е в А. И. Нильпотентные полугруппы. В кн.: Избранные труды.— М.:
Наука, 1976.— С. 335—339.
[5] N e u m a n n В. Н., T a y l o r Т. Subsemigroups of nilpotent groups//Proc. Roy»
Soc. A.—1963.— V. 274, № 1.— P. 1—4.
[6] Ш е в р и н Л. Н., В о л к о в М . В . Тождества полугрупп,/Изв. вузов, мат.—1985.—
№ 11.— С. 3—47.
[7] A s h С. J. Pseudovarieties, generalized varieties and similarly described classesy/J.
Algebra.—1985.— V. 92, № 1.— P. 104—115.
[8] С а п и р М. В., С у х а н о в Е. В. О многообразиях периодических полугрупп^
Изв. вузов. Мат.—1985.— № 4.— С. 48—55.
Всесоюзный заочный институт Поступило в Правление общества пищевой промышленности 9 ноября 1987 г .
