Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. М. Миллионщиков, Бэровские классы функций и пока- затели Ляпунова. I, Дифференц. уравнения, 1980, том 16, номер 8, 1408–1416
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
4 ноября 2022 г., 20:57:00
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
АВГУСТ 1960 г.. ТОМ XVI, № 8
УДК 517.938
в. м. м и л л и о н щ и к о в
Б Э Р О В С К И Е К Л А С С Ы Ф У Н К Ц И И И П О К А З А Т Е Л И Л Я П У Н О В А . I Пусть (£, р, В) — векторное расслоение со слоем Rn, причем база В — полное метрическое пространство. Зафиксируем некоторую рима- нову метрику на этом векторном расслоении (см. [ 1 ] , с. 58—59, где рассматриваются римановы метрики на векторных расслоениях над па- ракомпактными базами; паракомпактность метрического пространства доказана в [2] (гл. IX, § 4, теорема 4 ) ) .
Пусть для всякого m £ N задан морфизм * (в категории векторных расслоений):
(Х(т)9%(т)) : (£, р, В)-+(Е, р, В),
причем отображения Х(т) невырождены на слоях, т. е. при всяких raGN, b£B линейное отображение Х(т, Ь) : р^{Ь)->р~л{уХт)Ь) имеет обратное
[Х(т, b)]-i:ri(%(m)b)-+p-i(b).
Потребуем, чтобы существовала функция а ( - ) : S->R+ такая, что для всякого m £ N выполнено неравенство**
max (\\Х{т, 6 ) | | , \\[Х(т, exp (ma(b)). (1) Из этого требования вытекает, что для всякого 66В и всякого
AG{1, п)
%иФ)^= min max lim 1п|Х(ш, b)l\
def Rn - k+leGn_k+i{Rn) leRn~k+l mH>ee m
(где*** под Rn понимается слой р~^{Ь), а \Х(т, Ь)Ц — н о р м а вектора Х(т, b)^p-i(x(m)b) в смысле той евклидовой структуры в слое P- 1( x (m) ^ ) » которая индуцирована фиксированной выше римановой метрикой векторного расслоения (£, р, В)) есть число, принадлежащее
[—а(&), а(Ь)]. Это число**** называется k-м показателем Ляпунова семейства Х(ту Ь) (см. [ 3 ] , где доказано, в частности, что max и min,
* Напомним, что это означает следующее: при к а ж д о м m£N заданы непрерывные отображения Х(т): Е-+Е, %(tn): В-+В такие, что рХ(т) =%(т)р (при всяком raGN), причем при всяких b£B, m£N отображение Х(т, b): р ~1 (Ь)-+р-*(%(т)Ь), определяемое как сужение (ограничение) на слой р~1(Ь) отображения Х(т), есть линейное отобра
жение.
** Норма линейного отображения слоя на слой определяется как норма оператора (слои наделены структурами нормированных пространств заданием в них евклидовых структур, индуцированных фиксированной* выше римановой метрикой).
*** Gk(Rn)—грассманово многообразие ^-мерных линейных подпространств про
странства Rn (см. [1], с. 25).
**** j je r K 0 видеть, что в форхмуле, определяющей Ak(b), вместо |£; = 1 можно писать 1=^=0 (Xk(b) от этого не изменится).
БЭРОВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ II ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА 1409
фигурирующие в вышеприведенной формуле для
Xk(b),
существуют (т. е. соответствующие sup и inf достигаются)). Очевидно,Мы можем также рассматривать для каждой последовательности {/J}/6N
(/j£N, /г- > о о ) , каждого b£B и каждого п) число /-00
#i}/eN)=
fc m i nmax lim — In |X 6)£|;
def R" - * + ieG n - f e + i ( R, l) f e R/ I- *+ 1 /-e e U
все эти числа содержатся в отрезке [—а(Ь), а(Ь)\\ если /г = / ( / £ N ) , то Ы * ; ft}/eN) = ^ ( 6 ) -
Введем в рассмотрение функции *
(&) - inf max — In ||XR*
(m + t,
6)j|, (2)d e f *e-:o.i rn + t
где под Rn понимается слой p~{(b).
Л е м м а 1. При всяких b£B, &£{1, /г}, m £ N числовая последо
вательность {(ы1т,<7) (b)}geu монотонно не убывает и ограничена.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Так как при каждом Rh£Gk{Rn) имеет место неравенство
max - J — In |!XR* (m + /,
b)\\
> max — — In \\XRk (m +t,
6)|[,*e; o,i,...,<ж>т + £ /e;o,i,...^> m + f то
n iw ,'+ 1 ) {b) = inf max — — In | | XR* (m + /, >
R^eGfe(R") *е{ о л , . . . , < 7 - и >т+ '
> inf max - i — lnfAV(m + /, b)l = \i(khQ) (b).
2) Из условия, наложенного на Х(т) (см. выше формулу ( 1 ) ) , вы
текает, что при всяких 6G5, & б { 1 , . . . , я } , m£N, gGN
^ . « > ( 6 ) 6 [ - a ( 6 ) , а(Ь)], (3) поскольку из формулы (1) следует включение
1
m-\~t ln|)XR*(m + /, Ь)\\£1-а(Ь), а(Ь)]
(для всяких mGN, гб{0, 1, . . . } , R * 6 Gf t( Rn) , ЬвВ). Лемма 1 дока
зана.
Из леммы 1 в силу теоремы Вейерштрасса вытекает, что при всяких Ь£В, &£{1, я } , m6N существует limу№г>q^(b). Введем обозначение
k
q^oo
\\f)(b) = lim ji(™> <*)(b). (4)
q-+oo
Из (3) следует, что при всяких 6 6 5 , . . . , и}, mGN
Р™(ЬМ-а{Ь), а(Ь)]. (5)
: , : ARf e (s, b)—сужение линейного отображения X(s, b) на линейное подпространст
во Rhczp-'(b).
1410 в. м. миллионщиков
Л е м м а 2. При всяких b£B, &£{1, п) числовая последователь
ность {pim ) (6)}meN монотонно невозрастает и ограничена.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Ограниченность уже доказана (см. фор
мулу ( 5 ) ) . 2) Так как при каждом Rf eGGf e(Rn) имеет место неравенство max 1 l n | | XR* ( m + l + / , 6 ) | | <
te<o,i q\ m + l + t
< max _ L - i n | | XR* ( m + f, 6)|, te{o,\s...,q+\) m + t
то
A m +1 (6) = inf max ! I n | | XR* ( m + l + t , b)\\<
M*keGk(Rn) te< o . i . . . . , * > m + l + t
^ inf max — 1 — In||XR*(m + /, 6)|| - y im'9+l) (b),
*keGk(*n) *elo,i,...,^7+1} m + * ( 2 )
откуда
ц Г + ' > (ft) = lim •« (ft) < lim (ft) = ИГ > (ft).
( 4 ) <7-><x ( 4 )
Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 в силу теоремы Вейерштрасса вытекает, что при всяких b£B, £G{1, п} существует l i m ^m) ( 6 ) . Введем обозначение
|ik(ft) = lim|i£»>(ft). ( 6 )
m-*oo
Из ( 5 ) следует, что при всяком Ь£В и всяком Аб{1, п}
МЬ)Ь[-а(Ь),а(Ь)].
Л е м м а 3. При всяких т б Ч ?6N, &£{1, . . . , я} функция р/™>
непрерывна на В.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Рассмотрим функцию cp(s) — inftf>(s, t), def /ег
где г|)(-, • ) — н е п р е р ы в н о е отображение SxT-^R (S — произвольное (хаусдорфово) топологическое пространство, Т—компакт). Хорошо известно (и легко доказывается), что функция <p(s) = infi|)(s, t) ==
def ter
= min of) (s, t) непрерывна на S.
ter
2. Пусть теперь дано непрерывное отображение g ( - ) : S->R, где 5 — пространство некоторого локально тривиального расслоения (S, я, В) со слоем W, причем W — компакт. Тогда функция r\(b) == inf £(s)
def - i . . . sen (6)
непрерывна на В. Это утверждение — следствие предыдущего (т. е.
следствие утверждения п. 1), так как непрерывность — локальное свой
ство, а расслоение (5, я, В) локально тривиально.
3. Возьмем в качестве 5 пространство расслоенного пространства*
(5, я, В) над В со слоем Gk(Rn) (Gh{Rn) естественным образом на
деляется структурой левого GL(n, R)-пространства), ассоциированного с локально тривиальным главным GL(n, R)-расслоением, с которым
* При всей неудачности выражения «пространство расслоенного пространства»
пришлось им воспользоваться (см. [1], с. 69, где расслоенным пространством называется некоторое расслоение, и там ж е с. 22, где определяется пространство расслоения).
БЭРОВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА 1 4 1 1
ассоциировано рассматриваемое нами векторное расслоение ( £ , р, В) (см. [ 1 ] , с. 69, а также с. 97—98 (замечание 3.3), причем в замечании 3.3 под расслоенными пространствами следует понимать расслоенные пространства, ассоциированные с локально тривиальными главными G-расслоениями); расслоенное пространство (S, я, В) также локально тривиально (см. [ 1 ] , с. 72—73). Фиксируем произвольные m £ N , </£N,
* б { 1 , я } .
В качестве Т возьмем конечное множество {0, 1, q}, снабженное дискретной топологией (т. е. рассматриваемое как подпространство топологического пространства R ) . Зададим отображение ф ( ™ > 9 ) ( . , • ) : S x
X T->R формулой
4m'Q)(s, /) = l—\nlXRk(m + t, b)\\, m + t
где 5 = Rfe, причем под Rk понимается точка слоя тг1(Ь) расслоения (S, я, 5 ) , a b=n(s). Так определенная функция i|^W>3)(s, 0> очевидно, непрерывна на SxT. Согласно утверждению п. 1, функция Ч3!™'д )(5) = inf i | )( m'9 ) ( 5 , /) непрерывна на S и, следовательно, функция
k def ter
I f (s) = max — in |x k (m + U b)\ = - cpif (s)
def %{0,1 ,q}m + t
непрерывна на S (при всяких mGN, q£N, &G{1, я } ) .
4. По функции l(™>q)(-) : S - * R , определенной в конце п. 3, по
строим функцию
def s g r t- 1( 6 )
т. е. как в п. 2 (где (S, я, 5 ) на этот раз — расслоение, определенное в начале п. 3 ) .
При всяких m£N, qQNy &G{1, /г}, согласно утверждению п. 2, условия которого выполнены, так как G ^ ( Rn) — к о м п а к т (см. [ 1 ] , с. 25), функция
Y j j j m , * ) ^ ) = inf ljrn,Q)(s) =
= inf max —-— In ||Хрл (m + b)||
R*e<?ft<Rn> *e<o,i....,7>m + /
непрерывна на В. В выражении для г\(™>^(Ь) безразлично, понимать ли под Gfe(Rn) слой я- 1 (Ь) расслоения (S, я, В) или грассманово многооб
разие ^-мерных векторных подпространств слоя р~1(Ь) расслоения (£, р, 5 ) , поэтому T i ^ ' 9 ) ( 6 ) = p i ( w . 9 ) ( 6 ) (см. формулу ( 2 ) ) . Лемма 3 до
казана.
Л е м м а 4 . При каждом £ G { 1 , . . . , я} функция \iu(b) : B->R, ояре- деленная формулой (6),— бэровская функция второго класса.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Определения бэровских классов функций см. в [ 4 ] , [5, § 3 9 ] . Утверждение леммы 4 непосредственно вытекает в силу этих определений из леммы 3 и формул ( 4 ) , (6). Лемма 4 до
казана.
Следующая далее лемма 5 устанавливает связь показателей Ляпу
нова с функциями \ik(b) (при k = n утверждение леммы 5 представ
ляет собой известную формулу
1 4 1 2 в. м. м и л л и о н щ и к о в
Xi(6) = lim — In \\Х(т, Ь)\\
m - > o o fTl
(см. [ 6 ] , с. 1 7 0 — 1 7 1 , теорема 4 . 1 ) ) .
Л е м м а 5. При всяких b^Bf k&{l, п}
\ik{b) =Kn-k+i(b). ( 7 )
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Согласно определению показателей Л я пунова, воспроизведенному в начале этой статьи,
K-k+i{b) = min max l i m — l n | X ( m , b)%\, (8)
ReGh(Rn) teRk m w
ls/=i
где под Rn понимается слой p- 1( f e ) .
Воспользовавшись известным равенством
l i m am= l i m lim max am+u
m - > o o m-+oo q-yoo £G{0, 1, . . . . q}
(справедливым для всякой числовой последовательности { am} , „e N; в данном случае положим ат = — In \Х (m, Ь) £| при произвольных [фиксированных
т
b£B, l£Rn{\l\ = 1)), можем переписать формулу ( 8 ) в следующем виде:
K-k+i(b) =
= min max lim lim max — - — \ n \ X ( m + t , b)l\. ( 9 ) RkeGk(Rn) leRk m"> 0° q^°° *e->o.i m + t
II/—i
2 . С другой стороны, из формул ( 2 ) , ( 4 ) , ( 6 ) следует:
= lim Hm inf max max — - — l n | X ( m + /, b)l\. ( 1 0 )
m->oo ^ o o R k G R n ) tG{0,\ . . . . t
g}
leRk m + t3 . К а к видим, правые части формул ( 9 ) , ( 1 0 ) различаются поряд
ком, в котором применены к одному и тому ж е выражению операции взятия нижней грани, взятия верхней грани и перехода к пределу. Вооб
ще говоря, такие операции, как известно, не коммутируют; для доказа
тельства равенства правых частей формул ( 9 ) и ( 1 0 ) воспользуемся равномерностью некоторых оценок и монотонностью некоторых из вхо
дящих в эти формулы последовательностей.
4. В начале статьи, при воспроизведении определения показателей Ляпунова, было отмечено, что, как доказано Ляпуновым в [ 3 ] , m a x и min в формуле ( 8 ) существуют, т. е. соответствующие sup и inf дости
гаются; можно, правда, говорить о том, что Ляпунов не рассматривал морфизмов векторных расслоений, но для доказательства цитированных только что утверждений Ляпунова мы можем воспользоваться следую
щей тривиальной редукцией: зафиксировав произвольное ЬвВ, выберем в слое р~{(Ь) и при каждом mGN в слое р_ 1( х (т) ^ ) произвольный ортонормированный базис (ортонормированный в смысле той евклидо
вой структуры в этом слое, которая индуцирована фиксированной в на
чале статьи римановой метрикой векторного расслоения (Е9 р , В))\
выбрав ортонормированные базисы в слоях р~1(Ь) и p~[(%{tn)b) (mGN)
БЭРОВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА 1413 мы сопоставим каждому линейному отображению Х(т, Ь) : р_ 1( Ь ) - > - -+р-](х(т)Ь) матрицу (которой это отображение задается в выбран
ных базисах слоев р- 1( ^ ) и Р_ 1( х (т) ^ ) ) > после чего в формуле (8) можно заменить Х(т, Ь) соответствующей матрицей из п строк и п столбцов ^-столбцом из п вещественных чисел, а под Rn понимать векторное пространство таких столбцов, снабженное евклидовой струк
турой:
(I Л) = 2 1 W (где 1= col ( I1, . . . , ln), т | = col (л1, . . . , цп));
г=1
строго говоря, и после этой редукции остается некоторое отличие от ситуации, рассмотренной Ляпуновым в [3] (гл. 1, пп. 6—8), но это отличие только в том, что здесь «время дискретное», а у Ляпунова
«непрерывное», причем ситуация — одна из тех, где это отличие ника
ких нетривиальных изменений не вызывает. Подчеркнем, что приведен
ные в предыдущей фразе редукция и замечание о несущественности отличия случая дискретного времени от случая непрерывного времени обслуживают именно обсуждаемый вопрос (почему в формуле (8) мож
но было написать min, а не inf и max, а не s u p ) ; для решения этого вопроса нам оказалось достаточным для каждого фиксированного Ь выбрать ортонормированные базисы в слоях p~{(b), p~i(%{tn)b) (mGN) произвольным образом и не возникло никакой надобности заботиться о каких-нибудь свойствах зависимости этих базисов от Ь (или от т).
В дальнейшем изложении нам снова придется обращаться к той ж е редукции, но опять-таки только в тех ситуациях, когда можно выбирать соответствующие ортонормированные базисы произвольно.
5. Фиксируем произвольное £>GB; фиксируем произвольное
£ G { 1 , п}.
Пусть min в формуле (8) достигается в точке грассманова
RkeGk(Rn)
многообразия Gk(Rn). Тогда из формулы (8) следует, что для всякого
£GRk и для'всякого е > 0 найдется C8( £ ) G R+ такое, что для всякого mGN выполнено неравенство
\Х(т, b)l\^Ce(l) exp [(Xn-k+i(b)+г)т]. (11) Выберем в каждом из слоев p~l(b), p_ 1( x (m) ^ ) (mGN) векторного
расслоения ( £ , р , В) произвольный ортонормированный базис (орто
нормированный в смысле евклидовых структур, индуцированных на этих слоях фиксированной в начале статьи римановой метрикой вектор
ного расслоения ( £ , р , В)). Выбор этих базисов индуцирует при каж
дом mGN изоморфизм ф ( т , b) : p~i(%{tn)b)-+p-i(b) (имеется в виду изоморфизм слоев как евклидовых пространств). Рассмотрим для каж
дого mGN линейный оператор Y(т) : R ^ - ^ p- 1^ ) , определенный фор
мулой:
Y(m) = ехр[— (K-k+i(b) + 8)ml (P(m> b)XRk(m, b).
def 0
Поскольку ф ( т , b) при каждом mGN — изоморфизм слоев, как евкли
довых пространств, из формулы (11) имеем К ( т ) £ | < С8( £ ) .
Отсюда в силу теоремы Банаха — Штейнгауза (см. [ 6 ] , с. 21), приме
ненной к семейству линейных операторов {Y(т)}теы (или в силу хо
рошо известного рассуждения, использующего конечномерность про-
1414 в. м. миллионщиков
странства R * ) , следует, что для всякого е > 0 найдется C8GR+ такое, что \\Y(m) || ^ С е для всякого mGN.
Из этого утверждения и определения У ( т ) получаем (учитывая, что операторы cp(m, b) —изоморфизмы евклидовых пространств): для всякого е > 0 найдется C8GR+ такое, что
\\XRu (m, b)\\ < С8 exp [Xn_k+i (Ь) + е) т]
для всякого mGN.
Следовательно, для всякого е > 0 при всяком натуральном т ^
^ 8_ 11 п С& и всяком q£N справедливо неравенство
max — L in цх Л (т + U Ь)\ < K-u+t (Ь) + 2е, te{o,\,...,q}m + t о
откуда в силу формулы (2) получаем, что для всякого е > 0 при вся
ком натуральном т ^ е_ 11 п С8 и всяком gGN справедливо неравенство
|i<™. 9 ) ( 6 ) < Я п - л + 1 ( 6 ) + 2 е .
Отсюда в силу формулы ( 4 ) получаем: для всякого е > 0 при всяком натуральном т ^ е_ 11 п С8 справедливо неравенство
Из последнего утверждения в силу формулы (6) следует:
lLk(bXK-h+t(b). (12)
Напомним, что Ь£В и &G{1, я} были взяты в начале п. 5 произ
вольными; таким образом, формула (12) доказана для всяких 6GB,
£ G { l , . . . , n } .
6. Фиксируем произвольное &GB; фиксируем произвольное &G G{1, п). Фиксируем произвольное е > 0 .
а) И з формулы (6) следует, что найдется m8GN такое, что для вся
кого натурального m ^ me выполнено неравенство
\if>{b)<Mb)+*.
Зафиксируем какое-нибудь т8, обладающее указанным свойством.
б) И з леммы 1 и формулы ( 4 ) следует, что для всяких mGN, gGN ti(™> <D(b)^f){b).
в) И з результатов подпунктов а) и б) следует, что для всякого на
турального m ^ m8, для всякого gGN выполнено неравенство
|A<™. 9)(b)<|Xft(&)+8.
г) И з результата подпункта в) следует в силу формулы (2), что для всякого gGN найдется R^ G G ^ ( Rn) , где Rw = p-*(&), такое, что при всяком ^G{0, 1, q) выполнено неравенство
- In ||XR f e (m8 + U Щ < Н (Ь) + е.
т& + t mB tq
д) Из последовательности { R m ^ b e N (напомним, что те у нас зафикси
ровано и что R m8, ^ Gf e( R/ 2) , где Rn = p~i(b)) выберем сходящуюся подпо-
Б Э Р О В С К И Е К Л А С С Ы Ф У Н К Ц И Й И П О К А З А Т Е Л И Л Я П У Н О В А 1415 следовательность { Rm g, < / J /eN . Такой выбор возможен в силу того, что грассманово многообразие Gk(Rn) компактно (см. [1], с. 25). Обозначим предел этой подпоследовательности через R*. Из результата подпункта г) получаем следующий результат. При всяком /£{0} Q N выполнено сле
дующее:
1 \niXRk(me + t, ЭД| =
тг + t е
= lim In [I X k , (me + /, < \ik (b) + e.
*'->«> me + t m & 1
Подведем итог п. 6. Мы доказали, что для всяких b£By &G{1, п}
для всякого 8 > 0 найдется m8GN и найдется R ^ 6 Gf e( Rn) , где Rn =
=p~i(b), такие, что для всякого gGR^ (такого, что | | | = 1), для всякого /6(0} IJN выполнено неравенство
7. Из результата п. 6 вытекает следующее. Д л я всяких b£B, k(t б{1, я } , для всякого 8 > 0 найдется R ^ 6 G /L( Rn) (где Rn= p ~1( b ) ) такое, что для всякого ^6Rf e (такого, что | g | = l ) выполнено неравен
ство:
Tim — I n \Х(т, s £ и * т-+оо ПХ
Отсюда в силу формулы (8) вытекает следующее утверждение.
Д л я всяких ЬбВ, &G{1, я } , для всякого 8 > 0 выполнено нера
венство: Xn-h+i(b) ^\ik(b) + 8 . Следовательно,
K-w(b)^Mb) (13) при всяких 66В, &£{1, . . . , я } .
Объединением формул (12) и (13) заканчивается доказательство леммы 5.
Т е о р е м а 1. При всяком &G{1, . . . , я} функция %и(Ь) : £->-R есть бэровская функция второго класса.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение теоремы 1 непосредственно следует из лемм 4 и 5. Теорема 1 доказана.
Т е о р е м а 2. В пространстве В найдется всюду плотное множество С типа такое, что при каждом £ 6 { 1 , я} функция Xu(b) : C-^R непрерывна (через Kk(b) : C-^R обозначаем сужение (ограничение) функции %k(b) : 5 - > R на множество СаВ).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение теоремы 2 непосредственно вытекает из теоремы VI [5, с. 250] (см. изложенное на с. 162—164 той же книги [5]) в силу теоремы 1, доказанной выше. Теорема 2 доказана.
Т е о р е м а 3. В пространстве В найдется всюду плотное множест
во С типа G& такое, что при каждом &G{1, . . . , п} функция hi(b) : £>->R полунепрерывна сверху в каждой точке Ь£С.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде чем доказывать теорему 3, подчерк
нем, что в ее формулировке рассматриваются не сужения функций А А ( 6 ) на множество С, а сами функции ^ ( 6 ) : B-^R, и утверждается, что множество точек полунепрерывности сверху функций Kh(b). : B->R содержит множество С, причем С — всюду плотное множество типа G6 в В.
1416 в. м. миллионщиков
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы 3. При всяком йб{1, . . . , я } , при всяком mGN функция р^ш )(&) : fi->R — бэров- ская функция первого класса. Это непосредственно вытекает из л е м м ы 3 и формулы (4). Поэтому (см. [3], с. 240—242, 162—164) при каждом m£N и каждом &G{1, я} множество С£ точек непрерывности функ
ции \i^l){b) : B-^R есть множество типа Ge, всюду плотное в В.
Тогда С = П Ch — множество типа Ge, всюду плотное в В
def m€N
feG{l, п}
(см. [ 5 ] , с. 163), и к а ж д а я из функций \х^1ЦЬ) : (&G{1, я } , mGN) непрерывна в каждой точке &GC. Так как в силу формулы (6) и леммы 2 функция \ik(b) : B-^R (при всяком &G{1, я}) есть пре
дел монотонно невозрастающей последовательности функций \i^(b) : : 5->R, то в каждой точке 6GB, в которой всякая функция \iW(b) :
->R (&G{1, я } , mGN) непрерывна, всякая функция iik(b) : S - > R (&G{1, я}) полунепрерывна сверху (см. [ 5 ] , с. 237—238).
Итак, мы доказали существование в В всюду плотного множества С типа G6 такого, что при каждом &G{1, я} множество точек полу
непрерывности сверху функции Xk{b) : £ - > R содержит С. Теорема 3 доказана.
Л и т е р а т у р а
1. Х ь ю з м о л л е р Д. Расслоенные пространства.— М., Мир, 1970.
2. Б у р б а к и Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов.— М., Наука, 1975.
3. Л я п у н о в А. М. Собр. соч., т. 2.— М.—Л., 1956.
4. В a i r e R. Lemons sur les fonctions discontinues.— Gauthier—Villars, Paris, 1905.
5. Х а у с д о р ф Ф. Теория множеств.— M.—Л., ОНТИ, 1937.
6. Д а л е ц к и й Ю. Л., К р е й н М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.— М , Наука, 1970.
7. С т и н р о д Н. Топология косых произведений.— М., И Л , 1953.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Поступила в редакцию 31 марта 1980 г.
