Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, К расчету сверхзвукового обтекания конических тел, Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 1973, том 13, номер 6, 1557–1572
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
3 ноября 2022 г., 22:24:35
Том 13 Ноябрь 1973 Д е к а б р ь
УДК" 517.9:533.7 К РАСЧЕТУ СВЕРХЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ КОНИЧЕСКИХ Т Е Л
М. Я. ИВАНОВ, А. Н. КРАЙКО (Москва)
К о н е ч н о р а з н о с т н а я схема [*• 2] , п р е д л о ж е н н а я ранее д л я расчета пространственных сверхзвуковых течений, будучи записанной в сфери
ч е с к и х координатах, п р и м е н я е т с я к расчету сверхзвукового обтекания р а з л и ч н ы х конических т е л : кругового, эллиптического и близкого к пи
р а м и д а л ь н о м у конусов, треугольного и V-образного к р ы л ь е в и комби
н а ц и и треугольного к р ы л а и кругового конуса. При этом р е ш е н и я , опи
сывающие соответствующие конические течения, в ы р а б а т ы в а ю т с я в про
цессе у с т а н о в л е н и я по радиальной координате. И с п о л ь з у е м а я р а з н о с т н а я схема я в л я е т с я сквозной, что позволяет проводить расчет без в ы д е л е н и я в н у т р е н н и х у д а р н ы х волн, которые образуются, н а п р и м е р , на подвет
ренной (теневой) стороне конусов при достаточно больших у г л а х ата
ки. В то ж е в р е м я расчет головной ударной волны, выделение которой п р е д с т а в л я е т с я целесообразным, не требует в к л ю ч е н и я в программу д л я ЭВМ к а к о ю - л и б о дополнительного алгоритма, т а к к а к счет у д а р н ы х волн (вернее, взаимодействия двух р а в н о м е р н ы х сверхзвуковых потоков) составляет, один и з элементов у к а з а н н о й разностной схемы.
Введение
В опубликованных до настоящего времени работах, посвященных чис
ленному решению задач сверхзвукового обтекания конических тел, отлич
ных от кругового конуса под нулевым углом атаки, используются два под
хода. При первом подходе интегрируются уравнения конического течения, при получении которых учитывается независимость параметров потока от радиальной координаты, отсчитываемой от вершины обтекаемого тела. По
следнее обстоятельство, снижая число независимых переменных до двух, позволяет применять такие весьма эффективные методы, как метод инте
гральных соотношений, метод прямых, метод характеристик и т. д. Из ра
бот данного направления укажем лишь наиболее поздние исследования [3~5] , содержащие обширную библиографию по данному вопросу (отметим, что некоторую информацию по численным методам решения задач сверх
звукового обтекания конических тел можно найти также в монографии [6] , посвященной в основном аналитическим методам и исследованию качест
венных особенностей конических течений).
Уравнения конического течения в ударном слое, заключенном между поверхностью тела и головной ударной волной, имеют эллиптический (как в случае кругового конуса при сравнительно малых углах атаки) или сме
шанный (эллйптико-гиперболический) тип. В последнем случае в области
1558 М. Я. Иванов, А. Н. Крайко
течения может иметься не одна, а несколько подобластей эллиптичности уравнений, причем форма границ различных подобластей заранее не из
вестна. Более того, подобласти гиперболичности, как правило, замыкаются скачками уплотнения, что в рамках двумерной задачи может существенно*
затруднить использование перечисленных выше методов. Вследствие этого данный подход находит широкое применение либо в случаях, когда в удар
ном слое заведомо отсутствуют внутренние скачки уплотнения, либо при расчете потока не во всем, а в части ударного слоя. Так, например, в [3] течение на наветренной стороне конусов, обтекаемых под большими углами атаки, рассчитывалось методом прямых, а на боковых сторонах — методом характеристик. В то же время в верхней эллиптической области, которая примыкает к подветренной стороне конуса, течение в указанной работе не рассчитывалось.
Другой подход, применение которого для расчета конических течений становится все более широким, основывается на интегрировании не дву
мерных, а трехмерных уравнений и на использовании процесса установле
ния по радиальной координате. Будучи впервые применен К. И. Бабенко и Г. П. Воскресенским [7] , он получил дальнейшее развитие в ряде иссле
дований и, в частности, в работах [8~1 2] . Если, как это имеет место во мно
гих практически интересных случаях, радиальная составляющая скорости газа превосходит скорость звука, то система используемых при расчете уравнений пространственного течения во всем ударном слое является ги
перболической, что, несмотря на повышение размерности задачи, нередко*
существенно упрощает решение.
Тем не менее в случаях, когда применяемые разностные схемы преду
сматривают выделение различных поверхностей разрыва, наличие в потоке достаточно сложных конфигураций внутренних скачков уплотнения и при таком подходе существенно затрудняет построение численных алгоритмов,, а также составление и отладку программ для ЭВМ. В связи с этим при решении уравнений пространственного сверхзвукового течения, используе
мых при расчете обтекания конических тел, все большее распространение находят конечноразностные схемы, допускающие сквозной счет, при кото
ром поверхности разрыва заранее не выделяются, а получаются в процессе счета как области резкого изменения параметров. Именно такая конечно- разностная схема в сочетании с процессом установления по радиальной ко
ординате используется и в настоящей работе. Указанная схема есть запи
санный в сферических координатах вариант схемы, предложенной авторами в 2] , применявшейся там для расчета сверхзвуковых течений в двумер- пых и пространственных каналах и струях и являющейся стационарным аналогом известной схемы С. К. Годунова [1 3 , 1 4] .
Следует отметить, что так как одним из элементов примененной ниже схемы является решение автомодельной задачи о взаимодействии двух рав
номерных сверхзвуковых потоков (для определения параметров на грани
цах каждого элементарного многогранника), то при ее использовании выделение головной ударной волны проводится без введения каких-либо- дополнительных алгоритмов, усложняющих программу. Эффективность.
указанной разностной схемы иллюстрируется результатами расчетов обте
кания кругового, эллиптического и близкого к пирамидальному конусов, треугольного и V-образного крыльев и комбинации кругового конуса с тре
угольным крылом. Само перечисление рассчитанных конфигураций, а так
же то, что все расчеты выполнялись по одной программе на ЭВМ М-220, говорит о простоте и универсальности используемого метода (при рассмот
рении приводимых в дальнейшем данных о времени счета нужно иметь в виду, что программа была составлена на алгоритмическом языке АЛГОЛ 60 для транслятора ТА-1М). Вместе с тем, так как указанный ме
тод является методом первого порядка и поэтому при разумном числе рас
четных ячеек не претендует на особо высокую точность, авторы считали необходимым провести, когда это возможно, сравнение с более точными результатами, опубликованными в других работах. Однако и при таком вы
боре примеров приведенные результаты содержат информацию, которую при применении более точных методов (например, L3 , 7'8] ) до сих пор по
лучить не удавалось/Последнее относится, в частности, к картине течения на подветренной стороне конусов, обтекаемых под сравнительно большими углами атаки. Несколько ранее выполнить расчет указанного течения уда
лось лишь авторам работы [1 2] , которые также использовали метод пер
вого порядка.
Из сказанного ясно, что метод, примененный в данной работе, будучи, безусловно, менее точным, чем методы ряда других работ, позволяет полу
чать более полную информацию о течении тогда, когда более точные мето
ды просто не работают, как в случае обтекания под достаточно большими углами атаки. Еще в большей степени возможности метода и его сравни
тельная простота проявляются при расчете обтекания пространственных конфигураций. В то же время недостаточно высокая точность метода не позволяет (при разумном числе расчетных ячеек) исследовать детали тече
ния в тонких энтропийных слоях, а также вблизи особых точек, знание которых в ряде случаев представляет определенный интерес.
§ 1. Основные уравнения ш элементы кокечноразностной схемы
Пусть р — давление, р — плотность, i=i{p, р) — удельная энтальпия, а — скорость звука, и, и и w — проекции вектора скорости газа на оси сфе
рической системы координат гбф, где г отсчитывается от вершины рассмат
риваемого конического тела, ф определяет положение меридиональной плоскости, проходящей через радиус-вектор г и ось х некоторой декартовой системы координат xyz^ а 9 — угол между г и указанной осью. Начало декартовой системы координат также совместим с вершиной тела. Рассмот
рим стационарное течение идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа, причем будем предполагать, что во всей интересующей нас области поток «г-сверхзвуковой», т. е. и>а.
Ограничимся далее случаем совершенного газа с постоянными теплоем- костями, для которого ( х — показатель адиабаты)
i = x / ? / ( x — 1 ) р ,
1560 М: Я. Иванов, А. Н. Крайко
и пусть набегающий на рассматриваемое тело сверхзвуковой поток равно
мерный. Из последнего следует постоянство полной энтальпии и крити
ческой скорости во всей рассчитываемой области.
Как и в [*'2], исходными уравнениями при построении конечноразност- ной схемы служат интегральные законы сохранения, которые формулиру
ются следующим образом. На произвольной сферической поверхности r = c o n s t возьмем некоторый замкнутый контур Г, ограничивающий площад
ку S. Форму контура Г, а следовательно, и площадки S будем считать функциями г. Для определения закона, описывающего их деформацию, до
статочно задать в каждой точке Г касательный к сфере r = c o n s t вектор
%=dn/dr, где dn — проекция смещения Г на свою внешнюю нормаль.
В каждой точке Г вектор | , как и dn, перпендикулярен к радиусу-векто
ру г и полностью определяется своими проекциями г£е и г£ф на оси 9 и ср.
С использованием S, Г и £ интегральные законы сохранения массы и ко
личества движения (в проекции на оси сферической системы координат), эквивалентные с учетом постоянства во всем потоке полной энтальпии диф
ференциальным уравнениям течения и соотношениям на сильных разры
вах, записываются в виде
(1.1) Ц a d0 d<p= $ [ ( с — а |ф) d9—"(Ь—а£в) с2фЛ-. f d9
dr s г s
где a, b, с и f — векторы-столбцы:
ри Р+ри2
г2 sin 9 рии ' г sin 9
риги pw puw риго р-^-рги2.
f
г sin 9
pv рии р-^ри%
pvw 0 2p+p(v*+w*) (p-}-pw2) ctg 9—рии
—pw (v ctg Q-\-u)
В плоскости переменных 9cp, т. е. на сфере r=const, интегрирование вдоль Г в (1.1) осуществляется в положительном направлении (против ча
совой стрелки).
В (1.1) и далее все переменные удобно считать безразмерными. Пусть р. и q* — характерные параметры задачи, имеющие размерности плотности и скорости, в качестве которых возьмем критические плотность и скорость набегающего потока. Обезразмеривание уравнений достигается отнесением плотности к р*, компонент вектора скорости к д*, давления к р*д*2 и удель
ной энтальпии к дЛ Координату г можно считать отнесенной к радиусу сферы начальных данных, от которой начинается счет. В связи с этим на
помним, что получающиеся при установлении, т, е. для достаточно больших г, распределения параметров в ударном слое конического тела не зависят от г, а следовательно, и от выбора характерной длины.
Фиг. 2
Система (1.1) замыкается условием постоянства полной энтальпии, ко
торое в рассматриваемом случае с учетом выбора q* записывается в виде х - 1 р ~ ™ " Х ^ 1 '
где д=У(гг2+г;2+^2) — модуль скорости.
При обтекании произвольного конического тела под углом атаки а бу
дем считать, что вектор скорости набегающего потока, параметрам которого ниже приписывается индекс сю, лежит в плоскости яг/ введеннойфанее, де
картовой системы координат. Ось х указанной системы свяжем с телом и совместим, как это показано на фиг. 1, а, б, с какой-либо из его характер- 13 ЖВМ и МФ, № 6
1562 - .М: Я. Иванов, А. Н. Крайне
вых осей (если таковые имеются), например с осью симметрии для круго
вого конуса, с линией пересечения плоскостей симметрии для тел, имеющих такие плоскости, и т. п. На фиг. 1,а даны также взаимное расположение систем координат и направления отсчета углов ф и 8. В частности, видно, что ф = я отвечает положительному, а ф = 0 — отрицательному лучам оси у.
На фиг, 2 для двух случаев, показанных на фиг. 1, изображены проек
ции на плоскость # = c o n s t части двумерной области, которую образует пе
ресечение ударного слоя со сферой r=const, а также области в плоскости переменных ф0, отвечающие этим проекциям. Здесь и далее двойной лини
ей дана проекция головной ударной волны. При этом фиг. 2, а и б соответ
ствуют фиг. 1, а прр условии, что плоскость ху — плоскость симметрии (данное обстоятельство позволяет ограничиться диапазоном ( Х < р < я ) . В случае треугольной пластины, обтекаемой с присоединенной к ее кром
кам ударной волной (фиг. 1, б, 2, в и г), дальнейшее ограничение рассмат
риваемого диапазона изменения ф до л / 2 обусловлено возможностью раз
дельного рассмотрения наветренной и подветренной областей течения.
Разностная схема, использованная далее цри расчетах, получается в ре
зультате применения законов сохранения (1.1) к элементарным многогран
никам, передние и задние (в направлении роста г) грани которых принад
лежат двум соседним сферическим поверхностям r=r0+hr и r=ri0, где hr — шаг интегрирования по г. Боковые грани указанных многогранников полу
чаются непрерывным перемещением прямолинейного отрезка, соединяюще
го границы передних и задних граней. Выше через г0 обозначено значение г для сферы, параметры газа на которой и, в частности, форма ударной волны, т. е. вид кривой L+ с уравнением 6 = 9+( ' Г0, ф ) , изображенной на фиг. 2 двойной линией, считаются известными (заданными или найденны
ми в результате расчета).
Грани элементарных многогранников, лежащие на сферах г=г0 и г =
=r0+hr, получаются в результате разбиения области, отвечающей в плос
кости фО ударному слою, на четырехугольные ячейки при помощи прямо
линейных отрезков, как это показано на фиг. 2 , 6 и г. По ф рассматривае
мая область разбивается на К вертикальных полос, которым приписывают
ся полуцелые номера й—72, где / с = 1 , . . . , К. Границы полос, которым в плоскости yz отвечают лучи, расходящиеся из начала координат, зануме
руем целыми числами-/с=0, 1 , . . . , К. При этом к=0 соответствует лучу Ф=0, а к=К — лучу ф = я в случае фиг. 2, б и лучу ф = я / 2 в случае фиг. 2, г.
В плоскости ф9 ударный слой сверху ограничен кривой L+, а снизу — аналогичной кривой L~ с у р а в н е н и е м * 6 = 8-( ф ) , которая дает пересечение лучей ф=соп81 с проекцией (на плоскость х=const) сечения тела сферой постоянного радиуса. В случае, изображенном на фиг. 2, в и г, 6 ~ ( ф ) = 0 . Отрезок каждого луча ф = фА, заключенный между кривыми L+ и Zr, делит
ся на N равных отрезков длины (he)h=[Q+ (г0, фь)— В~('ФА) ]/N. Получаю
щимся точкам разбиений приписываются номератг=0, 1 , . . . , N, а отрезкам, заключенным между ними,— полуцелые номера тг—72, где п=1, . . . , iV. При этом /г=0 отвечает кривой L~\ т. е. границе тела, a n=N — ударной волне.
Точки соседних лучей ф—const с одинаковыми номерами п соединяются
прямолинейными (в плоскости фб) отрезками и получающимся в резуль
тате этого элементарным ячейкам присваиваются два полуцелых номера 71—72 и к—7-2, где 7 2 = 1 , . . . . yN и ft=.l,... , i f . Указанные четырехугольные ячейки, лежащие на поверхностях г=г0 и r=r0+hr и имеющие одинаковые номера, берутся в качестве граней S элементарных многогранников, запол
няющих слой r0<r^rQ+hr.
Для обозначения средних по ячейке параметров на поверхности г=г,0 будем использовать малые буквы с соответствующими нижними полуцелы
ми индексами
(р
п-ч
а;
A-V2 И Т . П . ) , а на поверхности r==r0+hr — с такими же верхними индексами (рп~'2'^~'2 и т. п.). Параметрам на боковых сторонах элементарных многогранников будем приписывать, в согласии с нумерацией ячеек S и их границ, один целый и один полуцелый нижние индексы (например, на сторонах, разделяющих многогранники, соседние по ср, пер
вый индекс целый, а второй — полуцелый). Значения параметров, которые получаются при их осреднении по боковой стороне, будем обозначать боль
шими буквами с соответствующими нижними индексами (Rnt к-ча и т. д.) и, как в [*•2> 1 3'1 4] , называть «большими» величинами.
Отметим, что прямолинейным границам элементарных ячеек в плоскот сти фб отвечают криволинейные отрезки в плоскости yz. Кроме того из-за возможного поворота сторон указанных ячеек при переходе от поверхности г=г0 к поверхности r=r0+hr боковые грани элементарных многогранников в общем случае не являются плоскими (даже если построение проводится в переменных г0ф, рассматриваемых как прямоугольные координаты).
В связи с этим, наряду с боковыми сторонами таких многогранников, в ис
ходном физическом пространстве введем «боковые» плоскости, проходящие через среднюю точку ребра, принадлежащего поверхности r'=r0+hr, и пря
мую, касающуюся середины соответствующего ребра поверхности г = г0. Введенные таким путем плоскости используются при определении боль
ших величин.
В случае обтекания треугольных крыльев типа крыла, изображенного на фиг. 1, б, равномерным по ф ячейкам в плоскости ф0 вблизи оси абсцисс в плоскости yz отвечают ячейки, размеры которых в окружном направле
нии при приближении к оси х, т. е. к точке y=z=0, быстро уменьшаются.
Чтобы избежать нежелательных (с точки зрения условия устойчивости) эффектов сгущения сетки, в подобных случаях при расчете, как и в [2] , проводится объединение ячеек (и соответствующих многогранников) путем
«выбрасывания» границ, показанных на фиг. 2, в и г пунктиром. Послед
нее проводится так, что длины ребер получающейся в результате ячейки со сплошными границами в плоскости yz оказываются близкими. Заметим, кстати, что ячейки, получившиеся после выбрасывания границ, как прави
ло, не являются четырехугольными.
Разностная схема, при помощи которой по величинам на поверхности г = г0 и по параметрам на боковых гранях элементарных многогранников (большим величинам) определяются параметры на поверхности г==
=r0+hr, получается интегрированием (1.1) по г от г = г0 до r=r0+hr с по
следующим применением теоремы о среднем. При этом в качестве 5 и Г 13*
/1564 М. Я. Иванов, А. Н. Крайко
в (1.1) берутся сечения построенных выше элементарных многогранников сферическими поверхностями r = c o n s t при r0^ r ^ rl 0+ f tr.
В случае ячейки, не разделенной пунктирными линиями и не примы
кающей к ячейкам подобного типа, результирующие конечноразностные соотношения могут быть записаны в виде
ап - /2, * - / * = a^ _v^ k_xjt + Qni ft_l/a Qn-if ft_i/2 + (?Ti-V2, h Qn-Чг, k-i,
P"-*: *-%+ (Mr) n,»_./- (Mr) „ _ , ; к_.Л+'
+ (ATV)n-v„ ( A fT) „ _ * , , - , + 0 . 5 [ < Fr) * - * + ( Fr) „ _ . , , , - . / , ] , '
k-4t=ln-% *-•/,+ (Me) n, (Me) n-i,
(1.2)
+ (ЛГ e).n-v„ A - (Me) n-v,, , - 1 + 0 . 5 [ ( Fe) »-'''• ( Fe) „-.,„ * - / , ] ,
+ (Мф) n_,/ 2,A_ (Мф) n_./ 2, A_T+ 0 . 5 [ ( Fv) « - \ * ~ 'А+ (/гф) n_,/2> >_,,,].
Здесь
а = р и Д , (5=(/?+ри2) А, if=pBz;A, с о = р ш М , ( ) = i ? ( t / A - F 6 - P F e ) , Mr=UQ+PA,
{1.3) Же= У ( ? - Р б , Д р = И ^ - Р е ,
Fr=[2p7f-p(z;2+M;2)]fee6,: Fe= [ (p+pw2) ctg 9 - р ш ; ] М ,
? ^ф= - р ш {u+v ctg 0 ) feE6, A=r2heh9 sin 6 ,
] 6 = Г АГАФЗ 1 П 0 , E=rhrhQ
и йф — протяженность соответствующей стороны элементарной ячейки по ф.
В случае фиг. 2, а и б при равномерном разбиении по ф имеем hv=n/K.
В согласии со сказанным ранее, величины £/, F, Р и i? в формулах (1.3) суть осредненные по соответствующим боковым граням рассматриваемого элементарного многогранника значения и, и, w, р и р.
Большие величины, входящие в выражения для Q, МВг..,, как и в [1 ( 2] , находятся из решения автомодельной задачи взаимодействия двух равно
мерных полубёсконечных сверхзвуковых потоков. Линия соприкосновения этих потоков считается совпадающей с прямой, касающейся середины реб
ра соответствующей элементарной ячейки сферы г = г0. Параметры взаимо
действующих потоков берутся равными параметрам газа в ячейках той же сферы, примыкающих к рассматриваемому ребру, т. е. известным величи
нам с нижними полуцелыми индексами. Следует подчеркнуть, что при ре
шении указанной автомодельной задачи векторы скорости в двух соприка
сающихся ячейках предварительно должны быть спроектированы на оси одной и той же прямоугольной системы координат. Последнее при расчетах удобно делать в два этапа: сначала перейти к связанной с телом системе xyz, а затем — к прямоугольной системе, одна из осей которой направлена
по линии соприкосновения взаимодействующих потоков. Напомним, что проекции на эту ось векторов скорости каждого потока на взаимодействие не влияют и сохраняются неизменными вплоть до плоскости, совпадающей в автомодельной задаче с поверхностью тангенциального разрыва. Боль
шие величины (£/, V, ....) полагаются равными параметрам газа на плос
кости, совпадающей с введенной ранее боковой плоскостью. -
Модификации, вносимые в (1.2) при вычислении параметров в ячейках, разделенных пунктирными границами, соприкасающихся с подобными ячей
ками или примыкающих к поверхности тела, аналогичны описанным в [1 ,2 1 . В указанных работах приведены также формулы, дающие решение необходимых автомодельных задач, и изложен порядок определения и , и , . . . с верхними полуцелыми индексами из системы (1.2).
Расчет каждого нового сечения r=const начинается с построения удар
ной волны (линии Х+) . При этом сначала из решения автомодельной зада
чи взаимодействия набегающего невозмущенного потока и потока в каждой ячейке, примыкающей к ударной волне (при г = г0) , находится ориентация плоских элементов (боковых плоскостей), касающихся ударной волны между сечениями г = г0 и r=r0+hr. Компоненты вектора скорости набегаю
щего потока, участвующего во взаимодействии, берутся в средних точках соответствующих отрезков ударной волны (линии L+) при г = г0 и опреде
ляются формулами %
u=q(X) (cos a cos 6—sin a sin 8 cos ф), .;•
v=—qQO (sin a cos 6 cos ф+cos a sin 8), w^q^ sin a sin ф.
Каждый построенный в результате решения автомодельной задачи плоский элемент ударной волны позволяет найти координаты средних то
чек элементарных отрезков, образующих линию L+ при r = r0+ f er. Коорди
наты точек стыковки указанных отрезков, необходимые для построения расчетной сетки в сечении г = г0+ / гг, определяются так же, как в рассмот
ренном в [2] случае границы пространственной струи. Естественное исклю
чение составляет точка ударной волны, совпадающая с проекцией на сферу r = c o n s t кромки крыла (см. фиг. 2, в ) .
Как уже указывалось в [*•2], исследование разностной схемы и конеч- норазностного аналога краевой задачи проводится в данном случае так ж е , как в [1 3-1 4 ], отличаясь от указанных исследований лишь частностями тер
минологического характера. Исключение составляет укрупнение ячеек раз
ностной сетки вблизи оси сферической системы координат. Обоснованием этого приема служило сравнение с результатами расчетов, выполненных без такого укрупнения, и с приводимыми далее результатами4других авто
ров.
§ 2 . Некоторые примеры расчета обтекания конических тел
Описанная выше разностная схема с использованием процесса установ
ления по г применялась для расчета обтекания различных конических тел равномерным сверхзвуковым потоком совершенного газа с х—1.4. Во всех,
1566 , М. Я. Иванов, А. Н. Крайко
рассмотренных случаях в сечении начальных данных параметры во всем Ударном слое полагались равными параметрам невозмущенного потока, а Ударная волна (линия L+), как правило, задавалась дугой окружности
•9+.=const. Интегрирование велось в два этапа: сначала — на крупной сетке (NXK==7X8=5Q), а з а т е м - н а более мелкой (ЛГХЛГ«300^400).. Результа
ты, полученные на крупной сетке, после линейной интерполяции по ф и 0 брались в качестве начальных данных для дальнейшего установления на более мелкой сетке.
При представлении результатов, часть которых показана на фиг. 3—12, используются «конические» переменные ц—у/х \\\=—zlx. Мелкая сетка, применявшаяся при получении результатов, изображенных на фиг. 3—6, содержала A/XiT=13X32=416 ячеек, а на остальных фигурах NXK=
==16X20=320 ячеек. Здесь указывается число ячеек в минимальной (с уче
том имеющихся плоскостей симметрии) области. Полное время установле
ния составляло от двух до шести часов.
Фиг. 3—5 отвечают обтеканию кругового конуса под ненулевым углом атаки. На фиг. 3, а и б представлены результаты расчета обтекания конуса о полууглом при вершине 0А=20° сверхзвуковым потоком с числом Маха Моо=7 в случае двух углов атаки а=15° и 30° соответственно. На фигуре в переменных nJ; показаны поперечное сечение конуса, ударная волна
(двойная линия) и линии постоянства числа Маха Мт, подсчитанного по составляющей вектора скорости, касательной к сфере r = c o n s t . Значения Мт указаны цифрами около некоторых из линий MT= c o n s t , остальные ли
нии постоянства Мт построены через интервал Д МТ= 0 . 1 . Отметим, что чис
ло Маха Mx=qx/a, где gT=V (v2+w2), определяет тип системы уравнений конического течения. При Мт< 1 указанная система эллиптична, а при M T ^ I — гиперболична. В соответствии с этим в случае фиг. 3, а ( а = 1 5 ° ) эллиптическая область занимает большую часть ударного слоя. При увели
чении угла атаки область гиперболичности растет и доходит до поверхности конуса (см. фиг. 3,6, а = 3 0 ° ) , разделяя область эллиптичности на две подобласти — нижнюю и верхнюю. Нижняя эллиптическая подобласть при
мыкает к наветренной стороне конуса и имеет структуру, аналогичную структуре дозвуковой зоны перед затупленным телом. Как показано в [3] , образование верхней эллиптической подобласти связано с возникновением вблизи плоскости симметрии внутренних ударных волн, которым на фиг. 3, б отвечает сгущение линий MT= c o n s t .
Для сравнения на фиг. 3, а кружочками нанесены точки ударной волны и линии Мт=1,- взятые из [8] , а на фиг. 3, б — аналогичные данные, полу
ченные в [ ^ Н а п о м н и м , что верхняя область эллиптичности в [3] не рас
считывалась. Более аккуратное сравнение формы ударной волны, т. е. кри
вой 0 = 0+( ф ) , для случая, отвечающего фиг. 3, а, проведено на фиг. 4, где сплошная линия — результат данной работы, кружочки, как и на фиг. 3, а,—
результаты работы [8] , а треугольники— работы [4] .
Наконец, на последней фигуре, относящейся к обтеканию кругового ко
нуса (фиг. 5 ) , показаны кривые распределения давления для конуса с 0Л==1О° при Моо=5 и двух углах атаки (цифры у кривых). Видно, что при
а = 2 0 ° на подветренной стороне конуса (в окрестности оси г), отвечающей
<р=я) имеются узкие области резкого возрастания давления, которые соот
ветствуют скачкам уплотнения, ограничивающим сверху (см. фиг. 3, б) об
ласть гиперболичности уравнений конического течения. Штрихами на той же фигуре дано распределение давления, полученное в [1 2] при 640 рас
четных ячейках, а пунктиром — значение р для нулевого угла атаки. При
Фиг. 3
рассмотрении фиг. 3 и далее следует иметь в виду, что вблизи поверхности конуса имеется тонкий вихревой слой [6-1 5 ], в котором наблюдается резкое изменение параметров газа, отличных от давления. Поэтому, в согласий со сказанным ранее, представленные на соответствующих фигурах линии ти
па Mt= c o n s t вблизи поверхности тела могут недостаточно правильно отра
жать действительное распределение параметров.
Следующие две фигуры относятся к обтеканию конуса, поперечное се
чение которого имело форму эллипса («эллиптический конус») с отношени
ем полуосей 2 : 1 , причем в направлении большой полуоси 0+= 6+( я / 2 ) =
= 2 0 ° . На фиг. 6 изображены поперечное сечение конуса, головная ударная волна и линий MT=const в случае М«>=7 и а = 3 0 ° . Линии постоянства Мт везде, кроме окрестности нижней «звуковой» линии ( Мт= 1 . 0 ) , построены через ДМт==0;1. Кружками даны точки ударной волны и звуковой линии, полученные в [3] . Видно, что внутренний скачок уплотнения, возникаю
щий на теневой стороне конуса, в данном случае интенсивнее, чем при обтё-
1568 М.Я.Иванов, А. Н.Крайко
Фиг. 5 * . Фиг. 6
кании (под тем же углом атаки) кругового конуса. Последнее связано с большим разгоном потока, текущего вдоль поверхности конуса снизу вверх
(против часовой стрелки). Отметим, что вблизи верхней части плоскости симметрии картина течения представляется весьма сложной. Хотя достиг
нутая при использованном количестве расчетных ячеек точность не позво
ляет с уверенностью судить о величине продольных составляющих скорости, т. е. v и w внутри области, ограниченной линией Мт= 0 . 2 , однако не исклю
чено, что в рассматриваемом примере имеет место «всплывание» особой точки Ферри с поверхности конуса [1 5 , 1 6 ]. Подчеркнем, что в действитель
ности в ситуациях типа изображенной на фиг. 6 решающая роль в формп-.
ровании картины течения принадлежит вязкости и связанному с ней отры
ву потока на теневой стороне конуса.
Расположение особых точек в случае того же эллиптического конуса достаточно интересно и на нулевом угле атаки. Для Мо, = 2 5 , 3 3 соответст
вующие результаты представлены на фиг. 7, а, где показаны линии Мт—
=const, и на фиг. 7 , 6 , на которой, также в плоскости £г), изображены ли
нии тока (цифры над кривыми — значения р/р*; в набегающем потоке
Фиг. 9
1570 М. Я. Иванов, А. Н. Крайко
0.06
здесь и далее /?оо/роох=0.714). Видно, что при обтеканий эллиптического конуса под нулевым углом атаки точки поверхности, лежащие на оси т), являются особыми точками типа узла («точками Ферри»), а на оси £ — особыми точками типа седла.
Еще более интересна картина течения, реализующегося при обтекании конуса, близкого к пирамидальному (фиг. 8 ) . Поверхность такого конуса (и одновременно — поперечное сечение в переменных £т]) задавалась урав
нением £5+n5==tg5 20°, из которого, кстати, следует, что полуугол при вер
шине конуса в плоскостях ху и xz равен 20р. Данный конус имеет че
тыре плоскости симметрии: т]=0,
£ = 0 , Г|=Е; и г)=—£, что находит свое отражение и в конфигурации линий MT=const ж pi px=const. На фиг. 8, а и б эти линии, а также поперечное сечение тела и голов
ной ударной волны построены для случая Моо=4 и а = 0 . Четырем пе
речисленным выше плоскостям симметрии отвечают восемь особых .; точек на поверхности конуса: че
тыре седловые и четыре узловые.
На фиг. 9 и 10 представлены результаты расчета обтекания тре
угольных крыльев (пластин нулевой толщины), имевших сверхзвуковые передние кромки. В рассмотренных случаях верхняя и нижняя поверхности крыла обтекаются независимо, причем ударный слой, образующийся при
-ОМ
Фиг. 10
р 0.3
0.1
о
оГг ом~~ оЪ ~аёГ
Фиг. 11
02 • 0Л 0.6 0.8 s°
Фиг. 12
положительных углах атаки у нижней поверхности, ограничен присоеди
ненным к передним кромкам головным скачком уплотнения. Со стороны верхней поверхности каждая из передних кромок обтекается с образова
нием косой центрированной волны Прандтля — Майера.
Головная ударная волна, возникающая около нижней поверхности кры
ла с углом стреловидности Л = 7 5 ° в случае Мт о= 6 . 8 и а = 1 3 ° , показана на фиг. 9 двойной линией (£° — значение £, отнесенное к величине, которая
соответствует передней кромке; определение угла стреловидности Л дано на фиг. 1). На той же фиг. 9 штрихами и кружочком нанесены эксперимен
тальные результаты, полученные в [1 7] с использованием различных мето
дов измерений.
Распределение коэффициента давления ср= 2 (р—р^/p^qJ по размаху треугольного крыла в случае Л = 4 5 ° , Моо=3 и а = 4 ° показано на фиг. 10.
Верхней (нижней) поверхности крыла на фигуре отвечают нижние (верх
ние) кривые, причем штрихами для сравнения приведены результаты, по
лученные в [1 0] методом характеристик, а кружочками — результаты рас
чета, выполненного в [1 2] . В обоих случаях также использовался процесс установления. Число расчетных точек в [1 2] более чем в два с половиной раза превосходило число ячеек настоящей работы.
Распределение коэффициента давления вдоль нижней поверхности кон
фигурации, составленной из треугольного крыла с Л = 6 5 ° и полуконуса с 6А=12.5°, в случае М»—5.08 и а—11° приведено на фиг. И . Светлыми кружочками на фигуре показаны результаты [1 2] , полученные при 330 рас
четных точках, а темными — экспериментальные данные, цитированные в той же работе.
Последняя фигура относится к обтеканию сверхзвуковым потоком с М 0 0 = 3 . 9 5 . одного из V-образных крыльев, ранее рассчитывавшегося в [и] .
В рассматриваемом примере угол между ребром крыла и вектором скоро
сти набегающего потока —угол атаки а=—10°; угол стреловидности каж
дой плоской половинки крыла Л=60.5°, а двугранный угол между ними (угол «V-образности») равнялся 80°. На фиг. 12 дано распределение коэф
фициента давления по внутренней поверхности крыла ( 5 ° введено анало
гично £°? s отсчитывается от ребра к кромке). Штрихами на указанной фи
гуре нанесены результаты [и] , полученные при 1254 расчетных точках.
В заключение авторы выражают признательность А . М . Конкиной, J I . П. Фроловой и В. М . Шувариковой за помощь в работе.
Поступила в редакцию 16.06.1972 Переработанный вариант 9.04.1973 Цитированная литература
1. М. Я. И в а н о в , А. Н. К р а й к о, Н. В. М и х а й л о в . Метод сквозного счета д л я д в у м е р н ы х и пространственных сверхзвуковых течений. I. Ж . вычисл. ма
тем. и матем. физ., 1972, 12, № 2, 4 4 1 - 4 6 3 .
2. М. Я. И в а н о в, А. Н. К р а й к о. Метод сквозного счета д л я д в у м е р н ы х и прост
р а н с т в е н н ы х сверхзвуковых течений. П. Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1972, 12, № 3, 8 0 5 - 8 1 3 .
3. А. П. Б а з ж и н, О. Н. Т р у с о в а, И. Ф. Ч е л ы ш е в а . Расчет течений совер
шенного газа около эллиптических конусов при больших у г л а х а т а к и . Изв. АН СССР. Механ; ж и д к о с т и и газа, 1968, № 4, 4 5 - 5 1 .
4. П. И. Ч у ш к и н . Обтекание конуса со сверхзвуковой скоростью под углом ата
ки. В «Сб. теор. работ по гидромеханике». М., ВЦ АН СССР, 1970, 3 0 - 53.
5. Е. A. A k i n f е 1 е г е. The calculation of inviscid hypersonic flow p a s t the lower surface of a delta wing. J. Fluid Mech., 1970, 44, № 1, 1 1 3 - 1 2 7 .
6. Б . M. Б у л а х . Н е л и н е й н ы е конические т е ч е н и я газа. М., «Наука», 1970.
7 . К. И. Б а б е н к о, Г. П. В о с к р е с е н с к и й . Ч и с л е н н ы й метод расчета прост-
