УДК 519.234
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
«ТРУБЧАТЫХ» ПРОЦЕССОВ
Н.А. Сергеева
Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79
E-mail: sergena73@list.ru
Е.А. Чжан
Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79
E-mail: ekach@list.ru
Ключевые слова: непараметрическая идентификация, безынерционный объект, «труб- чатые» процессы, H-модель.
Рассматриваются многомерные дискретно-непрерывные процессы «трубчатого» типа.
Особенность данных процессов состоит в том, что не только значение выходных пере- менных зависит от значения вектора входных переменных, но и между компонентами вектора входа существует стохастическая зависимость. Вследствие этого область проте- кания процесса много меньше регламентированной области протекания процесса. Для идентификации такого рода процессов предлагается использовать H-модели. Данные модели отличаются от общепринятых параметрических моделей наличием индикатор- ной функции. Эффективность предложенных моделей подтверждается результатами численных исследований.
ON THE STUDY OF NON-PARAMETRIC MODELS OF ''TUBULAR'' PROCESSES N.A. Sergeeva
Siberian Federal University
Russia, 660074, Krasnoyarsk, Svobodny Prospect, 79 E-mail: sergena73@list.ru
E.A. Chzhan Siberian Federal University
Russia, 660074, Krasnoyarsk, Svobodny Prospect, 79 E-mail: ekach@list.ru
Key words: non-parametric identification, inertialess plant, ''tubular'' processes, H-model.
Multidimensional discrete-continuous processes of the ''tubular'' type are considered. A feature of the processes is not only value of output variables depends on the value of the input variable vector, but also between components of the input vector there exists a stochastic dependence.
Due to the fact, the domain of the process behavior is much smaller of the regulated domain of the process behavior. To identify processes of such a kind, using H-models is proposed. These models differ from conventional parametric models in the availability of an indicator function.
The efficiency of the models proposed is confirmed by results of numerical simulations.
1. Введение
При изучении различных технологических и производственных процессов и явле- ний возникает задача получения модели, которую можно будет использовать в даль- нейшем в целях управления. При решении задачи идентификации возникает ряд про- блем. Одной из таких проблем является малые объемы выборок при большом числе входных переменных. Об актуальности задач такого рода говорит председатель Экс- пертного совета РФФИ по математике, механике и информатике академик Е. Моисеев:
«…существует очень важная проблема, как сделать заключение на основании малого – в смысле математической статистики – количества данных. У нас была рассмотрена за- дача из области медицины примерно с 20 параметрами (прогноз катастрофического те- чения послеоперационного периода) и всего 600 данными. По всем правилам, нельзя делать вывод по 600 данным, если меняются 20 параметров. Но где взять больше? 600 операций сделали – вот и вся статистика. Жизнь такие задачи ставит». В данной работе рассматриваются некоторые аспекты, при которых возможно получить адекватную мо- дель такого рода процессов. Одно из таких условий – это наличие стохастической зави- симости между входными переменными процесса. Такого рода процессы будем назы- вать «трубчатыми» или Н-процессами [1]. Впервые с Н-процессами столкнулся д.т.н., профессор А.В. Медведев при построении модели процесса добычи никеля на метал- лургическом комбинате «Светлана» в г. Норильске в 1974 г.
При идентификации «трубчатых» процессов возникает ряд особенностей, речь о которых пойдет ниже.
2. Постановка задачи.
Рассмотрим процесс, входные переменные которого стохастически связаны (рис.
1).
Рис. 1. Схема многомерного «трубчатого» объекта.
На рис. 1 приняты обозначения: А – неизвестный оператор объекта, ) 1
( )
(t x R
х – выходная переменная процесса, и(t)(u)Rm – векторное вход- ное воздействие, (t) – векторное случайное воздействие, (t) – непрерывное время,
действуют случайные помехи с нулевыми математическими ожиданиями и ограничен- ными дисперсиями.
Необходимо восстановить зависимость между входными и выходными перемен- ными процесса. Особенность «трубчатых» процессов состоит в том, что не только вы- ходные переменные зависят от выходных воздействий, но и между входными перемен- ными существует стохастическая зависимость [1]. На рис. 1 стрелками показана взаи- мосвязь компонент вектора входа.
Поясним это на примере. Рассмотрим объект, имеющий две входные переменные
2 1,u
u и одну выходную x, значения входных и выходных переменных принадлежат интервалу возможных значений [0;1]. Данный диапазон всегда известен из регламента, ТУ и т.д. Пусть имеется выборка объемом 100 измерений
u1i,u2i,xi,i1,100
. Если пе- ременные u1 и u2 независимы, то график среза по переменным u1 и u2 будет иметь следующий вид (рис. 2), где по оси абсцисс откладываем значение переменной u2, а по оси ординат – значение переменной u1 для каждой точки из выборки.Рис. 2. Срез по входным переменным в случае их независимости.
В данном случае входные переменные могут принимать любое значение из интер- вала возможных значений [0;1]. Одному значению u1 может соответствовать любое значение u2 из интервала [0;1], при этом значения одной входной переменной никак не влияют на значения другой. Процесс существует во всей регламентированной области входных переменных.
Иная картина будет иметь место, если мы имеем дело с «трубчатым» объектом. В этом случае входные переменные связаны некой стохастической зависимостью
(1) u1 f(u2),
где – нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Причем о наличии этой зависимости и ее структуре исследователю никогда неизвестно.
Срез по входным переменным u1,u2 в случае их стохастической зависимости пока- зан на рис. 3.
Рис. 3. Срез по входным переменным в случае их стохастической зависимости.
В данном случае, процесс протекает не во всем интервале, а лишь в некоторой его подобласти. Значения переменных связаны стохастической зависимостью, поэтому ес- ли u1a (рис. 3), то переменная u2 не может принимать произвольное значение, ее значение должно принадлежать интервалу u2[b;c], где [b;c][0;1]. При идентифика- ции Н-процессов необходимо принимать во внимание, что процесс протекает не во всей регламентированной области.
3. Идентификация «трубчатых» процессов
3.1. H-модель
Как уже отмечалось ранее, на практике достаточно часто встречаются процессы, имеющие стохастическую зависимость компонент вектора входных переменных [1].
Рассмотрим в качестве примера процесса с «трубчатой» структурой объект, представ- ленный на рис. 4.
Рис. 4. Объект с «трубчатой» структурой.
Как видно из рис. 4, область протекания процесса (u,x)R3 представляет собой, без нарушения общности, единичный гиперкуб, где uR2, xR1. Однако если иссле- дуемый процесс имеет «трубчатую» структуру, то область его протекания ограничива- ется не всем объемом гиперкуба (u,x), а его подобластью H(u,x)(u,x), которая нам никогда не известна. Поскольку подобласть H(u,x) никогда не известна, то и вид самой «трубчатой» структуры нам не известен. При этом заметим, что объем гиперку- ба, как это видно из вышеприведенного рисунка, может значительно превышать объем
«трубки».
Рассмотрим моделирование процессов, имеющих подобную структуру. Обычно в задаче идентификации безынерционных объектов предполагается наличие некоторой параметризованной модели, представляющей собою поверхность в пространстве
«входных-выходных» переменных.
В том случае, когда компоненты вектора входных переменных статистически зави- симы, т.е. мы имеем дело с «трубчатой» структурой объекта, необходимо ввести инди- каторную функцию I(u). Параметрическая модель при этом должна быть скорректиро- вана следующим образом:
(2)
N
l l l
s u u
I t x
1
ˆ ,
где в качестве оценки индикатора Is
u можно принять следующее приближение:(3)
s
i
ij s j
m j
s u c u u
I
1
1 1
sgn )
( ,
где параметр размытости ядра cs и колоколообразная функция
1
j ij
,s u u
c
j1,m, s
i1, удовлетворяют некоторым условиям сходимости [2].
Таким образом, модель «трубчатого» процесса (Н-модель) отличается от общепри- нятых моделей наличием индикатора.
Логика построения такого индикатора состоит в том, что при произвольно задан- ном значении текущей переменной uu индикатор Is(u) примет значение единицы, если u принадлежит «трубчатой» структуре, определяемой имеющейся выборкой
xi,ui,i1,s
, если же u приняло значение за пределами «трубки», то индикатор равен нулю.Оценку индикатора (4) можно модифицировать следующим образом:
(4) ( ) sgn
ˆ
,1
1 1 1
'
s
i
j i j s m j i s s
s u c x u x c u u
I
где xˆs
u – прогноз выхода объекта можно получить с помощью непараметрической оценки функции регрессии Надарая-Ватсона [2]. Оценка индикатора (4) обладает роба- стными свойствами.Заметим, что если процесс описывается поверхностью в пространстве (u,x), то можно использовать общепринятые параметрические модели. Если же процесс имеет трубчатую структуру в этом пространстве, то необходимо использовать H-модель (2). В этом случае, при получении оценок параметров модели (2) необходимо учитывать на- личие индикаторной функции. Тогда рекуррентные оценки параметров , например, методом стохастических аппроксимаций [3], будет иметь следующий вид:
(5) x I
u N
u Is us l us l Nl
s l l s s s s l s l s l
s , 1,
1 1
1
.
В данном случае при рекуррентном подсчете оценок учитываем наличие индика- торной функции.
3.2. Модификация оценки индикаторной функции
При использовании индикаторной функции необходимо постоянно работать со всей выборкой, полученной при измерении входных и выходных переменных процесса
ui,xi,i1,s
. Если же переменные измеряются с помощью электрических средств кон- троля, то дискретность измерений может быть достаточно малой. В такой ситуации объем выборки велик. Постоянное вычисление оценки индикатора может занять боль- шое количество времени, т.к. необходимо обрабатывать весь массив данных. Кроме то- го, точки выборки могут располагаться неоднородно. Поясним данную ситуацию на примере.Из соображения простоты рассуждений и иллюстрации рассмотрим трехмерный
«трубчатый» объект, у которого две входные переменные и одна выходная. Имеется выборка измерений
u1i,u2i,xi,i1,s
объемом s300, u1i,u2i
0;1 . Выборку, исполь- зуемую при вычислении индикаторной функции, будем называть обучающей. Срез по переменным u1,u2 изображен на рис. 5, где красным цветом показаны точки выборки.Рис. 5. Срез выборки «трубчатого» объекта по входным переменным.
Течение процесса неоднородно, т.е. в некоторых местах наблюдаются сгущения (рис. 5). Использование такого рода выборки, особенно в случае высокой размерности вектора входных переменных, в качестве обучающей – процедура, требующая много времени и вычислительных ресурсов. Предлагается в качестве обучающей выборки ис- пользовать искусственно сгенерированную выборку меньшего объема ss. Рассмот- рим алгоритм получения искусственной выборки для данного трехмерного объекта:
1) Построить равномерную сетку в области возможных значений переменных
2 1,u
u с шагом ∆ (рис. 6).
2) Точки, являющиеся узлами решетки, являются претендентами на попадание в выборку объема s. Для таких точек необходимо вычислить оценку индикаторной
принадлежит «трубчатой» области. Восстанавливаем в ней значение переменной x. До- бавляем такую точку в «искусственную» выборку. Если же оценка индикаторной функции приняло значение 0, то данную точку не добавляем в новую выборку.
Таким образом, мы получим выборку меньшего объема, которая будет определять
«трубчатый» процесс.
На рис. 6 показана сетка, узлы которой – это точки, претендующие на попадание в новую выборку. Черным цветом показаны точки, которые принадлежат «трубчатой»
области, индикатор в таких точках будет равен единице. Они и будут составлять новую выборку. Объем новой выборки составляет s143, в то время как объем исходной выборки s300. Таким образом, выборку удалось сократить в два раза.
Рис. 6. Искусственно сгенерированная выборка.
Предложенный алгоритм позволяет упростить и сократить время вычисления оцен- ки индикаторной функции.
4. Численные исследования H-моделей
В целях проведения численного эксперимента зададим уравнение объекта. Для примера рассмотрим многомерный безынерционный стохастический «трубчатый» объ- ект, описываемый следующим выражением [4]:
(6)
2sin , 2sin ,
1 2
2
1
u
ux u u
где , – случайные величины, распределенные в интервале
0.05;0.05
по равно- мерному закону, u1,u2[0;6],x
4;4
.При идентификации будем использовать параметрическую модель:
(7) xˆ1sinu12sinu2,
где 1,2 – оценки параметров, полученные с помощью метода наименьших квадратов, а также H-модель, содержащую оценку индикаторной функции:
(8) xˆ
1sinu12sinu2
Is.Как видно из рис. 7а, параметрическая модель (7) представляет собой поверхность (разноцветные точки), в то время как объект – линия (черные точки). Данная модель не учитывает того факта, что процесс протекает не во всей области допустимых значений
входных и выходных переменных
u1,u2
. Модель не будет работать адекватно в случае получения прогноза выходной переменной x, если в качестве входных значений подавать произвольные значения из области
u1,u2
. Значение выходной переменной будет восстановлено во всех точках, даже если реальный процесс в этих точках не су- ществует.На рис. 7б показан случай использования Н-модели. Здесь значение выхода модели было восстановлено только в тех точках, в которых индикаторная функция приняла значение равное 1 (красные точки), т.е. в тех точках, в которых протекает процесс. Все остальные точки были исключены из рассмотрения, и выход модели в них не восста- навливался.
а) б)
Рис. 7. Моделирование трубчатого процесса с помощью: а) параметрической модели, б) Н-модели.
Для восстановления поверхности необходимо большое количество точек, в то вре- мя как объект представляет собой линию, для восстановления которой требуется гораз- до меньший объем выборки. В случае использования Н-модели точки, в которых зна- чение индикатора равно 0, не использовались для построения модели. В остальных же точках (где индикатор принимал значение 1), восстанавливалось значение выхода мо- дели.
Можно сделать вывод, что в случае стохастической зависимости входных перемен- ных при идентификации необходимо использовать Н-модели. Важным является тот факт, что вид индикаторной функции не зависит от уравнения объекта.
5. Заключение
Рассмотрен класс объектов, имеющих «трубчатую» структуру. При моделировании объектов такого рода необходимо учитывать ряд его особенностей и использовать мо- дели, содержащие индикаторную функцию. Здесь важно иметь в виду, что область про- текания такого процесса никогда не известна и при моделировании должна подлежать определению. Модели «трубчатых» процессов отличаются от общепринятых моделей безынерционных систем наличием индикаторной функции, которая, по существу, оп- ределяет область протекания «трубчатого» процесса.
Список литературы
1. Медведев А.В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных моделиро- вания. Минск: БГУ, 1995. Т. 2. С. 201-206.
2. Надарая Э.А. Непараметрические оценки плотности вероятности и кривой регрессии. Тбилиси: изд- во Тбил. ун-та, 1983. 194 с.
3. Медведев А.В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск: Наука, 1983, 174 с.
4. Сергеева Н.А., Корнеева А.А., Чжан Е.А. Об особенностях непараметрического моделирования H- процессов // // XII Всероссийское Совещания по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. 3243-3254.
