Г. Ю. Куликов, С. К. Шиндин, Об эффективном вычислении асимптотически верных оценок локальной и глобальной ошибок для многошаговых методов с постоянными коэффициентами, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2004, том 44, номер 5, 840–861

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. Ю. Куликов, С. К. Шиндин, Об эффективном вычислении асимптотически верных оценок локальной и глобальной ошибок для многошаговых методов с постоянными коэффициентами, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2004, том 44, номер 5, 840–861

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 21:57:07

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2004, том 44, № 5, с. 840S61

УДК 519.622.2

ОБ ЭФФЕКТИВНОМ ВЫЧИСЛЕНИИ АСИМПТОТИЧЕСКИ ВЕРНЫХ ОЦЕНОК ЛОКАЛЬНОЙ И ГЛОБАЛЬНОЙ ОШИБОК

ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

¹

)

© 2004 Го Г» Ю. Куликов. С о К о Шиндин

(School of Comput. and Appl. Math., Univ. Witwatersrand, Private Bag 3, Wits 2050, Johannesburg, South Africa) e-mail: gkulikovGYu@cam.wits.ac.za; sshindin@cam.wits.ac.za

Поступила в редакцию 19.11.2002 г.

Переработанный вариант 21.10.2003 г.

Разработана теория и даны практические алгоритмы для эффективного вычисления главных членов локальной и глобальной ошибок многошаговых методов с постоянными коэффици­

ентами. Найдено линейное отображение, позволяющее аппроксимировать достаточно высо­

кие производные точного решения системы дифференциальных уравнений, участвующие в определении оценок локальной и глобальной ошибок многошаговых методов, линейной ком­

бинацией векторов с постоянными коэффициентами, вычисление которых на практике не вызывает затруднений. Кроме того, введено понятие расширенной матрицы Вандермонда, для которой получена формула нахождения определителя и доказана лемма о необходимом и достаточном условии обратимости такой матрицы. Приведены численные примеры, иллю­

стрирующие теоретические результаты статьи. Библ. 15. Табл. 6.

1. В В Е Д Е Н И Е

Задача численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с гаранти­

рованной т о ч н о с т ь ю остается одной из актуальных в современной вычислительной математике с точки зрения к а к теоретического исследования, так и практического применения. Подобные результаты весьма существенно влияют на достоверность математического моделирования в са­

мых разных областях науки и техники, где используются модели динамического типа. Однако до сих пор практически все известные в настоящее время численные методы с автоматическим вы­

бором шага интегрирования основаны на вычислении и контроле главного члена локальной ошибки (см., например, [1]-[4]). К сожалению, такой способ построения "оптимального" по за­

тратам машинного времени разбиения отрезка интегрирования для заданной точности решения задачи имеет ц е л ы й ряд недостатков. Во-первых, учет только главного члена локальной ошибки при вычислении размера шага интегрирования не гарантирует малости локальной ошибки для выбранного ш а г а и будет к о р р е к т н ы м только для разбиений с достаточно малым диаметром.

Во-вторых, сохранение на приемлемом уровне локальной погрешности не позволяет контроли­

ровать глобальную ошибку, которая является более существенной для точности приближенного решения. В-третьих, к а к реализация правила Рунге, так и использование неявных численных ме­

тодов разных порядков при решении нелинейных задач требуют значительных усилий, что су­

щественно усложняет применение неявных численных методов с автоматическим выбором шага интегрирования на практике. В-четвертых, для явных методов (или других методов с ограничен­

ной областью устойчивости) контроль локальной ошибки часто входит в противоречие с устой­

чивостью численного метода, что не т о л ь к о увеличивает затраты машинного времени, но и во­

обще м о ж е т привести к непредсказуемым результатам.

Существенное улучшение методов и программ для численного интегрирования обыкновен­

ных д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений возможно за счет контроля глобальной ошибки. Поэтому проблема практической оценки этой погрешности для одношаговых и многошаговых методов является одной из приоритетных в вычислительной математике, о чем свидетельствует большое

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Р Ф Ф И (код проекта 01-01-00066).

количество работ отечественных и з а р у б е ж н ы х авторов (см., например, [5]—[10]). Данная статья вносит свою лепту в решение этой п р о б л е м ы и посвящена эффективному нахождению главных членов локальной и глобальной о ш и б о к многошаговых методов с постоянными коэффициента­

ми на равномерных сетках.

В разд. 2 изложен асимптотически в е р н ы й способ оценки локальной ошибки для линейных многошаговых методов с постоянным ш а г о м . Введено понятие расширенной матрицы Вандер- монда, выведено необходимое и достаточное условие ее обратимости, а также показано приме­

нение такой матрицы для вычисления главного члена локальной ошибки. В разд. 3 разработана и строго теоретически обоснована м е т о д и к а оценки глобальной ошибки. Доказано, что она мо­

жет б ы т ь корректно использована д л я л ю б о г о устойчивого многошагового метода порядка не ниже двух. В разд. 4 представлены р е з у л ь т а т ы численных экспериментов, подтверждающих ра­

ботоспособность построенной теории. В разд. 5 обсуждены основные преимущества указанных способов нахождения асимптотически в е р н ы х оценок локальной и глобальной ошибок, а также исправлены некоторые неточности, допущенные в более ранних работах.

2. О Ц Е Н К А Г Л А В Н О Г О Ч Л Е Н А Л О К А Л Ь Н О Й О Ш И Б К И Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

x\t) = g(t⁹x{t))⁹ te [t⁰,t⁰ + Г], x(t⁰) = x⁰ (2.1) с достаточно гладкой правой частью g: [R" ^{+ 1} —«> Rⁿ. Предположим, что задача (2.1) имеет един­

ственное решение. Для численного интегрирования (2.1) введем на отрезке |>⁰, t⁰ + 7] произволь­

ную равномерную сетку с шагом х:

w^x = {t^k = t⁰ + ki,k = 0⁹l,...,K,KT = T}⁹ и применим линейный /-шаговый метод (ЛМ-метод)

Х^аЛ - и - ' = ^Ь^(г^{к + 1}_¹⁹х^{к + 1}_⁽)⁹ к = / - 1 , / , . . . , # - 1 , (2.2)

; = о / = о

где aⁱ⁹ b^t - числовые коэффициенты и а⁰ Ф 0. Считаем, что стартовые значения x^h i = 0, 1,..., / - 1, заданы.

Введем понятия локальной ошибки и невязки ЛМ-метода (2.2).

©определение 1.Локальной ошибкой ЛМ-метода в точке t^b к = /, / + 1, К⁹ называется раз­

ность

Ах^к = x(t^k)-x^k9

где x(t^k) - точное решение задачи (2.1) в т о ч к е t^h а х^к - приближенное решение в той же самой точке, полученное методом (2.2) при т о ч н ы х стартовых значениях, т.е. е с л и x^k_^l = x{t^k_^l)⁹..., х^к_ ^{ =

= x(t^k_^{).

Оппределешше 2. Функция

L(t^{k + l9}x(t),x) = X ^ ( ^⁺i _^I) - x ^ ^ ( ^^{+ 1}_^/, x ( ^ ^{+ 1}_^/) ) =

(2.3)

называется невязкой ЛМ-метода (2.2).

Известно (см., например, лемму 2.2 в [3, с. 335]), что локальная ошибка и невязка ЛМ-метода имеют один и тот ж е порядок малости относительно размера шага т. Последнее обстоятельство позволяет корректно определить порядок ЛМ-метода.

842

КУЛИКОВ, шиндин

Определение

3, Метод (2.2) имеет порядок s {согласован с порядком s), если для всех задач (2.1) с достаточно гладкой правой частью выполнено любое из двух эквивалентных равенств:

Ax^k+l = 0(x^{s + l})wmL(t^h+ux(t)⁹x) = 0(x^{s + l}).

Кроме того, ЛМ-метод (2.2) имеет порядок s тогда и только тогда, когда его к о э ф ф и ц и е н т ы удовлетворяют условиям порядка

i i i i i

2^ = °' 2 ^

^{/ +}

Z^

^{= 0}

' Х

^а

^

⁺

^Х^"

^{1 = 0}' 7 = 2 , 3 , . . . , * . (2.4)

I = о / = 1 ⁱ = о / = 1 / = 1

Заметим, ч т о ф о р м у л ы (2.4) несколько отличаются по внешнему виду от стандартных усло­

вий порядка (см., например, теорему 2.2 в [3, с. 336] или [11, с. 232]), т а к к а к выписаны не для (k-l+ 1)-й, а для (к + 1)-й т о ч к и сетки с целью более удобного применения в рамках данной ра­

боты.

Введем характеристический (или производящий) многочлен ЛМ-метода (2.2):

£ а Д ' - ' = 0. (2.5)

Определение

4. ЛМ-метод (2.2) называется устойчивым, если он удовлетворяет условию кор­

ней, т.е. все корни характеристического многочлена (2.5) лежат внутри или на границе единич­

ного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней.

Итак, в ы ч и т а я (2.2) из (2.3) и используя определение 1, приходим к следующей формуле для приближенного вычисления локальной ошибки ЛМ-метода:

^k ⁺ i^[^oEⁿ-Tb⁰d^xg(t^{k + l},x^{k + l})Y^lL(t^{k + h}x(t\T)⁹ к = /— 1, /, —, ЛГ— 1. (2.6) где Е^п - единичная матрица размера п, a d^xg(t^k+i9 х^к+[) обозначает частную производную отоб­

ражения g по в т о р о й переменной, взятую в точке ( ^^{+ 1}, х^{к + 1}). Ниже предполагаем, что метод (2.2) имеет порядок s. Тогда в силу определения 3 очевидно, что (2.6) дает локальную ошибку ЛМ-метода с т о ч н о с т ь ю 0(x^{2s + 3}), т а к как в этом случае мы пренебрегли членами порядка 0(х(Ах^к+1) ). (Здесь и далее возведение вектора в степень подразумевает покомпонентное вы­

полнение этой операции.) П о л н ы й вывод аналогичного факта для многошаговых формул с пе­

ременными к о э ф ф и ц и е н т а м и м о ж н о найти в [9]. Однако в указанной работе не было учтено, что коэффициент при остаточном члене разложения ошибки в ряд Тейлора т о ж е зависит от т, по­

этому верна уточненная оценка, приведенная в данной статье. Хотя, справедливости ради, надо отметить, ч т о э т о т ф а к т не о к а з ы в а е т никакого влияния на методику нахождения главного чле­

на локальной о ш и б к и многошаговых методов как с постоянными, так и с переменными к о э ф ф и ­ циентами. Т а к и м о б р а з о м , последнее, что нам осталось сделать для практического применения (2.6), - это р а з р а б о т а т ь способ для достаточно аккуратного вычисления невязки L(t^k+i, x(t), х).

Разлагая правую часть ф о р м у л ы (2.3) в ряд Тейлора по степеням х в т о ч к е t^{k + [} и используя условия (2.4), с т о ч н о с т ь ю до членов порядка 0 ( т^{5 + 2}) , получаем

L ( f ,^{+ 1} , * ( 0 , x ) * ^ ^ (2.7)

к-1- 1,/, К - 1. Теперь, принимая во внимание погрешность формулы (2.7), заключаем, что подстановка (2.7) в (2.6) позволяет корректно определить только главный член локальной

о ш и б к и метода (2.2), т.е. с точностью 0(x^{s + 2}) имеем

Л

^

^{+ 1}

~ ( 7 ^ ^ ^ (2 8)

/ = 1

к = 1-1,1, ...,К-1.

Формула (2.8) утверждает, что для вычисления асимптотически верной о ц е н к и локальной ошибки метода (2.2) достаточно знать (s + 1)-ю производную точного решения задачи (2.1), но эта величина нам не известна. По этой причине в [9] было предложено использовать (s + 1)-ю производную приближенного решения задачи (2.1), т.е. > полученную с п о м о щ ь ю д и ф ф е ­ ренцирования интерполяционного многочлена Ньютона степени /, построенного по неточным данным (см. теорему 1 в упомянутой выше статье). В результате возникли две п р о б л е м ы . Во- первых, такой подход накладывает достаточно жесткое условие на соотношение между поряд­

к о м ЛМ-метода и его длиной, т.е. s < I, если мы не хотим хранить дополнительную информацию.

А во-вторых, он требует избыточной гладкости от решения задачи (2.1). Н и ж е п о к а ж е м , что для аппроксимации (s + 1)-й производной точного решения на равномерной сетке w^x о п е р а ц и ю диф­

ференцирования подходящего интерполяционного многочлена можно заменить р е ш е н и е м не­

к о т о р о й системы линейных уравнений, что позволит устранить отмеченные недостатки. Б о л е е того, в силу равномерности сетки, это решение следует осуществить единственный раз, до нача­

ла интегрирования.

Для неравномерных сеток такая замена уже не выглядит привлекательной, т а к к а к тогда эле­

м е н т ы матрицы линейной системы будут зависеть от конкретной точки сетки, ч т о приведет к до­

полнительным затратам машинного времени, связанным с вычислением этой м а т р и ц ы и реше­

нием линейной системы в каждой точке сетки. Кроме того, значительные о ш и б к и при данной аппроксимации производных могут возникать из-за плохой обусловленности указанных линей­

ных задач. Таким образом, для ЛМ-методов с переменными коэффициентами л у ч ш е в ы б р а т ь методику, представленную в [9].

Для упрощения обозначений ниже рассмотрим только скалярный случай. В о б щ е м случае за­

дача вычисления соответствующей производной вектор-функции решается покомпонентно.

П у с т ь / : [t⁰, t⁰ + 7] с U —^ Ш и ДО € С[*) ^{+ Т]}, т.е. функция ДО будет s + 1 раз н е п р е р ы в н о диф­

ференцируемой на отрезке [/⁰, t⁰ + Т]. С учетом сказанного выше введем в т о ч к е t е [t⁰, t⁰ + 7]

вектор Нордсика:

F(t) = (f(t),Tf\t), ^X-f\t), • Для удобства дальнейшего изложения рассмотрим также дополнительный в е к т о р

Fit', i) = (f(t), f(t-т), ...,f{t-ix))\ i = 0, 1, s.

П р и этом будем считать, что размерность вектора F(t\ - 1 ) равна нулю.

Итак, предположим, что даны два вектора F(t; I) и F\t, s-l-l) размерностей / + 1 и s -1 со­

ответственно. Тогда суть идеи для аппроксимации производной порядка s з а к л ю ч а е т с я в том, ч т о б ы , используя значения ф у н к ц и и / в точках t-ixe [/⁰, t⁰ + T],i^: = 0, 1 , . . . , / , и ее п р о и з в о д н о й / ' в точках / - / т е [t⁰, t⁰ + Т], i^: = 0, 1, s - I - 1, найти вектор Нордсика в т о ч к е t е [t⁰, t⁰ + 7] с точностью 0(x^{s + i}). Для этого построим линейное отображение с матрицей Q(l, s) размера (s + 1) х х (s + 1) так, чтобы выполнялось равенство

F(t) = Q(l,s)(F(t,l)^T,xF\t,s-l-l)^r)^T + 0(x^{s + l}). (2.9)

844

КУЛИКОВ, шиндин

Естественным образом возникает вопрос: при каких условиях преобразование Q(l, s) существует и единственно? Для его прояснения нам потребуются некоторые сведения относительно расши­

ренных матриц Вандермонда.

Определение 5. Пусть рит- произвольные целые числа такие, ч т о р>0и0<т<р. Тогда для любых действительных чисел v^{l 9} v^p матрицу

V(v^l9...,v^p\ v^l9 v j =

1 v, ^1 ^{2 p + m -} 1

1 V V

v p v p

V

p + m -I

1 2 v j 3v^x ... (p + m)v ^{p + m -} 1

p + m - 1

(2.10)

(2.11) . 1 2 v^m 3 v ; ... (p + m)v^pm

назовем расширенной матрицей Вандермонда.

Важнейшим, с точки зрения поставленной цели для нас является условие обратимости матри­

цы V(vⁱ⁹ v^p; v^[9 v^m) , которое вытекает из следующей леммы о вычислении определителя расширенной матрицы Вандермонда (или, коротко, расширенного определителя Вандермонда).

Лемма 1 . Для расширенного определителя Вандермонда справедливо

d e t [ V (^{V l}, . . . , v „ ; v^u...,v^m)] = (-l)»^ip-^lV2{[ f[ ( v , - v , ) x

i = 1 j = i + \

m / m p \

Х

Г Т Н П П <

^v

'"

^v

;>

i = 1 ^{V/ = i +} 1 у = ^m+ 1 ^

Доказательство. Прежде всего заметим, что при т = 0 величина det[V(v^{l 9} v^p)] совпадает с классическим определителем Вандермонда и соотношение (2.11) для него выполнено в силу, на­

пример, [12, с. 222-223]. Здесь и далее, как обычно, мы считаем произведение равным единице, если нижний индекс больше верхнего. Докажем теперь справедливость ф о р м у л ы (2.11) при 0 < т <р.

Для каждого / = 1 , 2 , определим многочлен P^t) равенством

P^t(t) = dct[V(v^l9 v^t_^l9t, v^{i + l9} v^p\ v^l9 v^t_^l9 t, v^{i + l9} v^w) ] , (2.12) т.е. многочлен P^t) получен из определителя det[V(v^x, v^p; vⁱ⁹ v^m) ] заменой числа v^t на пе­

ременную t. Очевидно, что заданные таким образом многочлены и м е ю т следующие степени:

а) deg[P;(f)] = 2{р + т) - 3, если / = 1,2, т\

б) deg[PX0] = Р + ^т~ 1»^{е сли} i = m+ 1, m + 2, ...⁹р.

Идея доказательства леммы 1 состоит в отыскании разложения на э л е м е н т а р н ы е множители каждого из многочленов P^t).

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен P(t) произвольной степени п над по­

лем комплексных чисел имеет ровно п комплексных корней с учетом их кратности. П о э т о м у из теоремы Везу следует, что над полем комплексных чисел этот многочлен м о ж е т б ы т ь представ­

лен в виде

Р ( 0 = c f ] (t-tf,

(2.13)

/ = 1

где каждый t^{ обозначает один из г различных корней многочлена P(t) и и м е е т кратность rⁱ⁹ i = 1, 2 , г , ^х r^{ =п,а С - коэффициент многочлена при старшей степени, не зависящий от t. Та­

ким образом, наша ближайшая задача заключается в определении всех к о р н е й многочленов Pfj) с учетом их кратности.

Рассмотрим сначала случай а), т.е. когда / < га. Пусть, например, / = 1, тогда числа 0, v², v^p являются корнями многочлена P^x{t). Действительно, подставляя каждое из этих чисел в (2.12) при г = 1, с учетом (2.10) легко убедиться, что правая часть э т о й ф о р м у л ы всякий раз обращается в нуль. Далее предположим, что некоторые из уже найденных корней имеют кратность выше единицы. В этом случае, согласно представлению (2.13), если корень t^t многочлена Pit) имеет кратность r^t > 1, то он является т а к ж е корнем всех многочленов P^Xt),j = 1 , 2 , . . . , r^t - 1. Следо­

вательно, для проверки гипотезы о кратности корней необходимо изучить корни многочлена Pi {t).

Применяя стандартное правило для вычисления определителей, имеем 0 1

1 v²

1 v „

1 v^p 0 2

2t

2 V2

1 v² v²

6t

(p + m- l)f ^{p + m - 2}

p + m -I

V ^{p + m -} 1 1 It З Г ...

1 2 v² 3 v² ...

1 2 v^m 3 v „

p + m -

{p + m)t {p + m)v$

{p + m)v\

p + m - 1

p + m - 1

V ^{p + m -} 1

V ^{p + m -} 1

1 2 v² 3 v²

1 2 v^m 3vl

.. {p + m){p + m- 1 ) ^

/ , \ p + m - l + m - 2

{p + m)v\ ^{p + m - l}

(2.14)

Нетрудно видеть, что второе слагаемое в правой части ф о р м у л ы (2.14) обращается в нуль при t = v², v^p. Действительно, если подставлять в этот определитель по очереди числа v², v^p, то в нем каждый раз возникают две одинаковые строки. П о к а ж е м , что числа v², . . . , v^p обнуляют также и первое слагаемое в (2.14). Для этого сделаем подстановку t = v² и рассмотрим два случая:

v² = 0 и v² Ф 0.

Пусть v² = 0. Тогда очевидно, что первый определитель в выражении для Pi {t) обратится в нуль, поскольку он содержит по крайней мере две одинаковые строки. Если ж е v² Ф 0, то, умно­

жая первую строку рассматриваемого определителя на v² и в ы ч и т а я ее из {р + 1)-й строки, при­

ходим к выводу, что и в этом случае первое слагаемое в правой части ф о р м у л ы (2.14) равно ну­

лю. Повторяя приведенные в ы ш е рассуждения для оставшихся чисел v³, v^p9 заключаем, что все они являются корнями многочлена Pi (г).

Итак, мы нашли 2р - 1 корень многочлена Р^А(0. О п я т ь предположим, что часть этих корней имеет кратность выше двух. Для подтверждения этого ф а к т а обратимся к многочленам Р " {t) и Р⁽,^{3 )}( 0 .

846 КУЛИКОВ, ШИНДИН

0 0 2 ... (p + m-\){p + m-2)t , 2

1 v² V2 . . . V

1 v^p v^p 1 It 3t² 1 2 v , 3 v ?

1 2 v „ 3v„

p + m-3

p + m-

p + m-l

p + m- J

(p + m)?

/ . \ p+m-\

(p + m)v^F2 (p + m)v\ ^{p + m- I}

+ 2

0 1 2 / ...

1 v² v²

1 v/ > v/ >

0 2 6/

1 2 v² 3 v²

(p + m- l)t ^{p + m-2}

p + m-

p + m-l

(p + m)(p + m- l)t

/ . \ p+m-1 p + m-2

1 2 v^m 3 v ; ... ( p + m ) v ; ^{p + m-I}

(2.15)

1 v⁹

1 v^p

0 0 v⁹

/7 + m- l

p + m-l

p + m-l

1 2v? 3 v^? 1 2 v^m 3v~

(/? + m)(p + m-l )(p + m- 2)t

/ . \ p+m-l

p + m-3

(p + m)v\ ^{p + m-l}

Подстановка любого из чисел v², ..., v^m в первое и т р е т ь е слагаемые из правой части ф о р м у л ы (2.15), очевидно, порождает две одинаковые строки в каждом из соответствующих определите­

лей. Следовательно, числа v², v^m о б р а щ а ю т в нуль первое и третье слагаемые в выражении для Р\ (t). П о к а ж е м , что эти числа обнуляют т а к ж е и второе слагаемое из (2.15). Для этого сде­

лаем подстановку t = v² и опять рассмотрим два случая: v² = 0 и v²Ф 0.

Пусть v² = 0. Тогда второе с л а г а е м о е в ф о р м у л е для Р " (t) обращается в нуль, поскольку со­

ответствующий определитель содержит по крайней мере две одинаковые строки. Если же v² Ф 0, то, вычитая вторую строку рассматриваемого определителя из (р + 2)-й, а затем деля результат на v², убеждаемся, что и второе слагаемое в правой части ф о р м у л ы (2.15) равно нулю. Повторяя указанные рассуждения для оставшихся чисел v³, . . . , v^m, приходим к выводу, что все они являют­

ся корнями многочлена Р\ (t).

Снова применяя правило вычисления определителей, из (2.14) получаем

/ = 1 j = / + 1 i = 1 ^{Vy = / +} 1 у = m + 1

где C(v[9 vp) - н е к о т о р ы й многочлен относительно vi9 i = 1 , 2 , . . . , p. Б о л е е того, если теперь в ы ч и с л и т ь и сравнить максимальные степени для каждого v^t из левой и правой частей последней ф о р м у л ы , то несложно убедиться, что многочлен C ( v^A, v^p) обязан иметь нулевую степень по к а ж д о й переменной, т.е. фактически быть константой. Тогда для определения ее значения до­

статочно исследовать к о э ф ф и ц и е н т при любом слагаемом в полиномиальном представлении оп­

ределителя матрицы (2.10), и удобнее всего в этом смысле воспользоваться слагаемым

т р

v f < "+ m ) + 1-4' ' fl vpr. (2.18)

/ = 1 / = т + 1

Однако прежде, чем использовать (2.18), сделаем в исходном определителе обратную пере­

становку столбцов, а кроме того, переставим строки так, чтобы все строки, соответствующие (3)

Доводы, аналогичные приведенным выше, показывают, что многочлен Р^х (t)⁹ так же к а к и Р\ (г), имеет своими корнями числа v2 , v m .

Т а к и м образом, м ы нашли все 2(р + т) - 3 корня многочлена Px(t) (с учетом их кратности), к о ­ т о р ы е к тому же оказались действительными. Отсюда и из (2.13) вытекает, что над полем дейст­

в и т е л ь н ы х чисел справедливо

р т р

P^v,) = C^l(v²,...,^Vp)v^lll(vⁱ-v^j)JJ(v^l-v^jf

Yl (^.-^)-

у = 2 j = 2 у = m + 1

П р и ч е м , в силу ф о р м у л ы (2.12) при / = 1, коэффициент C^A( v², v^p) представляет собой некото­

р у ю полиномиальную функцию, которая не зависит от v^x. Поэтому, учитывая структуру матри­

ц ы (2.10), получаем, что аналогичный вид явно имеют и остальные многочлены Р{{г) при / = 2, 3, га, т.е.

р т р

P,.(v,.) = C^I. ( v¹, . . . , v^I. _¹, v¹.^{+ 1}, . . . , v „ ) v^J. J ] ( v . - v , ) J ] ( v . - у / П ( 2 -^{1 6}) y'=l,y'*l j = h j * i у = m + 1

где Ct(vl9 ъ_19 v/ + 1, vp) не з а в и с и т о т уг.

Т о ч н о т а к ж е , к а к и для / < га, может быть исследован случай б), когда / = га + 1, га + 2, О т л и ч и е состоит т о л ь к о в том, что тогда многочлены P^t) имеют степень р + га - 1. В итоге для них т е м ж е путем, что и в ы ш е , нетрудно получить представление

р т

РМ = Ci{vl,...9vi_l,vi + l,...,vp) Ц ( vi- v^;. ) n( vI. - vy. ) , (2.17)

где Ci(v^l9 v^t_^[9 v^{i + l 9} v^) опять же не зависит от vⁱ⁹ i = m + 1, га + 2,

И т а к , учитывая далее, что d e t [ V ( v^A, v^{p 9} v^{l 9}v^m) ] есть полиномиальная функция от чисел v^l9 v^p, а т а к ж е принимая во внимание соотношения (2.12), (2.16) и (2.17), приходим к выводу, ч т о в ы р а ж е н и е для нахождения расширенного определителя Вандермонда надо искать в следу­

ю щ е м виде:

d e t [ V ( v^{1 ?} v^p9 v^l9 v^m) ] = C ( v^{l 9} v^p)x

p p m / m p

848 КУЛИКОВ, ш и н д и н

каждому из чисел v^{l 5}. . . , v^m, располагались рядом, т.е. преобразуем определитель d e t [ V ( v^{l 9}. . . , v^p\ vl9 vm) ] к виду

p + m-l

V

p + m-2

1

(p + m)vp + m (p + m-l)vp p + m-2

p + m-l p + m-2

/ , \ p+m-l , , 14 p+m-2

(p + m) V 2 (/? + m - l ) v2

p + m-l

V

p + m-2

/ . \ p+m-l , , ¹⁴ p+m-2

p + m-l i + l p + m-l

K +

²

p + m-2

Гт+1

p + m-2 m + 2

.. 2v^x 1 .. v? 1

2 v² 1

.. vm 1 .. 2vm 1

vm + l 1

p + m-l

V p + m-

m + 2 1

(2.19)

Н е с л о ж н о подсчитать, что определитель (2.19) отличается от исходного м н о ж и т е л е м

( 1^Р2 + 4РТ~Р-2Т>>/2

Представление (2.19), в свою очередь, утверждает, что максимальная степень для v^u т.е. в ы ­ р а ж е н и е v 2 ( p + m )~^{3 9} входящее в (2.18), может быть получена только либо умножением п е р в о г о элемента из первой строки на второй элемент из второй строки, либо умножением в т о р о г о э л е ­ мента из первой строки на первый элемент из второй строки. Аналогично, выражение v2 ( / ; + m ) 7

в оставшемся миноре м о ж е т быть получено только либо умножением третьего элемента из т р е ­ тьей строки на ч е т в е р т ы й элемент из четвертой строки, либо умножением четвертого э л е м е н т а из т р е т ь е й строки на третий элемент четвертой строки. Повторяя указанные рассуждения для всех / = 1, 2, т , перебираем все сомножители v2(р + т)+^t 1 -4/ в первом произведении ф о р м у л ы (2.18). В т о р о е произведение в (2.18) является результатом перемножения диагональных э л е м е н ­ тов в правом нижнем угловом миноре размера (р-т)х(р-т) определителя (2.19). К р о м е всего прочего, отсюда следует, что все коэффициенты при множителях vf ~1 :, / = т + 1, т + 2 , . . . , р9 р а в ­ н ы единице.

В связи со сказанным в ы ш е можно сделать вывод, что коэффициент при слагаемом из ф о р ­ мулы (2.18) м о ж е т б ы т ь вычислен как произведение т определителей размера два, т.е.

п

i= 1

1 1 р + т - 2i + 2 р + т - 2i + 1 = ( - 1 ) "

О к о н ч а т е л ь н о , вспоминая про множитель (-1 )( р + 4 р т р 1т)12, который возникает из-за приведе­

ния расширенного определителя Вандермонда к виду (2.19), приходим к цепочке равенств

г, \ _ ( 1 Лр^ + 4рт-р-2т)/2 + т _ , « v р(р- 1)12 + 2рт _ , ].р(р-1)/2

c^Vj,

v^p) — - v—l; - v—¹ / ⁵

з а в е р ш а ю щ е й доказательство леммы 1.

В качестве иллюстрации только что доказанной л е м м ы рассмотрим два простых примера, т.е.

вычислим непосредственно определитель матрицы (2.10) для случаев, когда р = т = I и р = 2, т = 1, и сравним результат с формулой (2.11).

Пусть р = т = 1. Рассмотрим расширенную матрицу Вандермонда

V(vx, vx) = 1 vx

1 2vx

Тогда, применяя стандартное правило для вычисления определителей, приходим к d e t [ y ( v ! ; vx)] = 2vx-vx = vx.

To же самое выражение для d e ^ V O ^ v^x)] в ы т е к а е т из ф о р м у л ы ( 2 . 1 1 ) .

> 2 о Пусть теперь р ^{= 2} и m = 1. Тогда матрица ( 2 . 1 0 ) будет иметь вид

V(vx, v2; vx) =

1 v 1 v _{2 ^ 2} ² 1 2 v ! 3vx

Очевидно, что

d e t [ V ( v^{1 ?} v²; v ^ ] = 2v\v²-v^xv\-v\ = - v¹( v ^ - 2 v¹v²+ v²) = - v ^ V j - v²)². Точно такое же выражение для det[V(v^{l 9} v²; v^x)] м о ж н о получить, если применить лемму 1. Дей­

ствительно, используя (2.11) при р = 2 и т = 1, приходим к цепочке равенств

2(2 — 1 )/2 2

d e t [ V ( V i , v2; v ^ ] = ( - 1 ) (vx - v2) v1( v1 - v2) = - v ^ - v2) .

Итак, сформулируем необходимое и достаточное условие невырожденности расширенных матриц Вандермонда, которое потребуется нам в дальнейшем.

Лемма 2 о Расширенная матрица Вандермонда (2.10) не вырождена тогда и только тогда, когда все числа v^x, v^p попарно различны и v- Ф 0 при i = 1, 2, m.

Лемма 2 тривиальным образом в ы т е к а е т из л е м м ы 1.

Вернемся к вопросу о существовании и единственности преобразования Q(l, s). Вообще гово­

ря, задача построения такого преобразования по векторам F(t; I) и xF\t; s-l-l) при заданном т в некотором смысле эквивалентна задаче построения интерполяционного многочлена Эрмита по значениям функции / в точках t - vx е [t⁰, t⁰ + 7 ] , / = 0, 1, /, и ее п р о и з в о д н о й / ' в точках t-ixe [t0, t0 + 7], / = 0 , 1 , . . . , s -1 - 1. Понятно, ч т о последняя задача имеет единственное решение только в том случае, когда число значений производных функции, по которым производится ин­

терполяция, не превосходит числа значений самой функции. В наших обозначениях это условие подразумевает выполнение неравенства

s<2l+ 1. (2.20)

Действительно, если числа / и s удовлетворяют (2.20), то для линейного преобразования Q(l, s) оказывается справедливой

Теорема 1. Пусть условие (2.20) имеет место. Тогда для любой функции f: [t⁰, t^Q + 7] с R —^ R

s + 1

такой, 4mof(i) € C^[tQ,,⁰⁺т], линейное преобразование с матрицей Q(l, s) размера (s + 1) х (s - 1), для которого выполнено (2.9), существует и единственно.

Доказательство. С учетом гладкости функции f(f) р а з л о ж и м правую часть векторного урав­

нения (2.9) в рад Тейлора до порядка s + 1 и сгруппируем все слагаемые при одинаковых степенях т.

Тогда нетрудно видеть, что матрица искомого линейного преобразования Q(l, s) должна удовле­

творять соотношению

Q(l,s)I(l,s) = Es + X,

850

КУЛИКОВ, шиндин

где

1(1, s) =

1 0 О 1 ( - 1 )¹ ( - 1 )²

1 (-/) О 1 О 1

о

2 ( - 1 ) '

О ( - 1 ) '

(-/)*

о

s(-l) ^s-1 О 1 2 С / - 5 + 1 )¹ ... s(l-s+l)^s

Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1 достаточно показать, что при выпол­

нении условия (2.20) матрица Д/, s) обратима.

Рассмотрим сначала случай, когда s < I. Во-первых, очевидно, что условие (2.20) имеет место.

Во-вторых, в м а т р и ц е /(/, s) все строки с номерами от / + 2 до s + 1 отсутствуют. При этом опре­

делитель матрицы /(/, s) становится классическим определителем Вандермонда det|V(0, - 1 , - / ) ] , который, к а к известно, не равен нулю, поскольку числа 0, - 1 , . . . , - / попарно различны. Впрочем, то ж е самое следует из л е м м ы 2 при т = 0.

Пусть т е п е р ь s > I и выполнено (2.20). Тогда матрицу /(/, s) перестановкой строк можно при­

вести к виду

1 0 0 0

0 1 0 0

1 (-- I )¹ ( - 1 )² . (-1У 1 (• - О¹ Н )² •

.. НУ

0 1 2 ( - 1 ) ' •

0 1 2 ( / +

1-5)' .

.. s(l+l-s)'~

Отсюда в ы т е к а е т , ч т о матрица /(/, s) вырождена только в том случае, если

det

( - D Z (-1)

2 ( - 1 ) '

НУ

s(-l)⁵

s-\

= 0. (2.21)

2 ( / + 1 - * Г ... s(Ul-s)

В свою очередь, определитель, стоящий в левой части формулы (2.21), может быть элемен­

тарными преобразованиями сведен к расширенному определителю Вандермонда. Действитель­

но, если п е р в ы е / строк этого определителя разделить, соответственно, на /², / = 1, 2, . . . , / , а ос­

тавшуюся s -1 - 1 строку - на - / и затем из каждой (/ + /)-й строки вычесть i-ю строку, / = 1 , 2 , . . . ..., s -1 - 1, м ы получим в точности d e t [ V ( - l , . . . , - / ; - 1 , . . . , / + 1 - s)]. Таким образом, из приведен­

ных рассуждений ясно, что равенство (2.21) возможно только в том случае, если det[V(-l, - 2 , . . . , - / ; - 1 , - 2 , . . . , / + 1 - s)] = 0, что противоречит лемме 2, поскольку все числа - 1 , - 2 , . . . , - / отличны от нуля и попарно р а з л и ч н ы . В итоге м ы заключаем, что матрица /(/, s) обратима, а следовательно, линейное преобразование Q(l, s) существует и единственно. Теорема доказана.

xF\t;s-l-l) = xF\t; s-l-l) + 0(x^m).

Тогда с учетом формулы (2.9) из ограниченности матрицы линейного преобразования <2(/, s) по н о р м е имеем

F(t) = F ( 0 + O ( x^{m i n { m}'^{5 + 1 }}) , (2.22)

где

F(t) = Q(Us)(F(t\ l)\xF\t;s-l-l)T)\

Вернемся к вычислению (s + 1)-й производной решения задачи (2.1). Пусть порядок s для /-ша­

гового метода (2.2) удовлетворяет условию (2.20). Предположим т а к ж е , ч т о для приближенного р е ш е н и я х^к+х при некотором £ = / - 1 , / , , JST— 1 для всех / = 0 , 1 , . . . , / в ы п о л н е н ы соотношения

* 4 ' *⁺i - i ) = « ( ^⁺i - / ^ i k⁺i - / ) + 0( T, + 1) ,

1 -1) = э ^ ^ . ^ + ^ о + э ^

Тогда из (2.22) и (2.23) следует, что для вычисления вектора Нордсика, с о д е р ж а щ е г о с первой по (s + 1)-ю производные точного решения задачи (2.1) в точке tk + b можно использовать линейное о т о б р а ж е н и е Q(l, s) из (2.9). Однако для практического применения ф о р м у л ы (2.8) достаточно оценить только (s + 1)-ю производную вектор-функции х(0, а чтобы осуществить э т о , надо знать лишь э л е м е н т ы (s + 1)-й строки матрицы линейного преобразования Q(l, s). О б о з н а ч а я далее эле­

м е н т ы матрицы g ( / , s) через q\jS\iJ = 1,2, s + 1, а т а к ж е принимая во внимание (2.9), (2.22) и (2.23), приходим к следующей формуле для аппроксимации необходимой производной:

х5 1 s~l~l

j = o j = o (22b)

*[d^tg(t^k+l_^p x^k+l_j) + d^xg(t^k+l_^p x^{k + l}_j)g(t^k+l_^p x^k+l_j)] + 0(x^s+l).

О б ъ е д и н я я (2.8) и (2.24), окончательно получаем формулу для вычисления л о к а л ь н о й ошиб­

ки ЛМ-метода (2.2) с точностью 0(x^{s + 2}):

tek + i~\*oEⁿ-*b⁰d^xg(t^{k + l9}- x^k+l) ] ^ *k ⁺ i-j) + V j = 0

(2.25)

s - l - l ^

7 = 0

J

к о э ф ф и ц и е н т ы с; и dj в которой зависят от конкретного многошагового метода и определяются следующим образом: Ч5 +1

/

Cj

= ^г1><

/ + 1 + ( 5 + l)bi?]q?:lj⁺i, j = 0, 1, . . . , / , (2.26а) /= 1

5+1 ^

dj = t j ^ ^ [ a f ^{+ l} + (s+l)bflqtl^{l+J + 2}, J = 0' (2.266) /= 1

И т а к , преобразование <2(/, s)⁹ определенное равенством (2.9), позволяет по в е к т о р а м F(t; I) и F\t\ s-l-l) найти вектор Нордсика F(t) с точностью 0(xs +1). При этом считается, ч т о в е к т о р ы F(t; /) и F\t; s-l-l) заданы точно. Предположим теперь, что эти в е к т о р ы известны с н е к о т о р о й п о г р е ш н о с т ь ю , т.е.

F(t\ 1) = F(t\ l) + 0(xm)