(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Кибзун, О. М. Хромова, О сведении многоэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием к задаче смешанного целочислен- ного линейного программирования, Автомат. и телемех. , 2014, выпуск 4, 120–

133

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:43:37

Автоматика и телемеханика,№ 4, 2014

c 2014 г. А.И. КИБЗУН, д-р физ.-мат. наук, О.М. ХРОМОВА

(Московский авиационный институт)

О СВЕДЕНИИ МНОГОЭТАПНОЙ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С КВАНТИЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ

К ЗАДАЧЕ СМЕШАННОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ¹

Рассматривается многоэтапная задача стохастического программиро- вания с квантильным критерием в априорной постановке, которая сво- дится к двухэтапной задаче. Доказывается эквивалентность двухэтапных задач с квантильным критерием в априорной и в апостериорной постанов- ках, записанным для общего случая. Двухэтапная задача в апостериорной постановке, в свою очередь, сводится к эквивалентной задаче смешанного целочисленного линейного программирования. Рассматривается пример.

1. Введение

Традиционно в задачах стохастического линейного программирования в качестве критерия оптимизации используется математическое ожидание [1].

В авиационной и космической технике особое внимание уделяется вопросам надежности систем [2], поэтому достаточно часто требуется найти гаранти- рованное по вероятности решение. В этом случае наиболее адекватными яв- ляются постановки задач стохастического программирования с квантильным критерием. Методам решения задач квантильной оптимизации посвящена ра- бота [3]. Однако в многих прикладных задачах [1] возникают многоэтапные задачи стохастического программирования.

Многоэтапные задачи стохастического программирования оказываются очень близки к динамическим задачам управления, учитывающим воздей- ствие случайных факторов [2]. В этих задачах выбирается стратегия первого этапа, которая в зависимости от реализации случайных факторов коррек- тируется на последующих этапах (шагах). Многоэтапные задачи стохастиче- ского программирования являются обобщением двухэтапных задач стохасти- ческого программирования. Двухэтапная задача с квантильным критерием рассмотрена в [4], где была установлена эквивалентность двухэтапных задач в априорной и апостериорной постановках. Кроме того, в [4] была получена верхняя оценка квантильного критерия для двухэтапной задачи, основанная на решении задачи линейного программирования.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь- ных исследований (проект № 11-07-00315-а) и Государственного финансирования целевых программ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприя- тие 1.2.2, Госконтракт № 14.740.11.1128).

В [5, 6] рассмотрены линейные одноэтапные задачи квантильной оптимиза- ции с дискретным распределением, которые сводятся к задачам смешанного целочисленного линейного программирования. В [7] рассмотрен общий слу- чай двухэтапной задачи квантильной оптимизации, которая сведена к задаче смешанного целочисленного программирования большой размерности.

В данной статье исследуется многоэтапная задача стохастического про- граммирования с квантильным критерием. С помощью эквивалентных пре- образований она сводится к двухэтапной задаче, которая, в свою очередь, сводится к задаче смешанного целочисленного линейного программирования.

Рассматривается пример.

2. Многоэтапная задача стохастического программирования в априорной постановке

Сформулируем N-этапную задачу стохастического программирования в априорной постановке. Введем функцию потерь

Φ^N(u, y(·), X),c^T₀u+a^T₁₁(X₁)u+c^T₁y₁(u, X₁) +a^T₁₂(X₁, X₂)u + +c^T₂y₂(u, X₁, X₂) +. . .=c^T₀u+

N−1

X

i=1

a^T_1i(Xⁱ)u+

N−1

X

i=1

c^T_i yi(u, Xⁱ), (2.1)

где u ∈ IR^m — план первого этапа; y(·) = col(y₁(·), . . . , y_N−1(·)) — вектор- функция планов последующих N − 1 этапов, выбираемая в классе из- меримых функций со значениями в IR^mi; X =col(X₁, . . . , X_N−1), Xⁱ =

= col(X₁, . . . , Xi), i = 1, N−1, — наборы случайных векторов Xi ∈IRⁿⁱ; a_1i(Xⁱ), i= 1, N −1, — заданные измеримые вектор-функции соответствую- щих размерностей; ci, i= 0, N−1, — заданные детерминированные вектор- столбцы.

Предположим, что случайный вектор X имеет плотность распределе- нияp(x), где x∈IRⁿ,n=n1+n2+. . .+nN−1.

Пусть имеется набор из N−1ограничений

Φi(u, yⁱ(·), Xⁱ),A2i(Xⁱ)u+Biyⁱ(u, Xⁱ)>a3i(Xⁱ), i= 1, N −1, (2.2)

где yⁱ(·) =col(y₁(·), . . . , y_i(·));A_2i(Xⁱ), i = 1, N −1, — заданные измеримые матричные функции размерности(si×m);a_3i(Xⁱ), i= 1, N −1, — заданные измеримые вектор-функции размерности si,Bi — заданная матрица размер- ности (s_i×m_i).

Рассмотрим функцию вероятности

Pϕ(u, y(·)) =P{Φ(u, y(·), X)6ϕ,Φi(u, yⁱ(·), Xⁱ)>a_3i(Xⁱ), i= 1, N−1}.

(2.3)

Рассмотрим также функцию квантили

ϕ_α(u, y(·)),min{ϕ:P_ϕ(u, y(·))>α}, α∈(0,1).

(2.4)

Сформулируем N-этапную задачу стохастического программирования в априорной постановке

ϕα = min

u∈U, y(·)∈Yϕα(u, y(·)), uα= arg min

u∈U

y(·)∈Ymin ϕα(u, y(·))

, (2.5)

где U — заданное множество допустимых стратегий первого этапа, а Y — множество допустимых стратегий последующих этапов:

Y ,{y(·) : yi(u, Xⁱ)>0, i= 1, N −1}.

Под решением задачи (2.5) понимается пара(ϕα, uα). Если не существуетuα, т.е. минимум (2.5) не достигается, то считается, что решение в задаче (2.5) не существует.

Для примера рассмотрим трехэтапную задачу стохастического програм- мирования. Функция вероятности примет вид

P_ϕ(u, y(·)) =P{Φ³(u, y(·), X) 6ϕ, Φ_i(u, yⁱ(·), Xⁱ)>a_3i(Xⁱ), i= 1,2}, (2.6)

где

Φ³(u, y(·), X) =c^T₀u+a^T₁₁(X₁)u+c^T₁y₁(u, X₁) +a^T₁₂(X₁, X₂)u+c^T₂y₂(u, X₁, X₂), Φ₂(u, y²(·), X²) =A₂₂(X₁, X₂)u+B₂y₂(u, X₁, X₂)>a₃₂(X₁, X₂), (2.7)

Φ₁(u, y¹(·), X¹) =A₂₁(X₁)u+B₁y₁(u, X₁)>a₃₁(X₁).

З а м е ч а н и е 1. В качестве критерия оптимизации в многоэтапных зада- чах стохастического программирования чаще всего рассматривается мате- матическое ожидание [1]. Многоэтапные задачи стохастического программи- рования обычно рассматриваются в апостериорной постановке, когда опти- мальный план на текущем этапе выбирается в зависимости от реализации случайных факторов на предыдущих этапах. По сути, это означает приме- нение метода динамического программирования для решения задачи стоха- стического программирования. Но, как известно из [8], метод динамического программирования для решения задачи стохастического управления приме- ним лишь тогда, когда критерий обладает аддитивным и марковским свой- ствами. Именно такими свойствами обладает математическое ожидание от функции случайных потерь. Квантильный критерий не обладает ни марков- ским, ни аддитивным свойствами [2], вследствие чего записать многоэтап- ную задачу стохастического программирования с квантильным критерием в традиционной апостериорной постановке невозможно в принципе. Поэтому в данной работе исследуемая задача записана в априорной постановке, ко- гда оптимальные планы на всех этапах, кроме первого, выбираются в классе функций, зависящих от всей предыдущей информации. Заметим, что впер- вые на связь двухэтапных задач в априорной и апостериорной постановках было обращено внимание в [4].

3. Сведение многоэтапной задачи в априорной постановке к двухэтапной задаче

Предположим, что вероятностная мера абсолютно непрерывна относи- тельно меры Лебега и существует плотностьp(x)случайного вектораX. Дис- кретизируем вероятностную меру следующим образом. Пустьx^k,k= 1, K, — точки, сгенерированные случайным образом согласно плотности p(x). Опре- делим меры этих точек какpk ,P{X=x^k}= 1/K, k= 1, K.

ПустьX˜ ,col( ˜X1, . . . ,X˜N−1)— случайный вектор, соответствующий этим мерам, т.е.P{X˜ =x^k}=pk, где случайные подвекторы X˜i имеют ту же раз- мерность, что иXi,i= 1, N −1. ПустьFK(x)— функция распределения слу- чайного вектораX. Рассмотрим выборочную функцию распределения˜ FˆK(x), соответствующую случайному вектору X, реализация которой есть FK(x).

В соответствии с теоремой Гливенко – Кантелли [9] имеет место сходимость FˆK(x)п.н.

−−−→F(x) при K → ∞для всех x (п.н. — почти наверное), где F(x) — функция распределения случайного вектораX.

Докажем следующее утверждение.

Л е м м а. Пусть случайный вектор X˜ = col( ˜X1, . . . ,X˜N−1) имеет дис- кретное распределениеF_K(x). Тогда существуют детерминированные функ- ции fi( ˜X₁) такие, что

P{X˜i =fi( ˜X1)}= 1, i= 2, N −1.

Доказательство леммы приведено в Приложении.

Сформулируем утверждение, в соответствии с которымN-этапная задача сводится к двухэтапной задаче. С этой целью будем пользоваться определе- нием, введенным в [6].

О п р е д е л е н и е 1. Две задачи оптимизации будем считать эквива- лентными, если:

1) либо обе эти задачи имеют допустимые решения(с конечными значе- ниями целевых функций), либо обе не имеют таких решений;

2) если эти задачи имеют допустимые решения, то оптимальные зна- чения их целевых функций (конечные или бесконечные) совпадают;

3)если оптимальные значения их целевых функций конечны, то эти зна- чения в обеих задачах либо достигаются, либо не достигаются;

4) если оптимальные значения целевых функций достигаются, то по оп- тимальному решению одной задачи с помощью явно описанного алгоритма указывается оптимальное решение другой задачи;

5) если оптимальные значения целевых функций конечны, но не достига- ются, то по оптимизирующей последовательности стратегий одной зада- чи по явно описанному алгоритму указывается оптимизирующая последо- вательность для другой задачи.

Далее везде будем понимать эквивалентность в смысле определения 1.

Т е о р е м а 1. N-этапная задача в априорной постановке (2.5) с дискрет- ным распределением FK(x) случайного вектора X˜ эквивалентна в смысле

определения 1 двухэтапной задаче стохастического программирования спе- циального вида.

Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.

З а м е ч а н и е 2. Поскольку критерием в поставленной задаче является квантиль функции потерь, то получение решения такой задачи в простран- стве функций оказывается достаточно сложным. А как уже отмечалось, метод динамического программирования, сводящий задачу оптимизации в функциональном пространстве к последовательному решению задач матема- тического программирования в конечномерном пространстве, для квантиль- ного критерия неприменим [2]. Благодаря описанной схеме дискретизации ме- ры удается свести многоэтапную задачу стохастического программирования к двухэтапной задаче, которая уже изучена в [4], правда, в более частном случае. Структура ограничений полученной двухэтапной задачи повторяет структуру ограничений исходной задачи, кроме того, совпадают значения функций потерь обеих задач, что доказывает эквивалентность многоэтапной задачи в априорной постановке и полученной двухэтапной задачи в смысле определения 1.

4. Сведение двухэтапной задачи в априорной постановке к двухэтапной задаче в апостериорной постановке

Перепишем двухэтапную задачу (2.5) в более простом виде, полагая, что y¹(·),y(·),X˜¹ ,X. Рассмотрим функцию потерь

Φ(u, y(·), X) =c^T₀u+a^T₁(X)u+c^T₁y(u, X) (4.1)

с ограничением для второго этапа

Φ₁(u, y(·), X) ,A₂(X)u+By(u, X)>a₃(X), (4.2)

гдеu∈IR^m,y∈IR^m1,X∈IRⁿ,a₃(X)— вектор-функция размерностиs, а мат- рицыA₂(X) иB имеют размерности (s×m) и(s×m₁) соответственно. Рас- смотрим задачу квантильной оптимизации вида (2.5):

ϕα = min

u∈U, y(·)∈Yϕα(u, y(·)), uα = arg min

u∈U

y(min·)∈Yϕα(u, y(·)) (4.3)

с функцией квантили, определяемой согласно (2.4) на основе функции веро- ятности

Pϕ(u, y(·)) =P{Φ(u, y(·), X)6ϕ, Φ₁(u, y(·), X)>a₃(X)}.

(4.4)

Рассмотрим также двухэтапную задачу в апостериорной постановке сле- дующего вида.

Пусть известна реализацияx∈IRⁿслучайного вектораXи множество до- пустимых планов второго этапа задается как Y ,{y :y∈IR^m1, y >0}. Рас- смотрим задачу второго этапа, считая, что u∈U ⊂IR^m иx ∈IRⁿизвестны:

Φ(u, x),min

y∈Y{c^T₁y|A₂(x)u+By(u, x)>a₃(x)}, (4.5)

гдеc1— вектор размерностиm1. Если для некоторогоu∈U иxиз множества допустимых реализаций не существуетy∈Y, удовлетворяющего (4.5), будем полагать, чтоΦ(u, x) = +∞.

Определим функцию вероятности

P_ϕ(u),P{a^T₁(X)u+ Φ(u, X)6ϕ}

и функцию квантили

ϕ_α(u),min

ϕ {ϕ:Pϕ(u)>α}.

Сформулируем задачу первого этапа ϕ_α = min

u∈U[c^T₀u+ϕ_α(u)], uα= arg min

u∈U[c^T₀u+ϕ_α(u)].

(4.6)

Т е о р е м а 2. Двухэтапная задача в апостериорной постановке (4.6) эк- вивалентна в смысле определения 1 двухэтапной задаче в априорной поста- новке (4.3).

Доказательство теоремы 2 приведено в Приложении.

З а м е ч а н и е 3. В данной работе рассматривается более общий случай двухэтапной задачи (4.1)–(4.4), чем в [4], в частности, матрицаA2(X)и век- торa₃(X) могут зависеть от случайного вектораX. Но схема доказательства осталась прежней, и она основана на применении доверительного метода, в соответствии с которым задачи квантильной оптимизации в априорной и апостериорной постановках оказываются эквивалентными в смысле опреде- ления 1 некоторым обобщенно-минимаксным задачам. Далее, в свою очередь, устанавливается эквивалентность между этими минимаксными задачами. Та- ким образом, используя свойство транзитивности понятия эквивалентности, устанавливается эквивалентность между двухэтапными задачами в априор- ной и апостериорной постановках. Напомним, что метод динамического про- граммирования для многоэтапной задачи квантильной оптимизации в общем случае неприменим. Но в частном случае двухэтапная задача квантильной оптимизации в априорной постановке оказывается эквивалентной задаче в апостериорной постановке, т.е. в этом случае метод динамического програм- мирования применим.

5. Сведение задачи в апостериорной постановке к задаче смешанного целочисленного линейного программирования

Согласно доверительному методу [3] задача (4.6) эквивалентна в смысле определения 1 следующей задаче

ϕ_α= min

u∈U min

S∈Fα

c^T₀u+ sup

x∈S

[a^T₁(x)u+ Φ(u, x)]

, (u_α, S_α) = arg min

u∈U,S∈Fα

c^T₀u+ sup

x∈S

[a^T₁(x)u+ Φ(u, x)]

, (5.1)

гдеΦ(u, x) определяется согласно (4.5), S ∈ Fα — доверительное множество, Fα ,{S ∈ F :P(S)>α}, вероятностная мера P соответствует дискретному распределению вектораX.˜

Зафиксируем доверительное множество S ∈ Fα и рассмотрим подзадачу из (5.1)

ψ(S) = min

u∈U

c^T₀u+ sup

x∈S

[a^T₁(x)u+ Φ(u, x)]

, (5.2)

гдеΦ(u, x) находится из решения задачи (4.5).

Для подзадачи (4.5) запишем согласно [10] эквивалентную двойственную подзадачу

Φ(u, x) = max

v∈V

(a₃(x)−A₂(x)u)^Tv ,

гдеv∈IR^s— вектор двойственных переменных,V — выпуклый многогранник вида

V ={v :B^Tv6c₁, vi >0, i= 1, s}.

Таким образом, подзадача (5.2) преобразуется к виду ψ(S) = min

u∈U

c^T₀u+ sup

x∈S

a^T₁(x)u+ max

v∈V {(a₃(x)−A₂(x)u)^Tv}

. (5.3)

ПосколькуV — ограниченное множество согласно теории двойственности [10]

и функция (a₃(x)−A₂(x)u)^Tv линейна по v для всех x и u, то ее максимум достигается в вершинахv^j,j= 1, J, многогранника V. Поэтому задача (5.3) трансформируется в задачу

ψ(S) = min

u∈U

c^T₀u+ sup

x∈S

a^T₁(x)u+ max

j=1,J

(a₃(x)−A₂(x)u)^Tv^j

. (5.4)

Учитывая, что после дискретизации меры случайный вектор X˜ принимает лишь конечное число значений x^k, k= 1, K, то задача (5.4) превращается в задачу

ψ(S) = min

u∈U

c^T₀u+ max

r=1,R max

j=1,J[a^T₁(x^r)u+ (a3(x^r)−A2(x^r)u)^Tv^j]

, (5.5)

где множествоS состоит из векторовx^r, r = 1, R.

Поскольку функция, стоящая под максимумом, линейна по u, а макси- мум находится по конечному набору векторов {x^r}^R_r=1,{vⁱ}^J_j=1, то функция, стоящая в фигурных скобках, оказывается кусочно-линейной и выпуклой по u∈U.

Пусть теперьU — выпуклый многогранник. Тогда задача (5.5) превраща- ется в задачу линейного программирования

ψ→ min

u∈U ,ψ>0

(5.6)

при линейных ограничениях

c^T₀u+a^T₁(x^r)u+ (a₃(x^r)−A₂(x^r)u)^Tv^j 6ψ, r= 1, R, j= 1, J . (5.7)

Ранее множествоSбыло зафиксировано, P(S)>α. Выберем оптимальное множество Sα в задаче (5.1). С этой целью введем булевы переменные, ха- рактеризующие принадлежность точек x^k доверительному множеству S по правилу:

δk,

1, если x^k∈S, 0 иначе.

Обозначим pk ,P{X˜ =x^k}= 1/K, k= 1, K.

Пусть известна величинаγ >−∞, являющаяся оценкой снизу функций γ 6a^T₁(x^k)u+ (a₃(x^k)−A₂(x^k)u)^Tv^j, k= 1, K, j = 1, J .

Рассмотрим задачу смешанного целочисленного линейного программиро- вания

ψ→ min

u∈U,δ₁,...,δK,ψ>0

(5.8)

при ограничениях











c^T₀u+γ+δ_k[a^T₁(x^k)u+ (a₃(x^k)−A₂(x^k)u)^Tv^j−γ]6ψ, k= 1,K, j= 1,J,

K

P

k=1

δ_kp_k>α, δk∈ {0,1}, k= 1, K.

(5.9)

Согласно [6, лемма 2] задача (5.8), (5.9) эквивалентна задаче (4.6) в смысле определения 1.

Таким образом, объединяя сказанное, можно сформулировать следующее утверждение.

Т е о р е м а 3. Двухэтапная задача в апостериорной постановке (4.6) эк- вивалентна в смысле определения 1 задаче смешанного целочисленного ли- нейного программирования (5.8), (5.9).

З а м е ч а н и е 4. Техника сведения задачи стохастического программиро- вания в квантильной постановке к задаче смешанного целочисленного ли- нейного программирования, используемая в данной статье, изложена в [6], где изучаются задачи квантильной оптимизации с дискретным распределе- нием случайных векторов. Полученную задачу смешанного целочисленного линейного программирования предлагается решать стандартными методами.

В частности, задачу (5.8), (5.9) можно решить программными пакетами оп- тимизации, например пакетом IBM ILOG CPLEX. Существуют различные приемы для сокращения перебора при нахождении оптимального множества в задаче (5.1), в частности с использованием понятия ядра меры [3]. Ядро меры уровня α в случае дискретного распределения совпадает с выпуклой

оболочкой всех точек из распределения случайного вектора X˜ за исключе- нием крайних точек. Поэтому в случае квазивыпуклости целевой функции поx˜достаточно перебрать только крайние точки из множества всех возмож- ных значений. Стоит отметить, что при фиксированномδk задача (5.8), (5.9) представляет собой задачу линейного программирования. Если бы в крите- рии вместо матрицыA₂( ˜X) рассматривался просто случайный вектор X, то˜ задача (5.1) принадлежала бы классу портфельных задач, рассматриваемых в многих работах, в частности в [3].

Объединяя все сказанное с учетом всех выполненных ранее эквивалентных переходов, можно сформулировать следующее утверждение.

Т е о р е м а 4. Многоэтапная задача стохастического программирования в априорной постановке вида (2.5) для дискретного распределения FK(x), сгенерированного на основе плотностиp(x), эквивалентна в смысле опреде- ления 1 задаче смешанного целочисленного программирования (5.8), (5.9).

З а м е ч а н и е 5. Решение задачи (5.8), (5.9) является приближенным для многоэтапной задачи в априорной постановке (2.5). Но согласно теореме Гли- венко – Кантелли [9] выборочная функция распределенияFˆK(˜x)сходится по- чти наверное к исследуемой функции распределенияF(x)c плотностьюp(x).

Поэтому можно надеяться, что и решение задачи (5.8), (5.9) будет сходиться к решению задачи (2.5), однако исследование этого вопроса выходит за рамки данной статьи и требует отдельного изучения.

6. Пример

Рассмотрим двухэтапную задачу в априорной постановке (4.3). Пустьx=

= col(x₁, x₂); n = m = m₁ = s = 2; u = col(u₁, u₂); c₀ = col(3,4); c₁ =

=col(3,1);a1(x) =ax,a3(x) =bx, гдеa= 2,5;b= 1,5,A2(x) =

x₁ x₁+x₂ 0 x2

, B =

2 3 5 1

.

Пусть случайный вектор X имеет нормальное распределение N(0;I), где I — единичная ковариационная матрица. Зададим α= 0,9.

Для решения задачи (4.3) сгенерируем согласно рассматриваемой плот- ности нормального распределения K точек x^k, k = 1, K, и решим задачу (5.8), (5.9). Проанализируем получаемое приближенное решение в зависимо- сти от объема выборкиK, гдеK = 10,100,1000 и 10000. В итоге для каждого из значений K получим решение задачи (4.3). Результаты численных расче- тов приведены в таблице.

Результаты численных расчетов

K ϕα(K) u₁(K) u₂(K) 10 2,3417 0,3262 0,7266 100 2,2231 0,3191 0,7469 1000 1,8102 0,3159 0,7581 10000 1,8026 0,3123 0,7608

Из таблицы видно, что решение приближенной задачи (5.8), (5.9) стаби- лизируется при увеличении объема выборки. Поэтому можно предположить, что это решение стабилизируется около решения двухэтапной задачи (4.3) в априорной постановке.

7. Заключение

В статье сформулирована многоэтапная задача квантильной оптимизации в априорной постановке и доказана ее эквивалентность двухэтапной задаче квантильной оптимизации в апостериорной постановке. Вопрос существова- ния решения рассматриваемых задач не исследуется ввиду определения эк- вивалентности задач, которое учитывает случай отсутствия решения задач в обеих постановках. В статье рассмотрена схема дискретизации меры, поз- воляющая свести многоэтапную задачу стохастического программирования в априорной постановке к двухэтапной задаче. Благодаря результатам, по- лученным в [6], удается свести двухэтапную задачу в ариорной постановке к задаче смешанного целочисленного линейного программирования, для реше- ния которой применяются стандартные пакеты оптимизации. Таким образом, удается найти приближенное решение многоэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием, решая задачу смешанного це- лочисленного линейного программирования.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Пусть x^k, k = 1, K, — апостериор- ная выборка, соответствующая плотности p(x). Пусть случайный вектор X˜ =col( ˜X₁, . . . ,X˜N−1) имеет распределение FK(x) c мерами P{X˜ = x^k} =

= 1/K,k= 1, K. Найдем распределение подвектора X˜₁. Поскольку у исход- ного вектора X существует плотность p(x), то вероятность P{X = x} = 0 для любого x. Пусть X^k, k= 1, K,— априорная выборка, соответствующая плотностиp(x). ПосколькуP{X=x}= 0для всехx, тоP{X^k =X^j}= 0для всех k6=j, т.е. X^k 6=X^j почти наверно для всех k6=j. Но компоненты X_i^k, i = 1, N −1, вектора X^k также имеют плотности pi(xi), поэтому P{X_i^k =

= X_i^j} = 0 для всех k 6= j, i = 1, N−1. Это означает, что X_i^k 6= X_j^k почти наверное для всехk6=j, i= 1, N −1.

Пусть F_1K(˜x₁) — функция распределения подвектора X˜₁, соответствую- щая этим мерам. Пусть x˜ — реализация случайного вектора X, а˜ x˜₁ — реа- лизация случайного подвектора X˜₁. В соответствии с построением x˜₁ = x^k₁ для некоторого k = 1, K. Но так как среди подвекторов x^k_i, k = 1, K, i =

= 1, N −1, нет хотя бы двух одинаковых, то все остальные подвекторы x˜_i, i= 2, N −1, реализации x, совпадают с˜ x^k_i, i= 2, N −1, где k является тем же номером, что и у первого подвектора. Таким образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие x˜i =fi(˜x1),i= 2, N −1, между подвекто- ром x˜₁ и подвекторами x˜i, i= 2, N−1. Это верно для любой реализации x˜ вектораX. Поэтому˜ P{X˜i =fi( ˜X₁)}= 1,i= 2, N−1. Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Рассмотрим вначале трехэтапную за- дачу стохастического программирования в априорной постановке с учетом дискретизации меры. Согласно (2.7) и лемме получаем

Φ³(u, y(·),X) =˜ c^T₀u+a^T₁₁( ˜X₁)u+c^T₁y₁(u,X˜₁) + +a^T₁₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁))u+c^T₂y₂(u,X˜₁, f₂( ˜X₁)) =

= c^T₀u+ (a^T₁₁( ˜X₁) +a^T₁₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁)))u+c^T₁y₁(u,X˜₁) +c^T₂y₂(u,X˜₁, f₂( ˜X₁)).

Обозначая

y₁(u,X˜₁),col(y₁(u,X˜₁), y₂(u,X˜₁, f₂( ˜X₁))), a₁₁( ˜X₁),a₁₁( ˜X₁) +a₁₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁)),

c^T₁ = (c^T₁, c^T₂), получаем

Φ³(u, y(·),X) = Φ˜ ²(u, y₁(·),X˜₁) , c^T₀u+a^T₁₁( ˜X₁)u+c^T₁y₁(u,X˜₁).

Аналогично получаем

Φ1(u, y¹(·),X˜¹) =A21( ˜X1)u+B1y1(u,X˜1)>a31( ˜X1),

Φ₂(u, y²(·),X˜²) =A₂₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁))u+B₂y₂(u,X˜₁, f₂( ˜X₁))>a₃₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁)).

Поэтому, вводя векторы

Φ₁(u, y₁(·),X˜₁),col(Φ₁(u, y¹(·),X˜¹),Φ₂(u, y²(·),X˜²)), a₃₁( ˜X₁),col(a₃₁( ˜X₁), a₃₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁))),

y¹(u,X˜₁),col(y¹(u,X˜₁), y²(u,X˜₁, f₂( ˜X₁))) =y₁(u,X˜₁) и матрицы

A₂₁( ˜X₁), A₂₁( ˜X₁) A₂₂( ˜X₁, f₂( ˜X₁))

! , B₁ = (B₁, B₂),

ограничения (2.7) можно записать в виде

Φ₁(u, y₁(·),X˜₁) , A₂₁( ˜X₁)u+B₁y₁(u,X˜₁)>a₃₁( ˜X₁).

Рассмотрим двухэтапную задачу (2.5) с функцией вероятности

Pϕ(u, y₁(·)) =P{Φ²(u, y₁(·),X˜₁)6ϕ, Φ₁(u, y₁(·),X˜₁)>a₃₁( ˜X₁)}.

(Π.1)

Поскольку значения функции потерь и ограничения в задаче (2.5), (Π.1) совпадают с функцией потерь и ограничениями в задаче (2.5), (2.6), то эти задачи эквивалентны в смысле определения 1.

Сведение N-этапной задачи к двухэтапной доказывается по индукции.

Теорема 1 доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.Докажем теорему 2, используя довери- тельный метод [3]. Согласно доверительному методу задачи (4.3) и (4.6) экви- валентны следующим обобщенным минимаксным задачам, записанным при условии существования решений задач (4.3) и (4.6). ПустьS— доверительное множество, т.е. P(S)>α. Пусть F_α,{S:P(S)>α}.Тогда согласно [3]

ϕα, min

S∈Fα

minu∈U min

y(·)∈Yγ(S, u, y(·)),(Sα, uα, yα(·)),

,arg min

S∈Fα,u∈U ,y(·)∈Yγ(S, u, y(·)) (Π.2)

при ограничениях

0>sup

x∈S

[a₃(x)−By(u, x)−A₂(x)u], (Π.3)

гдеsupв (Π.3) понимается построчно и γ(S, u, y(·)),c^T₀u+ sup

x∈S

[a^T₁(x)u+c^T₁y(u, x)], (Π.4)

а также

ϕ_α, min

S∈Fα

minu∈Uγ(S, u),(S_α, u_α),arg min

S∈F^α,u∈Uγ(S, u), (Π.5)

где

γ(S, u),c^T₀u+ sup

x∈S

a^T₁(x)u+ min

y∈Y

c^T₁y|A₂(x)u+By(u, x)>a₃(x)

. (Π.6)

Отметим, что здесь (ϕα, uα) — оптимальное решение задачи (4.3), а (ϕ_α, uα) — оптимальное решение задачи (4.6), причем задача (4.3) эквива- лентна в смысле определения 1 задаче (Π.2), а задача (4.6) — задаче (Π.5).

Поэтому достаточно показать [3], что эквивалентны задачи (Π.2) и (Π.5). Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что для любыхS ∈

∈ Fα и u∈U выполняются равенства

γ(S, u, yα(·)) =γ(S, u, y_α(·)) =γ(S, u), (Π.7)

где

y_α(u, x) = arg min

y∈Y{c^T₁y|A₂(x)u+By(u, x)>a₃(x)}, x∈IRⁿ, u∈IR^m. (Π.8)

Заметим, что согласно (Π.6) и (Π.4) γ(S, u) = γ(S, u, y_α(·)). Теперь пока- жем, что γ(S, u, yα(·)) =γ(S, u, yα(·)). С этой целью рассмотрим задачу

γ(S, u, yα(·)), min

y(·)∈Yγ(S, u, y(·)); yα(·),arg min

y(·)∈Yγ(S, u, y(·)) (Π.9)

при ограничениях (Π.3). Рассмотрим три случая: первый, когда величина γ(S, u, y_α(·))равняется∞, второй, когдаγ(S, u) =∞, и третий, когда обе эти величины меньше∞.

Случай 1. Пусть γ(S, u, yα(·)) = ∞ и не существует y(·) ∈ Y такого, что выполняются ограничения (Π.3). Покажем, что γ(S, u) =∞. Предположим, что это не так. Тогда при фиксированныхuиSдля всехx∈Sсуществует оп- тимальный план второго этапаy_α(u, x)в задаче (Π.8). Значит,y_α(·)∈ Y. При этом γ(S, u) < ∞ и ограничения в задаче (Π.8) выполнены для всех x ∈ S.

Это означает, что для y_α(·) выполнены ограничения (Π.3), следовательно, y_α(·) есть допустимый план в задаче (Π.2) и при этомγ(S, u, y_α(·))<∞. Это противоречит выдвинутому предположению, следовательно, γ(S, u) =∞.

Случай 2. Предположим, что γ(S, u) = ∞ и существует реализация x ∈

∈S такая, что не существует y ∈Y, удовлетворяющего ограничениям в за- даче (Π.8). Покажем, что тогда γ(S, u, yα(·)) = ∞. Пусть это не так, тогда существует измеримая функция y ∈ Y с значениями в Y такая, что выпол- нены ограничения (Π.3). Следовательно, для этой функции y(·) выполнены ограничения 0 > a₃(x)−By(u, x)−A₂(x)u для всех x ∈ S. Таким образом, для всех x ∈ S существует план второго этапа y , y(u, x)∈Y. Это про- тиворечит выдвинутому предположению, что γ(S, u) = ∞. Следовательно, γ(S, u, yα(·)) =∞.

Случай 3. Пусть для фиксированных u ∈ U и S ∈ Fα существуют опти- мальные планыyα(·), y_α(·)в задачах (Π.9) и (Π.8) для каждого x∈S. Тогда выполняются неравенства

0>sup

x∈S

[a3(x)−Byα(u, x)−A2(x)u]

и

A₂(x)u+By_α(u, x)>a₃(x) для всех x∈S.

Таким образом, y_α(·) является допустимым планом для задачи (Π.9), но не обязательно оптимальным, т.е. γ(S, u, yα(·))6γ(S, u, y_α(·)).

Предположим, чтоγ(S, u, y_α(·))< γ(S, u, y_α(·)). Тогда sup

x∈S

a^T₁(x)u+

c^T₁yα(u, x)|A₂(x)u+Byα(u, x)>a₃(x) <

< sup

x∈S

a^T₁(x)u+

c^T₁y_α(u, x)|A₂(x)u+By_α(u, x)>a₃(x) .

Это противоречит тому, что для каждогоx∈IRⁿпланy_α(u, x)является опти- мальным в задаче второго этапа (Π.8). Поэтомуγ(S, u, yα(·))>γ(S, u, y_α(·)).

Объединяя полученные соотношения, получаем, что они непротиворечивы только в случае равенств γ(S, u, yα(·)) = γ(S, u, yα(·)). Ранее было показано, чтоγ(S, u, y_α(·)) =γ(S, u). Таким образом, выполнено (Π.7). Теорема 2 дока- зана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов. ра- дио, 1979.

2. Малышев В.В., Кибзун А.И.Анализ и синтез высокоточного управления лета- тельными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

3. Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероят- ностными критериями. М.: Физматлит, 2009.

4. Кибзун А.И., Наумов А.В. Двухэтапные задачи квантильного линейного про- граммирования // АиТ. 1995. № 1. С. 83–93.

Kibzun A.I., Naumov A.V.A Two-Stage Quantile Linear Programming Problem //

Autom. Remote Control. 1995. V. 56. No. 1. Part 1. P. 68–76.

5. Иванов С.В., Наумов А.В. Алгоритм оптимизации квантильного критерия для полиэдральной функции потерь и дискретного распределения случайных пара- метров // АиТ. 2012. № 1. С. 95–108.

Ivanov S.V., Naumov A.V. Algorithm to Optimize the Quantile Criterion for the Polyhedral Loss Function and Discrete Distribution of Random Parameters // Au- tom. Remote Control. 2012. V. 73. No. 1. P. 105–117.

6. Кибзун А.И., Наумов А.В., Норкин В.И. О сведении задачи квантильной оп- тимизации с дикретным распределением к задаче смешанного целочисленного программирования // АиТ. 2013. № 6. С. 66–86.

Kibzun A.I., Naumov A.V., Norkin V.I.On Reducing a Quantile Optimization Prob- lem with Discrete Distribution to a Mixed Integer Programming Problem // Autom.

Remote Control. 2013. V. 74. No. 6. P. 951–967.

7. Кибзун А.И., Наумов А.В., Норкин В.И. Сведение задач двухэтапной вероят- ностной оптимизации с дискретным распределением случайных данных // Сб.

тр. науч. семинара «Стохастическое программирование и его приложения». Ир- кутск: Ин-т систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2012. С. 76–104.

8. Бертсекас Д., Шрив С. Стохастическое оптимальное управление. М.: Наука, 1985.

9. Ширяев А.Н.Вероятность. М.: МЦНМО, 2004.

10. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.В. Назиным.

Поступила в редакцию 14.11.2013