физ., 2003, том 43, номер 5, 664–671

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. Л. Меньшиков, Обратная задача Крылова, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 2003, том 43, номер 5, 664–671

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 01:22:49

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2003, том 43, № 5, с. 664-671

УДК 519.6242

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА КРЫЛОВА

©2003 г. Юо Л» Меньшиков

(49050 Днепропетровск, ул. Научная, 13, Днепропетровский нац. ун-т, Украина) e-mail: mmf@jf.dsu.dp.ua

Поступила в редакцию 15.05.2001 г.

Переработанный вариант 01.03.2002 г.

Рассмотрена задача Крылова о действительных показаниях индикатора Виккерса при измере­

нии давления в компрессорах корабельных орудий. Приведены решения математической за­

дачи в первоначальной постановке Крылова и как задачи идентификации внешнего воздейст­

вия на осциллятор. Во втором случае задача сводится к решению линейного интегрального уравнения Вольтерра I рода с приближенно заданным ядром. Решение этого уравнения вы­

полняется методом регуляризации Тихонова с использованием метода выбора специальной математической модели. Выполнены расчеты по реальным экспериментальным данным.

Библ. 8. Фиг. 2.

1. В В Е Д Е Н И Е

В январе 1914 г. при испытании стрельбой на полигоне пробной установки партии готовых 12-дюймовых орудий, предназначенных для линейных кораблей, диаграммы давления в цилинд­

ре компрессора снимались специальным индикатором Виккерса (см. [1]). При этом получилась кривая (перемещение поршня индикатора), представленная на фиг. 1 (см. [1]).

Согласно этим измерениям, максимальное давление в цилиндре компрессора составляло 45 МПа, что превышает расчетное давление 25 МПа почти в два раза. Замена партии готовых орудий новыми потребовало бы дополнительных расходов в размере 2.5 млн. з о л о т ы х рублей и значительно отдалила б ы срок готовности кораблей. Произведенные К р ы л о в ы м исследования показали, что индикатор Виккерса работал во время испытаний в условиях, когда показания прибора значительно отличались от действительных. В процессе исследования этого вопроса ученым первоначально б ы л а рассмотрена следующая обратная задача: используя кривую дви­

жения поршня индикатора Виккерса и уравнение движения модели индикатора (масса на пружи­

не), определить действительное давление в цилиндре компрессора (действительное внешнее воз­

действие). Приведем решение данной задачи методом, предложенным К р ы л о в ы м в [1].

Уравнение движения поршня индикатора было выбрано в ф о р м е

х( 0 + ( о²х( 0 = ^ = ^P(t), (1)

где P(t) - давление на поршень, S - площадь поверхности поршня, М - приведенная масса поршня (М = 0.472 кг), x(t) - движение поршня во время испытаний, со - частота собственных колебаний поршня на пружине (со² = 3.18 х 10⁶ с^{- 2}) .

10 12 14 16 18 Время, 0.0003 с Фиг. 1.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА КРЫЛОВА

Кривая движения поршня б ы л а аппроксимирована следующими зависимостями:

Л1(0 = [ l. 5( l - ^{c o s}<^{x 2 T C ?}> ) - 0. 2 5( l - £2£HH)J

665

10 [ м ] , t € [ 0 , 0 . 5 т ] ,

х²( 0 = 2.0 + C O s [ 2 j t (^ ° -^{5 T ) ]} - 0 . 2 5( l - C O S[ 4 * ( / - 0 . 5T ) ] ^^{1 0}- 2 ^{[ м] ; f e [ a5X fX ]t}

*³( 0 = . 5 ( 1 - 0 . ; ,cos[2n(t-x)]

10~² [ м ] , te [ т , 1.5т], где х - период собственных колебаний поршня на пружине, т = 0.0036 с.

Аппроксимация действительной функции x(t) функциями x^k(t) была выполнена Крыловым на­

столько хорошо, что погрешность не превышала толщины карандашной линии на графике пере­

мещений поршня индикатора.

После подстановки функций x^k(t) в уравнение (1) будем иметь

P\{t) = 18.76+ 1499cos3560^ [ М П а ] , te [ 0 , 0 . 5 т ] ,

P²(t) = 26.25 + 2.87 cos [ 1 7 8 0 ( г - 0 . 5 т ) ] + 2.43 cos [ 3 5 6 0 ( / - 0 . 5 т ) ] [ М П а ] , te [0.5т, т ] , Р³( 0 = 22.5 [ М П а ] , te [ т , 1.5т].

В целом P^k(t) (к = 1,2, 3) на отрезке te [0; 1.5т] представляет собой разрывную функцию. Та­

кой результат не соответствует физическому смыслу задачи, и поэтому Крылов отказался от та­

к о г о метода ее решения.

2. П О С Т А Н О В К А О Б Р А Т Н О Й З А Д А Ч И

Рассмотрим эту задачу с позиции теории идентификации внешних воздействий (см. [2]-[4]). За­

пишем более полную математическую модель рассматриваемого процесса:

м\(х) + 2В&) + С\(х) = SP(x) = Г|(т). (2) Перейдем к безразмерным переменным. Масштабирующие величины были выбраны следую­

щими: ^^{т а х} = 3 х 10"2 м, хт а х = Т= 0.0057 с, Мт а х = 0.472 кг. Тогда

где

= ~м—

Сх

x\t) + 2bx(t) + со x{t) = z(t),

z(0

T TKfl, x(t)=^-^(t\ t=-±-

^ max Smax Smax ^ma:

Решение этого уравнения м о ж н о представить в виде

t

I siniD^t - a)Qxp[-b(t - G)]z(o)dc = Apz = ub{t) = Bpx^b, (3)

где

u^b(t) = (uAx^b(t)-exip(-bt) x^b(0)cos((o^xt) + — [-bx^b(0) + i⁶( 0 ) ] s i n ( c o¹0 C0i

w^s(0 e f/, xb(t) - известная из эксперимента функция, x§(t) е X; щ = Jw² -b²; А^р - линейный инте­

гральный оператор, зависящий от вектор-параметров математической модели р, А^р : Z — » U;

В^р- линейный оператор, т а к ж е зависящий от вектор-параметров математической модели р, B^p:X-*U;ze Z.

Будем полагать, что Z = С[0, 1] ([0, 1] - отрезок времени, на котором исследуется поведение функции z(t)\ U = L ^ O , 1], X = С[0, 1].

Погрешность экспериментально измеренной функции x$(t) по отношению к точной функции x^T(t) задана и равна \\x^b(t) -x^T(t)\\^2x < 0.0011 = 5².

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 5 2003

666 МЕНЬШИКОВ

Поскольку исследуется поведение и величина реального давления, то необходимо учитывать погрешность операторов А^р и В^р в уравнении (3) (задача распознавания, см. [2]). П а р а м е т р ы ма­

тематической модели (масса М, жесткость пружины С и характеристика вязкого трения В) пола­

гаются заданными с погрешностью, и считается, что они могут принимать значения в известных пределах:

м°<м<м,

с°<с<с, в°<в<в.

Следовательно, б е з р а з м е р н ы е параметры могут принимать значения в пределах

m ° < m < m , с ° < с < с , b°<b<b. _{( 4 )} Неравенства ( 4 ) определяют для вектора р = (т, Ь,с)* = (р^и р², р³)* (звездочка - знак транспо- нирования) н е к о т о р у ю ограниченную замкнутую область 2) в пространстве R , в к о т о р о й он мо­

ж е т изменяться.

Пусть рс р = (0.5(т° + т), 0.5(6° + S), 0.5(с° + с)* = ( тс р, bcp, сс р))* е 2).

Предполагается при этом, что точные операторы А^т и В^т в уравнении (3) удовлетворяют не­

равенствам

К

J

IА

Ц

р е 2)

р е 2)

Оценим максимальную величину погрешности операторов Ар и Вр:

| | АТ- А I! с L < sup | | ATz - A z\\L < sup sup ||A z - Ap z\\L <

и Pcpiic->L² и^^г\\ ^Pep IIL^{2 р б}^^{) И}Д¹Н P Ря> Hi*

(5)

(

f f [ e x p ( - b^{c p}( r - x ) ) s i n ( c o¹ ( r - T ) ) - e x p ( - b ( r - x ) ) s i n ( c o¹( f - T ) ) ] z ( T ) t / T I :

J

0L0

< sup<

P€ Щ

J | e x p ( - Z ?^{c p}( r - T ) ) s i n ( c o^{l c p}( r - T ) ) - e x p ( - Z ? ( r - T ) ) s i n ( c o¹( r - T ) ) | r f x

2-» 0.5

где col c p = *Jccp/mcp-b2cp , щ = Jc/m-b2,T{ = t-v,

< sup sup \ f [ A c o1x ( O - e x p ( - bc p0{ [ - bc px ( 0 ) + i ( 0 ) ] s i n ( c ol c p0 + 0 )^{l c p}x ( +

Г

+ exp(-bt){[-bx(0) + i ( 0 ) ] s i n ( c o¹0 + c o¹x ( 0 ) c o s ( c o¹0 } ]²^ f =

где До)! = 0 ) ^ - 0 ) ! .

Будем полагать, ч т о М° = М = М = 0.472 кг, С° = С = С = 1.5 мН/м, В0 = 0, В = 166 кг/с. Тогда m° = m = m = l , c ° = c = c = юз, b° = 0, £ = 2, О)! = 10.15, Z?cp = 1, со1 с р = 10.05.

Подсчет величин h и d выполнялся численными методами с учетом того, что максимальное зна­

чение по вектору р достигается в угловой точке области 2 при b = b, а также ч т о х(0) = i (0) = 0.

В результате получили h = 0.09333, d = 0.1. Поскольку в данной задаче р ечь идет о нахождении реального внешнего воздействия (давления на поршень), то ее следует отнести к задачам распоз­

навания внешних воздействий (см. [2], [3]). Согласно идеологии таких задач, множество возмож­

О Б Р А Т Н А Я З А Д А Ч А К Р Ы Л О В А 667 четах в качестве р принимаем рф) :

Q^Kdtb = {ze Z; \\A^PcpZ-В^Рсрх^ь\^и<ЬЬ⁰ +d\\xi^c +h\\z\\^c}, где b⁰ = s u p | | 5 j , | | A^T- A^pJ^c^²< / i ,

||fi

-fi

J

^

<rf.

p e 2)

Множеству Q^K ^ ⁵ гарантированно принадлежит точное решение z^T уравнения (3) в силу нера­

венств (4).

3. М Е Т О Д Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И Р А С П О З Н А В А Н И Я

Предположим, что исследуется некоторая характеристика функции z^ (например, максималь­

ное значение на отрезке [0, 1], минимальное отклонение от нуля в среднеквадратичном смысле и т.д.). Пусть значение функционала Q.[z] количественно о т р а ж а е т эту выбранную характерис­

тику точной функции Тогда решение z экстремальной задачи

Q[~z] = inf Q[z] (6) будет являться оценкой снизу по выбранной характеристике для точной функции z^T среди всех

функций множества QK ^ 6, т а к к а к очевидно, что Q[~z]<Q[z^T].

З а исследуемую характеристику принимаем максимальное значение давления. И з физичес­

ких соображений ясно, ч т о реальное давление не м о ж е т иметь осциллирующего характера, т а к к а к отсутствуют причины, которые могут вызвать такой характер изменения реального давле­

ния. Кроме того, функция zT должна б ы т ь достаточно гладкой, т.е. zT е w\ [0,1]. Будем полагать, что реальное давление имеет только один максимум, после которого оно монотонно убывает.

В такой ситуации за количественный показатель исследуемой характеристики реального давле­

ния выбирается значение функционала

Q[z]

= 1к11^

= l(qiZ

о

Поскольку выстрел из орудия представляет собой быстроизменяющийся процесс, т о можно предположить, что интеграл от первого слагаемого в выражении (7) будет иметь относительно большую величину, нежели от второго слагаемого. Поэтому, выбирая весовые множители рав­

ными q0 = 1, qx = 1, обеспечиваем в качестве решения экстремальной задачи (6) функцию, у к о ­ торой отклонение от нуля наибольшее среди быстроизменяющихся функций.

Решение экстремальной задачи (6) преследует т а к у ю цель: определить, есть ли во множестве возможных решений Q^d,b функция, которая соответствует давлению меньшему, нежели 30 МПа. В случае положительного результата нет о б ъ е к т и в н ы х оснований для отбраковки го­

товых компрессоров корабельных орудий.

Для решения уравнения (3) использовался метод регуляризации Тихонова для уравнений с приближенно заданным оператором с выбором параметра регуляризации по алгоритму обоб­

щенной невязки (см. [6]). Величина м е р ы несовместности полагалась равной нулю. Приближен­

ное решение z экстремальной задачи (6) приведено на фиг. 2 (штриховая линия). Оно имеет мак­

симальную амплитуду 1.29 МПа.

Время, 0.0003 с Фиг. 2.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 5 2003

668 МЕНЬШИКОВ

Таким образом, в Q^h ^ ⁸ нашлась функция, которая соответствует максимальному давлению только 1.29 МПа. Такой результат объясняется тем, что учет погрешностей операторов А^р и В^р в уравнении (3) указанным выше способом приводит к необоснованному расширению множест­

ва Q^Kdtb.

4. М Е Т О Д С П Е Ц И А Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й М О Д Е Л И

Для устранения негативного влияния т а к о г о способа предлагается использовать в расчетах специальную математическую модель о б ъ е к т а (см. [3], [7], [8]).

Введем в рассмотрение множества

Х^ъ = {х : хе X , | | *⁵- J C | |^X< 5 } , U^p = {и : ие U,u = В^рх, хе Х⁵} , б^р = {z : ze Z; A^pze £/^р},

Q = Qp (KJ - объединение по всем р е 2)), zTe Q.

ре

а

Очевидно, что Q с Qh ^ 8 для л ю б ы х 5 > 0 , d > 0 и /г > 0.

Для повышения точности приближенного решения предлагается экстремальную задачу (6) заменить более простой экстремальной задачей (см. [3], [8])

Q[z] = inf Cl[z] = inf inf (8)

zeW²nQ pe^^zeW²nQ^p

Теорема 1. Решение z экстремальной задачи (8) с функционалом Q[z] типа (7) всегда суще- ствует.

Доказательство. Известно, что решение экстремальной задачи Q[zp] = inf Q[z]

ze Wl2nQp

существует при любом векторе р € 2), если функционал Q[z] является стабилизирующим (см. [5]). П р и фиксированной функции x(i) е X функционал £l[z] является непрерывной функци­

ей от вектора р, т.е. Cl[zp] - й [ р ] . Следовательно, по теореме Вейерштрасса, точная нижняя грань функции £2[р] достигается на замкнутом ограниченном конечномерном множестве 2 на векторе р⁰ е 2 . Тогда функция z^Po будет давать решение экстремальной задачи (8). Утверждение теоре­

мы доказано.

Заметим, что для решения задачи (8) нет необходимости знать величины h и d. К р о м е того, справедливы неравенства

Q[~z]<Q[z]<Q[z^T].

Теорема 2, Если функционал Q,[z] является стабилизирующим и уравнение A^z = В^ имеет единственное решение ^ то при /г —» О, d —» О, 5 —» О имеем z С[0, z? (см. [3], [8]).

Доказательство. Пусть {r\^k} = {(h^h d^h 8^k)} - произвольная последовательность, сходящаяся к нулю (h^h d^h b^k независимо стремятся к нулю при к —> 0). Каждому ц^к соответствует элемент z^k е W^l2[0, 1]. Пусть z^k е Q^Po с Q. Множество {z^k} ограничено в W^l2[0, 1]. Действительно,

Так к а к оператор вложения W\ [0,1] в С[0,1] вполне непрерывен, т о последовательность {z^k} принадлежит компактному в С[0,1] множеству N:

N={z:\\z\\^wl2[0l]<A}czC[0,l].

Следовательно, из { zk} можно выделить сходящуюся подпоследовательность { zk l} такую, что zkl С [ а 1 3^ Zo е С[0,1] при / —> ©о. Для простоты записи сохраним для элементов этой последо­

вательности те ж е обозначения, что и для исходной последовательности, т.е. пусть { zk} сходится

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА КРЫЛОВА 669

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 5 2003

по норме С [ 0 , 1 ] к zo- Имеем

IA^Tz⁰ - B^rz^T\\ ^и < \\A^rZo -

A

z

||

|j A

z

Д||

+

||B

x

- B

x

||

+

+ \\Bpx8 -

V T I I и + IIV*

J H ZO IIZ

IHP J Ifo "

|A

2

-

+

||A

z

-

||5

x

-

- fi

J ||*

||

- fi

| ||x

||

<

+

II

P J l

o " 2 *1

JzJIz +

+ 2^||x

||

+ 4 Ы |

^

< 2Л*Д +

||A

J|zo -

3<4||*

||

+

Отсюда с учетом непрерывности и ограниченности оператора Ар при любом hk, сходимости Чк 0 и сильной сходимости Zk ^ — Z o получаем

\\А^0-В^т\\и = 0.

В силу предполагаемой единственности решения уравнения

•А.^.^у —~ Мпр В ^Zf

будем иметь z⁰= z^T. Н о z^T € W 2 [0,1] с С [ 0 , 1 ] . Поэтому z^{fc Z t} при Л — ^ ©о. Т а к к а к все члены исходной последовательности zk имеют ограниченную норму в С[0, 1] ( | | 2 jC [ ( U ] < i -

' " 21."» * J

< ||z^T|| 1 - А), то и исходная последовательность {z^k} сходится к z^T при к — - оо в метрике С[0, 1]. Теорема доказана.

тмг г^т - Wj[0,

1]

П о аналогии с [6] можно показать, что zk — ^ Zo при к —• °°#

Таким образом, указанный алгоритм решения экстремальной задачи (8) является регуляризу- ю щ и м (см. [5]).

Замена экстремальной задачи (6) на экстремальную задачу (8) не изменяет конечной цели ре­

шения экстремальной задачи (6): найти функцию внешнего воздействия z (t), к о т о р а я соответст­

вует давлению, меньшему 30 МПа, и которая вызывает движение поршня, совпадающее с экспе­

риментальным движением, если учесть возможное отклонение параметров операторов А^р, В^р от точных операторов и погрешность функции x§(t).

Для решения экстремальной задачи (8) предлагается среди всех возможных математических моделей о б ъ е к т а (операторы Ар и Вр в (3)), к о т о р ы е определяются неравенствами (4), в ы б р а т ь математическую модель (операторы А^{Р о}, B^PQ), для которой выполняется неравенство

П[А;¹В^рх]>П[А^р1оВ^Рох]

для любой допустимой функции х € Хь и любого вектора р е 2) (оператор А~! обратный опера­

тору А^р). Под допустимой функцией мы понимаем такую функцию x(i), при которой z(i) е Z. Ма­

тематическую модель с вектор-параметром р0 е 2) будем называть специальной минимальной математической моделью в данной задаче.

Если специальная минимальная математическая модель существует, тогда задача (8) может б ы т ь сведена к следующей экстремальной задаче:

S1[ZQ] = inf Q[z] = inf inf Q[^Z]. (9) zeQ^pQ pe^bzeQ^

Теорема Зо В обратной задаче Крылова специальная минимальная математическая модель существует для любой допустимой функции x(t) и соответствует параметру Ь°.

Доказательство» Н а основании общих результатов метода регуляризации можно утверждать, ч т о решение экстремальной задачи

Q[z^p] = inf Q[z]

ze w\[0,l]nQ^p

670 МЕНЬШИКОВ существует при любом векторе р е 2 , в том числе и при р⁰ е 2) (см. [5]). П р и фиксированной допустимой функции х (t) е X функционал Q[z] представляет собой непрерывную функцию от параметра Ъ\

Q[i'(0 + 2 f c i( 0

+ <o

jt(f)] =

Далее,

1 1

^ = 4 J ( z i + ix)dt = 4b I (х2 + x)dt + о о

+ 2 { i²( 1) - i²( 0 ) - J C2( 1 ) - x²(0) ^{+ C O2[ J C2(} 1) - x²(0) + / ( 1 ) - i²( 0 ) ] }

и выполняются условия x(0) = i ( 0 ) = f(O). Поэтому dQ/db > 0 для любой допустимой функции х (0- Очевидно, что глобальный минимум функции Q[p] достигается в т о ч к е b = b°. Теорема до­

казана.

Решение экстремальной задачи (9) имеет амплитуду, равную 28.9 М П а (штрихпунктирная ли­

ния на фиг. 2). Этот результат соответствует специальной минимальной математической модели процесса (М = 0.472 кг, В = 0 кг/с, С = 1.5 мН/м) и нулевой погрешности операторов А^р и В^р.

5. М А К С И М И Н Н А Я П О С Т А Н О В К А О Б Р А Т Н О Й З А Д А Ч И И М Е Т О Д Е Е Р Е Ш Е Н И Я

Однако в исследуемой задаче Крылова такой смысл приближенного решения не соответству­

ет конечным целям исследования. Ведь параметры математической модели, соответствующие решению z⁰, могут быть далеки от "точных" параметров р^т. Следовательно, решение z⁰ будет ре­

зультатом формального учета всех возможных значений параметров математической модели, а не будет обусловлено объективными причинами. Н а и б о л е е подходящей в данном случае являет­

ся постановка следующей экстремальной задачи:

QUJ = sup_ inf Sl[z]. (10)

Здесь функция Z\ будет удовлетворять неравенству

Q[^Zl]>Q[z⁰]

= Q[2]>Q[5L

Если Z\(t) будет иметь максимальную амплитуду, соответствующую давлению, меньшему 30 МПа, то во всех множествах возможных решений Q^p найдется функция z^p, которая соответст­

вует давлению, меньшему 30 МПа. Это будет справедливо и для точных параметров р^т ё 2 . Итак, если Z\ (t) соответствует максимальному давлению, меньшему 30 МПа, то для отбраков­

ки готовых орудий нет объективных оснований.

Теорема 4. Если функционал Q.[z] является стабилизирующим, то решение экстремальной задачи (10) всегда существует (см. [5]).

Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству существования решения экстремальной задачи (9). Для решения задачи (10) предлагается среди возможных век­

тор-параметров математической модели о б ъ е к т а (среди векторов р е 2)) в ы б р а т ь вектор-пара­

метр р¹ € 2 , для которого выполняется неравенство П[А^В^х]>П[А^рВ^рх]

для любой допустимой функции хе Х^ьи л ю б о г о вектор-параметра р е 2). Математическую мо­

дель с вектор-параметром р¹ е 2 будем называть специальной максимальной математической моделью.

Рассмотрим экстремальную задачу

Q[z

] = inf ад.

ze Q ^l

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА КРЫЛОВА 671 Если специальная максимальная математическая модель существует, то решение экстре­

мальной задачи (11) совпадает с одним из решений экстремальной задачи (10) и является регуля- ризованным решением (см. [5]).

Теорема 5. Специальная максимальная математическая модель в задаче Крылова сущест­

вует для любой допустимой функции х (t) и соответствует параметру Ъ = Ъ.

Доказательство выполняется аналогично доказательству существования специальной мини­

мальной математической модели.

Параметры максимальной модели оказались равными

М = 0.472 кг, В = 166 кг/с, С = 1.5 мН/м.

Решение экстремальной задачи (11) со специальной максимальной математической моделью процесса (М = 0.472 кг, В = 166 кг/с, С = 1.5 мН/м) и нулевой погрешностью операторов А^р и В^р имеет максимальную амплитуду, равную 29.6 М П а (сплошная линия на фиг. 2).

Таким образом, для отбраковки готовых компрессоров нет объективных оснований, что со­

ответствует качественным выводам К р ы л о в а (см. [1]).

Отметим, что предлагаемая методика исследования обратной задачи Крылова может б ы т ь перенесена без существенных изменений на аналогичные обратные задачи.

В заключение автор выражает благодарность рецензенту за критические замечания.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Крылов АЛ. Собрание трудов. Т. 10. Вибрации судов. М.-Л., 1948. С. 112 - 122.

2. Меньшиков ЮЛ. Краткий обзор и систематизация задач идентификации воздействий на механические системы. - Деп. в ВИНИТИ 2.08.1983, № 4262-83 ДЕП.

3. Меньшиков ЮЛ. Выбор оптимальной математической модели в задачах распознавания воздействий //

Дифференц. ур-ния и их прилож. в физ. Днепропетровск, 1991. С. 25-33.

4. Меньшиков ЮЛ. Об одном регуляризирующем алгоритме для приближенного уравнения первого ро­

да // Дифференц. ур-ния и их прилож. в физ. Днепропетровск, 1986. С. 64-69.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

6. Гончарский А.В., Леонов А.С, ЯголаА.Г. Обобщенный принцип невязки // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 1973. Т. 13. № 2. С. 294-302.

7. Menshikov Yu. L. Identification of external actions on dynamic systems as the method of technical diagnostics //

Proc. ECMI 96, 9th Conf. European Consertium Math. Industry. Techn. Univ. Denmark, Lyngby/Copenhagen, Denmark, June 25-29, 1996. P. 503-506.

8. Menshikov Yu.L. The reduction of initial date inaccuracy in ill-posed problems // 15th IMACS World Congress on Scient. Comput, Modelling and Appl. Math. Berlin, 1997. Proc. Vol. VI. Appl. in Modeling and Simulation, В.,

1997. P. 577- 582.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 5 2003