(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Е. Ю. Арланова, Задача со смещением для уравнения Бицадзе–Лыкова, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.

Физ.-мат. науки, 2012, выпуск 4(29), 26–36 DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1103

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 01:40:22

(2)

УДК 517.956.326

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БИЦАДЗЕ—ЛЫКОВА

Е. Ю. Арланова

Самарский государственный технический университет, 443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail:earlanova@gmail.com

Рассмотрено уравнение Бицадзе—Лыкова. Для этого уравнения поставлена за- дача со смещением с операторами Кобера—Эрдейи и М. Сайго в краевом условии.

Исследованы вопросы единственности (неединственности) решения задачи при различных функциях и значениях констант, входящих в краевые условия. Сфор- мулирован и доказан ряд теорем.

Ключевые слова: уравнение Бицадзе—Лыкова, краевая задача, оператор Кобе- ра—Эрдейи, оператор М. Сайго, оператор Римана—Лиувилля, существование и единственность решения задачи.

Рассмотрим уравнение Бицадзе—Лыкова

y²uxx−uyy+aux= 0, |a|61, (1) в характеристической области D =

(x, y) : 0< x−y²/2< x+y²/2<1 , ограниченной интерваломJ = (0,1) и характеристиками данного уравнения AC =

(x, y) : x−y²/2 = 0, y60 и BC =

(x, y) : x+y²/2 = 1, y60 . Это уравнение, описывающее при a >0 процесс переноса влаги в капил- лярно-пористых средах, выведено в 1965 г. А. В. Лыковым методами термо- динамики необратимых процессов и с тех пор известно как уравнение вла- гопереноса [1]. Ранее в 1959 г. в монографии А. В. Бицадзе [2] это уравнение приводилось в качестве примера, для которого при |a| 6 1 корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на линиииy= 0параболиче- ского вырождения. В монографии А. М. Нахушева [3] уравнение приведено в качестве математической модели одномерного потокаu =u(x, t) биомассы микробной популяции и названо уравнением Бицадзе—Лыкова при любых значениях параметраa∈R.

Обозначим Θ0(x) = (x/2,−√

x) и Θ1(x) = (1 +x)/2,−√ 1−x

— точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из произвольной точ- киx ∈(0,1), с характеристиками AC иBC соответственно. Пусть I0+^α f

(x), I₁^α₋f

(x)— левосторонний и правосторонний операторы Римана—Лиувилля порядка α ∈ R [4]; (E₀₊^α,ηf)(x)— левосторонний оператор Кобера—Эрдейи в обозначениях, принятых в монографии [5];(I₁^α,β,η₋ f)(x)— правосторонний опе- ратор М. Сайго, введённый в [6]. Свойства этих операторов хорошо извест- ны [4, 5]

Для уравнения (1) при|a|<1 исследуем следующую краевую задачу.

Задача.Найти функциюu(x, y)∈C(D)∩C²(D),удовлетворяющую урав-

Екатерина Юрьевна Арланова(к.ф.-м.н.), старший преподаватель, каф. прикладной ма- тематики и информатики.

(3)

нению (1)при |a|<1 в области D и краевым условиям A(x)

E^α¹^,

a−3 4 −α1

0+ u[Θ0(t)]

(x)+

+B(x)

I^α²^,β²^,⁻^α²⁻

a+3 4

1− u[Θ1(t)]

(x) =C(x), (2)

u(x,0) =τ(x), (3)

где A²(x) +B²(x) 6= 0 для любых x ∈ J; A(x), B(x), C(x), τ(x)— заданные гладкие функции, на которые в дальнейшем будут наложены определенные дополнительные условия.

Задачи, подобные сформулированной, названные позднее «нелокальны- ми» или «со смещениями», начиная с работ [7–9] исследовались для различ- ных уравнений в частных производных многими авторами (см. обзор в [10]).

В подавляющем большинстве работ краевые условия содержали интегро- дифференциальные операторы Римана—Лиувилля, например, в работе [11].

В настоящей работе представлены некоторые результаты в направлении обоб- щения структуры нелокальных краевых условий.

Используя решение задачи Коши для уравнения влагопереноса при|a|<1 [12, с. 261]

u(x, y) = Γ ¹₂ Γ ¹⁻₄^a

Γ ^1+a₄ Z 1

0

τ

x+y²

2 (1−2t)

(1−t)

a−3

4 t⁻^a+3⁴ dt+

+y Γ ³₂ Γ ³⁻₄^a

Γ ^3+a₄ Z 1

0

ν

x+y²

2 (1−2t)

(1−t)^a⁻⁴¹ t⁻^a+1⁴ dt, вычислим значения u[Θ0(x)] иu[Θ1(x)]:

u[Θ0(x)] =k1

E

1−a 4 ,^a⁻₄³ 0+ τ(t)

(x) +k2√ x

E

3−a 4 ,^a⁻₄¹ 0+ ν(t)

(x),

u[Θ1(x)] =k3

I

1+a 4 ,0,−^a+3₄

1− τ(t)

(x) +k4

I

3−a 4 ,^a⁻₄¹ 1− ν(t)

(x), где

k1 = Γ ¹₂

Γ ¹⁺₄^a, k2 =− Γ ³₂

Γ ³⁺₄^a, k3= Γ ¹₂

Γ ¹⁻₄^a, k4 =− Γ ³₂ Γ ³⁻₄^a. Подставив u[Θ0(x)] иu[Θ1(x)]в краевое условие (2), получим

A(x)k2

E^α¹⁺

3−a

4 ,^a⁻₄³−α1

0+

√tν(t)

(x)+

+B(x)k4

I^α²⁺

a+3

4 ,β2−¹2,−α2−^a+34

1− ν(t)

(x) =f(x), (4)

(4)

где

f(x) =C(x)−A(x)k1

E^α¹⁺

1−a

4 ,^a⁻₄³−α1

0+ τ

(x)−

−B(x)k3

I^α²⁺

a+1

4 ,β2,−α2−^a+3₄

1− τ

(x).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть A(x), B(x), C(x) ∈ C¹(J); τ(x) ∈ C¹(J) ∩ C²(J), B(x)6= 0 для любых x ∈ J; α2 = −(a+ 3)/4, β2 = 1/2, α1 > (a−3)/4. То- гда решение задачи (1)–(3) существует и единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При выполнении условий теоремы 1 интегральное уравнение (4) примет вид

B(x)k4ν(x) +A(x)k2

E^α¹⁺

3−a

4 ,^a⁻₄³−α1

0+

√tν(t)

(x) =f1(x), (5) где

f1(x) =C(x)−A(x)k1

E^α¹⁺

1−a

4 ,^a⁻₄³−α1

0+ τ

(x)−B(x)k3

I⁻

1 2

1−τ

(x).

Так как α+ (1−a)/4 > 0, используя определение интегрального оператора E₀₊^α,ηf

(x), запишем уравнение (5) в виде ν(x) + A(x)k2

B(x)k4Γ α1+³⁻₄^a Z x

0

(x−t)^α¹⁻^a+1⁴ t^a+5⁴ ⁻^α¹ν(t)dt= f1(x) B(x)k4

. (6) Таким образом, вопрос об однозначной разрешимости задачи (1)–(3) эквива- лентно сводится к вопросу разрешимости уравнения (6).

Интегральное уравнение (6) есть интегральное уравнение Вольтерры вто- рого рода. Для доказательства разрешимости уравнения (6) выясним глад- кость правой частиf1(x).

Для удобства записи обозначим f1(x) =C(x)−A(x)k1I1(x)−B(x)k3I2(x), гдеI1(x) =

E^α¹⁺

1−a

4 ,^a⁻₄³−α1

0+ τ

(x)и I2(x) = I⁻

1 2

1−τ(t)

(x). Рассмотрим выра- жение

I1(x) =

E^α¹⁺

1−a

4 ,^a⁻₄³−α1

0+ τ

(x) =

=

√x Γ α1+¹⁻₄^a

Z x 0

(x−t)^α¹⁻^a+3⁴ t^a⁻⁴³⁻^α¹τ(t)dt.

Произведя замену переменнойt=xz, получим I1(x) = 1

Γ α1+¹⁻₄^a Z 1

0

(1−z)^α¹⁻^a+3⁴ z^a⁻⁴³⁻^α¹τ(xz)dz.

(5)

После несложных преобразований I2(x) можно записать так:

I2(x) = 1 Γ ³₂

Z 1 0

(1−x)¹²τ^′[(1−x)t+x]dt

√t−

− 1 2Γ ³₂

Z 1 0

(1−x)⁻¹²τ[(1−x)t+x]dt

√t. Учитывая свойства функций A(x),B(x) иC(x), явный видI1(x)и I2(x), можно заключить, что правая часть уравнения (5) f1(x)∈C²(J), при x= 0 ограничена, а при x = 1 она может обращаться в бесконечность порядка не выше 1/2.

Исследуем ядро

K(x, t) = A(x)

B(x)(x−t)^α¹⁻^a+1⁴ t^a+5⁴ ⁻^α¹.

На линии t = x ядро имеет особенность порядка α1 −(a+ 1)/4 > −1, в остальных точках квадрата 0 < x, t < 1 ядро дважды непрерывно диффе- ренцируемо, так как A(x), B(x)∈C¹(J),B(x)6= 0, α1 >(a−3)/4, функция f1(x) ∈ C²(J). Тогда исходя из теории интегральных уравнений Вольтер- ры [13, 14] можно утверждать, что данное уравнение имеет единственное ре- шение, откуда следует единственность решения данной задачи.

Теорема 2.ПустьA(x), B(x), C(x)∈C¹(J);τ(x)∈C¹(J)∩C²(J);A(x)6=

= 0 ∀x ∈ J; α1 = (a−3)/4, α2 > −(a+ 1)/4, 1/2 < β2 < 1. Тогда решение задачи (1)–(3)существует и единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При выполнении условий теоремы 2 интегральное уравнение (4) примет вид

A1(x)k2ν(x) +B(x)k4

I^α²⁺

a+3

4 , β2−¹2,−α2−^a+34

1− ν(t)

(x) =f2(x), (7) гдеf2(x) =C(x)−A1(x)k1

I⁻

1 2

0+τ

(x)−B(x)k3

I^α²⁺

a+1

4 , β2,−α2−^a+34

1− τ

(x), A1(x) =

=√

xA(x). Перепишем уравнение (7) следующим образом:

ν(x) + B(x)k4

A1(x)k2Γ α2+ ^a⁺³₄ ×

× Z 1

x

(t−x)^α²⁺^a⁻⁴¹(1−t)⁻(^α²^+β²⁺^a+14 )ν(t)dt= f2(x) A1(x)k2

. (8) Таким образом, вопрос об однозначной разрешимости задачи (1)–(3) эквива- лентно сводится к вопросу разрешимости уравнения (8).

Интегральное уравнение (8) — интегральное уравнение Вольтерры второ- го рода. Для доказательства разрешимости уравнения (8) выясним гладкость правой части f2(x).

Для удобства положим I3(x) =

I^α²⁺

a+1

4 , β2,−α2−^a+34

1− τ

(x), I4(x) = I⁻

1 2

0+τ(t) (x).

(6)

Тогда

f2(x) =C(x)−B(x)k3I3(x)−A1(x)k1I4(x).

Рассмотрим I3(x) =

I^α²⁺

a+1

4 , β2,−α2−^a+34

1− τ

(x) = (1−x)⁻(^α²^+β²⁺^a+14 ) Γ α2+^a⁺¹₄ ×

× Z 1

x

(t−x)^α²⁺^a⁻⁴³F

α2+β2+a+1 4 ,a+3

4 +α2;α2+a+1 4 ; t−x

1−x

τ(t)dt.

Применяя к гипергеометрической функции Гаусса формулу Больца [15]

F(a, b;c;z) = (1−z)^c⁻^a⁻^bF(c−a, c−b;c;z), получим

I3(x) =

√1−x Γ α2+ ^a⁺¹₄ ×

× Z 1

x

τ(t)(t−x)^α²⁺^a⁻⁴³(1−t)⁻^α²⁻^β²⁻^a+3⁴ F

−β2,−1

2;α2+a+1 4 ;t−x

1−x

dt.

После несложных преобразований I4(x) можно записать в виде I4(x) = 1

2Γ ³₂ Z 1

0

τ(xz)dz

√x√

1−z + 1 Γ ³₂

Z 1 0

√xτ^′(xz) dz

√1−z.

Учитывая свойства функций A(x),B(x) иC(x), явный видI3(x)и I4(x), можно заключить, что правая часть уравнения (7) f2(x) ∈ C²(J), причём при x = 0 она может обращаться в бесконечность порядка не выше 1/2, а приx= 1— в бесконечность порядка не выше β2.

Исследуем ядро

K(x, t) = B(x)

A(x)(t−x)^α²⁻^a+1⁴ (1−t)^α²⁺^β²⁺^a+1⁴ .

На линииt=xядро имеет особенность порядкаα2−(a+ 1)/4>−1, на линии t = 1— особенность порядка α2+β2+ (a+ 1)/4 > −1, в остальных точках квадрата 0 < x, t < 1 ядро дважды непрерывно дифференцируемо, так как A(x),B(x)∈C¹(J),A(x)6= 0,α2 >−(a+ 1)/4,1/2< β2<1, функцияf(x)∈

∈C²(J). Тогда исходя из теории интегральных уравнений Вольтерры [13, 14]

можно сделать вывод о том, что данное уравнение имеет единственное реше- ние, откуда следует единственность решения данной задачи.

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 α1 = (a−3)/4, α2 = −1/2, β2 = 1/2. Тогда решение задачи (1)–(3),вообще говоря,не единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.ПриC(x) = 0,τ(x) = 0интегральное уравнение (4) запишется в виде

ν(x) + B(x)k4

A1(x)k2

1 Γ ^a⁺¹₄

Z 1 x

(t−x)^a⁻⁴³(1−t)⁻^a+1⁴ ν(t)dt= 0. (9)

(7)

Положимν1(x) = (1−x)⁻^a+1⁴ ν(x). Тогда из уравнения (9) получим интеграль- ное уравнение Вольтерры третьего рода [16]

(1−x)^a+1⁴ ν1(x) + B(x)k4

A1(x)k2

1 Γ ^a⁺¹₄

Z 1 x

ν1(t)dt

(t−x)³⁻⁴^a = 0. (10) Пусть

B(x) =−A1(x)k2Γ (n+ 1) k4Γ n+³⁻₄^a . Тогда уравнение (10) примет вид

(1−x)^a+1⁴ ν1(x) +a^∗1

Z 1 x

ν1(t)dt (t−x)³⁻⁴^a = 0, где

a^∗₁ =− Γ(n+ 1) Γ ^a⁺¹₄

Γ n+³⁻₄^a.

Покажем, что ν(x) = (1 −x)ⁿ является ненулевым решением уравне- ния (9). Для этого подставляя выражение для ν(x) в уравнение (9), делая в интеграле замену переменныхt= 1−(1−x)z, используя определение бета- функции [15]

B(x, y) = Z 1

0

t^x⁻¹(1−t)^y⁻¹dt, Rex >0, Rey >0 и ее выражение через гамма-функции [15]

B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y), получим верное равенство

(1−x)ⁿ

"

1− Γ(n+ 1) Γ ^a⁺¹₄

Γ n+³^−a₄ ·Γ ^a+1₄

Γ n+³⁻₄^a Γ(n+ 1)

#

= 0.

Отсюда следует, что ν(x) = (1 −x)ⁿ при любых n удовлетворяет уравне- нию (9).

Теорема 4.Пустьα1= (a−3)/4,−(a+ 5)/4< α2 <−(a+ 3)/4, β2= 3/2, τ(x) = (1−x)^δτ1(x), δ > 3/2; A(x), B(x), C(x) ∈ C(J)∩C¹(J); A(x) 6= 0, B(x) 6= 0 ∀x ∈ J; τ1(x) ∈ C¹(J)∩C³(J). Тогда задача (1)–(3) имеет более одного решения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При выполнении условий теоремы интегральное уравнение (4) примет вид

ν(x) +a11(x) d dx

Z 1 x

ν(t)(t−x)^α²⁺^a+3⁴ (1−t)⁻(^α²⁺^a+74 )dt=f3(x), (11)

(8)

где

f3(x) = f2(x) A1(x)k2

, a11(x) = B(x)k4

A1(x)k2

1 Γ α2+^a+7₄ .

Покажем, что однородное уравнение, соответствующее (11), имеет нетри- виальное решение.

Запишем однородное уравнение (C(x) = 0,τ(x) = 0) в виде ν(x) +a11

d dx

Z 1 x

ν(t)(t−x)^α²⁺^a+3⁴ (1−t)⁻(^α²⁺^a+74 )dt= 0. (12) Введём новую неизвестную функцию

ϕ(x) =− Z x

1

(1−t)⁻(^α²⁺^a+74 )ν(t)

(t−x)⁻(^α²⁺^a+34 ) dt (13) и применим формулу обращения [4, с. 39]

f(x) =−sinπµ π

d dx

Z 1 x

F(t)dt (t−x)¹⁻^µ интегрального уравнения Абеля

Z 1 x

f(t)dt

(t−x)^µ =F(t), 0< µ <1, к уравнению (13). Получим

ν(x) =−sinπ − α2+ ^a⁺³₄

π (1−x)^α²⁺^a+7⁴ d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ =

= sinπ α2+^a+3₄

π (1−x)^α²⁺^a+7⁴ d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt

(t−x)^α²⁺^a+7⁴ . (14) Найдёмϕ(1). Производя в уравнении (13) замену переменныхt=1−(1−x)z, получим

ϕ(x) = Z 1

0

z⁻(^α²⁺^a+74 )(1−z)^α²⁺^a+3⁴ ν(1−(1−x)z)dz.

Тогда

ϕ(1) =ν(1)B

−α2−a+ 3

4 , α2+a+ 7 4

=

=ν(1)Γ −α2−^a+34

Γ α2+^a+7₄

Γ(1) =ν(1) π

sinπ α2+^a⁺⁷₄ 6= 0 (ν(1)6= 0).

(9)

Обозначим ϕ(1) =C1 6= 0. Если обозначить ψ(x) = d

dxϕ(x), (15)

то очевидно

ϕ(x) =C1− Z 1

x

ψ(z)dz. (16)

Подставляя (14) и (15) в (12), получим a11(x)ψ(x) +sinπ α2+^a⁺³₄

π (1−x)^α²⁺^a+7⁴ d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt

(t−x)^α²⁺^a+7⁴ = 0.

Найдём

d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ .

Сделаем замену переменныхt= 1−(1−x)zи продифференцируем:

d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt

(t−x)^α²⁺^a+7⁴ = d

dx(1−x)⁻(^α²⁺^a+34 )Z 1 0

ϕ(1−(1−x)z)dz (1−z)^α²⁺^a+7⁴ =

=

α2+a+ 3 4

(1−x)⁻(^α²⁺^a+74 )Z 1 0

ϕ(1−(1−x)z)dz (1−z)^α²⁺^a+7⁴ + + (1−x)⁻(^α²⁺^a+34 )Z 1

0

ϕ^′(1−(1−x)z)zdz (1−z)^α²⁺^a+7⁴ . Делая замену переменных z= (1−t)/(1−x) и учитывая (16), имеем

d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt

(t−x)^α²⁺^a+7⁴ =

α2+a+ 3 4

1 1−x

Z 1 x

ϕ(t)dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ +

+ 1

1−x Z 1

x

ϕ^′(t)(1−t)dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ =

α2+a+ 3 4

1 1−x

Z 1 x

C1dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ −

−

α2+a+ 3 4

1 1−x

Z 1 x

dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴

Z 1 t

ψ(z)dz+ 1 1−x

Z 1 x

ψ(t)(1−t)dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ . Рассмотрим интегралы

Z 1 x

(t−x)⁻(^α²⁺^a+74 )dt= (t−x)⁻(^α²⁺^a+34 )

− α2a+3 4

1

x

=−(1−x)⁻(^α²⁺^a+34 ) α2+^a+3₄ ,

Z 1 x

dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴

Z 1 t

ψ(z)dz= Z 1

x

ψ(z)dz Z z

x

(t−x)⁻(^α²⁺^a+74 )dt=

(10)

= Z 1

x

ψ(z)dz (t−x)⁻(^α²⁺^a+34 )

− α2+^a+3₄

z

x

=− 1

α2+ ^a+3₄ Z 1

x

ψ(t)(t−x)⁻(^α²⁺^a+34 )dt.

Тогда d dx

Z 1 x

ϕ(t)dt

(t−x)^α²⁺^a+7⁴ =−C1(1−x)⁻(^α²⁺^a+74 )+

+ 1

1−x Z 1

x

ψ(t)(t−x)⁻(^α²⁺^a+34 )dt+ 1 1−x

Z 1 x

ψ(t)(1−t)dt (t−x)^α²⁺^a+7⁴ =

=−C1(1−x)⁻(^α²⁺^a+74 ) +Z 1 x

ψ(t)(t−x)⁻(^α²⁺^a+74 )dt.

Итак, получено уравнение

a11(x)ψ(x) +sinπ α2+^a+3₄

π (1−x)^α²⁺^a+7⁴ Z 1

x

ψ(t)(t−x)⁻(^α²⁺^a+74 )dt=

=C1

sinπ α2+^a+3₄

π ,

или приB(x)6= 0

ψ(x) +a^∗11(x) Z 1

x

ψ(t)(t−x)⁻(^α²⁺^a+74 )dt=h(x), (17) где

a^∗11(x) = sinπ α2+^a⁺³₄

a11(x)π (1−x)^α²⁺^a+7⁴ , h(x) = C1sinπ α2+ ^a⁺³₄ a11(x)π (a11(x)6= 0).

Уравнение (17) — интегральное уравнение Вольтерры второго рода, для которого существует единственное решение. Отсюда следует, что исследо- ванная задача имеет неединственное решение.

Докажем существование решения задачи. Используя (17), имеем уравне- ние

ψ(x) +a^∗₁₁(x) Z 1

x

ψ(t)(t−x)⁻(^α²⁺^a+74 )dt=F(x), (18) гдеF(x) =h(x) +f3(x).

Учитывая условия теоремы 4, заметим, что правая часть (18)F(x)∈C(J).

В этом классе уравнение (18) имеет нетривиальное решениеψ(x). По найден- ному ψ(x) находится ν(x)а, следовательно, и u(x, y).

(11)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов с исследо- ванием тепло и массообмена // Инж.-физ. журн., 1965. Т. 9, № 3. С. 287–304; англ.

пер.:Luikov A. V.Application of the methods of thermodynamics of irreversible processes to the investigation of heat and mass transfer //J. Eng. Physics Thermophysics, 1965. Vol. 9, no. 3. Pp. 189–202.

2. Бицадзе А. В.Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 134 с.; англ.

пер.: Bitsadze A. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964.

xiii+160 pp.

3. Нахушев А. М. Уравнение математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

[Nakhushev A. M.Equations of mathematical biology. Moscow: Vyssh. Shk., 1995. 301 pp.]

4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного по- рядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.; англ.

пер.:Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I.Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. New York: Gordon & Breach, 1993. xxxvi+976 pp.

Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 с.

5. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 271 с.

[Nakhushev A. M.Fractional calculus and its applications. Moscow: Fizmatlit, 2003. 271 pp.]

6. Saigo M.A certain boundary value problem for the Euler–Darboux equation //Math. Japon, 1979. Vol. 24, no. 4. Pp. 377–385.

7. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными усло- виями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В сб.: Крае- вые задачи теории аналитических функций/ Уч¨eн. зап. Казан. гос. ун-та, Т. 122. Ка- зань: Изд-во Казанского ун-та, 1962. С. 3–16.[Zhegalov V. I.A boundary-value problem for an equation of mixed type with boundary conditions on both characteristics and with discontinuities on the transition curve / In:Boundary value problems in the theory of analytic functions/ Kazan. Gos. Univ. Uchen. Zap., 122. Kazan: Kazan University, 1962. Pp. 3–16].

8. Нахушев А. М.Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР, 1969. Т. 187, № 4. С. 736–739; англ. пер.: Nakhushev A. M.

A new boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation //Sov. Math., Dokl., 1969. Vol. 10. Pp. 935–938.

9. Нахушев А. М.О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и урав- нений смешанного типа //Диффер. уравн., 1969. Т. 5, № 1. С. 44–59. [Nakhushev A. M.

On Some Boundary Value Problems for Hyperbolic Equations and Equations of the Mixed Type //Differ. Uravn., 1969. Vol. 5, no. 1. Pp. 44–59].

10. Нахушев А. М.Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: На- ука, 2006. 287 с.[Nakhushev A. M.Problems with Shift for Partial Differential Equations.

Moscow: Nauka, 2006. 287 pp.]

11. Репин О. А., Кумыкова С. К.Нелокальная задача для уравнения Бицадзе–Лыкова //

Изв. вузов. Матем., 2010. № 3. С. 28–35; англ. пер.: Repin O. A., Kumykova S. K. A nonlocal problem for the Bitsadze-Lykov equation //Russian Math. (Iz. VUZ), 2010. Vol. 54, no. 3. Pp. 24–30.

12. Бицадзе А. В.Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

448 с.[Bitsadze A. V.Some classes of partial differential equations. Moscow: Nauka, 1981.

448 pp.]

13. Трикоми Ф.О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешан- ного типа / пер. с итал. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.; англ. пер.:Tricomi F.On linear partial differential equations of the second order of mixed type. Dayton: Brown University, 1948. 372 pp.

14. Килбас А. А. Интегральные уравнения: курс лекций. Минск: БГУ, 2005. 143 с.

[Kilbas A. A.Integral equations. A course of lectures. Minsk: BGU, 2005. 143 pp.]

(12)

15. Erd´elyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G.Higher transcendental functions.

Vol. I / ed. H. Bateman. New York – Toronto – London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функ- ции. В 3-х т. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973.

296 с.

16. Нахушев А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерры третьего рода // Диффер. уравн., 1974. Т. 10, № 1. С. 100–111.

[Nakhushev A. M.Inverse problems for degenerate equations and Volterra integral equations of the third kind //Differ. Uravn, 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 100–111].

Поступила в редакцию 05/VII/2012;

в окончательном варианте — 19/XI/2012.

MSC: 35L80; 35L20

THE PROBLEM WITH SHIFT FOR THE BITSADZE–LYKOV EQUATION

E. Yu. Arlanova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.

E-mail:earlanova@gmail.com

The Bitsadze-Lykov equation is considered. The problem with shift containing the Kober–Erd´elyi and M. Saigo operators in boundary condition is set for this equation.

The questions of uniqueness (ununiqueness) of this problem solution with different functions and constants in boundary condition are investigated. The number of theo- rems is formulated and proved.

Key words: Bitsadze–Lykov equation, boundary value problem, Kober–Erd´elyi operator, M. Saigo operator, Riemann–Liouville operator, existence and uniqueness of the problem solution.

Original article submitted 05/VII/2012;

revision submitted 19/XI/2012.

Ekaterina Yu. Arlanova(Ph. D. (Phys. & Math.)), Senior Teacher, Dept. of Applied Math-