Н. А. Черников, Геометрия Лобачевского и тео- рия тяготения Ньютона, In mem. Lobatschevskii , 1995, том 3, часть 1, 171–176

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. А. Черников, Геометрия Лобачевского и тео- рия тяготения Ньютона, In mem. Lobatschevskii , 1995, том 3, часть 1, 171–176

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:53:58

Н.А.Черников (Дубна, Россия)

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА

Лобачевский, создавая неевклидову геометрию, опирался на пример теории тяготения, созданной Ньютоном. Он писал:

"Некоторые математики невозможность определения линий по­

мощи® углов хотели принять за основание геометрии, но такое ос­

нование недостаточно, потому что разнородные коликие могут быть в зависимости друг от друга " [1, с,691.

...величина притягательной силы, например, выражается мас­

сою,, разделённой на квадрат расстояния... но когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зави­

симости с углами. По крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях, которых различие не заключается собственно в по­

нятии» но только в том, что мы познаём одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений [2, сЛ59-160].

Сравним установленную Лобачевским зависимость

tg ^ П = ехр (- £ ) (1) угла параллельности П от перпендикуляра р с установленной Нью­

тоном зависимостью ускорения / планеты от расстояния р до Солн-

m ^х

f-уш/р2. (2)

Чтобы согласовать меру ускорения с мерой отношения массы Солнца m к квадрату расстояния, Ньютон ввёл в теорию тяготения конс­

танту у , а чтобы согласовать меру угла с мерой расстояния, Ло­

бачевский ввёл в геометрию константу k.

Но Лобачевский рассматривал теорию тяготения Ньютона не только в качестве примера. Он первым ввёл неевклидову геометрию в небесную механику и поставил вопрос о том, какую перемену это введение внесёт в ньютоновскую теорию тяготения• Сам же и отве­

тил на него [2, с.159], заметив, что ускорение (2) можно напи­

сать в виде

/ =

,

где S - площадь сферы радиуса р, и установив, что в неевклидо­

вом пространстве эта площадь равна не 4nfF\ а г Р л2

5 = 4лг [ft sh -j-J . (4) На основе этих результатов мною решена задача о движении

планеты в пространстве Лобачевского [3], Подведём итог.

Площадь (4) и длина окружности радиуса р в пространстве Лобачевского равны, соответственно, 4тге2 и 2 п , где

1 = ft sh -£-. (5) р

Основная метрическая форма

сй2= J^cfca<b? (6) пространства Лобачевского в сферических координатах р, #, р

равняется

Й12= d^+^Cd^+sin2^ (7)

Функцию (3) можно представить в виде

/ = i

. (8)

dp

где У - гравитационный потенциал, порождаемый точечной массой т. Дополнительно принимаем условие

lira U = 0.

р—ко

Отсюда находим, что в пространстве Евклида

U = - —jgr- . (10) у ж

а в пространстве Лобачевского

у ш р

ff « - j - d -cth-g-). ( И ) Потенциал (11) удовлетворяет уравнению Пуассона

Ш = 4яуи 6(х)б(у)б'(2Г), (12)

где б - обобщённая функция Дирака с аргументами

х = % sin в cos (р, у = % sin в sin tp% z = % cos б, (13)

A - оператор Лапласа-Бельтрами в пространстве Лобачевского. Для скалярной функции У, не зависящей от углов в и <р9

Ы1=г*'£- \г2®Л], (14)

д р 1 д р J

Как указание на уравнение (12) мною были поняты следующие слова Лобачевского:

"Полагаем, как и многие в этом уверены, что силы притяга­

тельные слабеют от распространения своего действия по сфере"

[2, с.159].

Теперь, располагая метрикой (7) и потенциалом (11), соста­

вим функцию Лагранжа

1 d2l

fl_ = — . — о - - U (15) 2 Ж2

и задаваемые ею уравнения движения планеты

d их <* бх&х **<*

dt dt и Ж ей

Здесь da означает частную производную по координате х°, La a - кометрический тензор, определяемый через метрический тензор L ^ и единичный аффинор 5^ из условия

L°V = C (17)

Ь*ъ> ~~ компоненты аффинной связности Кристоффеля, равные

V = 2 L <ЭА А Л , + Э ^ " 9 ^ ) . (18)

Кроме того, мы ввели здесь абсолютное, по Ньютону, время t (и абсолютно покоящееся пространство Лобачевского).

Теперь мы можем приступить к решению задачи Кеплера в пространстве Лобачевского.

В силу сферической симметрии сохраняется момент количества движения планеты с компонентами

dz dy dx dz dy • dx.

*i = y Ж ~ z dt* M2 = z Ш ~ x d£> мз = x Ш " y Ш* ⁽¹⁹⁾ где x , y9z равны (13). Поэтому достаточно рассмотреть движение планеты в плоскости Лобачевского, на которой

в = -£- . (20) 2

При этом М1 = 0, Ы2 = 0, #3 =#, где

о d ф

М ~-1^{г Ш} . (21)

Далее, так как функция Лагранжа (15) не зависит от времени t9 то сохраняется энергия планеты, равная

В случае (20) имеем

1 гг d Р л² 2 r ^ i2i

Исключая ей из (21) и (23), получаем дифференциальное уравнение

Е = 2 ^ [( Я J' + r 1 + У <24)

первого порядка для траектории р=р((р).

Чтобы проинтегрировать уравнение (24), обозначим

*

4 = ~ir • (25)

Так как dw = -'f2dip, n? = а"² + &~2 то уравнение (24) пре­

образуется к виду

Е

^ 2 ' ** [( Щ )

^ "

"

]

^

*"

" » >•

Отсюда находим

ft th - у - = ~т~ГГТ?^1Б * (2?) ~Ъ 1 + Е cos р где

р = # -

~-A

-l)

*

большему значению w соответствует угол р = 0. Заметим, что подкоренное выражение в формуле (28) для е не может быть отри­

цательным. Действительно, из (26) следует, что

Е > -£- М² t w2 - ft"2] + / М * " 1 - ^ ) * (29) Тем уверенней можно сказать, что

так как правой частью в последнем неравенстве является ми­

нимальное значение полинома от w9 стоящего в правой части нера­

венства (29), Следоватапьно, с - число действительное.

По определению, планета находится в финитном движении, ко­

торое возможно либо в случае £ = 0 , 0 < р < & , либо в случае е > 0, р > 0, р + ке < ft. В первом случае орбита планеты явля­

ется окружностью, а во втором - эллипсом. Интересно, что на плоскости Лобачевского, как и на плоскости Евклида, орбиту мож­

но определить как множество точек, от которых до заданных двух точек (фокусрв) сумма расстояний задана, причём в одном из фо­

кусов находится Солнце, Если обозначить 2а сумму расстояний от планеты до фокусов, то

У ж г 2ал

Е=г к [l-cth-g]. (31)

Располагая формулами (21) и (2?), можно подсчитать период Г обращения планеты вокруг Солнца:

пкг 1 1 л

_ _ ^ . _ — _ — _ _ _ (32)

-Г2Г ^ V^T i^TTWHTTT

пак и в евклидовом случае, он не зависит от момента (21), Под­

ставляя в (32) зависимость (31) энергии Е от большой полуоси а, находим следующее выражение для квадрата периода:

Г = g p (*sh £)³ (*•£.. (33)

ЛИТЕРАТУРА

1. Лобачевский Н.И. Геометрия (1823). Поли. собр. соч., Т.2, М.-Л.:Гостехиздат, 1949.- С. 43-107.

2. Лобачевский Н.И. Новые начала геометрии с полной теорией

параллельных (1835). Поли. собр. соч., Т.2, М.-Л: Гостехиздат, 1949,- С. 147-454.

3. Черников Н.А. Введение геометрии Лобачевского в теорию гра­

витации. В журнале "Физика элементарных частиц и атомного яд­

ра", 1992, Т.23, вып. 5.- С. 1155-1191.