Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. Ф. Красичков-Терновский, Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального операто- ра с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей, Матем. сб. , 1992, том 183, номер 1, 3–19
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
4 ноября 2022 г., 21:16:50
1992 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК 183, Л» 1
1992 г.
И. Ф. Красичков-Терновский
Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными
коэффициентами. II. Метод модулей
Ранее задача спектрального синтеза для подпространства W, инва- риантного относительно дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, была сведена к проверке обильности его аннуляторно- го подмодуля I = AnW. В настоящей статье свойство обильности рас- щепляется на две части — устойчивость и насыщенность. Последние свойства подвергаются систематическому исследованию.
Эта статья использует обозначения статьи [1].
§ 1. Основные понятия и описание результатов 1.1. Пусть:
я (г) = z« + fliz'"1 + . . . +a
q,
— многочлен степени q;
я = Dq + axD*-* + . . . + aqD°
q
— соответствующий дифференциальный оператор;
Q1 ( . . ., Qv — система выпуклых областей в С;
Н — Н (й)х х . . . X Н (Qv) — топологическое произведение' про- странств Н (О»), где Н (Qj) — пространство функций, голоморфных в Qit наделенное топологией компактной сходимости;
Р — пространство, ассоциированное с Q1 ( . . ., Qv (см. [1, п. 1.2]).
В [1] было установлено, что задача спектрального синтеза для под- пространства W d H, инвариантного относительно я (D), сводится к про- верке обильности аннуляторного подмодуля / = An W B C [я]-модуле Р.
В настоящей статье показывается, что свойство обильности расщепляется на два свойства — устойчивость и насыщенность. Устойчивость связана с алгебраическим аспектом задачи, насыщенность — с аналитическим аспектом. Определение устойчивости и насыщенности требует подго- товки.
1.2. Будем рассматривать Р как модуль над кольцом многочленов С [я]
[1, п. 1.2]. Подмодуль / ( Н е у с т о й ч и в н а д я-слоем А,, если спра- ведлива импликация
' n(z)-n(i) loc n(z)-n(k)
Заметим, что посылке этой импликации можно придать форму
где / {к) — локальный подмодуль, порождаемый / над кольцом Оя {I, п. 1.5]. Это можно сделать по той причине, что для любого я-слоя отличного от к, включение
я ( г ) - я (А.)
выполняется автоматически. ___
Подмодуль / у с т о й ч и в , если он устойчив над любым я-слоем к- Если замкнутый подмодуль / С Р устойчив над одним л-слоем, то он устойчив над любым другим (предложение 3.1). Поэтому проверку устой- чивости достаточно провести для одного фиксированного л-слоя.
1.3. Для описания свойства насыщенности нам потребуется понятие я-ранга подмодуля, (см. И, п. 3.2]).
Система элементов и<1\ . . ., u(lf> G О" (к) называется н е з а в и с и - м о й над кольцом О„ (к), если
2JciU('> = 0, СГ б Оя (%>, =#• с{ = 0, i = 1, . . ., к.
Система w(1) , . . ., u<fr> G 0V (С) — л-независима, если эта система не- аависима над каждым кольцом О„ (к). Для я-независимости системы
и( 1 ), . . ., uw достаточно, чтобы она была независима хотя бы над одним
кольцом On (к) (см. [1, следствие 2 предложения 3.2]).
Пусть / — некоторое множество в 0х (С), я-р а н г о м множества / (в обозначении л-Rank /) называется максимальное число элементов в я-не- зависимых системах и( 1 ) ,. . .,u( l c )G / . я-ранг не превосходит qvli, п. 3.2].
Для фиксированного я-слоя к множество / можно рассматривать как часть Ov (к), я-ранг / можно определить как максимальное число эле- ментов в я-независимых системах ц(1>, . . ., u(It> G J И, п. 3.2].
1.4. Символ г обозначает я-слой, содержащий точку z. У п о р я д о - ч е н и е м я-слоя 2 мы называем расположение его точек в виде после- довательности z0, . . ., Zy-x, в которой кратные точки повторяются столько раз, каковы их кратности. Упорядочим произвольным образом все слои г G С. Каждой v-функции и G Ov (С) сопоставим ду-вектор-столбец
п : = (u (z0), . . . . и (zg_x)), где и (zj) — v-вектор-столбец.
Для системы ц(1>, . . ., u№> G Ov (С) символ (M<D, . . ., M<R>) обозначает матрицу размера qv X к, составленную из столбцов м'1), . . ., м(|с). Символ
обозначает минор этой матрицы, выделяемый строками с номерами iu . . . . ifc, I < ГХ < . . . < ik < qv. Для / G Ov (С) символ
Ги« . . . / . . . u(fc)l
L'I . . . iP . . . ifc J (2) обозначает определитель (1), в котором />-й столбец заменен на столбец, состоящий из соответствующих компонент /, / 6 Ov (С). Напомним, что г0, . . ., zq-.x — элементы я-слоя г, содержащего z; поэтому, если все я- слои заранее упорядочены, то определители (1), (2) являются функциями 2»
Введем обозначение
II. 1Г Г] + - + I k *2 . .• **}\' ..... ]
Теперь мы можем сформулировать условие насыщенности множества / d С /* относительно элемента F £ P. J н а с ы щ е н о относительно F, если для любой окрестности нуля Г С ? я Ф ( О я( С ) справедлива и м п л и к а ц и я н а с ы щ е н н о с т и : выполнение неравенства
НС
"1и :::.. ]4,
для любого набора индексов il t . . ., ik, I ^ it < . . . •< ik <! qf и любой системы элементов и( 1 ), . . ., ц<*> £ J f) V влечет | Ф j <[ const.
Формулировка импликации насыщенности использует упорядочен- ность я-слоев. Однако в действительности импликация не зависит от этой упорядоченности (предложение 2.4). При специальном упорядочении я - слоев и v = 1 импликацию насыщенности можно упростить; именно, вместо того, чтобы перебирать все определители вида (1), (2) достаточно ограничиться рассмотрением этих определителей, соответствующих выбору строк с номерами ^ = 1, . . ., iK = к (предложение 4.2). Подмодуль / d P н а с ы щ е н , если он насыщен относительно любого элемента F <c P, F 6
]ос
6 / (символ 1ос см. [1, п. 1.51).
1.5. Главный результат статьи (теорема 3.1) гласит:
И н д и в и д у а л ь н а я т е о р е м а . Пусть I — замкнутый устой- чивый подмодуль С [г]-модуля Р и F 6 /. Для того чтобы F d I, необходимо
1ос
и достаточно, чтобы подмодуль I был насыщен относительно F.
Из этого утверждения следует
К р и т е р и й о б и л ь н о с т и . Для того чтобы замкнутый под- модуль I С [п]-модуля Р был обильным, необходимо и достаточно, чтобы подмодуль I был устойчив и насыщен.
Для случая я (г) = zq подобный результат был анонсирован в замет- ке [2]; доказательство содержится в заметке А. Б. Шишкина [3].
1.6. Для проверки устойчивости замкнутого подмодуля достаточно установить его устойчивость над одним я-слоем (предложение 3.1). Замы- кание устойчивого подмодуля — устойчивый подмодуль (предложение 3.2).
Пусть замкнутый подмодуль / порожден системой элементов и*1), . . . . . ., и( к ) 6 Р, т. е. представляет собой замыкание в Р линейных комбина- ций c&W + . . . + СциМ с коэффициентами с» £ С [я]. Если система
и{ 1 ), . . ., м(К) я-независима, то проверка устойчивости отпадает — такие
подмодули всегда устойчивы (предложение 3.3). В частности, главный подмодуль, т. е. замкнутый подмодуль, порожденный одним элементом,
всегда является устойчивым. Если же и( 1 ) , . . ., и(|с> — я-зависимая сис- тема, существует способ проверки устойчивости (предложение 3.5).
Доказательство перечисленных выше результатов основано на специ- альном топологическом модульном изоморфизме между С [я]-модулем Р и
•специальным С [zj-модулем 5° векторнозначных целых функций (см. п. 3.1).
Этот изоморфизм позволяет сводить задачу локального описания над коль- цом С [я] к уже изученной задаче локального описания над кольцом С [z].
§ 2. Инвариантность относительно модульных изоморфизмов 2.1. Пусть я (z) = zq + а^ч-1 + . . . + aq, л' (z) = zv +
+ • • . + « ? ' — многочлены. Рассмотрим я-симметричное множество G и я'-симметричное множество G' (см. [1, п. 1.3]). G и G' (я, я')-с о г л а- с о в а н ы, если существует множество U CZ С такое, что
G = я "1 {U), G' = л'-1 (£/).
Пусть G, G' — пара открытых (я, я ^-согласованных множеств. Рассмотрим кольца Оя (G) и ОЛ- (G'). Элементы <р 6 Оп (G), i|) 6 ОП' (G') представляют- ся соответственно в виде ф = $ » л, г | ) = г р о я , где ф, ip £ О (U). Это по- зволяет построить кольцевой изоморфизм %: Оп (G) —> ОП' (G'), который элементу <р = ф ° я ставит в соответствие элемент 1|з = ф о л ' . В частно- сти, х переводит многочлен 2 скпк в многочлен 2 А Я 'К. Пусть т,т' —целые положительные числа. Предположим, что для любой пары (я, я')-согла- сованных множеств G, G' существует отображение
XGG-. От (G) + О»' (С)
•со свойствами:
(a) XGG' ("l + «2) = 1GG' (Uy) + %GG' (U2),
(б) XGG- (Ф») = * (Ф) XGG' (и), Ф € О„ (G), w 6 Om (G), (в) Хте' ° rGff = rG'g'
g, g' — (я, я')-согласованная пара открытых множеств, g CZ G, g' d C G', a rog: Om (G) -> Om (g) — отображение сужения / - > / |g. Усло- вия (а), (б) означают, что XGG' — гомоморфизм О„ (С)-модуля От (G) в ОЛ' (С)-модуль От' (С). Совокупность % = {хсс} отображений для всех (я, я')-согласованных пар открытых множеств G, G' будем называть п у ч к о в ы м (я, я')-г о м о м о р ф и з м о м . Вместо XGG': Om (G) -к ->- От' (С) будем писать
Х: От (G) ^ Om' (G1).
Операция % допускает «поднятие» на локальные модули. Пусть X, %' — пара (я, я')-с о г л а с о в а н н ы х с л о е в , т. е. К — я "1 (и;), \' =
= я "1 (w), w 6 С. Рассмотрим О„ (Х)-модуль От (к) и О„- (Х')-модуль От' (к'). Определим отображение х-' От (к) -»- От> (к1) следующим обра- зом. Пусть й — росток в От (к), порождаемый элементом и б От (g)t где g — я-симметричная окрестность к. Рассмотрим образ v = x (")• Этот образ есть элемент От' (g'), где g' — я'-симметричная окрестность V»
(я, я ^-согласованная с g. Пусть v — росток из От' (к'), порождаемый v*
Нетрудно проверить, что соответствие й -> v есть модульный изоморфизм 0т (к) -*• 0т' (к'). Такое отображение можно построить для любой пары Я,, к' согласованных слоев. Таким образом, операция % определяет гомомор- физм пучка {От (к)} в пучок {От' (к')).
Пусть л, я ' , я " — многочлены степеней q, q', q" соответственно. Рас- смотрим два пучковых гомомрофизма
X' = UGG), г" = ha-G'),
где XGG-: От (G) ->• О™' (G'), G, G' - (л, я')-согласованы и %G>G<.
От' (G) -*• От" (G"), G', G" — (л', я")-согласованы.
(л, я')-согласованность G, G' и (я', я")-согласованность G', G" влекут (л, л")-согласованность G, G". Отображение
XGG" = tG'G* ° XGG-: От (G) - • От" (G")
есть модульный гомоморфизм Ол (б)-модуля От (G) в Ол- (С)-модуль Qm- (С). Отображения %GG" удовлетворяют условиям (а), (б), (в); по- этому совокупность х = {XGC} всех таких отображений есть пучковой (я, я*)-гомоморфизм. Операция х есть композиция операций %' и %", в обо- значении X = х' ° %"• Если все отображения %GG' — изоморфизмы (мо- номорфизмы, эпиморфизмы), то операция х = {XGG'} называется пуч- ковым (я, я')-изоморфизмом ((я, я')-мономорфизмом, (л, я ^-эпиморфиз- мом). В случае, когда % = {%GG'} — пучковой (я, я')-изоморфизм, есте- ственным образом определяется обратная операция
X"1 = {XS-G}, где XS'G = XGG'.
Ясно, что х х — пучковой (я', я)-изоморфизм.
2.2. Рассмотрим пучковой (л, я')-гомоморфизм %, определенный для пар (я, я')-согласованных открытых множеств G, G' гомоморфизмами
XGC: Om (G) -+ От' (С).
Операция % включает и локальные гомоморфизмы X: От (I) ->• От> (!'),
где к, к' — любая пара (л, я')-согласованных слоев.
П р е д л о ж е н и е 2.1. Если система и( 1 ), . . ., ц(К) 6 От (к) зави- сима над кольцом О„ (к), то система i/1), . . ., y<k>, где v^ = % (u^)t зависима над кольцом От' (к').
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть система и^>, . . ., ц<к> зависима над Оя(к), т. е. существуют си . . ., ск£ Ол (к), одновременно не равные нулю, такие, что
2 = о.
Подвергая это соотношение действию х. получим
%Сц**> = 0,
тде Cj = ч (с^) 6 ОП' {к'). Так как х: Ол (к) -*- О„' (к') — изоморфизм, то не все С\ нулевые. Это значит, что iAl\ . . ., «<*> зависимы над Оп (к'). • С л е д с т в и е 1. Пусть % — пучковой (л, п')-изоморфизм. Тогда для того чтобы система иЫ,..., м<*) £ От(к) была независима над коль-
цом On (к) необходимо и достаточно, чтобы, система itl\ . . ., v^ (j 6 От' {к'), где У(|> = х (u(l>)i была независима над кольцом 0Л> (к').
Определение л-ранга см. в п. 1.3.
С л е д с т в и е 2. Пусть % —пучковой (я, л')-изоморфизм, Id С О» (G), Г = х (Л С О"1' (С). Тогда
я-Rank / = я'-Rank /'. (1) Это утверждение непосредственно следует из следствия 1.
С л е д с т в и е 3. Пусть % — пучковой (я, п')-изоморфизм, q = deg я„
q' = deg я ' . Тогда mq = то'д'.
Д о к а з а т е л ь с т в о , я-ранг От (G) равен mq, а я'-ранг О"" (С) равен m'q' [1, в. 3.2]. Полагая в соотношении (1) I = Om (G), /' =
= Omt (С) = х (О" (G)), приходим к цели. •
2.3. Пусть пучковой (я, я')-гомоморфизм х отображает С [я]-модуль Р С От (С) в С [я1-модуль Р ' с О"1' (Q.
Рассмотрим подмодуль / в Р и его образ — подмодуль /' = X СО в ^'*
Определение обильности [1, п. 1.5] носит чисто алгебраический характер и переносится без изменений на рассматриваемые здесь подмодули.
П р е д л о ж е н и е 2.2. Пусть % — пучковой (я, п')-гомоморфизм,
р' = X СР). I' == X (Л. "'-Rank /' = я-Rank /. Тогда если подмодуль Г является обильным в Р', то подмодуль Г обилен в Р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть f £ P,f £ I. Нужно показать, что / 6 /.
1ос
Поскольку х — пучковой гомоморфизм, х переводит локальный подмо- дуль / (Я,), порожденный / над кольцом ОЛ (К) [1, п. 1.5], в локальный под- модуль /' (V), порождаемый /' над кольцом О„> (к1), где Я,, к' — (я, я')- согласованы. По этой причине /' = X (/) € X СО — Г• В силу обильности/'
1ос
заключаем, что /' £ / ' • Так как /' — образ /, то существует элемент <р 6 / такой, что х (ф) = /' — X (/)• Значит, / — ф = <р0, где х (фо) = °- Т а к к а к
/, -Ф 6 /, то и ф 6 /о- Пусть я-Rank / =• к. По условию я'-Rank /' = к.
1ос 1ос
Рассмотрим я'-независимую систему элементов i/1*, . . ., У(|£) € / ' (п. 1.3). Эта система является х-образом некоторой системы и( 1 ),. . .,ц< | г )6 6 /, которая, согласно предложению 2.1, является я-независимой. Пусть / (к) — локальный подмодуль, порождаемый / над кольцом Оп (к), я- ранг / (к) равен к. Поэтому любая система из к + 1 элементов из / (к) является я-зависимой; в частности, я-зависимой будет система ф0, и(1>, • • • . . ., и№ ). Таким образом, существуют элементы с0, еи . . ., ск £,Оп (k)t
одновременно не равные нулю, такие, что
софо + с&Ы + . • . + с»и<»> = 0. (2) В этом соотношении св Ф 0, ибо в противном случае система и( 1 ), . . ., u(l£>
была бы я-эависимой. Действуя на (2) операцией %, получим
ClVW + . . . + £><»> = 0, (3) где Cj = х (с4> 6 ОЛ' (к'). Здесь мы учитываем, что % (с0, ф0) = х (с0) % (ф0) =
= 0. В силу я-независимостн i^1*, • . ., f(k) из соотношения (3) следует, что С'и • • •« Сп = 0% а значат, и си . . ., с» = 0. Из (2) теперь следует, что
— 0» атак как с0 Ф О, то ф0 = 0. Тем самым доказано, что / = <р € / • С л е д с т в и е . Пусть % — пучковой (я, л')-изоморфизм, Р' = % (Р), Г = % (/). Для того чтобы подмодуль I был обилен в Р, необходимо и до- статочно, чтобы Г был обилен в Р'.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По следствию 2 предложения 2.1 я ' - Rank /' = я-Rank /. Остается применить предложение 2.2. •
2.4. Для различения устойчивости относительно я и я ' будем исполь- зовать термины «я-устойчивость» и «я'-устойчивость».
П р е д л о ж е н и е 2.3. Пусть % — пучковой (я, л')-изоморфизм, Р' = X (Р)* I' — X (^)- Подмодуль I л-устойчив тогда и только тогда, когда подмодуль Г л'-устойчив.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть / — устойчивый подмодуль. Нужно доказать, что Г я'-устойчив. Фиксируем (я, я ^-согласованные слои Я»
Г, w = n (Я) = я ' (V). Пусть /' 6 /', /'/(я' - w) 6 /'. Покажем, что
1ос
]'/{п' — ш) € / ' • Полагаемv = / 7 ( п ' — w). Ясно, что D f / ' и ( я ' — w) v =
loc
= /'. Действуя на это соотношение операций х"1, получим (я — w) и = />
где / = х1 (/') € Л м = х1 (^) € /• Таким образом, имеем / 6 / и //(я - w) 6 /.
loc
По условию / я-устойчив, поэтому //(я — w) (• I или (я — w) и = /, где и £ I. Действуя операцией х> получим (я' — м;) У = /', где v 6 /', или f 1(л' — и) 6 /', что и требовалось, я-устойчивость' / выводится из я'-устой- чивости /' симметричным образом. •
2.5. В дальнейшем будем предполагать, что С [я]-модуль Р CI Ov (С) наделен локально выпуклой топологией, согласованной с модульной струк- турой (т. е. операции сложения и умножения на многочлен — непрерывны).
Исследуем понятие насыщенности (см. п. 1.4).
Пусть / — подмодуль модуля Р ранга к. Известно, что к^1 [1, л. 3.2]. Пусть / 6 Р- Рассмотрим непрерывную полунорму р на Р и со- ответствующую окрестность нуля
F = { u 6 P : p ( u ) < 1}.
Положим
р (Я,, /) = inf {1 + 2 | Ci (I) |}, (4) тде infinum берется по всевозможным локальным представлениям
2
я(х). (5)
'X — я-слой, содержащий X; и^\ . . ., uW — я-независимая система эле- ментов из /, р (u(i)) ^ 1 (если представление (5) не существует, полагаем
•р (к, /) = оо). Сравним следующие две импликации.
И м п л и к а ц и я 1. Выполнение неравенств
И 1Гм
(1> • . . й
( 1 (>11 1 Г
й ( 1 )• • •
( 6 )
9
Ф € 0„ (С), при любых iu . . . iR, 0 < ix < . . . < ik < qv и u^\ . . ., u<*> 6 (: I f] V влечет Ф = const (предполагается, что все п-слои каким либо образом упорядочены).
И м п л и к а ц и я 2.
Ф € 0л (С), | Ф (Л) | < р (Л, /) V* € С =* Ф =з const. (7) П р е д л о ж е н и е 2.4. Импликации 1 и 2 эквивалентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно установить равносильность по- сылок импликации 1 и 2 для фиксированной непрерывной полунормы р и соответствующей окрестности V. В посылке импликации 1 зависимыми системами можно пренебречь, ибо определители
. . .
L . . . I. J (8)
для таких систем тождественно равны нулю [1, предложение 3.2]. Для я-независимых систем ц(1>, . . ., ы(к) коэффициенты cv, . . ., ck в представ- лении (5) вычисляются по правилу Крамера: ср = Ар/А, где А — любой определитель вида (8), отличный от тождественного нуля, а
Заметив, что р (и) -^ 1 4=> и € V, имеем
где infinum берется по всем я-независимым системам и^х\ . . ., и^ б /, ц(0 g у. Таким образом, неравенство (7) эквивалентно совокупности не- равенств (6). Это и требовалось доказать. •
Предложение 2.4 позволяет сформулировать определение насыщен- ности (п. 1.4) в другой форме. Подмодуль I CZ Р н а с ы щ е н относи- тельно элемента / 6 Р, если для любой непрерывной полунормы р спра- ведлива импликация:
Ф 6 Ол (С), | Ф (К) | < р (к, /) =Ф Ф = const.
Между прочим, отсюда следует, что определение насыщенности в п. 1.4 не зависит от упорядочения я-слоев.
Теперь предположим, что и С Iя']-модуль Р' = ^ (Р) наделен локаль- но-выпуклой топологией, согласованной с модульной структурой Р', а х: Р -*• Р' е с т ь топологический изоморфизм С [я]-модуля Р на С [я']- модуль Р'. Для различия насыщенности в модулях Р и Р' используем термины «я-насыщенность» и «я'-насыщенность».
П р е д л о ж е н и е 2.5. Подмодуль I d P п-насыщен относитель- но f тогда и только тогда, когда подмодуль Г = % (I) d P' п-насыщен относительно /' = % (Р).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть /' я'-насыщен относительно /'. До- кажем, что / я-насыщен относительно /. Прежде всего отметим, что по следствию 2 предложения 2.1 я = Rank / = я'-Rank /'. Пусть р — непрерывная полунорма на Р. Рассмотрим посылку (7) импликации 2Г где р определяется по формуле (4). Запишем Ф в виде Ф (к) — Ф (л (к))г
10
где Ф 6 О (С). Нужно показать, что Ф — константа. Пусть р' — непре- рывная полунорма на Р', определяемая соотношением р' (v) = p (и),
v = X (")• Фиксируем пару к, к' (л, я ^-согласованных слоев: к = я""1 (w), к' = л ' "1 (w), шб С. Рассмотрим какое-либо локальное представление (5), где и(1>, . . ., u,W — л-независимая система. Действуя на обе части (5) операцией %, получим локальное представление
/' = 2 < > \ c'i б Оп, (к1), (9) где i^O = х (w(1>) 6/', Ci = x (Ci). По следствию 1 предложения 2.1 система t>(1), . . ., 1/к> является я'-независимой. Кроме того, р' (у('>) = р (и<'>) <! 1»
i = 1, . . ., к. Теперь заметим, что с{ (к) = c'i {к') при к 6 к, к' 6 ^', а сово- купность локальных представлений для /', получаемых из представлений {5) с помощью операции %, совпадают с совокупностью в с е х представ- лений (9), где у(1), . . ., У(1С) я-независимые системы элементов из / ' , р' (v<'>) <! 1. Из вышеизложенного следует р (к, /) = р' (к', /'). Учитывая, что я (к) = л ' (к') при к б к, к' б к', перепишем неравенство (7) в виде
I Ф (я' (к')) | < р' (к', /).
В силу произвола в выборе (я, я')-согласованной пары слоев к и к', не- равенство справедливо для любого к' б С. Поскольку по условию подмо- дуль /' я'-насыщен относительно /', закюлчаем, что Ф = const. Дока- зательство обратного утверждения аналогично. •
2.6. Локально выпуклое пространство Р d Om (С) назовем р а в н о - м е р н о я-устойчивым, если для любой окрестности нуля V CZ Р суще- ствует окрестность нуля U CZ P такая, что
feu,
n-w\f=*
1^—(.v. 6
П р е д л о ж е н и е 2.6. Для того чтобы пространство Р было рав- номерно п-устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы было равномерно, я'-устойчивым пространство Р' — % (Р).
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть V — окрестность нуля в Р'. Нужно показать, что существует окрестность нуля V d P' такая, что
Пусть V = х1 (У)- Поскольку х — топологический изоморфизм, V —
•окрестность нуля в Р. По условию, существует окрестность нуля U а Р такая, что справедлива импликация (10). Операция % переводит эту импли- кацию в импликацию (11). Д о с т а т о ч н о с т ь доказывается анало- гично. •
§ 3. Обильность и устойчивость
3.1. О б и л ь н о с т ь . Пусть Q = {Qlt . . ., Qv} — система выпук- лых областей, Р — пространство, ассоциированное с Q. Известно, что пространство Р является равномерно устойчивым [4, § 2]: для любой окрестности нуля V С Р существует окрестность нуля U d P такая, что
11
Это влечет равномерную я-устойчивость пространства Р (см. п. 2.6).
В дальнейшем Р наделяется структурой С [я]-модуля.
Рассмотрим операцию Хя (см. [1, п. 3.1]). Пусть я0 (z) == z. Для лю-
<>ой пары (я0, я)-согласованных открытых множеств g, G отображение
Х: 0«v (g) -> Ov (G) (1)
•элемент У = (f0, . . ., i>g-i), i>i € #v (g), переводит в элемент
q-l
21
Хя — модульный изоморфизм С [zl-модуля O*v (g) на С [zj-модуль Ov (G) It, предложение 3.1]. Совокупность отображений (1) определяет пучковой (л0, п)-изоморфизм, к которому применимы все результаты § 2. Пусть З1 — образ Р относительно х*1- Очевидно, 9^ d <?«v (С). В силу свойств операции Хя № обладает структурой С [г]-модуля и Хя1; Р ->- 5s — мо- дульный изоморфизм. Наделим № топологией, индуцированной иэ Р отображением хй1- Согласно предложению 2.6, 3* является равномерно устойчивым пространством. Операция Хя1 сводит все вопросы локального описания в С [я]-модуле Р к аналогичным вопросам, относящимся к С [z\- модулю 3s,
Т е о р е м а 3.1 (индивидуальная). Пусть I — замкнутый устой- чивый подмодуль С [л]-модуля Р и f £ Р, f £ I. Для того чтобы / 6 I, не-
1ос
обходимо и достаточно, чтобы I был насыщен относительно /.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть J = Хя1 СО» F — Хя1 (/)• Соот- ношение / 6 / равносильно соотношению f f J . В силу предложения 2.3
1ос 1ос
я-устойчивость / равносильна я0-устойчивости У и, наконец, в силу пред- ложения 2.5 я-насыщенность / относительно / равносильна яо-насыщен- ности J относительно F. Для С [г]-модулей, удовлетворяющих условию равномерной устойчивости, индивидуальная теорема была доказана в статье [5]. Применяя эту теорему к подмодулю J и элементу F 6 Cf,
loc
получаем эквивалентность: F 6 У =$• «3 насыщен относительно F».
Операция Хя переводит эту эквивалентность в утверждение теоремы. • Из теоремы 3.1 следует
Т е о р е м а 3.2 (критерий обильности). Пусть I — замкнутый под- модуль С [л]-модуля Р. Для того чтобы I был обильным, необходимо и
достаточно, чтобы I был устойчив и насыщен.
3.2. У с т о й ч и в о с т ь . Устойчивость достаточно проверять над одним слоем.
П р е д л о ж е н и е 3.1. Если замкнутый подмодуль I С [л]-модуля Р устойчив над фиксированным п-слоем X, то I устойчив над любым п-слоемг т. е. I п-устойчив.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 3* = Хя1 (Р), У — Хя1 (^). wo = n (Яо).
У является замкнутым подмодулем С [г]-модуля £Р, причем 5й — равно- мерно устойчив (предложение 2.6). Согласно предложению 2.3 устой- чивость / над л-слоем К влечет устойчивость У в точке w0. По предложе- нию 4.2 работы [6] устойчивость У в точке w& влечет устойчивость У в лю-
12
бой другой точке w 6 С. Снова привлекая предложение 2.3, получаем, что / устойчив над любым л-слоем. •
П р е д л о ж е н и е 3.2. Замыкание устойчивого подмодуля I С [л]- модуля Р — устойчивый подмодуль.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно воспользоваться изоморфизмом Хл^ & —> Р, предложением 2.3 и предложением 4.6 работы [6]. •
П р е д л о ж е н и е 3.3. Подмодуль I С [л]-модуля Р, порожденный п-независимой системой и(1>, . . ., u(It> 6 Р, (см. п. 1.6) является п-устой- чивым.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть i>(l) = хй* ("(1\ • • -, У№) = %п (uW) и J — подмодуль, порождаемый 1^г>,. . ., I / ^ B S5 = Хя1^). Легко видеть, что J = хй1 (!)• По следствию 1 предложения 2.1 независимость и^>, . . ., ц<к> над кольцом Оя (1) равносильна независимости v^, . . . . . ., u<l£> над O(w), где и; = я (Я,). По предложению 4.7 работы [6] под- модуль J С Ы-модуля 5й является устойчивым. По предложению 2.3 будет л-устойчивым подмодуль I d P- •
С л е д с т в и е . Главный подмодуль, т. е. подмодуль, порожденный одним элементом, всегда является устойчивым.
Рассмотрим систему /<г), . . ., /(|£) устойчивых подмодулей С [л1- модуля Р. Подмодуль / С [л]-модуля Р п о р о ж д а е т с я /(1>, . . ., JW, если / есть замыкание в топологии Р элементов вида с ^1) + • • • + ски^\
ц(0 g /(«)t a € С [л]. Нас интересует вопрос, когда / — устойчивый под- модуль. Фиксируем простой я-слой X (т. е. слой, не содержащий кратных точек), а обозначает функцию, заданную на слое К со значениями в Cv. Функцию а: X ->• Cv назовем д о п у с т и м о й относительно подмодуля J а Р. если существует элемент и 6 / такой, что а (X,) = и (к) УХ 6 X.
Рассмотрим набор а*1', . . . , а<|с> функций X -*• Cv, допустимых относи- тельно подмодулей /( 1 ), . . ., /<|с) соответственно. Положим
Т (Ф\ . . . . о»); X) = {и = и«»> + . . . + и"1); и<0 6 I{i), "( i ) (Л) = - а«> (X) УЯ 6 X}.
П р е д л о ж е н и е 3.4. Пусть /(1>, . . ., /<|с> — устойчивые подмо- дули С [я]-лм%ля /» ц я-Ind^ /«> = . . . = л-Ind^ /<R> = 0 (см. [1, п. 3.3]). Для того чтобы подмодуль I, порождаемый /<х>, . . ., /<к>, был устойчив, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для лю- бого набора а(1>, . . ., а(*> а<х> + . . . + а<"> = 0, функций сц: Л - * С , допустимых относительно /( 1\ . . ., /( | с ) соответственно, замыкание
Т (а( 1 ), . . ., о< к ); X) в топологии Р содержит нулевой элемент.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 9 = Хя1 (Р), J = X*1 (/), ^( 0 =
— Хя1 (^(1)). 1 = 1, • • -1 к. Поскольку Хл: Р -*• & — топологический модульный изоморфизм, Cf — замкнутый подмодуль С [zl-модуля &>, по- рожденный устойчивыми подмодулями Jw, . . ., CJ&K
Пусть w0 •= я (Я). Из определения я-индекса {1, п. 3.3) следует, что J = 0.
Преобразование xii1 переводит множестве Т (а<г>, . . ., а<*>; X) в множество
v
(i> И = P
(l)>.
13
Здесь символ В обозначает «функцию» на одноточечном л0-слое {ш0} со значениями в Cv«, т. е. р* представляется в виде вектора В = ( в0, . . ., 6,-0, где Pi — v-вектор с комплексными координатами. При этом а и В связаны соотношением
а(К)=^Щр VX.GX. (2)
Так как для простого я-слоя определитель Вандермонда
1 К . . . &Г
1(3) 1 Я.д-1 . . . "kq-l
отличен от нуля, то векторы 6<к> определяются по а(*> однозначно. По той же причине соотношение aw + . . . + a( k ) = 0 влечет соотношение В^ + • • • + Р*(К) = 0. Мы оказываемся в условиях предложения 4.8 работы [6]; именно, подмодуль С/ С 9*, порожденный Jw , . . ., J(lt>, является устойчивым в точке и;0 тогда и только тогда, когда замыкание Т (В*1*, . . ., B<ft>; w0) в топологии 5s содержит нулевой элемент. Остается заметить, что с одной стороны включения
о е т(ви\ . . . , р<*>;
Wo), о е т ( a w , . . . , «<w
;x)
эквивалентны, а с другой, по предположению 2.3 устойчивость С/ в точке w0 равносильна устойчивости / над я-слоем X, что в силу предложения 3.1 равносильно устойчивости /. •
Пусть замкнутый подмодуль / С [л]-модуля Р порожден системой g(1\ . . ., g(R) элементов из Р. Фиксируем простой я-слой Я,, для которого
я-Indjj- gW = . . . = л-Ind^ gW = л-Ind^ (£<*>, . . ., gW) = 0. - Положим
А (Г) : = {а = (ах ak): algw (X) + . . . + akgW (X) = 0 VX € X}.
П р е д л о ж е н и е 3.5. Для того чтобы замкнутый подмодуль 1 С [п]-модуля Р, порожденный системой £<*>, . . ., gM, был устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого вектора а = (ах, . . ., ак) 6 6 4 (Я,) существовали обобщенные последовательности многочленов {рхо}, . . .
о* G 2 , из С [я] такие, что
1) />1<J Ф ) = «1. • • •. PH0 W = «к.
2) Ркт^1) + . . • + рмв»> -> 0 в топологии Р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть /<г>, . . ., /№ — подмодули в Р, по- рожденные g*1), . . ., gW соответственно. Согласно предложению 3.3, каждый подмодуль /<*>, i = 1, . . ., к, является устойчивым. Подмодуль/, порожденный g<x> , . . ., g(k>, очевидно совпадает с подмодулем, порожден- ным /W, . . ., /W. Поэтому доказательство сводится к интерпретации условий 1), 2) в терминах предложения 3.4. Элементы подмодуля /('>
представляются в виде ц>^1\ где <р 6 0Я (Q* Поэтому совокупность функ- ций а: X -*• Cv, допустимых относительно /(i>, исчерпывается функциями вида а (X) =•• ag^ (Я,); Я. 6 Я, a 6 С.
14
Рассмотрим теперь набор а( 1 ), . . ., а(к> функций к —> С, допустимых относительно /( 1\ . . ., /(1с). Представим эти функции в виде a( i ) (к) =
— а^1* (к), . . ., a(n> (к) = akg(lt> (Я,). Сравним множества
Т : = Т (aW a<fr>; X) = {и = u<»> + . . . + "( I ( ): u« = /( i ), u«>(X)=a«(X) VA.6U,
Го : = Го (al t . . ., ak; X) = {u = p1^1> + . . . + ;>*«<*>: JB, € С[я1, P i (Г) =
= a,}.
Любой элемент и f. /(i> аппроксимируется в топологии Р обобщенной последовательностью Pag^'K <* € 2 , где ря f С [л]. В силу соотношения (2) и того факта, что определитель (3) для простого я-слоя отличен от нуля, условие я-Indj^ = 0 равносильно тому, что функция к-*- g (к), к 6 к, не нулевая. Поэтому, если и = ag и обобщенная последовательность pag, а 6 2, ра 6 С [я], стремится к ц в топологии Р, то р„ (Я,) -*- a Vk 6 Я,. Это позволяет путем умножения многочленов ра на подходящие числовые мно- жители добиться того, чтобы ра (к) — а. Отсюда нетрудно вывести, что Т CI То. Вместе с очевидным включением То d Т это дает Т = То. Теперь заметим, что включение а = (ах, . . ., ак) б А (к) равносильно тому, что
а( 1 ) + . . . + а(|£) — 0, где а* (к) = а{#('> (А,), а условия 1), 2) предложе-
ния 3.5 равносильны включению Го Э 0 или, что то же самое, включению Т Э 0. Применение предложения 3.4 приводит к цели. •
§ 4. Насыщенность
4.1. Ц и к л и ч е с к и е б и г о л о м о р ф и з м ы . Наша цель — упростить определение насыщенности. Упрощение достигается специаль- ным упорядочением л-слоев, при котором проверка импликации насыщен- ности (п. 1.4) сводится к перебору определителей вида (1), (2) § 1, соот- ветствующих выбору индексов it = 1, . . ., ik = к.
Пусть Со обозначает комплексную плоскость, из которой выброшены критические точки отображения я : С —> С [1, п. 1.3], а С , — комплексная плоскость, из которой удалены я-слои над критическими точками. Отоб- ражение я : CL -У Со определяемое многочленом я , можем рассматривать как л-листное безграничное неразветвленное накрытие [7, гл. 1]. Рассмот- рим фундаментальную группу яг (Со). Каждый гомотопический класс Г 6 Л-! (Со) определяет послойный биголоморфизм ©г: Ci~*- Ct [7, гл. 1].
Действие этого биголоморфизма на фиксированном я-слое к = (кв, . . . . . ., kq-i) описывается следующим образом [8, гл. II, § 4]. Рассмотрим замкнутый путь у из класса Г, исходящий из точки w0 — я (X). Пусть при обходе пути у точкой w корень zk (ц;) уравнения я (z) — w = 0 непре- рывно меняется от начального значения А.к = zk (coo) 6 Я, до конечного зна- чения Я.; £ Я,. Тогда (Ог (кк) = Я.|к. Аналогичным образом описывается действие на других слоях. Если rl t Га — два гомотопических класса из я1(С0), то сог.ог, = tor, ° WJV Поэтому совокупность биголоморфизмов {о>г} Г 6 ях (Со) образует группу, гомоморфную ях (Со). Эта группа обо- значается Deck^Ci/я) и называется накрывающей группой накрытия я : 15
Ci -* Co. Биголоморфизм ш 6 Deck (С,/я) назовем ц и к л и ч е с к и м , вела он порождает циклическую группу порядка q: <ш> = {ш°, <о\ . . . . . ., «в9"1}. Известно [9, гл. 4], что в этой ситуации каждый я-слой i c Q можно упорядочить таким образом' (г = (г0, . . ., zq-i)), что ю действует на z как циклическая перестановка (г„, . . ., zq-t) -*• (г1( . . ., zg_x, z0).
Например, можно взять любой элемент 2 , ( 1 и положить z0 — w° (z0), zs = со (г0), . . ., % = to?"1 (z0). Примером циклического бнголоморфизма может служить отображение сог„ где Го — гомотопический класс замкну- тых путей Y С Сб, однократно обходящих всю совокупность критических точек против часовой стрелки. Отображение ©г, соответствует переходу от одного листа n-листной римановой поверхности Л функции я "1 на сле- дующий лист.
4.2. я-н е з а в и с и м о с т ь . В случае v = 1 и наличии циклического послойного биголоморфизма со: С1 —*• Сх при проверке я-независимости системы! м(1>, . . ., u<k) нет необходимости вычислять все миноры к-то по- рядка матрицы (й(1> , . . ., й(1с)). Для элементов иа\ . . ., и(к> 6 О (С) символ
обозначает определитель
(z)) o*-i(z)) Этот определитель представляет собой функцию z 6 С.
П р е д л о ж е н и е 4.1. Пусть и: Сх —*• Сх — циклический послой- ный биголоморфизм. Для того чтобы система и*1), . . ., и<я>6 О (С) была п-независима, необходимой достаточно, чтобы определитель (1) был от- личен от тождественного нуля.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем доказывать эквивалентное утверж- дение: зависимость м(1\ . . ., м(|с) над Оя (^) равносильна тому, что опре- делитель (1) есть тождественный нуль (по z 6 Сх). Необходимость этого условия для л-зависимости и(1>, . . ., u<R) следует из предложения 3.2 в [1].
Будем доказывать достаточность этого условия. Пусть р — наибольшее целое число, для которого
(1) и(Р) 1
°* (2)
Очевидно, р •< /с. Рассмотрим (р + 1)-функцюо и (z) = (u(1> (z), . . . . . ., м^+1> (z)). Строки матрицы (йМ . . . й<*+1>) (см. п. 1.4) представля- ются в виде и (z0), . . ., и (zg^), где z{ = w* (z), i = 0, . . . , ? — 1.В силу того, что
(р -f- 1)-я строка матрицы (u<J> . . . ы*+1) выражается через первые р строк этой матрацы
U{ZP)= SCJOM(ZJ), (3)
j=o 10
