Г. И. Зебрев, Эффективная подвижность при рас- сеянии на шероховатостях границы раздела в ин- версионном слое, Физика и техника полупровод- ников, 1990, том 24, выпуск 5, 908–912

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. И. Зебрев, Эффективная подвижность при рас- сеянии на шероховатостях границы раздела в ин- версионном слое, Физика и техника полупровод- ников, 1990, том 24, выпуск 5, 908–912

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

2 ноября 2022 г., 22:55:57

1990 PHYSICS AND TECHNICS OF SEMICONDUCTORS vol. 24, N S

ЭФФЕКТИВНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ ПРИ РАССЕЯНИИ НА ШЕРОХОВАТОСТЯХ Г Р А Н И Ц Ы РАЗДЕЛА

В ИНВЕРСИОННОМ СЛОЕ Зебрев Г . И .

Для системы электронов в инверсионном слое уравнение Больцмана сведено к уравнению баланса импульсов с точным учетом явного вида интегрального граничного условия. Предло­

жена самосогласованная процедура, позволяющая получить выражения для эффективной подвижности при разных значениях параметров границы раздела. При этом объемные в поверхностный механизмы рассеяния рассматриваются аддитивным и равноправным образом как каналы потери импульса.

В связи с развитием микроэлектроники особый интерес как теоретический, так и главным образом практический приобретает проблема транспорта носи­

телей, ограниченного рассеянием на поверхности или на границе раздела двух сред Это обусловлено тем, что если характерный наименьший размер об­

ласти, в которой протекает ток, становится сравнимым с длиной релаксации импульса, то величина этого тока может контролироваться условиями на гра­

нице этой области. В частности, такая ситуация реализуется в инверсионных слоях МОП транзисторов при сильной инверсии, когда из-за усиления поверх­

ностного рассеяния подвижность становится убывающей функцией от концен­

трации носителей [²* ³] . Граничные условия для неравновесной функции рас­

пределения имеют в общем случае вид интегрального уравнения [*], и их по­

следовательный учет для нахождения решения уравнения Больцмана затруд­

нен из-за технических осложнений. На практике граничные условия исполь­

зуются в упрощенном виде либо с помощью феноменологического подхода посредством введения так называемого параметра Фукса, либо посредством упрощения изначального интегрального условия. В первом случае мы теряем важную физику, во втором — конечный результат имеет существенно более узкую область применимости, чем первоначальный вид граничных условий.

В частности, в [⁴] условие малости тепловой толщины инверсионного слоя l^v—kT/eF⁸ по сравнению с длиной пробега по импульсу Z^{= =} v^rт делает невоз­

можным описание при промежуточном или обратном соотношении параметров I ^ Z^T по крайней мере в рамках одной формулы.

В данной работе учет рассеяния на шероховатостях поверхности сделан аддитивным образом без использования дополнительных ограничивающих приближений, кроме тех, в которых записаны исходное уравнение и граничные условия. Возможность подобного учета обусловлена тем, что в рамках справед­

ливости приближения времени релаксации мы можем представить выражение для полного тока в виде уравнения баланса импульсов всей электронной сис­

темы [^б] , в котором вклад, связанный с потерей импульса на поверхности, представлен аддитивным образом и может быть не мал. Поясним сказанное качественными оценками. Если носители заряда (для определенности — элек­

троны) распространяются со средней дрейфовой скоростью v^d, много меньшей тепловой скорости vT, в канале толщиной — /т, то интенсивность потери импульса на единицу площади за счет объемных механизмов рассеяния можно оценить

через полный поверхностный ток / Г А/см 1 и объемную подвижность р = (mv^d/z) nl^T ~ (m/ez) enl^rv^d — 7/pt.

Если отражение от поверхности не является зеркальным, то потеря продоль­

ного импульса при каждом акте столкновения составит какую-то долю (завися­

щую от точного вида граничных условий) от mv^d, и сила трения на единицу пло­

щади системы электронов оценивается следующим образом: nv.mv^d ^ Безразмерный коэффициент пропорциональности, опущенный в последней оценке, выражается через характеристики поверхности и может меняться в широких пределах. Тем не менее очевидно, что при подходе, основанном на балансе импульсов, рассеяния в объеме и на поверхности дают аддитивные вклады и должны рассматриваться равноправным образом.

Итак, мы будем исходить из уравнения Больцмана, описывающего кинетику носителей в инверсионном слое с достаточно большой концентрацией (когда можно пренебречь диффузией) при наличии не очень сильного тянущего поля Fj). Равновесная и неравновесная части этого уравнения в условиях примени­

мости т-приближения имеют вид

v ^ h - e F , ~ f o ^ 0 , (i)

д д д U

v^x ^ n - e P r > ^{W y} h - e F ^{sl ¥} - ^h = - - . (2) Уравнение (1) для равновесной части функции распределения с постоянным

прижимающим полем F⁸ имеет тривиальное решение, которое мы для больц- мановской статистики будем нормировать на объемную приповерхностную кон­

центрацию п,

(3)

Уравнение (2) впервые рассматривалось Шриффером [^в] и имеет в правой части интеграл столкновения за счет объемных механизмов рассеяния, который записывается в виде отношения неравновесной части функции распределения /^х к транспортному времени релаксации t ( e ) , зависящему, вообще говоря, от энергии. Поскольку вычисление подвижности в массивном образце является отдельной задачей, мы ограничимся введением феноменологического времени релаксации т, приводящего к наблюдаемому значению подвижности в объеме образца. Это приближение не является принципиальным, но существенно упро­

щает выкладки и сравнение с экспериментальными данными. Нас интересует первый момент по скорости уравнения ( 2 ) , который является выражением для тока

со

с г d*P

/ = =

- ' )

J " l 2 S * F ^

о

°г С d*P Г д д д

1

Как с формальной, так и с физической точек зрения очевидно, что интеграл от третьего слагаемого . (4) зануляется и не вносит вклада в полный ток. Ин­

теграл от второго слагаемого, имеющий смысл полного тока в инверсионном слое при учете только объемных механизмов рассеяния, легко находится с по­

мощью (3) и пмеет обычпый вид е\хп (kT/eF^s)Fv. Особого^рассмотрения требует первое слагаемое. После интегрирования по поперечной координате под зна­

ком интегрирования по импульсам остается выражение — 4 ^ / ( ^ = 0 , p^t р^х), кото­

рое из-за наличия границы имеет разное значение для падающих / < = Д ( р ,

— | р^х\) и отраженных р = /^х( р , \ р^х\) частиц:

S

- 0 0 00

= • £ I ( W ¹

^{ь <}

>" £

< >

0

Выражение (5) представляет собой с точностью до размерного множителя разность потоков импульса вытекающих и втекающих в систему электронов и выражается через недиагональную компоненту тензора вязких напряжений

U

/ = = е ? ш , ^ — f i E ^ , (6)

где n⁹~n(kT/eF⁸)—поверхностная плотность электронов в инверсионном слое. Формулу (.6) можно рассматривать как уравнение баланса импульса системы электронов на единице площади, где члены / / а и П ^ ответственны за потерю импульса соответственно в-объеме и на поверхности, а член en^gFj) пред­

ставляет собой набор импульса за счет действия внешнего электрического поля.

Далее, необходимо задать условия на границе, связывающие падающие и отраженные потоки, простейшим из которых является условие Фукса, свя­

занное с введением феноменологического параметра, определяющего долю зеркального отражения. Существует, однако, возможность обратиться к физи­

чески более содержательному виду граничных условий. В частности, следуя [*], мы будем использовать в данной задаче условие, полученное Фальковским [⁷]^?

f? (Р) - (Р) = Р* \ P*W (I Р - Р ' I) Iff (P')-ff ( P ) 1 • (7)

Условие Фальковского выражает функцию распределения отраженных частиц через корреляционную функцию шероховатостей, считающуюся гауссовой, а точнее, через ее двумерный фурье-образ

г (р —Р' )2Л П

Ш(\р-р'\)=ъ(Ь&)*ех9[-±£-^ J , (8)

где Л — характерный линейный размер неровности, Ъ — среднеквадратичное отклонение по высоте. С учетом (7) выражение для П ^ приобретает вид

00

=I I ™ - ^р«°* ^ ^{( р )} - ^ ^{(р)] =} О

со

= \ дат

J

Очевидно, что уравнение (6) даже с учетом граничных условий не является замкнутым, поскольку величина П ^ есть функционал от неизвестной нам не­

равновесной функции распределения / < ( р ) . В данном случае нас интересует не сама эта функция, а лишь ее первый момент по скорости, т. е. ток. Это позволяет воспользоваться следующей самосогласованной процедурой. Полагаем, что

ffl (Р) = ^ э ф ^Ф ^ ^ = ьт— V ⁽¹⁰⁾

гД^{е т}»фф. — эффективное значение времени релаксации, меньшее объемной ве­

личины т^{э ф ф} ^ *с, которая подлежит самосогласованному определению и дает формально правильное значение тока

гДе ^ а ф ф={ е М ) т :э ф ф — эффективное значение подвижности. Подставляя (10) в формулу ( 9 ) с учетом (6) и (11), нетрудно получить замкнутое самосогласован­

ное выражение для

В отличие от (9) П£ определяется известными функциями

ezF^D г d²p с dp^x Г

п

^

" т г ~ \ ) шг

(I

X

о

, d*p

Х ( ^ - ^ ) 1 Д ? " . (13)

Определенная таким образом из уравнения баланса импульса величина р.^э^, будучи в (11) коэффициентом пропорциональности между средней дрейфовой скоростью и тянущим полем, является наблюдаемой эффективной подвижно­

стью в присутствии рассеивающей поверхности. Эффективная подвижность в инверсионном слое, как и следовало ожидать, меньше своего объемного зна­

чения и в принятых предположениях не зависит от величины тянущего поля.

Значение интеграла (13), определяющего силу трения на единицу поверхно­

сти, можно вычислить явным образом для двух случаев.

Если ртА <^ ft, то корреляционную функцию W( | р—р' |) = (ЪА)2 можно считать постоянной и вынести из-под знака интегрирования. При этом слагае­

мое с v^y при интегрировании по р ' зануляется из-за нечетности подынтегрального выражения и последовательное интегрирование с учетом явного вида /⁰(^е) в (3) дает

ч/Т

п* г^вК ¥ 4 5 V - (14)

где %=%/(т,Т)^1/* — де-бройлевская длина волны, а зависимость от прижимаю­

щего поля возникает из-за нормировки на поверхностную концентрацию п9. Эффективная подвижность (12) при этом имеет вид

в Г 7 Т ~ я Г 7 ь л ^ TFT' • ^{( 1 5 )}

l + j / -^{2 64 (ЬА)2 eF}°^z ъ 4 5 X^{4 ( / 7 l}f ) 7 ,

При выполнении обратного неравенства р^тА ^> ft малость переданного им­

пульса позволяет разложить p'^x = [2me— (p'^g2 + p'*J]^7з по [степеням р'^у — р^у до члена первого порядка, который дает главный ненулевой вклад в интеграл (13). Как и в предыдущем случае, несложное, но громоздкое интегрирование

с учетом (12) дает

^ " i + i e w i I ^ v f r T

В силу условия pjb. ^> й рассеяние на поверхности носит классический характер, близкий к зеркальному, что отражается в малости параметра Ь/А [напомним, что граничное условие (7) получено в предположении p^tb < f t [⁷] ] * Напротив, неравенство р^ТА <^ ft обусловливает практически диффузный харак­

тер рассеяния со значительно большей потерей импульса. Отношение pF^g/v^t в знаменателях выражений (15) и (16) имеет порядок l/lv и характеризует долю объема, с которого производится сбор импульса. Множитель перед этим отно­

шением специфичен для значений параметров граничного условия. Если длина свободного пробега по импульсу меньше тепловой толщины инверсионного слоя I <^f Z^T, то рассеяние на поверхности не играет существенной роли и эф­

фективная подвижность равна объемному значению.

В противном предельном случае, когда можно пренебречь единицей в зна­

менателе, формулы (15) и (16) дают эффективную подвижность, не зависящую от объемного времени релаксации импульса и полностью определяемую рас­

сеянием на поверхности. Этот предельный случай воспроизводит с точностью до безразмерного коэффициента результаты работы [⁴] , полученные другим

способом, но с теми же граничными условиями.

Таким образом, представленный подход позволяет описывать непрерывным образом переход от объемного характера рассеяния к поверхностному. Функцио­

нальная зависимость от прижимающего поля вида (15) и (16) часто используется как эмпирическая для описания поведения подвижности при моделировании транспорта носителей в канале МОП транзистора ( с м . , например, [⁸] ) . Выбор вида зависимости(15) или (16) для описания конкретных эксперименталь­

ных результатов требует независимой информации о параметрах шероховатос­

тей или хотя бы каких-либо косвенных данных, например по температурным зависимостям [4] . В частности, для моделирования реального прибора нами ис­

пользовалось выражение (15) со значением параметров Ь А = 2 0 0 А². При этом получено удовлетворительное количественное описание как полевых, так и тем­

пературных эффектов поведения подвижности.

Автор признателен Р. Г. Усеинову за обсуждение результатов.

Список литературы

Грин Р. Ф . Поверхностные свойства твердых тел. М . , 1972. 432 с.

Андо Т . , Фаулер А . , Стерн Ф . Электронные свойства двумерных систем. М . , 1 9 8 5 . 416 с Зи С. Физика полупроводниковых приборов. Т . 2 . М . , 1984. 455 с.

Крылов М . В . , Сурис Р. А . / / Ж Э Т Ф . 1982. Т . 8 3 . В . 6 (12). С . 2 2 7 3 .

Басе Ф. Г . , Гуревич Ю . Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда. М . , 1975. 4 0 0 с.

[ 6 ] Schrieffer J. R . / / Phys. Rev. 1955. V . 97. N 3 . P. 6 4 1 .

[ 7 ] Фальковский Л . А . / / Ж Э Т Ф . 1970. Т . 7 1 . В. 5. С. 1 8 3 1 - 1 8 4 2 . [ 8 ] Ghibaudo G . / / Phys. St. Sol. ( A ) . 1986. V . 9 5 . P. 3 2 3 .

Получена 30.08.1989 Принята к печати 23.01.1990