Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Т. Н. Савицкая, k-инварианты в расслое- нии Кана со слоем K ( G, n ) ., Матем. за- метки , 1986, том 39, выпуск 6, 904–917
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
4 ноября 2022 г., 20:56:52
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
т. 39, № 6 (1986)
fc-ИНВАРИАНТЫ В РАССЛОЕНИИ КАНА СО СЛОЕМ K{G, n)
Т. Н. Савицкая
1. Введение. Пусть односвязное минимальное симпли- циальное множество В с гомотопическими группами nt (В) = nt задано системой Постникова X = (Х°, . . .
. . ., Хд,. . .). Здесь Xя обозначает расслоение Кана (i?(«+i) 7 р(Ф^ В№), индуцированное из универсального расслоения (L(nq+1, q + 2), Ь, К (nq^, q + 2)) &-инва- риантом кд+2 е Zq+2 (/?<«>, ля+1). Симплициальное мно
жество, порожденное единственной вершиной множест
ва В, а также любой симплекс этого множества обозначим символом 0 . Тогда Д(°> = В<& = 0 , В<$ = {{х, <р) е E f i M X % , ? + 1)|А*+1(*) = вф} для д > 1 и В = В<°°К
Пусть G — абелева группа, т г > 1 , Z: B-^K (G, /г + 1)—
симплициальное отображение из заданного гомотопиче
ского класса [Z], (E, р, В) — расслоение, индуцированное из универсального отображением Z. Цель этой работы — выразить /^-инварианты симплициального множества Е через ^-инварианты базы В и отображение I. Здесь приво
дится полное доказательство результатов, опубликован
ных в кратком сообщении [1].
Пусть Е — минимальное симплициальное подмноже
ство в Е. По определению ^-инварианты симплициального множества Е представляются набором коциклов
Для 0 < q < п симплициальные множества B^q) и Е№ совпадают. Таким образом, в этом случае xq+1 =
= kq+1.
904 (g) Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Для g > п + 2 нетрудно показать (см. пункт 4), что Основной задачей является построение ^-инвариантов xn+1 и х?г+2. Коцикл xn+1 строится при помощи &-инвариан- та кп+1 ЕЕ Zn+1 (ВС1"1); пп) симплициального множества В и коцикла Z ЕЕ Zn+1 (i?(n); Coker Z*), который однозначно определяется заданным коциклом Z ЕЕ Zn+1 (5; G) (см.
пункт 2). В пункте 3 доказывается, что в заданном классе [Z] £Е JTn+1 {В; G) коцикл Z может быть выбран таким об
разом, что соответствующий коцикл I раскладывается в сумму 1г + Z2, где 1г ЕЕ Zn+1 (S^"1); Coker Z„), Z2 e ЕЕ Zn + 1 (L (яп, ?г + 1); Coker Z^). В основе построения /^инвариантов %n+1 и х74"2 лежит лемма 5 пункта 4. Выраже
ния для коциклов xn+1 и х74"2 приведены в формулировках теорем 1 и 2.
Мы будем пользоваться определениями и обозначения
ми, принятыми в [2, 3]. В частности, если я — абелева группа, то для фиксированного целого g символ L (тс, q -f 1) обозначает симнлициальную абелеву группу, для которой L (я, q + 1)р = Ср (А [д]; я) — группа норма
лизованных коцепей стандартного симплициального д-сим- плекса A [д]; через K(n,*q) обозначается симплициаль- ная подгруппа группы L (я, q + 1), состоящая из всех коциклов (см. [2, § 23]). Каждый g-симплекс х симпли
циального множества L (я, g + 1) будем отождествлять с элементом группы я, равным значению коцепи х на сим
плексе Ад ЕЕ А [д]д. Каждый (д + 1)-мерный симплекс у ЕЕ £ (я, д + 1) отождествим с упорядоченным набором из g + 2 элементов группы я: (д0у (Ад), . . ., dq+1 у (Ад)).
Пусть К — симплициальное множество. Мы будем обо
значать одним и тем же символом элемент группы Cq (К;
я) (Zq (К; я)) и соответствующее ему симплициальное ото
бражение К -> L (я; q + 1) (К -> К (я, д)) [2, §.,24].
2. Построение симплициального отображения Z: В(П) ->-
—> К (Coker Zjj., тг + 1). Напомним [2, § 8], что для про
извольного симплициального множества К и g ^> 0 сим
плициальное множество Z^> получается из К факториза
цией по отношению эквивалентности ~ . Если х, у ЕЕ Яр, и х, у: А [/?] ->• К заданы условиями х (Ар) = х, у (Ар) =
= у, то х ^ у, когда х\Чр]Я = *7 lA[p]<z- Здесь А [р]* — симплициальное подмножество в А [р], порожденное все
ми симплексами размерности, меньшей либо равной д.
Заданное симплициальное отображение I: В - >
>-+К (G, п + 1) индуцирует отображение Z: fi(n+1) ->- К (G, л + 1). Так как согласно предположению Bn+i = Bn+i* —
= Bnli X яп + 1, то гомоморфизм 1%: nn+i-+G задается формулой Z* (К) = I ( 0 , К) для каждого h ЕЕ Jtn+i-
ЛЕММА 1. 2?с/ш о: ЕЕ J&n+i — вырожденный симплекс, то I (х, К) = I ( 0 , К) = l^ (h) для любого h ЕЕ Jtn+i.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть .г = s^y для некото
рого у <= Вп = #пП) и 0 < ; & <; я , fee Jtn+i. Возьмем в B{nvP набор симплексов xt = (s^dX^x, Sth), I <^ i < ;
< ; 7г + 1. Равенство Z (2г = = 1 (—1)гд#*) = 0 дает нужную формулу. Лемма 1 доказана.
У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е 1. Коцепь I 6E Cn+1' (Д<»>; Coker Z J , сопоставляющая симплексу х ЕЕ 5п+\ смежный класс [I (х, К)] £Е Coker Z^, где fe — произвольный элемент из яп +\ , является коциклом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х ЕЕ fi^li, Покажем, что смежный класс [Z (.r, fe)] ЕЕ Coker Z* не зависит от вы
бора h. Пусть къ h2 ЕЕ яп+ъ i/ = (s0x, ф) е -ВЙ^1*, где Ф = (fex, /г2, fe2 — fex, 0, . . ., 0). Равенство 6Z (г/) = 0 после применения леммы 1 дает Z (х, /гх) — Z (х, fe2) == Z ( 0 ,
Если уЕЕВ™2, то б / ( » ) = 2 ^ ( - 1 ) * U(0* У, Л*)], где ht ЕЕ яп+1 могут быть выбраны произвольно. Поло
жим (h0, . . ;, hn+2) = (kn+2 (у), 0, . . ., 0), тогда х = (у, ср) е
^ 5пП+21} и 6Z (г/) = [6Z (z)] = 0. Утверждение 1 дока
зано.
Из утверждения 1 следует, что всякое симплициальное отображение Z: В ->- К (G, п + 1) однозначно определяет отображение Z: 5( п ) ->- Z (Coker Z*, д + 1).
3. Свойства отображения I. Рассмотрим действие ото
бражения Z на (п + 1)-симплексах симплициального под
множества ( 0 X К (яп, /г)) в В^п\ Введем следующие обо
значения. Д л я h, g ЕИ пп через <р$, 7- (fe) е ^Г (яп, тг)п+1 обозначим симплекс с двумя ненулевыми тг-гранями дМи] (h) = (-l)i + j + 1fyP*,J W = fe- Ч еРе з ft ^ e) e
^ /£ (jtn, ra)n+i обозначим симплекс с тремя ненулевыми гранями d0fi{h, g) = h, djt (fe, g) = h + g, dji (h, g) =
= (-1)'*.
ЛЕММА 2. Имеют место равенства:
1. ?(0,чч.и*))=
,0, i + j = 2k+l,
~\(-1)*40, VoAV) = (-*)*40, <Ро,г(Ь))> i + j = 2k.
2. l(0,fi(h,g)) =
_i40,h(h,g), i = 2k,
~{40,f2(h,g))-l(0,^(g))' i = 2k + l.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть i + / нечетно и у ЕЕ ЕЕ i£ (яп, rc)n+2 — симплекс, имеющий лишь три невырож
денные грани дгу = q>i,j (h)x di+1y = фМ + 3 (h), di+^y =
— (pi+2,j (h). Из равенства 6 / ( 0 , у) = 0 находим Z ( 0 , 9*,j(fc)) = Z ( 0 , ф г+2 ^ № ) ) - ^ ( 0 , Ti,i+sW). НО / ( 0 , Фм+з (h)) = 6Z ( 0 , ж) = 0, где х ^ К (яп, /г)п+2 опреде
ляется своей единственной невырожденной гранью <9i+2x =
= фг,г+з №)• Следовательно, Z ( 0 , ф^- (fe)) = 0.
В случае i -\- j = 2& возьмем в if (лп, /г)п42 симплексы
#и #2> Уз-> в с е невырожденные грани которых имеют вид
d0*/i = Фо,2 W , d3*/i - ф0,2 (—Ь);
0*02 = ф*,г+2 №), д1+2У2 = фг+1, i+З (Щ, дцзУ2 = ФМ+З (h)\
д(Уз = 4>i,j (h)i дМУз = 4>i,j-l W , 0J+203 = ФМ+2 (~&)•
Выпишем равенства 6Z ( 0 , у6) = 0 для 5 = 1 , 2, 3. При s = l, 2 имеем J ( 0 , Ф0,2 (fe)) = * (0> Фо,2 (— &)), Ц 0 ,
фг+1,г+3 (Л)) = —^ ( 0 , ФМ+2 (&)), ОТКуда Z ( 0 , фг,г+2^)) =
= (-1)*1(0,Фо,.(А))-
При 5 = 3, применяя равенство 1 леммы 2 для случая i + / = 2к-\- 1, находим Z ( 0 , фг?7- (fe)) =
— Z ( 0 , Фг,г+2 (—К)). Таким образом, равенство 1 леммы 2 полностью доказано.
Доказательство равенства 2 проводится аналогичным образом с использованием равенства 1. Лемма 2 доказана.
Определим для заданного коцикла Z ЕЕ Zn+1 (В; G) ко
цепь у = у (I) ^ Сп (В; G). Для пары (#, h) <= Вп =
= 5^+ 1 ) X яп+1 положим
где
% (х, h) = (sldl^x, Sih, 0) e Bn+i С Я&?* •
• L(nn,rc + l)n + 1 x Jtn+1. (1) Пусть X = I — 8y. Имеет место равенство X = I — by, где коцепь у^СпВ^п)\ Goker 1%) получается из коцепи у за
меной в формуле (1) коцикла I на коцикл /.
ЛЕММА 3. Коцикл X обладает следующими свойствами:
для произвольных х ЕЕ 5 ^_ 1 ), ф £ Х (яп, тг)п+ъ h, g £E nn
1. X (50ж, ф) = Я ( 0 , ф).
2. X (s±x, s0h) = 0.
3. X (s±x, /а (Л, £)) = X ( 0 , /2 (Л, g)).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем в 5^-2 набор симплексов ^ = (s^d^x, ^ф), 2 < £ <; п. Тогда
?(2iU(~i)
?^i) = i((s„x,
Ф)72i=l**Hv,
Ф ) ) - ( 0 , Ф ) ) == Z ($<,#, ф) — бу (s0#, ф) — I ( 0 , ф) = 0. Так как из определения коцепи у = у (I) следует, что 8у ( 0 , ф) =
= 0, равенство 1 леммы 3 доказано.
Для доказательства равенства 2 рассмотрим в 5 ^ 2 симплексы yt = (sld^x, sQSih), 2 ^ i ^ п. Имеем
К=, (~ *)' ^ i = ЪЦ ( - 1)' % №о*, h) -
— (six, s0h) -f A + вырожденные симплексы, (2)
где -4 = 2 Ц ( - l)>M~4*ft
+iu).
Найдем значение I на сумме Л. Возьмем набор симплек
сов zk = (Sosjda"1^, %ь2фо,з W) S 5 ^ , 1 < А < /г — 1.
Воспользовавшись при к = п — 1 равенством 1 леммы 2, получим I (XZ ( - !)" 3zfc) = I (А) - 3 ^ ? (Vi*"1^"1*, SfcfiA) + ^ (5о#> Фо,з W) == 0- Согласно равенству 1 лем
мы 3, ^ (Z — б у) («o^i"1^"1^» ^ft+i^) = ^ ( 0 i 5fc+ife) = 0 и (I — 6f) (s0s, Ф0,з(Л)) = ^ (0» Фо,з (&))• Но
^ (0» Фо,з У1)) = 0 согласно равенству 1 леммы 2. Тог
да I (A) = S L a8^ (5o«i"1^a"1^, *ft4i» — 6f (s0s, ф0,3 (h)) =
= — у (#> ^)- Применим теперь Z к обеим частям равен
ства (2) и воспользуемся полученным выражением
для I (А). Имеем I (sxx, sQh) = у {s0d0x, h) — у (я, h) =
= бу {s±x, s0h). Равенство 2 леммы З доказано.
Применяя равенства 1 и 2 леммы 3, преобразуем левую часть равенства SI (s^x, 5х/2 {h, g)) = 0. В результате по
лучим (Z — 6f) {sxx, /a(fef gj) = (Z ~ б у) ( 0 , /2 (ft, #)). Лем
ма 3 доказана.
Опишем теперь группу пп (Е) и минимальное подмно
жество Ё симплициального множества Е. Так как Е CI CZ В X L (G, п + 1), то дляд =т*= /г два гомотопных д-сйм- плекса в Е совпадают. Нетрудно видеть, что симплексы (х, g), (x, g) ЕЕ End Вп X G гомотопны в £ тогда и толь
ко тогда, когда х — х и g — g E I m / ^ . Действительно, равенство х = х следует из минимальности В. Осущест
вляющий гомотопию (#, g) — (х, g) симплекс z ЕЕ Еп+± =
= {{У, Y» ф) е ЯЙ& х лп+1 X L{G, п + l)n +i| Z (г/, 7) =
= бф} имеет тг-грани d±z = (x, g), dtz = {s^^x, 0), 2 <^ i <^ /г + 1. Следовательно, z = (s0^> у» ф)» ГДе Ф —
= (£»§» 0» •• •» 0)» а элемент у Е: ^n+i находится из ус
ловия I (s0x, у) = (по лемме 1) = Z ( 0 , у) = g — g ЕЕ ЕЕ Im Zjj..
Обозначим через д: Coker l% ~> G отображение мно
жеств, сопоставляющее каждому классу [g] ЕЕ Coker Z#
его фиксированный представитель в G. Пусть X — симп- лициальное подмножество в L (G, п + 1)? порожденное элементами группы G вида q (lg])\ [g] ЕЕ Coker Z*. Тогда
£ = {(*, ф) е Я X X | Z (ж) = бф}. (З) Перейдем к группе яп (Z£). Как множество
пп (Е) = {х <= Ёп\ dtx = 0 , 0 < i < тгп} ^ яп X Coker Z**
(4) Сумма двух элементов (/г, g), (й/, g') ЕЕ яп (£) по определе
нию задается симплексом c^z ЕЕ -fc'n, где z — (п + ^-симп
лекс в Ё с я-гранями <90;z = (/г, д (g)), д& = (hf, q {g')), dkz = 0 ? 3 ^ A ^ л + 1. Таким образом,
(л. *) + (л', *') = № + &', g + g' - ? ( 0 , h (л, л'))).
(5) ЛЕММА 4. Для элемента а = Z ( 0 , /2 (/г, g)) e е Coker Zjj., гд£ fe, g ЕЕ ял, имеют место следующие ра
венства:
1. а = - ? ( 0 , /2 (Л + g, - Л ) + Z ( 0 , ф0,2 W).
2. a = -I ( 0 , h (-h, -g)) + I ( 0 , Фо,2 (ft)) + + 1(0, VoM) -40>4>o,2(h + g)).
3. a = Z(0, f2(-h-g, ft))+7(0, <PoM))-U0,
ф0,2 (k + g)).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем в яп (Е) элементы (ft, 0), (£, 0), (-/г, 0). Имеем ((ft, 0) + (#, 0)) + (-ft, 0) =
= ((ft, 0) + (—h, 0)) + (g\ 0). Воспользовавшись прави
лом сложения (5) в яп (£"), получим формулу 1 леммы 4.
Заметим, что обратный элемент к элементу (а, Ъ) ЕЕ GE яп (£") имеет вид (—а, Z ( 0 , ф0?2 (а)) — Ь). Формула 2 леммы 4 следует из равенства — (ft, 0) — (g, 0) = — (ft +
Согласно равенству 1 леммы 4, Z ( 0 , /2 (—ft, —g)) =
= —l{0, h K—h — g, ft)) + I ( 0 , ф0,2 ( - * ) ) . Чтобы по
лучить формулу 3 леммы 4, подставим полученное выра
жение для элемента Z ( 0 , /2 (—ft, — g)) в формулу 2 лем
мы 4 и воспользуемся равенством 1 леммы 2. Лемма 4 до
казана.
Пусть |3: i£ (яп, п + 1) —> К (Coker Z*, га -f- 2) — симп- лициальное отображение, порожденное гомоморфизмом Бокштейна, соответствующим короткой точной последова
тельности абелевых групп
г j
0 —> Coker Z* —> пп (Е) —> яп —> 0,
где i (g) = (0, g), j (ft, g) = ft для всех ft £ яП ) g e Coker Z*.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. В заданном классе [1] е #n + 1 (5;
6?) коцикл I всегда может быть выбран так, что для любого симплекса
(х, Ф) ЕЕ В$г С Я ^ X L К , ' гс + 1)п+1, где ф = (ft0,. . . , Лл+1),
г (^,
Ф)= г (х, (л^+1 (ж), о о» +
+ P(^+l(^),ft0,...,An+l). (6) Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Z e Zn+1 (5; G) — произвольный коцикл класса [Z], у (Z) е Сп (5; G) — ко
цепь, определенная формулой (1). Положим X = Z — бу и покажем, что равенство (3) справедливо для коцикла X.
Для определенности будем предполагать п четным.
Пусть (х, ф) е Дп+ь где ф = (ft0, . . ., ftn+i). Введем
обозначения pt = 2JA=O (— 1)* ^n+i-ь 0 <^ & <^ /г + 1.
Тогдаpn±x = —kn+1 (x). Из определения правила сложения в группе яп (Е) и определения симплициального отображе
ния |3: if (яп, га + 1) -н> К (Сокег Z^., ?г + 2) следует, что Р (&"+i (я), До, . . . , Лп+i) = 2£!о ^ ( 0 . Фо,2 Ы ~
Возьмем в 5^+2 набор симплексов уг = (s0x, со^), 0 <;
<^ i <; /г — 2, где симплексы со^ ЕЕ £ (яп, ?г + l)n4.2 име
ют следующие отличные от нуля (п + 1)-грани: д0со0 =
= ф , #!<*>* = <90COf+1 = dotot — Sn^Pi, dk(Ot = 50f ef c + 1 Д Л Я
2 < к < /г — i, дп+1-гСОг- = /n+i_j (fcn-i» (—l)1+1Pi)> дп+2Н (ot =
= ф0,п+1-г ((—1)*PJ)). Применяя лемму 3, найдем
^ (SLo 3^*) = Ч ^ , Ф) — Я (*, <9ico„_2) +
+ S-io ( - m ( 0 , ФО, n+i-i {(- if РО) -
- Я ( 0 , /n+l-i (Лд-г, ( ~ l)i+1Pi))) = 0.
Заменив элементы, стоящие под знаком суммы, согласно равенствам 1 и 2 леммы 2, получим
X (х, Ф) = X (х, 5ю)д_3) +S^I20(— 1)' X, ( 0 , /a(An-i, ( - l)i+1Pi)) + + K = i ^(0»Фо,2(рал--1)).
Применим к элементам X ( 0 , /2 (ftn-i» (~~-l)t+1Pi)) ПРИ
четных i равенство 1 леммы 4, при нечетных £ — равенство 3 леммы 4, тогда
X (X, ф) = X (X, diG)„_3) - S<li Л ( 0 . / 2 ( ~ Рг; ( - 1)* Лд-i+l)) + +.3^=0 ^(0»Фо,2(Ал-2л))-Х,(0,фо12'Ы),
И Л И
X (х, Ц))=1 (х, 01(оя-а) + Р (Лп+1 (ж), h0,..., /гп+1) — - ^ ( 0 , Ф о , 2 ( / г о ) ) + Х ( 0 , /2( ^ 1 ( ^ - / г о Д 1 ) ) +
+ ^(0,/2(*й-ч(«),-Ао)). (7) Найдем другое выражение для элемента X (х, di(on_2) =
= X (х, (h0l hx, —pn~u 0, . . ., 0)). Возьмем в В%22 симп
лексы их = (s0#, i?!), и2 = (sxx, v2), u3 =(sxx, У3), где симп
лекс vx ЕЕ Ь (яш га + 1)п+2 имеет ненулевые грани д ^ =
= (fe0, 0, — pn, 0, . . ., 0), <Vi = ^iC0n-2, d2v1 = sjix, d3Vi =
= /2 №0 — ^n ^1); симплекс u2 имеет ненулевые грани d0Vz = Фо,2 (fe), #1^2 = д0иг, d2v2 = (0, 0, kn+1 (ж), 0, . . . . . . , 0 ) , d3v2 = /2 (—hoi ^n+1 (#)); симплекс v3 имеет нену
левые грани d1v3 = <92У2> ^2уз = (&n+1 (#)» 0, . . ., 0), д3и3 =
= s0F+ 1 (ж).
Из равенства X (2ji = 1 d^i) = 0, воспользовавшись лем
мой 3, находим
X (х, 5ю)„_2) = — l(0,fa (kn+i (х) — h0,1ц)) +
+ Х ( 0 , Фо,8(Ао)) - Я ( 0 , /2( - Ао, Лп+1(*))) + + %(х,(к™(х),0,...,0)).
Подставим полученное выражение для элемента X (х, 51соп_2) в равенство (7). Имеем
Цх, ф) = р (fc»+i (ж), Ао,... , Ап+1) + 1 (ж, (&'l+i (я), 0,. . . , 0) +
+ I(0, h(~К ^
n+1(Ф -l(0,h(&
n+1(x), - h
0)).
Но I ( 0 , U (-K, ^n+1 (*))) = ^ ( 0 . /2 (^n+1 (*), -Ac)) вследствие коммутативности сложения в яп (Я). Таким образом, справедливость равенства (6) для коцикла X ЕЕ ЕЕ [/] доказана. Утверждение 2 доказано.
В дальнейшем будем предполагать, что симплициаль- ное отображение Z: В —> К (G, п + 1) выбрано в задан
ном гомотопическом классе [Z] так, что отображение к В(п^ —> К (Coker Z^, n -\- \) удовлетворяет равенству (6).
4. Построение к -инвариантов ип+« симплициального множества Е при q !> 1. При построении /^-инвариантов xn+1 ихп+2 симплициального множества Е нам понадобится
следующая
ЛЕММА 5. Пусть К — минимальное симплициальное множество, q > 0 и p^-D; /£te) -> ifta-1) — проекция, а ко
цепь о Е= С9 (7Г(д\ яд (/£)) удовлетворяет условиям:
а) соответствиерй-D х со: Zgq) —> ^д _ 1 ) X яд (i£) биги- тивно;
б) ее./ш симплексы х, у ЕИ Кд+г таковы, что pto-D (х) = pta-D (г/), т о бсо (ж) = бю (у).
Тогда коцикл Zq+1 e Zg+1 (K^~x\ nq (К)), определенный формулой lq+1 (х) =8(0 (т), где т <= Z ^ и р^-х> (т) =
= х, является k-инвариантом симплициального множест
ва К.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (К^\ p^-D, ifc^-D) - расслоение, индуцированное из универсального симплици- альным отображением lq+l: K^-V —> К (nq (К), q + 1)>
соответствующим коциклу lq+1 Gr Zq+1 (K^-V, Ttq (К)) из условия леммы. Покажем, что симплициальное отобра
жение р<*-1> X со: КМ -> Kto-U X L {nq (К), q + 1) инду
цирует изоморфизм минимальных симплициальных мно
жеств КМ и КМ, Доказательство проведем индукцией по т-остовам множества К. Соответствие p(q~V X со:
К(т —> Щп взаимно однозначно для всех т ^ q, так как p(i-Q) х со \K(q) = 1 х * при т < q и pte-D X со: ifq ->
m
—>Kqq) = K^-V X я^ (if) взаимно однозначно согласно условию а). Предположим, что соответствие pta-1) x со:
JC^it —> Jf^fe биективно для всех 0 <^ к < р. Пусть х, у — различные симплексы в Rqq+V. Тогда дхх Ф д(у хотя бы для одного 0 <; i ^ q + p и инъективность отобра
жения pte-V X со в размерности q -f p следует из его инъективности в размерности q -f- p — 1.
Докажем сюръективность. Очевидно, что (р(#-1) X X со) (КМ) (~ АЧ?)._Пусть (я, ф) — произвольный (q + + р)-симплекс в КМ а K^-v X L (jtQ (if), g + 1). Со
гласно предположению индукции, каждому из симплексов xt = dt (х, ф), 1 <; £ <Г # -j- p, соответствует единствен
ный симплекс yt 'G: ifg+Vi такой, что (р^-1) X со) (г/^) =
= xt. Так как проекция p^-V: KM -> if(<z-D является, как .известно, расслоением Кана и набор симплексов {у^}?=1 удовлетворяет условию совместимости, то в Kqq}v
существует симплекс у такой, что dty = yt для 1 <^ i <^'
< q + р и р(«-1) (г/) = ж. Тогда (pta-D X со) (г/) - (i, ф), где ф G L (яд (К), q + l)q+p и dtq) = д^ф для всех 1 <
<^ i <^ q + Р- Если /? > 1, то из условия д^д0ц) — d0dfe+i9 =
— 5^50ф для каждого 0 < ^ & < ^ д + /? — 1 следует, что
#оФ — ^оФ и ф — ф. Пусть/? = 1. Так как dt(p = с^фдля 1 < ^ < q + Р и бф - Zg+1 (ж) == бсо (у) = бф, то <90ф =
— 50ф, а следовательно, и ф = ф. Таким образом, взаим
ная однозначность симплициального отображения р^~^ X X со: КМ -> КМ доказана.
Теперь из коммутативности диаграммы
к
м ^-
1 ) х^
км
р<*-1) I , ч [ rfo-1)
следует, что расслоения (К^\ pte-U, K^-V) и (К^\
р^~г\ K(q-V) изоморфны и коцикл lq+1 является /с-инва- риантом симплициального множества К. Лемма 5 доказана.
Напомним, что в расслоении (Е, р, В), индуцированном из универсального расслоения' заданным отображением I: В —> К (G,_n + 1), имеют место следующие соотноше
ния. Если Е — минимальное симплициальное подмно
жество множества Е, то №-*) = £Чп-0 = B'n~V; группа яп (Е) изоморфна произведению пп X Goker 1% (см. (4)), в котором групповая операция задана формулой (5). Здесь /*• яп+1 —> G — гомоморфизм, индуцированный отобра
жением /. Пусть kn+l ЕЕ Zn+1 (B(n-V; nn) — заданный /^-инвариант симплициального множества 5 , Z GEr 6Е Zn+1 (B^; Goker 1%) — коцикл, построенный по ко
циклу I F= Zn+1 (В; G) в пункте 2. Заметим, что для произ вольного симплекса т £Е В^^ пара (т, (kn+l (т), 0, . . . . . ., 0), где (kn+1 (т), 0 , . . . , 0 ) E i (яп, п + 1)п+1 я в л я ется (п + 1)-симплексом из Д(п> d 2?(n-D х L (яп, п + + 1). Тогда пара (kn+1 (т), I (т, ( F+ 1 (т), 0, . . ., 0))) бу
дет элементом группы тсп X Coker 1% ж яп (Е).
ТЕОРЕМА 1. Гомоморфизме1: Сп+1 (Д(*-1>)-> лп (Е), заданный формулой
х*+1(т) = (k"+i (т), I (т), (Л™ (т), 0, . . ., 0))), для каждого т ЕЕ fin+i1* = ^ Г п0 определяет коцикл кп+1 ЕЕ
^ Zn + 1 (Z^71-1); яп (£')), являющийся k-инвариантом симп
лициального множества Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как было показано в пунк
те 3,
Е = {{х, ф) G В X 5? | I (^) - бф},
где X — симплициальное подмножество в L (6?, п + 1), порожденное элементами группы G вида g ([#]), [g\ ЕЕ 6Е Coker Z^, g ([#•]) — фиксированный представитель смеж
ного класса [g]. Профакторизовав по отношению эквива-
п
лентности —, получим
£( n )~ { ( y , * ) e f i <n> x L ( G o k e r Z#, п + 1)| Z (ж) = бФ} . (8) Тогда проекция д^-1): 2?<я> - » 2?("-D = Д(п-1) действует по формуле g(n"D (у,__г|э) = p^-D (г/) для (г/, т|э) е #( п ).
Пусть о ) Е Сп ( #( П ); ЯП (Я)) — коцепь, определенная формулой, со (ж, fe, gr) == (fe, #) для (x, h, g) 6E BtT* X
X tin x Goker Lj. ^ Ё\Р- Очевидно, что о) удовлетворяет условию а) леммы 5. Покажем, что условие б) леммы 5 также выполнено.
Пусть (г/, 1|)), (у, \р) — такие симплексы в Ёп+п что Ч'п-г) (у, г|з) = gC«-D (у, яр). Тогда р(«-« (г/) - p<*-D (у), следовательно, симплексы у, у ЕЕ В(п+Х (Z В^-Р X £ (лп, гс + l)n+i имеют вид г/ = (т, ф), у = (т, ф). Используя определение сложения в группе пп (Е), находим бсо (у, г|)) =
= Ж^о (~
1У (
д&
д$) = (
км(*)>
1(
т> Ф) - Р (*
n+1с*)»
<90ф, . . ., Зп+1ф). Применим к элементу Z (т, ф) равен
ство (6). Тогда
SD (g, f ) = So) (у, г|)) = (A*+i (т), I (т, (ЛЛ+Нт), 0, . . . , 0))).
Теперь, согласно лемме 5, коцикл xn K t ^ Zn + 1 (Z^71"-1);
пп (Е)), определенный формулой кп+1 (т) = (к71*1 (т), Z (т, (км (т), 0, . . ., 0))) для каждого т GE i & ' i0, есть &-ин- вариант множества Е. Теорема 1 доказана.
Д л я построения /^-инварианта xn f 2 ЕЕ Zn+2 (E^\ nn (E)) найдем, согласно (3) и (8),
яп+1 (Е) = {ж ЕЕ ^n+i | <9[Х = 0 , 0 < j < п + 1} ж ker Z#,
£( п ) ж {(х, [ip]) GE Я( п ) X L (Coker l„ n + l)\ l(x) = б (|4|)J)},
I( n + 1 ) — {(ж, г|>) ЕЕ В(пп) х£\1(х) = Щ. (9)
Напомним, что через q: Сокег 1% —> G обозначалось со
поставление классу [g] ЕЕ Coker 1% его фиксированного представителя в G. Соответствие q индуцирует симплици- альное отображение q: L (Coker Z^, n + 1) —> L (G, n + 1 ) . Определим коцикл 0X ЕЕ Zn+1 (L (Coker Z*, n + 1); G), задавая его на образующих группы Cn+i (L (Coker Z^, n + 1)) формулой 0X ([ty]) = бд([г|)]) для каждого [г|)] ^ S £ (Coker Z^, тг -f- l)n+i- Коциклу 0! соответствует симп- лициальное отображение 0Х: L (Coker Z*, /г + 1) —> К (G,
п + 1).
Обозначим через r: Im Z^ —> яп+1 соответствие, для ко
торого 1*г = l im U. Пусть 02 е Z,i+2 (L (Im Z#, л + 2);
Jtn+i) — коцикл, заданный на образующих группы Сп+2 {L (Im Z*, /г + 2)) формулой 02 (ф) = бг (ф) для ф 6Е е L (Im Z#, я + 2)п 4 2. Через /: Cn+i (Я<п>) -> G обозна
чим коцепь такую, что Т (х) = I (х, 0) для х ЕЕ i?n+i (за-
кётйм* что (х, 0) GE B^li X Jtn+i == Вп+1). Коцепи I со
ответствует симплициальное отображение I: В^ - * L (G, п + 2).
Пусть &n+2 e Zn+2 (£<п); яп+1) — заданный /^-инва
риант симплициального множества 5 . Непосредственно проверяется, что если (#, [я))]) е -E^L то (0! ([яр]) — Г (ж)) ЕЕ G L (Im Z%, w + 2)п+2, а разность й:п+2 (х) — 02 (Ох ([яр]) —
~ I (ж)) ЕЕ Кег /#.
ТЕОРЕМА 2. Гомоморфизм кп+2: Сп+2 (£<П)) ->
—> Jtn+i (Е), заданный формулой для каждого (х, [яр]) ЕЕ xn+2 (s, [яр]) - kn** (x) - 92 (0X ([яр]) - Г (ж)),
определяет коцикл хпЬ2 е Z'l+2 (Ё^; пп+г (£)), являю
щийся k-инвариантом симплициального множества Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим коцепь со ЕЕ GE Cn+1 (Ё(п+Х); яп+1 (£)), удовлетворяющую условиям леммы 5. Пусть (х, &, яр) ^ i ? ^ = £п+1 С В^г х nn+i X
X Xn+i- Согласно лемме 1 имеем I (х, К) — I (х, 0) =
= I (01 Щ = $ty — I (х-> 0) £= Im l*- Положим со (х, h, яр) = h — г (бяр — Z (x, 0)) ^ Ker Z^.. Покажем, что со
ответствие g<n> x со: Еп+г —> E(nli) X Jin+i (£) взаимно однозначно. Согласно (8), (9) имеет место равенство g(n> (#, яр) = (р(П) (ж), [яр]), где [яр] — образ симплекса яр ЕЕ S Xn+i при проектировании L (G, п + 1) —> L (Coker Z*, тг + 1)- Отсюда следует инъективность рассматриваемого соответствия.
Покажем сюръективность. Для ((*, [яр]), у) ЕЕ JEgJi X X Ker Zjj. пусть fc = у + г (6д ([яр]) — Z (#)). Применяя лемму 1, находим, что I (х, К) = 6д ([яр]). Таким образом, симплекс (ж, ft, g ([ip])) ЕЕ 2?n+i и со (я, ft, g ([яр])) = ((#, [яр]), 7). Справедливость условия а) леммы 5 для коцепи со доказана.
Пусть (у, яр), (у, ф) (ЕЕ Я Й ^ и £*> (i/, яр) = g(n> (jr, ф).
Тогда яр = яр и симплексы г/, у ЕЕ ЯЙ-г1* С -Sn+2 X L (яп+1, w + 2)п+2 имеют вид у = (т, ф), г/ = (т,_ф). Следователь
но, б.© (у, яр) = #г+2 (х) - 62 (0! ([яр]) - Т (т)) - бсо (у, tp), и условие б) леммы 5 также выполнено. Из леммы 5 те
перь следует, что формула кп+2 (т, [яр]) = kn+z (т) —
— 02 (6Х ([Яр]) — Z ( т ) ) ДЛЯ ВСЯКОГО СИМПЛеКСа (Т, [l|)])Fr
G ^ш-2 CZ 5 ^2 X L (Coker Z*, тг + 1)я+2 определяет ко-
цикл кп^ ЕЕ Zn+2 (Е^; rtn+i (Ё)), являющийся &-инварй- антом симплициального множества Е. Теорема доказана.
Для q >» 2 заданное симплициальное отображение I:
В —> К (G, п + 1) индуцирует симплициальные отобра
жения h B(n+q"а> --> Z (G, ?г + 1). Симплициальные мно
жества JE(n+^~1) и Ё(П+^> тогда имеют вид
Е(пН1-1) = { (^ ^ ^ д<п+*-1) х <g | z ( ж ) = 6 я | ) Ь
JB(n+ff) = {(re, ф, ф) ( = 5( n + g-1 } X яп + д X Ж | Ar»^+i (л:) - бф, 1(х) = Щ.
Проекция q(n+^): E(n+q) -* £(n+*-D поэтому опре
деляется формулой qi71^'1) (у, -ф) = (pC^-i) (г/), яр) для каждого симплекса (г/, г|>) е Ё(?г+д) С В^^ X Ж. От
сюда следует, что коциклы ^
при g > 2 являются ^-инвариантами симплициального множества 2?.
Автор благодарен М. М. Постникову и М. А. Штанько за полезные обсуждения.
Математический институт Поступило им. В. А. Стеклова АН СССР 10.01.84
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] С а в и ц к а я Т. Н. Разложение в систему Постникова рас
слоения со слоем К (я, п). Топология// Труды МИ АН СССР.
1983. Т. 154. С. 2 1 4 - 2 1 5 .
[2] M a y J. P. Simplicial Objects in algebraic topology. Prince
ton: Van Nostrand, 1967.
[3] Г а б р и е л ь П., Ц и с м а н М. Категория частных и тео
рия гомотопий. М.: Мир, 1971.
