В. М. Шаповалов, Задача Гретца–Нуссельта для жидкости Бингама, ТВТ , 2019, том 57, выпуск 3, 446–452

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. М. Шаповалов, Задача Гретца–Нуссельта для жидкости Бингама, ТВТ , 2019, том 57, выпуск 3, 446–452

DOI: https://doi.org/10.1134/S0040364419030165

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:45:47

(2)

ЗАДАЧА ГРЕТЦА–НУССЕЛЬТА ДЛЯ ЖИДКОСТИ БИНГАМА

Волжский политехнический институт (филиал)

Волгоградского государственного технического университета, г. Волжский, Россия

*E-mail: svm-5@mail.ru Поступила в редакцию 11.05.2018 г.

После доработки 04.12.2018 г.

Принята к публикации 25.12.2018 г.

Приближенным методом Канторовича получено решение задачи Гретца–Нуссельта при течении жидкости Бингама. Решение получено в виде ряда Фурье–Бесселя. Учитывалось внутреннее тепло- выделение за счет вязкой диссипации. Получены выражения для температуры и локального числа Нуссельта. Представлены результаты численного анализа решения.

DOI: 10.1134/S0040364419030165

ВВЕДЕНИЕ

Даже в классическом варианте течения вязкой жидкости решение задачи Гретца–Нуссельта свя- зано со значительными техническими трудностя- ми. Обусловлено это тем, что решение соответ- ствующей задачи Штурма–Лиувилля не выража- ется через элементарные функции. Между тем все большую актуальность приобретает эта задача применительно к теплообмену при течении не- ньютоновских жидкостей.

Из работ, посвященных течению бингамов- ской жидкости, можно отметить следующие. В [1]

рассмотрен случай температурной стабилизации с постоянным тепловым потоком на стенке. Зада- ча течения и теплообмена во входной области круглой трубы для жидкости Бингама решена численно в [2]. Предполагался ламинарный по- ток и постоянные свойства текучей среды. В [3]

численно исследованы эффекты влияния реоло- гических свойств степенной и пластической жид- кости Бингама на характеристики потока и теп- лопередачу при ламинарной вынужденной кон- векции через некруглые каналы. Рассмотрены два различных температурных граничных условия (постоянная температура стенки и постоянный тепловой поток на стенке).

В [4, 5] рассмотрен установившийся теплопе- ренос при сдвиговом течении Куэтта в плоском канале конечной длины. Задача решалась с уче- том диссипации механической энергии при сим- метричных граничных условиях третьего рода на стенках канала.

Наиболее подробный анализ подходов различ- ных авторов представлен в [6]. Основное внима- ние уделяется течению и теплообмену степенной жидкости и вязкопластической жидкости Бинга-

ма. Решение задачи получено в виде ряда. Задача Штурма–Лиувилля (поиск собственных функций и собственных чисел задачи) решалась численно.

Целью настоящей работы является получение приближенного решения задачи Гретца–Нуссельта с учетом диссипативного тепловыделения с ука- занием погрешности при вычислениях, получе- ние расчетных формул для температуры и числа Нуссельта как для произвольного сечения кана- ла, так и для участка термической стабилизации.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Схема течения и теплообмена представлена на рис. 1. Течение совершается вдоль оси z, в канале радиусом R, на участке длиной Начальная тем- пература жидкости (на входе) однородна по сече- нию Т₀. Реологические и теплофизические свой- ства жидкости постоянны. Температура стенок канала постоянна Т_w, причем выполняется соот- ношение Т_w ≠ Т₀. Для стенок канала используется граничное условие первого рода. Задача осесим- метричная.

Поскольку справедливо соотношение

(R ), продольной теплопроводно- ,.

2 2

∂ ∂r @

2 2

∂ ∂z

@ ! ,

УДК 532.135+536.24

Рис. 1. Расчетная схема течения и теплообмена.

r R

,z 0

vz

ro

To

Tw

τ^w τo

(3)

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР том 57 № 3 2019

ЗАДАЧА ГРЕТЦА–НУССЕЛЬТА ДЛЯ ЖИДКОСТИ БИНГАМА 447

стью жидкости можно пренебречь, учитывается только теплопроводность в поперечном направ- лении. Задача стационарная.

Используются следующие безразмерные пере- менные и параметры:

(1)

Здесь T = T(z, r) – температура жидкости; a =

=λ/ρC, λ, ρ, C – коэффициент температуропровод- ности, коэффициент теплопроводности, плот- ность и теплоемкость жидкости; (r) – профиль осевой скорости (зависит от выбранной реологи- ческой модели течения); τ – касательное напря- жение; γ = d /dr – скорость сдвига; – средняя скорость жидкости; V – безразмерная осевая ско- рость; Br – число Бринкмана; τw – касательное напряжение на стенке; γw – скорость сдвига у стенки; r_o – радиус пластического ядра; – ско- рость движения ядра; μ – пластическая вязкость;

τо – предел текучести; θ – безразмерная темпера- тура; θm – среднеобъемная безразмерная темпера- тура; ξ – безразмерный радиус; ζ – безразмерный радиус пластического ядра. Безразмерная про- дольная координата Z может быть представлена в виде Z = z/(RPe), Pe = R/a – число Пекле.

Температурное поле в жидкости описывается уравнением Фурье–Кирхгофа и краевыми усло- виями

(2)

Последнее слагаемое справа характеризует теп- ловыделение в потоке за счет внутреннего трения.

Линейное неоднородное уравнение относится к параболическому типу. Решение соответствую- щей задачи Штурма–Лиувилля при произволь- ном профиле осевой скорости не выражается через элементарные функции. Для получения приближенного решения использован метод Канторовича (метод приведения к обыкновен- ным дифференциальным уравнениям) [7]. Метод Канторовича обеспечивает среднеинтегральное приближение собственных функций задачи коор- динатными функциями.

{ } { }

2 o

, _m , ^m ^w, , ,

w c

T T T r za

T T R Z R

θ θ = − ξ = =

− v

( ) ( )

2 o

, Br ,

z w w

c w

V R

T T ξ = = τ γ

λ −

v v

( )

^,

( )

^, ^o ^o^.

w w w

r R

τ τ γ

Ξ ξ = Γ ξ = ζ = =

τ γ τ

vz

vz v_c

vo

vc

( )

²2

( ) ( )

0; 0 1 , 0,

1 Br

( 1, 1,

0, 0, 0, .

)

V Z

Z Z

∂θ ∂

> < ξ < = θ = ξ = θ ∂θ

θ ∂θ

ξ = + + Ξ ξ Γ ξ

∂ ξ ∂ξ

= ξ

∂

= = θ

∂ξ ξ

∞

!

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Поиск решения задачи (2) осуществляется в виде произведения двух функций

(3) где J₀(k_sξ) – функция Бесселя нулевого порядка.

Здесь k₁, k₂, k₃, … – положительные корни функ- ции J_o(k_s). Координатные функции удовлетворя- ют граничным условиям и обладают свойством ортогональности в интервале ξ [0,1] с весом ξ.

Пусть выполняется условие ортогональности невязки уравнения Фурье–Кирхгофа (2) к каждой координатной функции на интервале от 0 до 1:

Невязка уравнения (2) имеет вид

После интегрирования по ξ, принимая во вни- мание взаимную ортогональность функций J₀(k_sξ) на интервале интегрирования (ненулевыми явля- ются только диагональные элементы матрицы, у которых m = s), получаем систему уравнений для функций f_s(Z)

(4)

где ×

×

Постоянные A_1s и A_3s определяются параметра- ми течения, в частности, используемой реологи- ческой моделью. Интеграл A_2s имеет аналитиче- ское представление A_2s = 0.5[k_sJ₁(k_s)]².

Решение уравнения (4) имеет вид

Постоянную интегрирования С_s находим из граничного условия (Z = 0, θ = 1)

После умножения обеих частей этого равен- ства на координатную функцию и интегрирова- ния с учетом взаимной ортогональности коорди- натных функций получается

( ) ( )

^o

1

s s ,

s

f Z J k

∞

=

θ =



ξ

( ) ( )

⁽ ⁾

1

o 0

0 1, 2,... . L θ J ksξ ξ ξ =d s=



( ) ( ) [ ( ) ]

[ ( ) ]

o o

1 1

o 1

"

' Br .

m

m m m

m m

m m m

L V df J k f J k

dZ f J k

∞ ∞

= =

∞

=

θ = ξ − ξ −

− ξ − Γ Ξ

ξ

 



( )

1_sdf^s 2_s 3_sBr 0 1, 2,... ,

A A f A s

dZ + − = =

1

( )

2

1 o

0 ( ) ,

s s

A =



V ξ J kξ ξ ξd A³_s = Γ ξ Ξ ξ



0¹

^{( )}

( )

o _s ,

J kξ ξ ξd ^A²^s ^{= −}

^

¹⁰

{ [

^J^o

( )

^k^s^ξ

]

^''⁺¹^ξ

[

^J^o

( )

^k^s^ξ

]

^'

}

^×

( )

o _s .

J k d

× ξ ξ ξ

3 2

2 2 1

Br ^s ^s exp ^s .

s

s s s

A С A

f Z

A A A

 

= − − 

 

( )

3

o

1 2 2

Br ^s ^s _s 1.

s s s

A С

J k

A A

∞

=

 

− ξ =

 

 



(4)

Таким образом, выражение для температуры (3) имеет вид

(5)

Следует отметить, что полученное решение (5) может использоваться как для анализа течения вязких жидкостей с любым реологическим урав- нением состояния, так и для вязкопластических жидкостей Бингама, Гершеля–Балкли и др. Для последних эпюра осевой скорости складывается из зоны ядра и зоны вязкого течения (рис. 1).

Среднеобъемная температура жидкости в произ- вольном поперечном сечении определяется инте- гралом

(6) Локальный коэффициент теплоотдачи α ха- рактеризует распределение теплового потока по длине канала. Он определяется из условия нераз- рывности теплового потока у стенки

(7) где – локальный температурный напор

(8)

Рассматривается случай охлаждения жидкости (T_o > T_w, Br > 0). При отсутствии источников теп- ловыделения (Br = 0) результаты могут быть рас- пространены на случай нагрева жидкости (T_o < T_w).

Вариант T_o < T_w, Br ≠ 0 требует отдельного рассмот- рения, поскольку в этом случае уравнение конвек- тивного теплообмена Ньютона малопригодно для описания процесса. Это обусловлено наличием в знаменателе числа Нуссельта разности температур (8), которая в сечении инверсии направления теп- лового потока обращается в нуль (имеется в виду точка пересечения кривой среднеобъемной темпе- ратуры с изотермой, отвечающей температуре стен- ки). Соответственно, число Нуссельта в указанном сечении претерпевает разрыв второго рода.

При переходе к безразмерным переменным (1) выражение (6) принимает вид

Учитывалось соотношение

Из совместного рассмотрения выражений (7), (8) для локального числа Нуссельта можем записать

(9) где Nu = αR/λ – локальное число Нуссельта, – безразмерная среднеобъемная температура.

В развернутой форме с учетом выражения (5) можем записать

(10)

Течение вязкопластической жидкости Бинга- ма (τ = τо + μγ) достаточно подробно изучено и представлено в литературе. Основные закономер- ности течения в круглой трубе описываются сле- дующими формулами: профилем скорости в зоне вязкого течения (r_o < r < R), скоростью пла- стического ядра (0 < r < r_o), расходом Q и сред- ней скоростью

3

( )

2 2 1

Br 2 .

s s

s s s s

С A

A A k J k

− = − +

( )

3 2

1 1 2 1

3 o 2

2 Br exp

Br .

s s

s s s s s

s s s

A A

k J k A A Z

A J k A

∞

=

   

θ =  −  − +

+  ξ





2 0

2 .

R

m z

c

T T rdr

R

= π

π _v



^v

,

r R

T T

r ₌ αΔ = −λ∂

∂ ΔT

m w.

T T T

Δ = −

( )

1 o

0

2 .

m w w

T = T −T



Vθξ ξ +d T

1 0

2



V dξ ξ =1.

1 1

Nu _m⁻,

ξ=

= −∂θ θ

∂ξ

1 0

m 2 V d

θ =



θξ ξ

( ) ( )

∞

=

∞

=

   

− ×

   

   

 

 

× − + 

 

   

=    

− ×

   

    ξ ξ ξ

 

 

× − + 

 

   



 

3

1 2

1

1 2 3

1 2

3 1

1 2

0

1 2 3 0

1 2

2 Br

exp Br

Nu .

2 Br

2

exp Br

s

s s s

s s

s s s

s s

s

s s s

s

s s s

s s

A

k J k A

k J k

A A

A Z A

A

k J k A

VJ k d

A A

A Z A

vz

vo c: v

( )

^τ

⁽ ⁾

υ = − − −

μ μ

υ = − −

μ

2 2 0

2

0 0

1 ,

4

1 ( ) ,

4

z

dP r R R r

dz

dP R r dz

 

= −πμ  − +  = π

τ  

= μ − ζ + ζ 

4 4

0 0 2

4 4

4 1

1 , ,

8 3 3

3 4 .

12

c

w c

r r

Q R dP Q R

dz R R

R

v v

(5)

С учетом обозначений (1) получается следую- щее выражение для безразмерной скорости:

(11)

На рис. 2 представлены результаты анализа формулы (11). Пунктирными линиями показаны границы пластического ядра.

Распределение касательного напряжения по радиусу линейное (τ = τwξ), поэтому для всего се- чения можем записать

( )

2

4 2

4

6 1 2 1

, 1,

3 4

6 1 , 0 .

3 4 V

  − ξ − ζ − ξ  ζ < ξ <

 − ζ + ζ

=

− ζ

 < ξ < ζ

 − ζ + ζ



(12) С учетом выражений (11), (12) диссипативный множитель в уравнении энергии (2) имеет вид

(13) Найдем коэффициенты A_1s и A_3s. Для коэффи- циента A_1s с учетом (11) можно записать

(14)

Аналогично, с учетом (13) для коэффициента A_3s имеем один интеграл, отвечающий зоне вязкого течения, в которой именно и сосредоточено теп- ловыделение за счет вязкого трения

(15) Таким образом, температурное поле в жидко- сти описывается выражениями (5), (14), (15).

Согласно выражению (10), локальное число Нуссельта рассчитывается по формуле

, 0 1.

Ξ = ξ < ξ <

( ) ( ) ( )

^, ^1,

0, 0 .

ξ ξ − ζ ζ < ξ <

Ξ ξ Γ ξ = < ξ < ζ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 4

2 2 2 2

o 1

1

2 2

o

6 3 4 0.5 1

.

1 2 1

s

s s

s

A

J k J k

J k d

ζ

= ×

− ζ + ζ

 − ζ ζ  ζ − ζ + 

 

× 

 

+ − ξ − ζ − ξ ξ ξ ξ

   

 







( ) ( )

1 2

3_s o _s .

A J k d

ζ

= ξ ξ − ζ



ξ ξ

(16)

( ) _{( )} ^{( )}

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∞

= ζ

ζ

    

− ζ + ζ  −  − + 

 

  

=   − ×    − ζ ξ ξ ξ + 

 

× − +  +  − ξ − ζ − ξ  ξ ξ ξ

   

     





4 3 2 3

1

1 1 2 1 2

3 2

o

1 2 0

1

2 3 2

o

1 2

3 4 2 Br exp Br

Nu

2 Br 1

12

exp Br 1 2 1

s s s

s s

s s s s s s

s s

s s s

s s

s

s s

A A A

Z k J k

k J k A A A

A J k d

k J k A

A A

Z J k d

A A

∞

=



 

 

 

 



1

.

s

Число Нуссельта зависит от продольной коор- динаты и двух параметров: Nu(Z, Br, ζ).

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ При вычислении по формулам (5), (10) учиты- вались первые 50 членов рядов Фурье–Бесселя, что обеспечивало достаточную точность при ма- лых Z. Корни уравнения взяты из спра- вочника [8]: k₁ = 2.40482, k₂ = 5.520078, … k₅₀ =

= 156.295.

На рис. 3а представлены распределения тем- ператур по длине зоны течения при отсутствии источников тепловыделения (Br = 0). Начальный всплеск объясняется проблемой сходимости ряда Фурье–Бесселя при малых значениях Z. Зависи- мости носят экспоненциальный характер. Тепло-

( )

o _s 0

J k =

обмен практически заканчивается при Z = 1. Вид- но, что быстрее происходит охлаждение жидко- сти, имеющей большое сечение пластического ядра (линия 1). Линия 3 отвечает жидкости, по свойствам близкой к вязким жидкостям (про- филь скорости близок к параболическому). Вид- но, что такая жидкость охлаждается с наимень- шей скоростью. Случай среднего размера ядра (2) занимает промежуточное положение.

На рис. 3б представлена подобная зависи- мость, но при наличии тепловых источников (Br = 30). Видно, что характер зависимостей су- щественно меняется. В случае малого размера пластического ядра (линия 3) температура стаби- лизации превышает начальное значение. Зависи- мость носит асимптотический характер, и на рас- стоянии порядка Z = 1 наступает стабилизация

Рис. 2. Влияние параметра ζ на профиль безразмер- ной скорости: 1 – ζ = 0.2, 2 – 0.5, 3 – 0.9.

0 2

V 1

2 3

1

0.5 ξ 1.0

(6)

температуры. В случае большого сечения пласти- ческого ядра (линия 1) диссипативный эффект повышения температуры проявляется незначи- тельно. Это обусловлено существенным кондук- тивным оттоком тепла к стенке и низким терми- ческим сопротивлением тонкого слоя жидкости в зоне вязкого течения. Случай среднего размера ядра (линия 2) занимает промежуточное положе- ние между указанными предельными случаями.

При дальнейшем увеличении числа Бринкмана линии 2 и 3 смещаются вверх, температура жид- кости повышается, превосходя начальную. Из со- поставления рис. 3а и 3б следует, что при наличии внутренних источников тепла появляется вторая (“верхняя” или “диссипативная”) асимптота в распределении температуры по длине канала.

На рис. 4а представлено распределение ло- кального числа Нуссельта по длине трубы в усло- виях отсутствия объемных источников тепловы- деления (Br = 0). График построен в двойных ло- гарифмических координатах. Зависимости носят асимптотический характер, величина стабилизи- рованного значения Нуссельта зависит от разме- ра ядра. Термическая стабилизация наступает по- сле Z = 1. Следует отметить, что линия 3 отвечает жидкости, по свойствам близкой к чисто вязкой жидкости. Она показывает наименьшее значение числа Нуссельта на участке стабилизации. На на- чальном участке канала (Z < 0.1) линии почти сливаются, следовательно, пластические свой- ства жидкости мало влияют на число Нуссельта, а сама зависимость в области Z < 0.03 описывается

функцией Nu = 0.631Z^–0.5. С уменьшением коли- чества членов рядов (10) до s = 7 показатель степе- ни снижается до –0.294.

На рис. 4б представлено распределение ло- кального числа Нуссельта по длине зоны течения при интенсивности тепловыделений (Br = 30).

Иллюстрируется влияние относительного разме- ра пластического ядра. Характер влияния доста- точно сложный. При сравнительно малых разме- рах ядра (линия 3) зависимость носит монотон- ный характер с горизонтальной асимптотой.

Однако с увеличением размера ядра появляется локальный минимум в области значений Z от 0.1 до 1, далее значение числа Нуссельта возрастает и выходит на горизонтальную асимптоту. Причем при большом размере ядра (линия 1) стабилиза- ция наступает в области Z > 4. При этом асимпто- тическое значение числа Нуссельта составляет Nu(Z = 10) = 96.363. В области малых протяжен- ностей канала вязкая диссипация и размер ядра мало влияют на зависимость Nu(Z), которая опи- сывается степенной функцией. Подобный расчет выполнен для малых интенсивностей тепловыде- ления (Br = 0.001). Обнаружилось запаздывание перехода Nu на диссипативную асимптоту: стаби- лизация наступала при Z > 5. Следовательно, для протяженных каналов при расчете теплообмена следует учитывать эффект саморазогрева, даже если расчетное значение числа Бринкмана незна- чительное.

В ньютоновском случае ζ = 0, Br = 0 расчетное асимптотическое значение числа Нуссельта при

Рис. 3. Распределение температуры на оси (ξ = 0) по длине зоны течения при Br = 0 (а) и Br = 30 (б) и раз- личном относительном размере пластического ядра:

1 – ζ = 0.99, 2 – 0.5, 3 – 0.01.

1.0

1 2

2 3

3 θ

0.5

0

(б) (а)

1 Z 2

2

1 θ

1

0 1 Z 2

Рис. 4. Распределение числа Нуссельта по длине трубы при Br = 0 (а) и Br = 30 (б) и различном отно- сительном размере пластического ядра: 1 – ζ = 0.99, 2 – 0.5, 3 – 0.01.

100

1

2

2 3

3 Nu

10

1 0.001

(б) (а)

0.1

0.01 1 Z 10

100 Nu 1

10

0.0011

0.01 0.1 1 Z 10

(7)

Nu_∞ = 2.09. Согласно [9], локальное число Нуссельта, приведенное к актуальному масштабу линейного размера R, составляло 2.18. Расхожде- ние – 4.12%. Независимо от Br > 0 имеет место предельное соотношение Nu_∞ = 4.722. По дан- ным [9], если использовать в качестве характер- ного размера радиус, Nu_∞ = 4.8. Расхождение – 1.6%. Следовательно, математическая модель теплообмена жидкости Бингама удовлетвори- тельно согласуется с известными литературными данными. Приближенное решение задачи может использоваться для инженерного анализа и рас- чета теплообмена.

СТАБИЛИЗАЦИЯ ТЕПЛООБМЕНА НА БОЛЬШОМ УДАЛЕНИИ ОТ ВХОДА На большом удалении от входа температурное

поле стабилизируется При

этом температурное поле в жидкости описывает- ся краевой задачей (2) без конвективного слагае- мого в уравнении энергии

Интегрированием получим решение для зоны вязкого течения ζ < ξ < 1. Первое интегрирование

Учитывая, что на границе ядра производная от температуры равна нулю, можно записать

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах от ξ до 1, получим

Z → ∞

,

Z → ∞ ∂θ ∂ →Z 0 .

( )

∞ ξ ξ − ζ ζ < ξ <

ξ θ = − 

  < ξ < ζ

ξ ξ ξ  

, 1,

1 Br

0, 0 .

d d

( )

Br .

d d

d

ξ ξ

∞

ζ ζ

ξ θ  = − ξ ξ − ζ ξ ξ

 ξ 

 



( )

4 4 3 3

Br .

4 3

d d

∞  

θ ξ − ζ ζ ξ − ζ

ξ ξ =  − 

( ) (

³

)

4 4 1

Br 1 ln , 1.

16 12 9

∞

 − ξ ζ ζ − ξ 

 

θ = − ξ − ζ < ξ <

 

Температура на границе ядра

Непосредственно в ядре (0 < ξ < ζ) диссипа- тивное тепловыделение отсутствует и краевая за- дача формулируется следующим образом:

В результате интегрирования, с учетом усло- вия ограниченности функции на оси получим θ∞= θ∞f = const. Кроме того, учитывая условие неразрывности теплового потока на границе яд- ра, имеем условие для обеих эпюр dθ∞/dξ =

=dθ∞f/dξ = 0. Таким образом, поперечное рас- пределение температуры на большом удалении от начала трубы описывается формулой

(17)

В случае ньютоновской жидкости (ζ = 0) для профиля температуры на бесконечности получа- ем известное выражение θ∞ = Br(1 – ξ⁴)/16.

Согласно (17), температура пропорциональна числу Бринкмана. На рис. 5 показана зависи- мость температуры ядра от его относительного размера, вычисленная с помощью нижней фор- мулы в (17). График построен в полулогарифми- ческих координатах. Видно, что с увеличением размера ядра безразмерная температура само- разогрева уменьшается. Это обусловлено сниже- нием термического сопротивления слоя жидко- сти в зоне вязкого течения.

Используя формулу (9) найдем число Нуссель- та на большом удалении от входа. Согласно (17), для градиента температуры на стенке имеем

Для определения среднеобъемной температу- ры используем формулу, предусматривающую интегрирование в пределах ядра и зоны вязкого течения:

( ) ( )

4 4 3

1 1

Br ln , .

16 12 9

∞f

 − ζ ζ ζ − ζ 

θ =  − ζ −  ξ = ζ

, ,

0

1 0,

; , 0, .

f

d d

∞ ∞

∞

∞ ∞

∞

ξ θ  =

 

ξ ξ ξ ξ = ζ θ = θ

ξ = θ = θ

 θ θ

ξ = ξ < ∞

ξ

( ) ( )

4 4 3

1 1

ln , 1,

16 12 9

Br 1 1

ln , 0 .

16 12 9

∞

 − ξ ζ ζ − ξ

 − ξ − ζ < ξ <

θ = 

ζ − ζ

 − ζ −ζ ζ − < ξ < ζ



(

⁴

)

1

Br 4 3 .

12 d

d

∞ ξ=

θ = ζ − − ζ

ξ

1 1

0 0

2 2 2 .

m V d V d V d

ζ

∞ ∞ ∞ ∞

ζ

θ =



θ ξ ξ =



θ ξ ξ +



θ ξ ξ

Рис. 5. Зависимость температуры ядра и числа Нус- сельта от относительного размера пластического ядра на участке температурной стабилизации: 1 – точное решение (18); 2 – приближенное (10) при Z = 10.

–7 –1

100 Nu∞

lg (θ∞f/Br)

10 1 –3

–5

0 0.5 ζ 1.0

1

2

(8)

С учетом выражения для скорости (11) и тем- пературы (17) можно записать

Таким образом, расчетное выражение для чис- ла Нуссельта на бесконечном удалении от сече- ния входа имеет вид

(18) Согласно полученному выражению, не зависит от Br и полностью определяется ζ. Ре- зультаты численного анализа выражения (18) представлены на рис. 5 в полулогарифмических координатах (линия 1). Зависимость имеет две асимптоты: горизонтальную Nu_∞ = 4.8 и вертикальную Первая отвечает течению число вязкой жидкости и соответствует известному значению [9]. Следовательно, в мо- мент “трогания” (когда τw незначительно превы- шает τо) число Нуссельта равно бесконечности.

Линия 2 отвечает приближенному решению (10), вычисленному для сечения Z = 10. Видно, что от- клонение приближенного решения от точного появляется при ζ > 0.95. Следовательно, прибли- женное решение приводит к ошибке при относи- тельно больших размерах пластического ядра.

График на рис. 5 поясняет асимптотическое пове- дение числа Нуссельта, представленное на рис. 4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получено приближенное решение задачи Гретца–Нуссельта для жидкости Бингама с уче- том объемных источников тепла. Точность реше- ния зависит от сходимости ряда Фурье–Бесселя и

возрастает с увеличением числа членов. Получен- ные расчетные зависимости (5), (10) могут ис- пользоваться для исследования теплообмена дру- гих аномально вязких и вязкопластических не- ньютоновских жидкостей.

Предложено новое понятие “диссипативная асимптота числа Нуссельта”. Для протяженных каналов при расчете теплообмена следует учиты- вать эффект саморазогрева, даже если расчетное значение числа Бринкмана незначительное.

В области тепловой стабилизации температура пропорциональна числу Бринкмана, а число Нуссельта определяется относительным разме- ром пластического ядра.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Coelho P.M., Faria J.C. On the Generalized Brinkman Number Definition and Its Importance for Bingham Fluids // J. Heat Transfer. 2011. V. 133. P. 1.

2. George C.V., Dougher J., Kumar S. Entrance Pipe Flow and Heat Transfer for a Bingham Plastic // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. V. 36. Iss. 3. P. 543.

3. Mukherjee S., Gupta A.K., Chhabra R.P. Laminar Forced Convection in Power-law and Bingham Plastic Fluids in Ducts of Semi-circular and other Cross-sec- tions // Int. J. Heat Mass Transfer. 2017. V. 104. P. 112.

4. Колодежнов В.Н., Колтаков А.В. Анализ процесса теплопереноса для безнапорного течения жидко- сти в плоском канале с учетом диссипации меха- нической энергии и зависимости вязкости от тем- пературы // ТВТ. 2001. Т. 39. № 2. С. 297.

5. Колодежнов В.Н., Колтаков А.В. Диссипативный разогрев при сдвиговом течении жидкости в плос- ком канале конечной длины с учетом зависимости вязкости от температуры // ТВТ. 2009. Т. 47. № 1.

С. 75.

6. Фройштетер Г.Б., Данилевич С.Ю., Радионова Н.В.

Течение и теплообмен неньютоновских жидко- стей в трубах. Киев: Наукова думка, 1990. 216 с.

7. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные ме- тоды высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

8. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.

Пер. с нем. М.: Наука, 1964. 344 с.

9. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинами- ческое сопротивление: Спр. пособ. М.: Энерго- атомиздат, 1990. 367 с.

( ) ⁽ ⁾ ^{( )}

( ) ₍ ₎

( ) ( )

4 4

2 4

3 2 1

2

4 4 3

12Br 1

1 ln

16 12 3 4

1

1 2 1

9 2

1 1

ln .

16 12 9

m

d

∞

ζ

  − ζ ζ

θ = − ζ + ζ  − ζ  − ζ −

ζ − ζ ζ  

−  +  − ξ − ζ − ξ ×

 − ξ ζ ζ − ξ  

 

× − ξ − ξ ξ



(

⁴

)

Br 4 3

Nu .

12 _m

∞ ∞

− ζ − − ζ

= θ

Nu_∞

ζ →0, ζ →1, Nu_∞ → ∞.