М. Дана, Х. Д. Икрамов, Метод минимальных невязок для линейных мно- гочленов от унитарных матриц, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, том 46, номер 6, 975–982

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. Дана, Х. Д. Икрамов, Метод минимальных невязок для линейных мно- гочленов от унитарных матриц, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, том 46, номер 6, 975–982

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 17:32:29

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2006, том 46, M 6, с. 975-982

УДК 519.614

МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ

© 2006 г. М.

*, X.

(* 66177 Санандадж, Университет Курдистана, Факультет математики, Исламская Республика Иран;

** 119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК) e-mail: mansourdana2001@yahoo.com; ikramov@cs.msu.su

Поступила в редакцию 26.08.2005 г.

Для решения системы линейных уравнений Ах = Ъ с нормальной матрицей коэффициентов, спектр которой принадлежит алгебраической кривой Г порядка два, авторами ранее был предложен метод минимальных невязок MINRES-N2, использующий нестандартные крылов- ские подпространства. Однако вычислительная схема этого метода, описанная авторами, не охватывает матрицы А вида А = aU + ß/, где U - произвольная унитарная матрица; для таких матриц Г есть окружность. Системы этого типа приходится многократно решать при вычис­

лении собственных векторов унитарных матриц методом обратной итерации. Указана моди­

фикация метода MINRES-N2, пригодная для линейных многочленов от унитарных матриц.

Приведены результаты численных экспериментов, показывающих значительные преимуще­

ства модифицированного метода по сравнению с GMRES для систем этого класса. Библ. 3.

Фиг. 1.

Ключевые слова: линейные многочлены от унитарных матриц, метод минимальных невязок, модификация метода MINRES-N2.

1. В В Е Д Е Н И Е П у с т ь н у ж н о р е ш и т ь систему л и н е й н ы х уравнений

Ах = Ъ (1)

с н о р м а л ь н о й п х я-матрицей А. Н о р м а л ь н о с т ь в д а н н о м к о н т е к с т е о з н а ч а е т в ы п о л н е н и е условия

А А * = А * А . (2) Д л я р а з р е ж е н н о й н е э р м и т о в о й матрицы А стандартным в ы б о р о м алгоритма для р е ш е н и я си­

с т е м ы (1) является о б о б щ е н н ы й м е т о д минимальных невязок G M R E S . О д н а к о в э т о м м е т о д е не удается использовать с п е ц и ф и к у м а т р и ц ы А, в ы р а ж а е м у ю равенством (2): алгоритм А р н о л ь д и , л е ж а щ и й в о с н о в е G M R E S , приводит н о р м а л ь н у ю матрицу А к т о й ж е ф о р м е Х е с с е н б е р г а , ч т о и матрицу о б щ е г о вида. В р е з у л ь т а т е с о х р а н я ю т с я два главных недостатка, присущих G M R E S п о с р а в н е н и ю с м е т о д а м и типа Ланцоша: б о л ь ш о й расход памяти и зависимость количества а р и ф ­ м е т и ч е с к о й р а б о т ы , в ы п о л н я е м о й на о т д е л ь н о м шаге, о т е г о н о м е р а к.

К а к и з в е с т н о , G M R E S р е а л и з у е т принцип минимальных невязок в применении к н е к о т о р о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и о б ы ч н ы х крыловских подпространств. Д л я п р о с т о т ы б у д е м считать, ч т о си­

стема (1) не подвергается п р е д о б у с л о в л и в а н и ю и в качестве начального п р и б л и ж е н и я б е р е т с я х⁰ = 0. В э т о м случае крыловские подпространства суть л и н е й н ы е о б о л о ч к и к о н е ч н ы х о т р е з к о в с т е п е н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и

х, Ах, А х, ....

Р а н е е авторы п р е д л о ж и л и (см. [1]) для систем типа (1), (2) алгоритм M I N R E S - N , в к о т о р о м принцип минимальных невязок применяется к обобщенным крыловским подпространствам,

976 Д А Н А , И К Р А М О В

т.е. к л и н е й н ы м о б о л о ч к а м к о н е ч н ы х о т р е з к о в о б о б щ е н н о й с т е п е н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и

b, Ab,A*b,A²b,AA*b,A*²b, A³b, . . . . (3) К р а т к о е описание M I N R E S - N д а н о в разд. 2.

Х о т я G M R E S и с п о л ь з у е т с я как и т е р а ц и о н н ы й м е т о д , т е о р е т и ч е с к и о н является прямым: р е ­ а л и з у е м ы й в т о ч н о й а р и ф м е т и к е , о н приводит к т о ч н о м у р е ш е н и ю с и с т е м ы порядка п не б о л е е ч е м в п шагов. Т о ж е с а м о е м о ж н о сказать о M I N R E S - N : в т о ч н о й а р и ф м е т и к е п ш а г о в э т о г о м е ­ т о д а приводят к п о с т р о е н и ю о р т о н о р м и р о в а н н о г о базиса пространства С" и к т о ч н о м у р е ш е н и ю с и с т е м ы (1), (2). ( Ч и с л о ш а г о в м о ж е т б ы т ь м е н ь ш е п, е с л и b п р и н а д л е ж и т нетривиальному инва­

р и а н т н о м у подпространству м а т р и ц ы Л.) Е с л и с А связать л и н е й н ы й о п е р а т о р , д е й с т в у ю щ и й в С", т о в п о с т р о е н н о м о р т о н о р м и р о в а н н о м б а з и с е е г о матрица H и м е е т б л о ч н о - т р е х д и а г о н а л ь - н ы й вид, где п о р я д о к щ д и а г о н а л ь н о г о б л о к а м е д л е н н о р а с т е т с р о с т о м е г о индекса /: n^t= I + 1.

С о о т в е т с т в у ю щ а я матрица в G M R E S и м е е т ф о р м у Х е с с е н б е р г а и с о д е р ж и т BO(JH) раз б о л ь ш е н е н у л е в ы х э л е м е н т о в , ч т о и о б ъ я с н я е т п р е в о с х о д с т в о M I N R E S - N для д а н н о г о класса систем.

П р е д п о л о ж и м т е п е р ь , ч т о наряду с (2) А у д о в л е т в о р я е т м а т р и ч н о м у у р а в н е н и ю

/ ( А , А*) = 0 , (4)

где f(x, у) - м н о г о ч л е н о т х и у н е в ы с о к о й с т е п е н и к. В э т о м случае в у п о м я н у т о й в ы ш е б л о ч н о - т р е х д и а г о н а л ь н о й м а т р и ц е H (мы н а з ы в а е м е е компактной формой матрицы А) п о р я д о к д и а г о ­ н а л ь н о г о б л о к а стабилизируется, как т о л ь к о д о с т и г а е т значения к.

А л г о р и т м M I N R E S - N , специализированный для случая к = 2, о б о з н а ч а е т с я ч е р е з M I N R E S - N 2 ; э т а специализация б ы л а р а с с м о т р е н а в [1] о с о б е н н о п о д р о б н о . П р и к = 2 уравнение (4) и м е е т вид

с^пА² + 2 с^{1 2}А А * + с^{2 2}А *² + 2 с^{1 0}А + 2 с^{2 0}А * + с^м/^я = 0 , (5) где х о т я б ы один из к о э ф ф и ц и е н т о в с^и, с^{1 2}и с^{2 2}н е равен н у л ю . В ы ч и с л и т е л ь н а я схема м е т о д а

M I N R E S - N 2 , описанная в [1], п р е д п о л а г а е т , ч т о с²² Ф О (или с^пФ 0). В э т о м случае, начиная с ч е т ­ в е р т о г о шага, м о ж н о ограничиться м а т р и ч н о - в е к т о р н ы м и п р о и з в е д е н и я м и типа Aq; п р о и з в е д е ­ ния с с о п р я ж е н н о й м а т р и ц е й А * становятся лишними. В р е з у л ь т а т е все к о э ф ф и ц и е н т ы компакт­

н о й ф о р м ы п о л у ч а ю т с я н е п о с р е д с т в е н н о из п р о ц е с с а о р т о г о н а л и з а ц и и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и (3).

С х е м а из [1] непригодна, если с^п = с^{2 2} = 0 в уравнении (5). Э т о т случай о х в а т ы в а е т (при с^{1 2}= 1/2, с^{1 0}= с^⁰ и в е щ е с т в е н н о м CQQ) матрицы вида А = aU + ß/„, где U - унитарная матрица. Си­

с т е м ы э т о г о типа приходится м н о г о к р а т н о р е ш а т ь при вычислении с о б с т в е н н ы х в е к т о р о в мат­

рицы U м е т о д о м о б р а т н о й итерации.

В разд. 3 о б ъ я с н я е т с я , как с л е д у е т м о д и ф и ц и р о в а т ь M I N R E S - N 2 для м а т р и ц А, являющихся л и н е й н ы м и м н о г о ч л е н а м и о т унитарных матриц, в частности как д о л ж н ы т е п е р ь вычисляться к о э ф ф и ц и е н т ы к о м п а к т н о й ф о р м ы .

В разд. 4 о б с у ж д а ю т с я ч и с л е н н ы е э к с п е р и м е н т ы , в к о т о р ы х п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь н а ш е г о м е ­ т о д а для с и с т е м с матрицами вида А = aU + ß / сравнивалась с п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь ю м е т о д а G M R E S .

2. О Б О Б Щ Е Н Н Ы Й П Р О Ц Е С С Л А Н Ц О Ш А И M I N R E S - N

Д л я з а д а н н ы х п х n-матрицы А и и-вектора b п о с т р о и м о б о б щ е н н у ю с т е п е н н у ю п о с л е д о в а ­ т е л ь н о с т ь (3). У д о б н о рассматривать э т у п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь как с о с т о я щ у ю из с е г м е н т о в дли­

ны, с о о т в е т с т в е н н о , 1, 2, 3 , 4, ... . С е г м е н т с н о м е р о м к, н а з ы в а е м ы й к-м с л о е м , м о ж н о описать как с о в о к у п н о с т ь в е к т о р о в вида и = W^k(A, A * ) è , где W^k(s, t) п р о б е г а е т м н о ж е с т в о о д н о ч л е н о в сте­

пени к о т ( к о м м у т и р у ю щ и х ) п е р е м е н н ы х s и t. Символ W^Q(s, t) о б о з н а ч а е т п у с т о е с л о в о , так ч т о W⁰(s, t)b есть п р о с т о в е к т о р Ь.

Суть о б о б щ е н н о г о п р о ц е с с а Л а н ц о ш а с о с т о и т в о р т о г о н а л и з а ц и и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и (3).

П у с т ь vi, v², ... - п о л у ч а е м ы е при э т о м н е н у л е в ы е о р т о г о н а л ь н ы е в е к т о р ы . П о л о ж и м Ж^т = s p a n { v^b v^m}.

МЕТОД М И Н И М А Л Ь Н Ы Х Н Е В Я З О К 977 О б о з н а ч и м ч е р е з orth^w о р т о г о н а л ь н у ю с о с т а в л я ю щ у ю в р а з л о ж е н и и в е к т о р а w о т н о с и т е л ь н о

л и н е й н о г о подпространства Ж.

О б о б щ е н н ы й п р о ц е с с Л а н ц о ш а задается с л е д у ю щ и м предписанием.

1. В ы б р а т ь н е н у л е в о й в е к т о р Ъ и п о л о ж и т ь v^x = Ъ.

2. П у с т ь у ж е п о с т р о е н ы н е н у л е в ы е в е к т о р ы v^x, v^m, с о с т а в л я ю щ и е о р т о г о н а л ь н ы й б а з и с л и н е й н о й о б о л о ч к и п е р в ы х &^тв е к т о р о в и^х, и^кт п о с л е д о в а т е л ь н о с т и (3). Е с л и перпендикуляр

or\h<x

u

к

= к

и

v

Замечание. Если все векторы к-то слоя последовательности (3) дают нулевые перпендикуляры на те­

кущее подпространство Ж^т, то Ж^т есть инвариантное подпространство матрицы А (следовательно, и ма­

трицы А*). Процесс Ланцоша в этом случае завершается досрочно.

В д а л ь н е й ш е м используется с л е д у ю щ а я т е р м и н о л о г и я .

Обобщенным подпространством Крылова

т)

2^т(А⁹Ь) = s p a n { W ( A , A * ) è : d e g W < m } . (6)

Е г о р а з м е р н о с т ь о б о з н а ч а е т с я ч е р е з

1

.

l

- l

_

(m >

шириной т-го слоя;

! £т/ ! £т _ j .

П р е д п о л о ж и м , ч т о в е к т о р ы v^b v², п о с т р о е н н ы е в п р о ц е с с е Л а н ц о ш а , о б р а з у ю т б а з и с п р о ­ странства С" (т.е. п р о ц е с с не завершился д о с р о ч н о ) . Н о р м и р у е м их и п о л у ч е н н ы е о р т о н о р м и р о - ванные в е к т о р ы

q

, ...,q

векторами Ланцоша.

q

з и с о м подпространства £ £^т. В э т и х т е р м и н а х c o^w- ч и с л о в е к т о р о в Л а н ц о ш а , д о б а в л е н н ы х к б а з и ­ су п о д п р о с т р а н с т в а ! £^т_ ^х п о с р е д с т в о м о р т о г о н а л и з а ц и и в е к т о р о в в m-м с л о е п о с л е д о в а т е л ь н о с ­ т и (3). Е с т е с т в е н н о р а з б и т ь на с л о и и сам б а з и с Л а н ц о ш а , считая в е к т о р q^x е г о н у л е в ы м с л о е м , в е к т о р ы q² и q³ - п е р в ы м с л о е м и т.д.

Э т о м у р а с с л о е н и ю в е к т о р о в Л а н ц о ш а с о о т в е т с т в у е т б л о ч н о е р а з б и е н и е м а т р и ц ы Я , в к о т о ­ р о м б л о к H^ts и м е е т р а з м е р <*>,_! х a>^s_^x и с о с т а в л е н из к о э ф ф и ц и е н т о в Фурье в е к т о р о в

&Ч\,

Aq

q

, q

.

П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь о б о б щ е н н ы х крыловских подпространств о б л а д а е т с л е д у ю щ и м и свой­

ствами (см. [2, п. 2]):

1) е с л и х G i £^m, т о

А л : G £ ßm + 1, A * X G i £ m + 1;

2) е с л и ql G ^ M . B T O

А

±£

_

A*

±£

_

.

В применении к в е к т о р а м Л а н ц о ш а свойство 1) о з н а ч а е т , ч т о в е к т о р ы вида Ас, где q п р о б е г а ­ е т m-й с л о й базиса Л а н ц о ш а , и м е ю т н у л е в ы е к о э ф ф и ц и е н т ы Фурье п о в е к т о р а м из с л о е в с н о ­ м е р а м и , б о л ь ш и м и m + 1. И з свойства 2) с л е д у е т , ч т о т е ж е в е к т о р ы Aq и м е ю т н у л е в ы е к о э ф ф и ­ ц и е н т ы и п о в е к т о р а м из с л о е в 0, 1, m - 2. Т а к и м о б р а з о м , в (т + 1)-м б л о ч н о м с т о л б ц е мат­

р и ц ы Я отличны о т нуля т о л ь к о б л о к и Я^{ш w + 1}, Ят + 1 w + 1 и Я^{т + 2 т + 1} ( т = 0, 1, 2, . . . ) ; т.е. Я является б л о ч н о - т р е х д и а г о н а л ь н о й матрицей.

В ы ч и с л е н и е в е к т о р о в Л а н ц о ш а и к о м п а к т н о й ф о р м ы Я - э т о л и ш ь часть алгоритма M I N R E S - N , х о т я и главная е г о часть. Д р у г о й с о с т а в л я ю щ е й алгоритма является в ы ч и с л е н и е т е к у щ е г о п р и б л и ж е н и я х^т к р е ш е н и ю с и с т е м ы (1). С э т о й ц е л ь ю р е ш а е т с я специальная задача наименьших квадратов, о к о т о р о й м ы н е б у д е м здесь говорить. П о д р о б н ы й е е р а з б о р (в п р и м е н е н и и к M I N R E S - N 2 ) дан в [1, разд. 5, 6 ] .

3. А Л Г О Р И Т М M I N R E S - N 2 И Е Г О М О Д И Ф И К А Ц И Я Д Л Я Л И Н Е Й Н Ы Х М Н О Г О Ч Л Е Н О В О Т У Н И Т А Р Н Ы Х М А Т Р И Ц

П р е д п о л о ж и м , ч т о нормальная матрица А н е является э р м и т о в о й и у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю вида (5) с н е н у л е в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м с^{2 2}. У м н о ж а я (5) на в е к т о р Ъ, з а к л ю ч а е м , ч т о (А*)²Ь есть линейная комбинация А²Ь, АА*Ь и в е к т о р о в b, Ab и А * £ , п р и н а д л е ж а щ и х н у л е в о м у и п е р в о м у с л о ­ ям п о с л е д о в а т е л ь н о с т и (3). Т а к и м о б р а з о м , ч т о б ы получить б а з и с подпространства £ ß², д о с т а ­ т о ч н о сохранить в о в т о р о м с л о е в е к т о р ы А²Ь и АА*&, удалив и з н е г о ( A * )²è . З а м е т и м , ч т о о с т а в ­ л е н н ы е в е к т о р ы п о л у ч а ю т с я п у т е м у м н о ж е н и я матрицы А на в е к т о р ы п е р в о г о с л о я Ab и A * è . Э т и п о с л е д н и е в о б щ е м случае л и н е й н о независимы.

И т а к , в р а с с м а т р и в а е м о й ситуации и м е е м ш⁰= 1, Cûi = 2 и с о²< 2; в т и п и ч н о м случае 0 ^ = 2. С о ­ г л а с н о т е о р е м е 1 из [2], со^ < 2 для всех к > 2. Б о л е е т о г о , н е т р у д н о показать, ч т о в е к т о р ы Л а н ц о ­ ш а к а ж д о г о слоя к (к > 2) м о ж н о получить, используя п р о и з в е д е н и я в е к т о р о в п р е д ы д у щ е г о с л о я т о л ь к о с матрицей А. П р о и з в е д е н и я вида A*q н е н у ж н ы , начиная с ч е т в е р т о г о шага а л г о р и т м а M I N R E S - N 2 .

П у с т ь т е п е р ь

с

с

Ь,

АА*Ь,

б у д у ч и л и н е й н о й к о м б и н а ц и е й Ab, A*b и Ь, п р и н а д л е ж и т подпространству ï £^x и, с л е д о в а т е л ь н о , б е с п о л е з е н при вычислении в е к т о р о в Л а н ц о ш а и з в т о р о г о слоя. П р о ц е с с Л а н ц о ш а п р о т е к а е т в д а н н о м случае таким о б р а з о м : в е к т о р Aq^x о р т о г о н а л и з у е т с я к q^x и становится ( п о с л е н о р м и р о в ­ ки) в е к т о р о м q²\ в е к т о р A*q^x о р т о г о н а л и з у е т с я

Kq

nq

n,

т о р Aq² о р т о г о н а л и з у е т с я к q^l9 q² и q³ и н о р м и р о в к о й п р е в р а щ а е т с я в в е к т о р q⁴. Д о сих п о р все п р о и с х о д и л о т а к ж е , как и в случае с^{2 2} Ф 0. О т л и ч и я н а ч и н а ю т с я с п я т о г о шага: в м е с т о п р о и з в е ­ дения Aq³, к о т о р о е является т е п е р ь л и н е й н о й к о м б и н а ц и е й у ж е п о с т р о е н н ы х в е к т о р о в , исполь­

з у е т с я в е к т о р А*<7³; о н о р т о г о н а л и з у е т с я к q^x, q², q³> q⁴n (после н о р м и р о в к и ) д а е т в е к т о р q⁵. В д а л ь н е й ш е м п о п е р е м е н н о и с п о л ь з у ю т с я п р о и з в е д е н и я вида Aq и A*q, а и м е н н о Aq⁴, A*q⁵, Aq⁶, A*q^l9 ....

О т м е ч е н н а я о с о б е н н о с т ь использования м а т р и ч н о - в е к т о р н ы х п р о и з в е д е н и й с о з д а е т п р о б л е ­ м ы при вычислении э л е м е н т о в к о м п а к т н о й ф о р м ы Я . П о я с н и м их, вернувшись к о п и с а н и ю п е р ­ вых ш а г о в п р о ц е с с а Л а н ц о ш а . О р т о г о н а л и з а ц и я в е к т о р а Aq^x Kq^xn е г о п о с л е д у ю щ а я нормировка д а ю т э л е м е н т ы h^xx и h^2X. О п е р а ц и и с в е к т о р о м A*q^x на т р е т ь е м ш а г е п о з в о л я ю т о п р е д е л и т ь э л е ­ м е н т ы п е р в о й строки матрицы Я , т.е., п о м и м о

h

,

h

nh

.

В д е й с т в и т е л ь н о с т и все " п р о п у щ е н н ы е " э л е м е н т ы м о ж н о о п р е д е л и т ь п о с р е д с т в о м н е с л о ж ­ ных д о п о л н и т е л ь н ы х вычислений. П р и р а з ъ я с н е н и и э т о г о т е з и с а м о ж н о б е з п о т е р и о б щ н о с т и ограничиться с л у ч а е м , когда сама матрица А = U является унитарной. В с а м о м д е л е , при ф и к с и ­ р о в а н н о м н а ч а л ь н о м в е к т о р е b всякая матрица вида aU + ß / ( а Ф 0) г е н е р и р у е т т у ж е п о с л е д о в а ­ т е л ь н о с т ь к р ы л о в с к и х подпространств и, с л е д о в а т е л ь н о , т о т ж е б а з и с Л а н ц о ш а q^l9 ч т о и U. П р и э т о м е с л и U и м е е т в б а з и с е {q} матрицу Я , т о aU + ß / и м е е т в т о м ж е б а з и с е матрицу осЯ + ß / , тривиально п о л у ч а ю щ у ю с я из Я .

И т а к , пусть А = U - унитарная матрица; т о г д а у н и т а р н о й м а т р и ц е й является и компактная ф о р м а Я . П у с т ь п р о д е л а н ы п е р в ы е ч е т ы р е шага о б о б щ е н н о г о п р о ц е с с а Л а н ц о ш а и, в с о о т в е т ­ ствии с д а н н ы м в ы ш е о п и с а н и е м , известны э л е м е н т ы п е р в о й строки и п е р в ы х двух с т о л б ц о в в Я . Р а с с м о т р и м типичный случай, когда э л е м е н т ы А^{2 1},

h

nh

,

ж ж х х Ж о

Ж о Ж х

X о Ж о

Ж о Ж X х о ж о

Ж о ж X

X о эк о

V )

Фигура.

щ и х в е к т о р о в п е р е д н о р м и р о в к о й , о т л и ч н ы о т нуля. П о к а ж е м , как о п р е д е л и т ь н е и з в е с т н ы е э л е ­ м е н т ы в т р е т ь е м с т о л б ц е матрицы Я . Э л е м е н т А^{2 3} м о ж н о найти д а ж е двумя р а з л и ч н ы м и с п о с о ­ бами. У с л о в и е о р т о г о н а л ь н о с т и п е р в о г о и т р е т ь е г о с т о л б ц о в в Я д а е т с о о т н о ш е н и е

h

h

+ h

h

= О, (7)

о п р е д е л я ю щ е е h²³. Другая в о з м о ж н о с т ь с о с т о и т в т о м , ч т о б ы использовать о р т о г о н а л ь н о с т ь двух п е р в ы х строк:

h\\h

+ hnh

+ h

h

= 0 . (8)

З а м е т и м , ч т о при выписывании равенств (7) и (8) б ы л о у ч т е н о , ч т о э л е м е н т ы h^2l и h^l3 в е щ е с т в е н ­ ны.

Э л е м е н т ы h³³ и h⁴³ о п р е д е л я ю т с я из условий о р т о г о н а л ь н о с т и п е р в о й строки, с о о т в е т с т в е н н о , к т р е т ь е й и ч е т в е р т о й :

hnh

+ h

h

= 0 , h

h

+ h

h

= 0. (9)

Х о т я для унитарной м а т р и ц ы U компактная ф о р м а Я и м е е т б л о к и т е х ж е р а з м е р о в , ч т о и в о с н о в н о м варианте алгоритма M I N R E S - N 2 , э т и к о м п а к т н ы е ф о р м ы не т о ж д е с т в е н н ы . Н а п р и ­ м е р , в о с н о в н о м варианте э л е м е н т ы в т о р о й с т р о к и А^{2 4}и й^{2 5}, в о о б щ е говоря, о т л и ч н ы о т нуля. Д л я унитарной матрицы U о б а э т и х э л е м е н т а н у л е в ы е , ч т о с л е д у е т из условий о р т о г о н а л ь н о с т и п е р ­ в о г о с т о л б ц а к ч е т в е р т о м у и пятому. Т а к о в о ж е различие м е ж д у двумя ф о р м а м и в значении э л е ­ м е н т а h⁵³.

С л е д у ю щ и е два шага (пятый и ш е с т о й ) п р о ц е с с а Л а н ц о ш а д а ю т значения э л е м е н т о в т р е т ь е й с т р о к и h³⁴ и h³⁵ ( э л е м е н т h³³ у ж е и з в е с т е н из (9); н е о т р и ц а т е л ь н ы й э л е м е н т h³⁵ считаем н е н у л е ­ вым) и ч е т в е р т о г о с т о л б ц а h^u, h⁵⁴ и к^ы (причем А^, п о п р е д п о л о ж е н и ю , п о л о ж и т е л е н ) . Т е п е р ь м о ж н о о п р е д е л и т ь н е д о с т а ю щ и е э л е м е н т ы п я т о г о столбца. Д л я э л е м е н т а h⁴⁵ снова и м е е м две в о з м о ж н о с т и : использовать о р т о г о н а л ь н о с т ь в т о р о г о и п я т о г о с т о л б ц о в , ч т о д а е т

h

h

+ h

h

= 0 ,

л и б о о р т о г о н а л ь н о с т ь т р е т ь е й и ч е т в е р т о й строк, ч т о приводит к б о л е е с л о ж н о й ф о р м у л е . Э л е ­ м е н т ы А^{5 5} и А^{6 5} находятся из условий о р т о г о н а л ь н о с т и т р е т ь е й строки, с о о т в е т с т в е н н о , к пятой

и ш е с т о й :

Л34А54 + А 3 5 А 5 5 = 0 , Л з 4/ * б 4 + ^ 3 5 ^ 6 5 = 0 .

П о индукции н е т р у д н о д о к а з а т ь с л е д у ю щ и е ф о р м у л ы для т е х т р е х э л е м е н т о в с т о л б ц а 2т + 1 (m > 2 ) , к о т о р ы е н е д а ю т с я н е п о с р е д с т в е н н о п р о ц е с с о м о р т о г о н а л и з а ц и и :

him - l,2m-lh2m _ 1, 2m + 1

h ,

j " - z m - i , z m - Z " - 2 m - l , 2 m + 1 /1/Vv

h2m, l m+l = Z > (10)

L2m, 2m-2

— h2m-l,2mh2m+\t2n

г2т+ \,2m+ \ ~~ ~ i

" 2 m - l , 2 m + 1

(H)

1,

* 2 m - 1, 2m +

, " 2 m - l , 2 m " 2 m + 2 , 2 m п 0 ч

" 2 m + 2 , 2 m + l - ^ • U A >

М ы п о к а з а л и , как в у н и т а р н о й м о д и ф и к а ц и и а л г о р и т м а M I N R E S - N 2 о п р е д е л я ю т с я э л е м е н т ы к о м п а к т н о й ф о р м ы Я . С а м а э т а ф о р м а п о к а з а н а на ф и г у р е , г д е з в е з д о ч к о й о б о з н а ч е н ы э л е м е н ­ ты, и м е ю щ и е смысл к о э ф ф и ц и е н т о в Фурье, к р е с т и к о м - э л е м е н т ы , я в л я ю щ и е с я н о р м и р о в о ч ­ н ы м и м н о ж и т е л я м и , и, н а к о н е ц , к р у ж о ч к а м и - э л е м е н т ы , в ы ч и с л я е м ы е п о ф о р м у л а м типа ( 1 0 ) - (12). Ч т о касается вычисления т е к у щ е г о п р и б л и ж е н и я х^т к р е ш е н и ю с и с т е м ы (1) и к о н т р о л я т е ­ к у щ е й невязки r^w, т о справедливо все с к а з а н н о е о б о с н о в н о м варианте а л г о р и т м а в [ 1 , р а з д . 6 ] .

4. Ч И С Л Е Н Н Ы Е Э К С П Е Р И М Е Н Т Ы

М о д и ф и к а ц и я а л г о р и т м а M I N R E S - N 2 , описанная в разд. 3 , б ы л а р е а л и з о в а н а в виде Matlab- п р о ц е д у р ы . М ы сравнили п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь э т о й п р о г р а м м ы с п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь ю б и б л и о ­ т е ч н о й п р о ц е д у р ы gmres с и с т е м ы Matlab на ряде с и с т е м л и н е й н ы х уравнений порядка 2 0 0 0 с м а ­ т р и ц а м и вида А = aU + ß / . Д л я э к с п е р и м е н т о в и с п о л ь з о в а л с я п е р с о н а л ь н ы й к о м п ь ю т е р Pentium IV с т а к т о в о й ч а с т о т о й 2 5 6 М Г ц .

М а т р и ц а U строилась как п р о и з в е д е н и е

п-\

U - П^ т , т + Ь т = 1

где R^{m т +} ! - э л е м е н т а р н а я унитарная матрица (иначе - к о м п л е к с н о е в р а щ е н и е ) , о т л и ч а ю щ а я с я о т е д и н и ч н о й м а т р и ц ы 1^п ч е т ы р ь м я э л е м е н т а м и , с т о я щ и м и на п е р е с е ч е н и и с т р о к и с т о л б ц о в с н о ­ м е р а м и m и m + 1 :

( • Ï

c o s ( p^we - s i n ( p^m

V sin(P m C O S( p^mé > " ^m ,

З н а ч е н и я п а р а м е т р о в ф^ти \ | /^т, 1 < т < п - 1 , получались с п о м о щ ь ю Matlab-процедуры rand, г е н е ­ р и р у ю щ е й п с е в д о с л у ч а й н ы е числа.

Д л я в ы х о д а из и т е р а ц и о н н о г о п р о ц е с с а и с п о л ь з о в а л о с ь у с л о в и е

IWI

<e. (13)

где 8 - з а д а н н о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о . В наших э к с п е р и м е н т а х б ы л о в з я т о з н а ч е н и е 8 = 10~⁸. В е ­ личина | | r J |²B M I N R E S - N 2 вычислялась, как о п и с а н о в [ 1 , р а з д . 6 ] . П р и н е в ы п о л н е н и и условия (13) в ы х о д и з о б о и х а л г о р и т м о в б ы л в о з м о ж е н т а к ж е при д о с т и ж е н и и з а д а н н о г о п р е д е л ь н о г о числа итераций.

Е с л и вкратце р е з ю м и р о в а т ь р е з у л ь т а т ы п р о в е д е н н о г о сравнения, т о M I N R E S - N 2 в о всех слу­

чаях д е м о н с т р и р у е т о г р о м н о е п р е в о с х о д с т в о над G M R E S п о в р е м е н и р е ш е н и я с и с т е м ы . Ч т о ка-

сается числа итераций в т о м и д р у г о м м е т о д е , т о здесь в ы в о д ы н е о д н о з н а ч н ы и зависят о т с о о т ­ н о ш е н и я м е ж д у а и ß. Н и ж е р а с с м о т р и м э т о п о д р о б н е й .

З а м е т и м , ч т о для унитарной матрицы U с о б с т в е н н ы е значения матрицы А = aU + ß / л е ж а т на о к р у ж н о с т и \z - ß| = |ос|. Е с л и |ß| > |ос|, т о нуль является в н е ш н е й т о ч к о й для э т о й о к р у ж н о с т и . П р и э т о м ч е м м е н ь ш е о т н о ш е н и е |oc|/|ß|, т е м б ы с т р е е сходится G M R E S . Д е й с т в и т е л ь н о , в т е о р и и с х о ­ д и м о с т и G M R E S есть результат, о с о б е н н о п о д х о д я щ и й для р а с с м а т р и в а е м о й ситуации (см. [3, с. 5 6 ] ) . Н а п о м н и м , ч т о числовой о б л а с т ь ю (или х а у с д о р ф о в ы м м н о ж е с т в о м ) к о м п л е к с н о й пхп- м а т р и ц ы А называется м н о ж е с т в о

П р е д п о л о ж и м , ч т о числовая о б л а с т ь 2F(A) матрицы А (не о б я з а т е л ь н о н о р м а л ь н о й ) з а к л ю ч е н а в круге \z - с\ < s, н е с о д е р ж а щ е м нуля. Т о г д а для л ю б о г о к длина невязки на к-м ш а г е м е т о д а G M R E S у д о в л е т в о р я е т о ц е н к е

Д л я н о р м а л ь н о й матрицы А числовая о б л а с т ь является выпуклой о б о л о ч к о й с о б с т в е н н ы х значений. К а к о т м е ч е н о в ы ш е , с о б с т в е н н ы е значения матрицы А = aU + ß / р а с п о л о ж е н ы на о к ­ р у ж н о с т и \z - ß| = а . П о э т о м у н е р а в е н с т в о (14) п р и м е н и м о с s = |ос| и с = ß.

С р е д и наших т е с т о в ы х матриц пять удовлетворяли с о о т н о ш е н и ю |ß| > |ос|. Д л я них б ы л и полу­

ч е н ы с л е д у ю щ и е р е з у л ь т а т ы .

1. а = - 1 . 4 7 3 5 + 1.2798/, ß = - 5 . 6 8 0 2 + 2.3446/. З д е с ь |а| = 1.9517, |ß| = 6.1451 и |oc|/|ß| = 0.3176 (все значения о к р у г л е н ы д о ч е т ы р е х знаков п о с л е десятичной точки). G M R E S сходится в с е г о лишь за п²= 15 итераций, тогда как M I N R E S - N 2 т р е б у е т для с х о д и м о с т и п^х = 23 итерации. О д н а к о вре­

мя р е ш е н и я системы для M I N R E S - N 2 составляет t^x = 1.55 с п о с р а в н е н и ю с г²= 6.14 с для G M R E S . К а р т и н а , к о т о р у ю м ы н а б л ю д а л и в э т о м п р и м е р е , типична для всех систем д а н н о й группы:

G M R E S сходится б ы с т р е е , ч е м M I N R E S - N 2 , в с м ы с л е числа итераций, н о т р е б у е т з н а ч и т е л ь н о б о л ь ш е г о времени.

2. а = 1.6802 - 0.3446/, ß = - 1 . 4 7 3 5 + 3.2798/. В э т о м п р и м е р е | а | = 1.7152, |ß| = 3.5956, |oc|/|ß| =

= 0.477, п² = 3 3 , t² = 10.22 с, п^х = 6 3 , н о t^x = 2.19 с.

3. а = 1.4856 + 1.3705/, ß = 3.004 + 0.1872/. З д е с ь | а | = 2 . 0 2 1 2 , |ß| = 3.0098, | a | / | ß | = 0.6715, п²= 5 4 ,

t

=

п

t

4. а = 17.6802 - 5.3446/, ß = 10.4735 + 2 4 . 2 7 9 8 / . Д л я э т о г о п р и м е р а | а | = 18.4704, |ß| = 2 6 . 4 4 2 4 ,

|cc|/|ß| = 0.6985, п²= 7 0 , t²= 2 1 . 2 8 с, п^х = 135, н о t^x = 3.31 с.

5. а = - 1 . 5 9 4 7 - 5.0705/, ß = - 1 . 7 4 4 4 - 5.5207/. В э т о м п р и м е р е | а | = 5.3154 и |ß| = 5.7897 о ч е н ь близки, так ч т о |oc|/|ß| = 0 . 9 1 8 1 . О б у с л о в л е н н о с т ь с и с т е м ы у х у д ш а е т с я (cond²(A) ~ 2 3 . 4 , т о г д а как все п р е д ы д у щ и е системы б ы л и о б у с л о в л е н ы п о ч т и идеально), а сходимость о б о и х м е т о д о в р е з к о замедляется: п² = 2 4 0 и п^х = 4 6 6 . Р а з л и ч и е в о в р е м е н и становится е щ е б о л е е в п е ч а т л я ю щ и м : t^x = 9 . 5 2 с против t² = 8 1 . 1 6 с для G M R E S !

Д л я остальных пяти т е с т о в ы х матриц б ы л о в ы п о л н е н о о б р а т н о е с о о т н о ш е н и е : |ос| > |ß|.

В э т о м случае нуль является в н у т р е н н е й т о ч к о й ч и с л о в о й о б л а с т и матрицы А = aU + ß / и приве­

д е н н ы й в ы ш е р е з у л ь т а т о с х о д и м о с т и G M R E S (см. (14)) н е п р и м е н и м . Д л я всех систем э т о й груп­

п ы M I N R E S - N 2 выигрывает у G M R E S н е т о л ь к о п о в р е м е н и , н о и п о числу итераций!

6. а = - 5 . 5 9 4 7 - 7.0705/, ß = - 0 . 7 4 4 4 - 0.5207/. Э т а система о ч е н ь х о р о ш о о б у с л о в л е н а : cond²(A) = 1.2242. В о о б щ е , для |ос| > |ß| матрица А м а л о о т л и ч а е т с я о т к р а т н о г о aU унитарной м а ­ т р и ц ы £/, а все такие кратные и м е ю т минимальное с п е к т р а л ь н о е ч и с л о о б у с л о в л е н н о с т и 1.

M I N R E S - N 2 сходится о ч е н ь б ы с т р о :

n

= 2l,t

=

7. а = - 5 . 6 8 0 2 + 2.3446/, ß = - 1 . 4 7 3 5 + 1.2798/. З д е с ь п²= 5 7 , t²= 2 1 . 2 8 с. Д л я M I N R E S - N 2 о б а п о к а з а т е л я с у щ е с т в е н н о л у ч ш е : п^х = 2 4 , t^x = 1.7 с.

8. а = 0.6802 + 2.3446/, ß = - 1 . 4 7 3 5 - 0.2798/. П о с р а в н е н и ю с п р е д ы д у щ и м п р и м е р о м п о к а з а т е ­ ли G M R E S у л у ч ш а ю т с я : п²- 4 7 , t²- 15.47 с. Н а п р о т и в , M I N R E S - N 2 н е с к о л ь к о замедляется, н о с о ­ храняет б о л ь ш о е п р е и м у щ е с т в о : п^х = 3 2 , t^x = 1.8 с.

9(A) = {(Ах,х)\хеС\ I W |

= 1 } .

(14)

9. а = 1.6802 - 2.3446/, ß = - 1 . 4 7 3 5 + 2.2798/. В э т о м п р и м е р е | а | = 2.8845 и |ß| = 2.7145 о ч е н ь б л и з к и . О б у с л о в л е н н о с т ь с и с т е м ы у х у д ш а е т с я (cond²(A) « 3 1 . 4 3 , т о г д а как т р и п р е д ы д у щ и е сис­

т е м ы э т о й группы б ы л и о б у с л о в л е н ы п о ч т и и д е а л ь н о ) , а с х о д и м о с т ь о б о и х м е т о д о в замедляется:

п² = 6 4 , t²= 21.78 с против п^х = 5 8 , t² = 3.07 с.

10. а = - 1 . 7 9 5 - 2.4297/, ß = 2.5435 + 0.1872/. З д е с ь различие м е ж д у | о | = 3.0208 и |ß| = 2 . 5 5 0 4 б о л ь ш е , ч е м в п р е д ы д у щ е м п р и м е р е , а система о б у с л о в л е н а л у ч ш е (cond²(A) ~ 11.84). Т е м н е м е ­ н е е э т а система оказалась трудна для о б о и х м е т о д о в : M I N R E S - N 2 с о ш е л с я т о л ь к о п о с л е 2 5 3 и т е ­ раций, т о г д а как в ы х о д из G M R E S п р о и з о ш е л п о п р е д е л ь н о м у числу и т е р а ц и й , для к о т о р о г о на э т о т р а з б ы л о задано з н а ч е н и е 1000!

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Дана М., Зыков Л.Г., Икрамов ХД. Метод минимальных невязок для специального класса линейных систем с нормальными матрицами коэффициентов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 11.

С.1928-1937.

2. Eisner L., Ikramov Kh.D. On a condensed form for normal matrices under finite sequences of elementary unitary similarities // Linear Algebra and Appl. 1997. V. 254. P. 79-98.

3. Greenbaum A. Iterative methods for solving linear systems. Philadelphia: SIAM, 1997.