Н. Е. Товмасян, Задача Дирихле для эллип- тических систем дифференциальных уравнений второго порядка, не удовлетворяющих условию Я. Б. Лопатинского, Сиб. матем. журн., 1966, том 7, номер 4, 920–938

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. Е. Товмасян, Задача Дирихле для эллип- тических систем дифференциальных уравнений второго порядка, не удовлетворяющих условию Я. Б. Лопатинского, Сиб. матем. журн., 1966, том 7, номер 4, 920–938

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 06:43:01

Том V I I , № 4 Июль — Август 1966 г.

У Д К 517.946

Н . Е . Т О В М А С Я Н

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ Д Л Я ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ Я - Б. ЛОПАТИНСКОГО

Пусть D — плоская одаосвязная область, Г — ее граница. В работе рас­

сматривается следующая задача: найти дважды непрерывно дифференци­

руемое в области D решение эллиптической системы

L(u) ^Au^xx-\-2Bu^Xy + Cu^yy-\~a(z)u^x-\-b(z)uy-\-c(z)u = h(x,y), (1)

принадлежащее классу C^ai(D) и удовлетворяющее граничному условию

где z — х + iy, и = (щ, .. ., и^п) — искомая вектор-функция, / =

— (/ь • • - ,fn) и h = (hu . . . , hn) — заданные вещественные вектор- функции на Г и D соответственно; А, В, С — вещественные постоянные матрицы ?г-го порядка; a ( z ) , b(z), c(z) — вещественные квадратные мат­

рицы гс-го порядка в D.

Как известно, система (1) называется эллиптической, если det С Ф О и характеристическое уравнение

не имеет вещественных корней.

Если IM(X, у) и ее частные производные до порядка т включительно удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а в замкнутой области D, то будем писать и £ С^ат (D). Если производные / по s до порядка т вклю­

чительно удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а на Г, то будем писать / б С^ат (Г) (s означает длину д у г и ) .

Пусть z = t(s) — параметрическое уравнение контура Г. Предполага­

ется, что a(z), b(z) и c(z) принадлежат классу С^{0 6 2}^ ) , t(s) (3 6^{Т ( х 3}( Г ) . О п р е д е л е н и е . Задачу ( 1 ) , (2) будем называть нетеровой, если 1) однородная задача ( 1 ) , (2) (т. е. когда / = О, А = 0) имеет конечное число линейно независимых решений; 2) существует конечное число ли- жейно независимых условий вида

(2)

det (А + 2ВХ + СЩ = 0 (3)

(4)

D Г

на / и h, которые необходимы и достаточны для того, чтобы однородная задача ( 1 ) , (2) при h£C°°(D), / 6 С ° ° ( Г ) имела решение. В (4) <р,-(ж, у) и tyj(s) — гс-мерные векторы из класса Ьч(В) и L²(T) соответственно,

(К 4>j) и (/, — скалярные произведения.

Если задача ( 1 ) , (2) нетерова, то разность числа линейно независи­

мых решений однородной задачи и числа условий разрешимости (4) не­

однородной задачи ( 1 ) , (2) называется индексом задачи ( 1 ) , ( 2 ) . Если индекс задачи ( 1 ) , (2) равен нулю, то задачу ( 1 ) , (2) будем называть фредгольмовой.

Мы здесь будем рассматривать задачу ( 1 ) , (2) в том случае, когда ха­

рактеристическое уравнение (3) имеет только простые корни.

Пусть A d , . . . , Х^п — корни характеристического уравнения (3) с поло жительными мнимыми частями, а 6& — гс-мерный постоянный вектор, ко­

торый является нетривиальным решением системы алгебраических урав­

нений

(А + 2BXk + CXk²) 6ft = 0. (5)

Так как по предположению уравнение (3) имеет только простые корни, то система (5) имеет одно линейно 'независимое решение. Будем считать, что (0, 0 ) б D.

В области D общее решение системы

AW^XX + 2BW^xy + CWyy = 0 (6)

в случае, когда уравнение (3) имеет простые корни, задается формулой (см. (*))

П

W = Re 2 8^кщ(х + X^ky) + ai, (7)

где ai — произвольный вещественный тг-мерный вектор, ф-,(х + ^оУ)—

произвольная аналитическая функция переменного я + А^;у|(!(#, у) удовлетворяющая условию

<Pi(0) - 0 (/ = 1 , 2 , . . . , * ) . (8) В формуле (7) функции q>ti(x + Хну) и вектор ai определяются по и(х, у)

единственным образом. Если и(х, у) б C^ak(D), то

Ф;(* + Ш G С*(В) {] = 1 , . . . , щ к ^ 1 ) .

Условие Я . Б. Лопатинского для задачи ( 1 ) , (2) в случае, когда харак­

теристическое уравнение (3) имеет только простые корни, можно сформу­

лировать так: векторы 6 i , . . . , б^п линейно независимы. Отметим, что и в общем случае в условии Я. Б. Лопатинского также не участвуют элементы матрицы a(z), b(z), c(z) системы ( 1 ) .

Еслм А, В, С — постоянные матрицы, то при выполнении условия Я. Б. Лопатинского, как известно (²) , задача ( 1 ) , (2) фредгольмова. В слу­

чае, когда условие Я . Б. Лопатинского не выполняется, задача ( 1 ) , (2) очень мало изучена. В этом случае из (7) следует, что если а = Ъ = с = 0,

1 3 Сибирский математический журнал, № 4

то задача ( 1 ) , (2) в любой области D, граница которой содержит аналити­

ческую дугу, не является нетеровой. В частности, если п — 2, а = Ъ =

= с = О, то всегда существует эллипс, где однородная задача ( 1 ) , (2) имеет бесконечное число линейно независимых решений.

Пусть D — полуплоскость, h = 0, а — Ъ = с — 0 и не выполняется условие Я . Б. Лопатинского. Тогда в (³) доказано, что если требовать от и(х, у) и / стремления к нулю определенного порядка, когда (х, у) - > оо,, то однородная задача ( 1 ) , (2) имеет бесконечное число линейно независи­

мых решений, а неоднородная задача ( 1 ) , (2) разрешима тогда и только»

тогда, когда / удовлетворяет счетному числу условий ортогональности.

Пусть область D является кругом; задача ( 1 ) , (2) не удовлетворяет условию Я . Б. Лопатинского; a\(z), b(z) и c(z) в окрестности фиксирован­

ной точки zo б Г равны нулю. Тогда, используя ( 7 ) , можно доказать, что задача ( 1 ) , (2) не является нетеровой. Простые примеры показывают, что существуют а, Ъ и с, отличные от нуля в любой точке границы Г, при кото­

рых задача ( 1 ) , (2) также не является нетеровой.

Эти результаты говорят о том, что при нарушении условия Я. Б. Лопа­

тинского задача ( 1 ) , (2) может быть нетерова или фредгольмова только благодаря коэффициентам a\z), Ъ(х) и c(z), причем эти коэффициенты должны удовлетворять определенным условиям.

В настоящей работе при нарушении условия Я. Б. Лопатинского дается условие на матрицы a (z), b(z) и с ( z ) , которое обеспечивает нетеровость задачи ( 1 ) , ( 2 ) . При соблюдении этого условия указывается метод решения этой задачи и вычисляется индекс.

Далее изучается зависимость гладкости решения и(х, у) в замкнутой области D от гладкости / и h.

Из полученных результатов следует, что в постановке задачи ( 1 ) , (2) требования на гладкость и{х, у) и h(x, у) в D и / на Г существенно зави­

сят не только от гладкости коэффициентов системы ( 1 ) , но также и от того, удовлетворяют или не удовлетворяют эти коэффициенты определен­

ным условиям типа неравенств. Такими условиями являются, например,, условия Я . Б. Лопатинского, условие (12) и условия (15), ( 1 6 ) .

Как показывают полученные результаты, в случае, когда нарушено у с ­ ловие Я. Б. Лопатинского, коэффициенты ®{z), b(z), c(z) системы ( 1 ) играют решающую роль для фредгольмовости, нетеровости и нормальной разрешимости задачи ( 1 ) , ( 2 ) . Эти коэффициенты также входят в формулу индекса задачи ( 1 ) , ( 2 ) .

§ 1. Основные результаты

Пусть характеристическое уравнение (3) имеет только простые корни.

Обозначим через Я⁴, . . . Д^п решения этого уравнения с положительными мнимыми частями, через б& — гс-мерный вектор, являющийся нетривиаль­

ным решением ( 5 ) . Пусть 6 i , . . . , б^п линейно зависимы .(т. е. условие Я. Б. Лопатинского не выполняется). Обозначим через т число тех век­

торов из 6 i , . . , , б^п, которые линейно независимы. Для определенности мы

будем считать, что векторы 6 i , . . . , 6^Ш линейно независимым, а векторы 6 m + i , . . . , б^п линейно зависимы от 6 i , . . . , б^т.

Пусть a i , . . . , Оп-т — гс-мерные векторы, которые являются линейно независимыми решениями системы алгебраических уравнений

8IXI + 62^2 + . . . б^п# п = 0. ( 9 )

Пусть

* Д А Ш ^ Н ^ ^ ^ (Ю)

{k = i, 2, , . . . , » ) ,

Н(z) = - М ( c o s ( N , y ) - X cos(N, x)) ^{A (X)}^ c ( x , y)b^h(cos(N,y) -

- * * c o s ( Л^Т, x)) (k = 1 , 2 , . . . , Г С ) , ( l i ) где l^f — замкнутый контур в комплексной полуплоскости Im X < 0, охва­

тывающий все корни характеристического уравнения ( 3 ) , находящиеся в этой полуплоскости; N — внутренняя нормаль к границе Г в точке z = х + iy; А(X) — обратная матрица к матрице А + 2ВХ +

Обозначим через а матрицу, столбцами которой являются векторы

Oi, . . . , On—т, через y ( z ) — матрицу, столбцами которой являются векторы Yi(^), . . . , yⁿ(z), и через ft ( 2 ) — матрицу, столбцами которой являются векторы P i( s ) , . . . , P n( s ) .

Пусть Gi(z) — квадратная матрица гс-го порядка, столбцами которой являются векторы 61, . . . , б^т и столбцы матрицы y(z) - а, и G²(z) — квад­

ратная матрица гс-чго порядка, столбцами которой являются векторы 6 1 , . . . , б^т и столбцы матрицы $(z) • а.

Т е о р е м а 1. Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют условию

d e t G i ( z ) # 0 , z б Г, (12) то однородная задача Дирихле для системы (1) и для сопряженной си­

стемы имеет конечное число линейно независимых решений; для f б С^а2(Т) и h б C^a(D) неоднородная задача ( 1 ) , (2) имеет решение тогда и только тогда, когда они удовлетворяют условиям

\ \ (^Vj {х, у), h(х, у)) dxdy - J (A cos2(IV, х) +

D Г

+ 2Вcos{N,x)cos(N,y) + Ccos²(N,y))fds = 0 (у = 1 , . . . , ft'), (13) где vi,. . . , z;^ — полная линейно независимая система решений однород­

ной задачи Дирихле для сопряженной системы.

Т е о р е м а 2. Если коэффициенты системы (1) и коэффициенты сопря­

женной системы удовлетворяют условию ( 1 2 ) , то индекс к задачи ( 1 ) , (2) равен:

x = - ( l / n ) | a r g d e t G¹( ^ ) ]^r, (14) 13*

где [arg det < ? i ( s ) ] r — приращение аргумента функции d e t G i ( z ) при об­

ходе контура Г один раз в положительном направлении.

Т е о р е м а 3. Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют усло­

виям

a(z) = b(z) =da(z)/dN = db(z)/dN = 0,zer, (15)

det G²(z) ФО, 2 б Г , (16)

то однородная задача Дир^{ихле для системы (1) и для сопряженной систе­

мы имеет конечное число линейно независимых решений; для / б С^{а 3}( Г ) , hQC^ai(D) неоднородная задача ( 1 ) , (2) имеет решение тогда и только тогда, когда они удовлетворяют условиям ( 1 3 ) .

Т е о р е м а 4. Если коэффициенты системы (1) и коэффициенты со­

пряженной системы удовлетворяют условию ( 1 5 ) , ( 1 6 ) , то индекс задачи

••(1), (2)

х = — ( l / « ) [ a r g d e t G 2 ( z ) ]^r. (17) Пусть коэффициенты системы (1) и граница области D бесконечно

дифференцируемы. Тогда имеют место следующие теоремы.

Т е о р е м а 5. Если h б О ^h~²{D), f б C^ah(T) и задача ( 1 ) , ( 2 ) удовлет­

воряет условию Я. Б. Лопатинского, то ее решение принадлежит классу С">ЦВ).

Т е о р е м а 6. Если h б С^а' ^k~²(D), / б C^ah(T) и коэффициенты системы (1) удовлетворяют условию ( 1 2 ) , то решение задачи ( 1 ) , (2) принадле­

жит классу С^а> ^h~^l(D).

Т е о р е м а 7. Если h б С^а> ^k~²(D), f б C^ak(T) и коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям ( 1 5 ) , ( 1 6 ) , то решение задачи ( 1 ) , (2) при­

надлежит классу Са> h~2(D).

Пусть задача ( 1 ) , (2) не удовлетворяет условию Я . Б. Лопатинского и Выполнено условие ( 1 2 ) . Тогда для произвольного h(x, у) б C^a'^h~²(D) ука­

зывается бесконечное число линейно независимых / б Ой( Г ) таких, что для них задача ( 1 ) , (2) имеет решение, не принадлежащее классу 0 + € , h-i ^ ^Гд^{е 8} — произвольное число, больше нуля.

Это говорит о том, что теорему 6 нельзя усилить. Отсюда следует так­

же, что если в теореме 1 условия / б С^{0 6 2}( Г ) , h б С^а>°(Б) заменить условия­

ми / б С8 2( Г ) и h&Ca>°(D), где е — произвольное число, меньшее а, то вторая часть теоремы 1 будет неверна.

Аналогичные утверждения справедливы также соответственно для тео­

рем 7 и 3.

З а м е ч а н и е 1. Если условие (12) (или условие ( 1 6 ) ) имеет место для системы ( 1 ) , то оно, по-видимому, имеет место и для сопряженной системы. Справедливость этого утверждения легко проверяется, когда система (1) состоит из двух уравнений. В общем случае оно не доказано.

Доказательство этого утверждения дало бы возможность вычислить ин­

декс задачи ( 1 ) , ( 2 ) при помощи указанных формул, не проверяя допол­

нительно условие (12) (или условие ( 1 6 ) ) для сопряженной системы.

§ 2 . Общее решение системы (1) Рассмотрим матрицу

1 г

v(z, у) = --— R e \ A(X)ln(x + Xy)dX, (18) i

где I — замкнутый контур в плоскости Im % > 0, охватывающий все кор­

ни полинома det (А + 2ВХ + СК²), лежащие в этой полуплоскости;

А (X) — обратная матрица к матрице А + 2ВХ + СХ² и

In (х + Ху) = In \х + Ху\ -\~г arg (х + Ху) (—я ^ arg (х + Ху) < я ) . (19) Ясно, что In (х + Ху) — непрерывная функция по х, у, Х,(Х б Z), за исклю­

чением точек у = 0, х ^ 0. Поэтому элементы матрицы v(x, у) — непре­

рывные функции по переменным х, у, за исключением, может быть, точек у = 0, х ^ 0. Непрерывность матрице ^(.г, г/) в точках у — 0, х < О следует ш того, что

Re ^ ^ А = 0. (20) J

Отметим, что в (18) и в дальнейшем (все встречающиеся контурные ин­

тегралы берутся в положительном направлении.

Л е т о доказывается, что v(x, у) является решением системы ( 6 ) , когда (х, у) Ф (О, 0) и функция

Н ( х , у ) = 1

^{J v(l-x, л -} ( 2 1 )

является частным решением системы

Аи^хх + 2#и^{Х 1 /} + Ci*i,y — у ) . (22) Отсюда следует, что система (1) эквивалентна системе интегральных

уравнений Фредгольма второго рода

и(х, у) = J J К(х, у, g,Л ) n ) d g * ] + # ( * , у) +W(x, у), (23)

где , У, л)—'М£ — Л — л) Ь + ^ Н 1 — Л —У)Ь(6,Ч))ч —

— — Л — г ) ) ,

Н{х, у) дается формулой ( 2 1 ) , a W(x, у) является общим решением си­

стемы ( 6 ) .

Пусть Ф\ . . . , — полная система линейно независимых решений однородной системы (23) (т. е. Н = О, W = 0) и ф<*>,..., i|)<^fel> — полная система линейно независимых решений сопряженной однородной систе­

мы интегральных уравнений.

Как известно, система интегральных уравнений (23) имеет решение тогда и только тогда, когда

(W(x,y) + H(x,y),^)(x,y))dzdy = Q (* = l , 2 , . . . , f t i ) . (24) D

Если выполнено условие ^v(24), то решение системы |(23) задается фор­

мулой

u(x,yj=W(x,y) + ^ K(x,y,l,4)W(l,4)dld4+

D

+ Ht(x, у) + ст«)(x, y) + ... + c^klu^(h,)(x, y), (25) где R(x, у, I, г]) — обобщенная резольвента системы ( 2 3 ) ; C i , . . . , сл,—

произвольные постоянные и

Hi(x, у) = \ J R{x, у,Ъ,ч)Н(1,ц)с11с1ч+Н(х,у).

D

Следовательно, общее решение системы (1) в области В дается фор­

мулой (25), где И⁷!(я, у) — общее решение системы (6) в области D, удов­

летворяющее условиям ( 2 4 ) , Ci,.. . , cin — произвольные постоянные.

Легко видеть, что в формуле (25) вектор-функция W(x, у), удовлет­

воряющая условиям ( 2 4 ) , и постоянные Ci, . . . , определяются по и(х, у) единственным образом, причем W(x, у) 6 С^ак(В), если и б С^ак(В), и наоборот (предполагается, что a (z), Ъ (z), с (z) G С^а> ^k~^l (D), t(s) 6 С^{А + 1}( Г ) ) .

Условимся говорить, что матрица L(x, у, £, г)) имеет в точках (£, ту) =

= (х, у) области В < (границы Г ) особенность не выше логарифмического порядка, если элементы Lij матрицы L(x, г/, ц) непрерывны в точках

(^,т|) ф (х, у) и удовлетворяют оценке

\Lu(x, у, I y^])\^cⁱlni(x-l)*+ ( J , _ t i ) 2 ) - V , + 4

где Ci и сг — положительные постоянные, на зависящие от точек (х, у) б В, б Л ( ( * , у) б Г, ( | , т , ) б Г ) .

При соблюдении условия ( 2 4 ) , построив решения системы (23) по схеме, данной в книге i (⁴) , мы убедимся, что обобщенная резольвента Ж{х, у, т|) системы ⁽(23) имеет вид

К(х*У, &Л) = Я ( я , 0 , | , т | ) + S J K(x,y¹t,x)K(t^¹ l,r\)dtdT + D

+ Ri(x,y,lr)), (26) причем матрицы dJ^i / д£ и d^i / дт] имеют в точках (£, п) = (х, у) обла­

сти Z? особенность не выше логарифмического порядка.

Из ( 2 6 ) , в частности, получим, что обобщенная резольвента К систе­

мы (23) имеет вид

К{х, у,1,ц) = vi(l — х, г) — у)а{Ъ^гч\) + и^п(1 — х, ц — #)&(£, ц) +

+ У, 6, Л ) , . (27)

причем матрица Къ(х, г/, ц) имеет в точках (£, ц) = {х, у) особенность не выше логарифмического порядка.

Пусть т — число тех векторов из 6 i , . . . , б^п, которые линейно незави­

симы. Не ограничивая общности, можно предполагать, что векторы -61, . . . , б^т линейно независимы, а векторы 6^w+ i , . . . , 6^П линейно зависимы от 6 1 , . . . , б т , т. е.

= Oji8i + . . . + Ojm6^w ,(j = m + l,...,n). (28) Напомним, что 8ti(k = 1 , 2 , . . . , /г) является нетривиальным решением

системы алгебраических уравнений ( 5 ) .

В книге (⁵) доказано, что если фИ^ + ^ г / ) —аналитическая функция относительно х.+ Xjy((х, у) б / > ) , принадлежащая классу Ca>Q(D), то она представима в виде

<и(* +

ш = ^-S »®

^{d{l +}

⁺ ^

^{(С = 6} + « л е Г ) , ( 2 9 ) ЛЬ *

I

+ XjX] —х — К3У

тде \ij\t,) — вещественная функция из класса С^а' ° ( Г ) , a dj — вещественная постоянная. Функция |ij(£) и постоянное dj определяются по фДя + %jy) единственным образом.

Как простое следствие интегрального представления <(29), получаем, что аналитические функции Ф1 {х -f- Xiy), . . . , Ц)^п\(х + ХпУ), принадлежа­

щие классу C^a>°(D), представимы следующим образом:

т ^Jr t + KjX — х — Xjy

(j = m+l, m + 2,...,n), (30)

1 с / ъ \ d(t + XJX) _

(у = 1 , . . . , / ? г ) , x + iy£D, * + * т 6 Г , (31) где vi, . . . , v^w, jLim+i,. . • , — вещественные функции из класса С^а' ° ( Г ) ,

di, < i², . . . , dⁿ — «вещественные постоянные, Gkj — постоянные числа, вхо­

дящие в ( 2 8 ) . Функции v i , . . . , vm, (Am+i, . • . , и постоянные di, . *. . , dn

определяются по Ф1 [х + h y ) Ф п (# + >W*/) единственным образом.

Из ( 7 ) , ( 8 ) , j(24), ( 2 5 ) , (30) и (31) получим, что общее решение си­

стемы ( 1 ) , принадлежащее классу C^{a l}( Z > ) , задается формулой

и(х, у)= R e { A - 2 T

^fl

i \ _^

+ J ( J .J ^ ( , , ^ 5 , л ) б , - ^ ) ^ ( с о ) А о , ] } +

+CiiiW (х,у) + .^ч. + c^hl и<л.) (х, у) + р (х, у) (ai + S 4 Re (ia^h) ) + # 1 (х, у),

h = = 1 ^ ( 3 2 )

где

со = t + i% б Г, £ = £ + *Л ⁶

А

зj = ж +

jij((o)=s v j ( i o ) — 2 J ^ P i M ^ ) , 4 = Re — \ (33)

p = m + l Г

( / = L , . . . , m ; A = L , . . . , » ) ,

P ( s , j/) = £„ + J J Y , 5, Л)<*1*Ь (34) .En — единичная матрица гг-го порядка; ai — произвольный n-мерный век­

тор; c i , . . . , сл,, d i , . . . , dⁿ — произвольные вещественные числа;

v i , . . . , v^w, p - m + i , . . . , [Лтг — произвольные вещественные функции из клас­

са С^{а 1}( Г ) , удовлетворяющие условиям

И (Я(,, у), ^ > ( « , y^))dxd y + R e - ' i { ( 6 , j ] W * ' № * L ) х .

\ D j = l Г

D

^{J J}

П

i' X | J iⁱ( o ) ) d ( o^j+ (ai + Re 2 b^pd^pi, J ]^){x,y)dx dy)^ Ъ (35)

{ (Ar =

1 , — , h),

b n l ^ O (/ = 1 , . . . , » ) . (36)

г ^

В формуле (32) функции V i , . . . , v^w, u .^{m +}i , . . . , \iⁿ, постоянный вектор ai и постоянные c i , . . . , Ch^x определяются по u(x,y) единственным о б ­ разом.

§ 3. Исследование задачи ( 1 ) , (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Как известно, имеет место следую­

щая формула Сохоцкого —- Племеля (см. ( (⁵) , стр. 3 7 ) : lim — \ ф ( ( о ) ^к\ \ / ^{1 /} -

У)

= Ф

Ы

+ —г \ Ф ( © ) » ^: „ г т- г - - г > (37) где ф(со) б С *⁰( Г ) , 0 = I + щ б Г, zo = #о + Wo б Г, (ж, у) б £ .

В (37) и в дальнейшем сингулярные интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши.

Подставляя общее решение (32) системы (1) в граничное условие (2) и используя ( 2 7 ) , ( 3 7 ) , получим

Re

,S (fljuj(*b) + 4 ^{\ * * ° Ы}

^*2( . о , а>)ц(<о)& +

Г D

d£dr\ \

X 7 — bjiij (со) dco J = — p («о, Уо) ai — ctttW(*0, */o) + . •.

. . . — c^{A l} n<^fel)(a:⁰, Уо) + / ( * o , У о) — # i ( s⁰, г/⁰), (38) где ц = ((ii, • • • , М>п), о = £ + ix б Г, z⁰ = х⁰ + fг/⁰ б Г, COJ = £ + Я я ;

/12(^0, со) — вполне определенная (п X тг)-матрица на Г, первая производ­

ная которой по s имеет в точках со = zo особенность не выше логарифми­

ческого порядка. Напомним, что u - i , \ х^т выражаются через функции vi, . . . , vm, u^+i,. . . , \in при помощи ( 3 3 ) , а v i , . . . , vw, \im+u. . . , \хп — ве­

щественные функции, удовлетворяющие условиям ( 3 5 ) , ( 3 6 ) .

Так как в (38) и в дальнейшем со = % + щ б Г, то будем считать со функцией от s, где s — длина дуги, отсчитываемая от некоторой фиксиро­

ванной точки на Г в положительном направлении.

Изучим поведение функции

7 / \ С С М б — so, Л — Уо)а(Ъ,Ч) + М1-~^хо,Ц--Уо)Ь(1,г\) (39>

в окрестности точки (t, х) = (х⁰, у о), (£, т) б Г, (хо, г/о) б Г.

Из (39) и (18) получаем

*j(*o, со) = \ Л (А,) (а(хо, у о) + ХЬ(х⁰, у⁰))1^(г⁰, со, X)dA, —

— J А(X) (a(so, г/о) + ^^&( ^ о , Уо),)-М*о, со, A,)dX J + / # ( я⁰, со), (40) где

n

D ( Б - * . + М л - Ы ) ( * - 6 + М т - п ) ) '^{dg dt] { Щ}

7j2(^o, со) — (п X тг)-матрица на Г, первая производная которой по в точке со = z0 (со б Г, z0 б Г) имеет особенность не выше логарифмичес­

кого порядка; I и V — те же контуры, что и в ( 1 8 ) , ( 1 0 ) .

Пусть z = х + iy б Z>, со = t + it б Г. Тогда имеет место равенство

•'i | - * + Я (^Ч- | , ) V dl дц \ t + XjX J

Б (42) под In (1 — (x + AjZ/)/*(£ - Ь Л / t ) ) при фиксированном (£, т) 6 Г понимается ветвь, которая непрерывна в точках (х, у) б D и равна нулю в точке (ж,г/) = ( 0 , 0 ) ; sign ( I m A ) означает знак числа Im {%). Если Im Xj > 0, Im А > 0, то

1 п ( 1 - ( 6 + М)/(* + ^ т ) ) - 1 п ( 1 - (g + A n ) / ( i + А т ) ) б О ^ Г ) (43) по (£, т)) 6 Г и (*, т) 6 Г.

Если же Im Aj > 0 и Im А < 0, то

l n ( l - ( £ + AjTi)/(* + A j T ) ) -^m( l - ( i + A r¹) / ( * + AT)) +

+ i n i± - ^ I ! - e c ^ m (44)

по

(I

т)) б Г и (*,

т)

б Г.

В (44) под In (£ - j - An)/(£ + At) при фиксированном (£, т) б Г пони­

мается та ветвь, которая непрерывна во всех точках ( | , т)) б Г, за исклю­

чением (I, л) — (*> ^т) > ^и стремится к нулю, когда точка ( | , п) б Г стремит­

ся к точке (£, т) в положительном направлении. Имеем

\ In! 1 ^L • ~ — s i g n ( I m A ) -2я1Щ 1 — — ,

i \ t + KXJL-X + K(i\-y) ^{S V} ' V t + KXT'

(45)

• + "(Б + Хл) ^ ⁼ - ^{2 я П} п А - ^ ) + 2 я ² . ( 4 6 )

_ ^Jl4,AJJ i А ,

* + А,т g — s + ^(ri — у) \ t + KxJ (1тК<0).

Как известно (см. (⁵) ) ,

J " W j ^ I ^ r ^ w имег).

^<47)

если <р(со) б C^{a f e}( r ) , £(s) б C^a'^{f e + 1}( r ) , где z = t(s) — параметрическое уравнение Г.

Из (42) — (47) следует

Iji(z, со, X) б C^{a 2} по z б Д со б Г, если Я б Z; (48) ф, Я.) - 1 - ) б С«* по z б Д со б Г, (49) если К б V.

Из (43) и (49) получим

I^j± (so, со, А) — — — In f 1 - ^Х° ~]~ ^m ) б С** по zo б Г, с о б Г , (50) Aj — X \ t -f- IT /

асли Я б Г.

Из ( 4 0 ) , ( 4 8 ) , (50) следует

h («о, со) = ^ J А (к) (a (z„) + Kb (zo) Ь - ^ т -^{1 1 1} ( 1 - — ) + I^j3(z⁰, to)

2ш ^J A — Aj V to /

/ £ I * , • 4 (51)

(CD = g + CT), 2⁰ = -r ^ o ) ,

где /;з(2о, со) — (я X я)-матрица на Г, первая производная которой по s в точке со = Zo имеет особенность не выше логарифмического порядка.

Используя (28), (39), (51) и обозначения (33), систему интегральных уравнений (38) можно переписать в виде

m п ~

Re

Г 2

^{( 6jVj ы}

+ * L $

V

JM±) _

¹

li^L ^J

^{l n}

(

^{i _}

^{м „}

( ( 0 ) Л

1 +

j = l Г и j =m+ l Г

m п

+ S S

^ 3 j ( 2⁰, со) Vj(co)cfe +

Si S

^ 3 j ( ^ 0 , C 0 ) | l j ( 0 ) ) d 5 =

j = l Г j = m - H Г

= ~ P (zo) ai -

(cittW

Ы + . . . + c^hluM (z^Q)) Я⁴ (z⁰) + /(*<>), (52) где

m

\k(zo) = yh(zo)—

Syj(^o)ct/,j

(k = m+ 1 , . . . , т г ) , (53)

j = i

7&(²о) — определяется формулой (10), i£³j(zo, со) (/ = 1, . . . , m) — n-мер­

ные векторы, имеющие в точках со — zo особенность не выше логарифми­

ческого порядка, a K³j(z⁰, со) (/ = m + 1, . . . , п) — гс-мерные векторы, первая производная которых по s имеет в точках со = zo особенность не выше логарифмического порядка.

Вещественные функции р ,^т- и , . . . , |in, ©ходящие в (52), всегда можно представить в виде

(со) = dvk (со) / ds + e^k (к = m + 1 , . . . , п), (54) где Bh — вещественные постоянные, Vk(co) — вещественные функции на Г,

удовлетворяющие условиям

^v^k((x))ds = 0 (к = m + 1 , . . . , тг), (55)

г

причем функция v&(co) и постоянное eh определяются по и^(со) единст­

венным образом.

Мз (36) и (54) получим

« A = - i l m ( v ^{f c} ( ( D ) j f - - ^ )ds (k = m + l , . . . , n ) , (56)

2л; ^J ds \ (Oj as J

r ^J

со = t + ix 6 Г, COJ = t + Я/г.

Подставляя представления (54) функций ( a^w+ i , . . . , У>п в ( 5 2 ) , исполь­

зуя (56) и равенство

— \1п 1 — — rfv

^ft

(<o)= — Vfc(zo)

^:

\ — — h— т\ v

^ft

(<o)—

ш £ \ со /

JW * <0

— £

⁰

JtH со

получим

i f R e ( 6 , ) v , ( , o ) + ^ S ^ ^ l + ^S f R e ( v ^ o ) ) v

^{f e W}

+

I m ( f^{f e}( z⁰) ) ^c v^{f a}(co)dco]

f

^{4 / 4 , 7 ,}

H \ + \ A⁴( z⁰, Co)v(co)ds =

я ^т CO Zo J ^{J r}

= / ( z⁰) - # ! ( z⁰) - p (z⁰) ai - CittW(zo) — . . . — c^{f t l} z#«>(z⁰) (57)

(v = ( V i , . . . , Vⁿ) , ) ,

где ^ ( z o , со) —вполне определенная (n X 7г)-матрица, имеющая <в точ­

ках со = z⁰ особенность не выше логарифмического порядка.

Согласно ( 3 3 ) , (54) и ( 5 6 ) , условия ( 3 6 ) , (35) можно записать в виде п

J J (Н(х, у) + ^{a i}, a|#>(х, y))dxdy + ^ J ^%kj(s)^Vj-(*.)= 0 (58)

* D j=l Г

( 4 = 1 , 2 , . . . , * , ) ,

ХГ « - Г ^ П ft^m+ir

( / = l , 2 , . . . , m ; £ = 5 + iT|),

ГД^Е Xife (⁵) ^и Xjft (⁵) ^— вполне определенные функции на Г.

Пусть коэффициенты системы (1) удовлетворяют условию (12),, / б С^{а 2}( Г ) , hQC^a0(D). Тогда система интегральных уравнение (57) является системой нормального типа и задача ( 1 ) , (2) эквивалентна систе­

ме (57) с дополнительными условиями ( 5 5 ) , ( 5 8 ) , (59) в следующем смыс­

ле: если задача ( 1 ) , (2) имеет решение, то система интегральных урав­

нений (57) также имеет решение, удовлетворяющее условиям ( 5 5 ) , ( 5 8 ) , (59), и наоборот, причем при помощи формул ( 3 2 ) , ( 3 3 ) , ( 5 4 ) , (56) уста­

навливается взаимно однозначное соответствие между решениями и(х, у) задачи ,(1), (2) и 'решениями системы |(57), удовлетворяющими условиям

(55), ( 5 8 ) , ( 5 9 ) , т. е. между и(х, у) и v i , . . . , vⁿ, ai, ci,..., с*,.

Отсюда, применяя известные теоремы теории сингулярных интеграль­

ных уравнений (⁵) , получаем: при выполнении условия ( 1 2 ) . Однородная задача ( 1 ) , ( 2 ) имеет конечное число, линейно независимых решений; су­

ществует конечное число условий вида (4) таких, что задача ( 1 ) , (2) для / б С^{а 2}( Г ) и h & C^a>°(D) имеет решение тогда и только тогда, когда они

удовлетворяют этим условиям, причем

<ц(х, у) б

с*нви

? , ( * ,

»)

б С«ЦО), б С « * ( Г ) .

Ясно, что для h = Ь(щ) и f = щ\т, где щ — произвольная функция из класса С ° ^ ( 5 ) , задача ( 1 ) , (2) имеет решение. Поэтому h = Ь(щ) и / = щ\т удовлетворяют условиям ( 4 ) . Преобразуя равенство (4) по фор­

муле Грина и имея в виду, что h = Ь(щ), f ==щ\г и щ — произвольная функция из класса С^а2(Б), получаем

tp, = GR, % = — —dv ( 4 c o s²( ^ ) + 2 j E ? c o s ( N , x ) c o s ( I V , у) + С cos²(N,y)), ON

где v — решение однородной задачи Дирихле для системы, сопряженной к системе ( 1 ) .

Следовательно, при выполнении условия (12) условие (13) достаточно для разрешимости задачи ( 1 ) , ( 2 ) . Необходимость условий (13) тривиаль­

на. Теорема 1 доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Пусть коэффициенты системы (1) удовлетворяют условию ( 1 5 ) . Тогда, подставляя общее решение (32) си­

стемы (1) в граничное условие (2) и пользуясь ( 2 6 ) , ( 3 7 ) , получим

где со = | -f- щ б Г, Zq = xq + iyo б Г, i£⁵(zo, со) — вполне определенная (п X п) -матрица на Г, вторая производная которой по s имеет в точках со = z⁰ особенность не выше логарифмического порядка. Остальные вели­

чины в (60) те же самые, что и в ( 3 8 ) . Изучим поведение матрицы

^j(C0)rfc0j =

= / (z⁰) — Hi (z⁰) — (3 (?o) ai — с±ф) (z^Q) — ... — c^hl U<^k0 (Zq)

(60)

(fx = (M,i,...,|x

ⁿ

), coj = £ + V n ) ,

dldr\

(61)

D t — l + Xh(% — r\)

(/c = 1 , 2 , . . . , n) н окрестцости точки со = z0, со б Г, z0 б Г.

Согласно ( 1 8 ) ,

gk(zo,(£>) = 5 A ( A , ) c ( z0) gw( s0, < o , X)dA.

5 A{X)c(z⁰)g^ki(zo,(»,k)dX + g^w(zo,a>) (к = 1 , 2 , . . . , n ) , (62) v

где I и V — те же самые контуры, что и в ( 1 8 ) , ( 1 0 ) ;

ghi{z

„,x)=\^M--^-)

^t

. (63)

• J \ XQ + XyoJ t — l + X^k(x — r\)

и ghi(zo, со) — (п X п)-матрица, вторая производная которой по 5 имеет в, точках со = z0 особенность не выше логарифмического порядка. В (63) под In (1 — (£ + A/n) / (.r⁰ + hyo)) понимается та ветвь, которая при фик­

сированном Zo б Г непрерывна по (£, т]), когда (6, г|) б Z), и равна нулю при = ( 0 , 0 ) .

Ясно, что

ft,(ц,<»Д> = П Ъ. ( 1 - i ± £ . ) ( 4 - ± ) l n (1 - i ± ^ - ) X

* L = - J _ С ы ( i - ) m( i - i ± ^ ! L ) ^{d (i +}^ ) ^{( 64>}

kk

Имеют место тождества

W f ¹ " ^ t f * M ¹ " " )^d( 6 + ^ ) = 0 ( z⁰6 I \ I m ^ O ) ,

r (6o)

[ In

4 4 ^ -

^{l n (1 - 6 W + = ~ 2}ni(t + Xx- Xo-Xyo) X

JT t + Xx \ xo + Xyo J

X In ( 1 - ^{t + %X} ) + 2ni(t -j- Xx) (ZQBT lmX<0). (66)

\ xo + Xy⁰J

В формуле (66) под In(6 + Xr\) / (£ + Xx) понимается та же самая ветвь, что и в ( 4 4 ) .

Из ( 6 4 ) , используя ( 4 3 ) , ( 4 4 ) , ( 6 5 ) , ( 6 6 ) , получаем

ghi{z$, со, X) б С^а2(Т) по со и z⁰, если X б Z; (67) 2т ( t Л- Xx \

g^M(zo, (о, к) - -(* + кх - хо - куо)1п 1 f — ) б С « ( Г > (68)

A/i — А V Хо - Р АГ/О /

по о и z⁰, если X б Г.

Из ( 6 2 ) , (67) и (68) мы имеем 1 ^г

£ * ( з о , с о Д ) = — - т — \ A(X)C(£⁰)(* + Xt — я о — й У о ) Х . 2я* /

X In ( i - - ^ Х Т¹- ) т ^ - + со), (69)

\ Х⁰ + А^о ' X— Xk

где fe(zo, со) - ( п Х я)-матрица на Г, юторая производная которой по ^ имеет в точках со = zo особенность не выше логарифмического порядка.

X ^{Vj(z0,H : \ j} ^ ^ ) + \KQ(Z^Q, X, со) Vj (со) as, если Tm X < О,

Ш ';

С О

Zn J ^J

(71) где KQ(ZO, со) имеет в точке со = z⁰ особенность не овыше логарифмическо­

го порядка, а Ло — внешняя нормаль к границе Г (в точке zo.

Пусть соблюдено условие ( 1 6 ) . Подставляя тогда представление (70) функций \i^m+i, ц^п в v(60) и пользуясь равенствами ( 2 8 ) , ( 3 3 ) , ( 6 1 ) ,

(69) и ( 7 1 ) , получим для vi, . . . , vⁿ систему сингулярных интегральных уравнений нормального типа. Последующие этапы доказательства теоре­

мы 3 не отличаются от доказательства теоремы 1.

§ 4. Индекс задачи (1), (2)

Пусть коэффициенты системы (1) удовлетворяют условию ( 1 2 ) . Л е м м а 1. Если однородная система интегральных уравнений (23) (т. е. когда Н(х,у) = 0 , W(x, у) = 0 ) имеет только тривиальное реше­

ние, то индекс задачи ( 1 ) , (2) равен х; если же эта система интеграль­

ных уравнений имеет нетривиальные решения, то индекс задачи ( 1 ) , (2) больше или равен х, где х задается формулой ( 1 4 ) .

В книге (⁵) дана формула индекса системы интегральных уравнений нормального типа. В § 3 мы доказали взаимно однозначное соответствие между решениями и(х,у) задачи ( 1 ) , (2) и Vi, vⁿ, cti, с^и сц^1Г где

Vi(co),

. . . , Vn(co) — вещественные функции на Г,

ai

— вещественный тг-мерный вектор, являющиеся решениями системы сингулярных интег­

ральных уравнений нормального типа (57) и удовлетворяющие условиям (55), ( 5 8 ) , ( 5 9 ) . Из этих фактов и следует лемма 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Наряду с ( 1 ) рассмотрим систему Аи^хх + 2Ви^ху + Си^уу -|- Х(аи^х + Ъи^у + си) =h(x^r у), (72) где X — вещественная постоянная, X ф 0.

Функции, входящие в (60), можно представить в виде

Мсо) = d²Vfe((o) / ds² + г^к (к = т + 1, . . . , п), (70)

где Ей — вещественные постоянные, v&(co) —вещественные функции на, Г, удовлетворяющие условиям

^ v^k

(со)

ds = 0 (к = т + 1, . . . , п), г

причем Vk(co) и 8^ определяются по |ik(co) единственным образом.

Интегрируя по частям выражение

l r , v, '/ t + Xr \d(t + X^jx) d2^{V j}(co) 7

получим

Ж = (cos (Л^г0, л) — Я cos (Л⁷⁰, у)) (cos (Л^т0, х) — Я; cos (iV⁰, у)) X

Пусть система (1) и сопряженная к ней система удовлетворяют усло­

вию ( 1 2 ) . Легко убедиться, что система (72) и сопряженная к ней систе­

ма также удовлетворяют условию ( 1 2 ) . Пусть х(Я) и х*(Я) — целые числа, которые даются формулой ( 1 4 ) , где Gi(z) —матрица, соответ­

ствующая системе (72) и сопряженной системе. Обозначим через xi(A) и xi* (А,) индексы задачи Дирихле для системы (72) и для сопряженной системы. Пусть при Я = Яо ф О однородная система интегральных урав­

нений ( 2 3 ) , соответствующая системе (72) и сопряженной системе, имеет только тривиальное решение. Ясно, что такое число Яо всегда найдется.

Согласно лемме 1,

Xi

(Яо) =

х

(Яо),

Xi*

(Я⁰) = .

х*

(Яо),

(73) xi (Я) ^ х(Я), xi* (Я) ^ х*(Я).

Из теоремы 1 следует

X l (Я) ==•—Xi*(A). (74)

Из формулы (14) имеем, что х(Я) при Я ф 0 не зависит от Я. Поэтому

х ( Я ) = х ( Я⁰) , х*(Я) = х*(Яо). (75) Из (73) —(75) получаем

Hi (А) ^ х(Я) =<х(Яо) = Xi(A⁰) = —х¹*(Я⁰) = —х*(Яо) =

= — х*(Я) ^ —Xi*(A) = Xt(A). (76) Из (76) мы имеем xi(A) = х ( Я ) . В частности, Xi(l) = х ( 1 ) , что и

нужно было доказать.

Теорема 4 доказывается аналогично теореме 2.

§ 5. О гладкости решения задачи (1), (2) в замкнутой области В этом параграфе будем считать, что граница области D и коэффи­

циенты системы (1) бесконечно дифференцируемы и hdC^a>^k-²(D), Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 5. Пусть задача ( 1 ) , (2) удовлетво­

ряет условию Я . В. Лопатинского, т. е. векторы S i , . . . , о^п (см. форму­

лу ( 7 ) ) линейно независимы. Как мы выяснили в § 2 и 3, решение за­

дачи ( 1 ) , (2) имеет вид ( 3 2 ) , где \it(t),..., \iⁿ(t) — на этот раз веще­

ственные функции, удовлетворяющие системе сингулярных интегральных уравнений ( 3 8 ) . Из линейной независимости векторов 6 i , . . . , б^п следует,

7*то система (38) является системой нормального типа. Так как правая часть системы (38) принадлежит классу С^а^ ( Г ) , то любое решение этой системы также принадлежит классу C^ah{T). Отсюда и из (32) и (47) сле­

дует, что любое решение задачи ( 1 ) , (2) принадлежит классу C^a,l(D).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 6. Пусть выполнено условие ( 1 2 ) . Как мы выяснили в §§ 2 и 3, решение задачи ( 1 ) , (2) представляется в виде ( 3 2 ) , где

juti,

. . . , fjtⁿ выражаются через

vi,

. . . , vⁿ при помощи фор-