С. И. Окрут, Кэлеров аналог скрещенного произведения в целом, Сиб. матем. журн., 1998, том 39, номер 1, 112–

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. И. Окрут, Кэлеров аналог скрещенного произведения в целом, Сиб. матем. журн., 1998, том 39, номер 1, 112–

120

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

4 ноября 2022 г., 21:17:06

УДК 514.76

КЭЛЕРОВ АНАЛОГ СКРЕЩЕННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В ЦЕЛОМ

С. И. Окрут

Введение

Д л я р и м а н о в ы х многообразий имеется простая, но в е с ь м а эффек­

т и в н а я в п о л у ч е н и и новых римановых м е т р и к операция. Э т о опера­

ц и я скрещенного п р о и з в е д е н и я , подробно р а с с м а т р и в а е м а я , н а п р и м е р , в [1, г л . 9]. Р и м а н о в о многообразие Е = S х М, снабженное м е т р и к о й

п р и н я т о н а з ы в а т ь скрещенным произведением римановых многообразий (S,gs) и (М,дм), где п о л о ж и т е л ь н а я функция ехр(2/), н а з ы в а е м а я скре­

щивающей, з а в и с и т л и ш ь от проекции т о ч к и на 5.

В д а н н о й с т а т ь е р а с с м а т р и в а е т с я вопрос о с у щ е с т в о в а н и и к э л е - рова а н а л о г а скрещенного п р о и з в е д е н и я . В к а ч е с т в е т а к о г о анало­

га п р е д л а г а е т с я определяемое ниже кэлерово конформное расслоение с в п о л н е г е о д е з и ч е с к и м и изоморфными между собой с л о я м и . Моти­

в а ц и я такого о п р е д е л е н и я с синтетической т о ч к и з р е н и я п р и в е д е н а в [2]. В п р и м е р а х 1.3, 1.4 показано, ч т о н а д некоторой о к р е с т н о с т ь ю к а ж д о й т о ч к и любого к э л е р о в а многообразия такое расслоение суще­

с т в у е т в с е г д а . Основным р е з у л ь т а т о м с т а т ь и , с ф о р м у л и р о в а н н ы м в теореме 2.2, я в л я е т с я т о т факт, ч т о к э л е р о в а н а л о г скрещенного про­

и з в е д е н и я существует н а д л ю б о й базой, я в л я ю щ е й с я х о д ж е в ы м мно­

гообразием. В теоремах 2.3, 2.4 п р е д л а г а е т с я способ построения пол­

н ы х к э л е р о в ы х конформных расслоений с р а з л и ч н ы м и с т а н д а р т н ы м и с л о я м и .

Все п р о и з в о л ь н о в ы б и р а е м ы е многообразия, функции и т е н з о р н ы е п о л я п р е д п о л а г а ю т с я г л а д к и м и (класса С°°). Кроме того, все много­

о б р а з и я я в л я ю т с я связными, а расслоенные п р о с т р а н с т в а л о к а л ь н о т р и в и а л ь н ы м и . Основные обозначения и п о н я т и я с о о т в е т с т в у ю т при­

н я т ы м в [3]. Локальной гпривиализацией расслоенного пространства L со стандартным слоем S и проекцией 7Г н а з ы в а е т с я пара (О, а): о к р е с т н о с т ь базы О и отображение <т, диффеоморфно отображающее п о р ц и ю 7Г_1(0) на О х S (см. [1, п. 9.47]).

§ 1. Определения и локальные примеры

Р а с с м а т р и в а е м ы е ниже расслоенные пространства, как п р а в и л о , б у д у т я в л я т ь с я р и м а н о в ы м и многообразиями, и в э т о м с л у ч а е они б у д у т н а з ы в а т ь с я плоскими, если их г о р и з о н т а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е Н о т н о с и т е л ь н о проекции я в л я е т с я вполне и н т е г р и р у е м ы м . В к а ж д о й т о ч к е расслоения через Н будут о б о з н а ч а т ь с я т а к ж е оператор ортого­

н а л ь н о г о п р о е к т и р о в а н и я на г о р и з о н т а л ь н о е пространство субмерсии и его п р о д о л ж е н и е на алгебру тензоров. Говоря, ч т о L — расслоение

© 1998 Окрут С. И.

Кэлеров аналог скрещенного произведения 113 со с т а н д а р т н ы м слоем 5, когда S я в л я е т с я р и м а н о в ы м многообрази­

ем, м ы будем п о д р а з у м е в а т ь , ч т о у к а ж д о й т о ч к и базы М и м е е т с я ло­

к а л ь н а я т р и в и а л и з а ц и я (О, а) т а к а я , ч т о а я в л я е т с я римановой изоме- т р и е й к а ж д о г о слоя (относительно и н д у ц и р о в а н н о й и з L м е т р и к и ) на с т а н д а р т н ы й слой S. Это же обстоятельство будем и м е т ь в виду, на­

з ы в а я L расслоением с изометричными между собой слоями, если неваж­

но, какое конкретно риманово многообразие S и з о м е т р и ч н о к а ж д о м у с л о ю . Расслоенные пространства, риманова м е т р и к а которых т а к о в а , ч т о все слои я в л я ю т с я вполне геодезическими п о д м н о г о о б р а з и я м и , и з о м е т р и ч н ы м и м е ж д у собой, будут в п о с л е д у ю щ е м сокращенно име­

н о в а т ь с я ИГ-расслоениями. Естественно, все слои расслоения при э т о м и з о м е т р и ч н ы с т а н д а р т н о м у слою S.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть имеется субмерсия 7г и з L на М, и пусть g и дм — р и м а н о в ы м е т р и ч е с к и е тензоры в L и М соответственно. Суб­

мерсия 7г и з L на М н а з ы в а е т с я конформной, если существует функция / на L т а к а я , ч т о Нд = ехр(2/)7г*#м- При э т о м / н а з ы в а е т с я верти- калъным показателем конформности субмерсии, если / — в е р т и к а л ь н а я функция, т. е. Xf = 0 д л я любого горизонтального вектора X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Конформным (римановым) расслоением с вполне гео­

дезическими и изометричными между собой слоями (сокращенно К.ИГ- (РИГ)-расслоением) будет н а з ы в а т ь с я ИГ-расслоенние, проекция ко­

торого я в л я е т с я конформной (соответственно римановой) субмерсией.

О ч е в и д н о , РИГ-расслоение — э т о ч а с т н ы й с л у ч а й КИГ-расслое- н и я , при котором п о к а з а т е л ь конформности / = 0. М е т р и к а С а с а к и в к а с а т е л ь н о м расслоении н а д л ю б ы м римановым многообразием до­

с т а в л я е т пример РИГ-расслоения; вообще говоря, э т о пример неплос­

кого Р И Г - р а с с л о е н и я . Скрещенное произведение я в л я е т с я примером плоского КИГ-расслоения с в е р т и к а л ь н ы м показателем конформности, если в к а ч е с т в е проекции расслоения в ы б р а т ь проекцию на в т о р о й со­

м н о ж и т е л ь .

Переходя к рассмотрению к э л е р о в ы х многообразий, будем назы­

в а т ь расслоение голоморфным, если: 1) как т о т а л ь н о е пространство, т а к и база расслоения я в л я ю т с я комплексными многообразиями, а проекция 7Г — голоморфным отображением; 2) к а ж д а я т о ч к а о б л а д а е т о к р е с т н о с т ь ю О и л о к а л ь н о й т р и в и а л и з а ц и е й (О, а) такой, ч т о а я в л я ­ ется голоморфным отображением. Из вышеприведенного, в ч а с т н о с т и , с л е д у е т , ч т о с т а н д а р т н ы й слой голоморфного расслоения — э т о обя­

з а т е л ь н о комплексное многообразие и функции перехода расслоения д л я некоторого а т л а с а л о к а л ь н ы х т р и в и а л и з а ц и й п р и н и м а ю т значе­

н и я в группе голоморфных преобразований с т а н д а р т н о г о слоя. Нако­

нец, голоморфное расслоение будет н а з ы в а т ь с я кэлеровым расслоением, если база и т о т а л ь н о е пространство расслоения я в л я ю т с я к э л е р о в ы - ми м н о г о о б р а з и я м и . Будем говорить, что кэлерово расслоение имеет изоморфные м е ж д у собой слои, если имеется а т л а с л о к а л ь н ы х т р и в и ­ а л и з а ц и й , д л я которого сужение т р и в и а л и з у ю щ и х отображений а на слой есть автоморфизм (т. е. голоморфная изометрия) к э л е р о в ы х мно­

гообразий TT"1(Z) на с т а н д а р т н ы й слой 5. Кэлерово ИГ-расслоение — э т о к э л е р о в о расслоение с вполне геодезическими и изоморфными ме­

ж д у собой с л о я м и . Кэлерово конформное расслоение с вполне геоде­

з и ч е с к и м и и изоморфными между собой слоями, сокращенно кэлерово КИГ-расслоение, — э т о конформное кэлерово ИГ-расслоение.

П Р И М Е Р 1.3. З д е с ь будет построено семейство к э л е р о в ы х КИГ-рас- слоений с в е р т и к а л ь н ы м показателем конформности. Пусть к э л е р о в а 2-форма Фм, определенная на М, о б л а д а е т к э л е р о в ы м п о т е н ц и а л о м i*M, Т. е. Фм = —2iddFM, и пусть f(t) — вещественная функция, опре­

д е л е н н а я на некотором вещественном и н т е р в а л е (а, 6) ( д о п у с т и м ы и

а = —оо, b = +00), с о т р и ц а т е л ь н о й производной f(t) = 4fc. 2-Форма

Ф = ^ (Л*'" ^{91 A§f} + ^Фм ) ' ^(1Л)

где

t = -(( + 0-2*E^M, (1.2)

о п р е д е л е н н а я на открытом множестве # — {(С,^) Е С х М | а < |(С + С) — 27rFjvf (z, z) < 6}, превращает его в кэлерово многообразие. Д е й с т в и т е л ь ­ но, т а к как Ф я в л я е т с я формой т и п а (1,1), то о ч е в и д н а ее и н в а р и а н т ­ н о с т ь о т н о с и т е л ь н о п о ч т и комплексной структуры, т. е. Ф ^ Z , JW) = Ф(/£, W). Покажем з а м к н у т о с т ь э т о й формы:

<*Ф = 2e

'd/ Л С^Г'д/ Л д/ + Ф

)

. ^

2 / ( / - 3 /

dfAdf- r

ddf Adf + r'dfA ddf)

= 2e2fdf Л Фм - —e2'f-l4f А <9<9/ = 2e2 /d/ Л ( Фм + 2iddFM) = 0.

7Г

З д е с ь многократно и с п о л ь з о в а л и с ь равенство d — д + д и в ы р а ж е н и е d/ Л <9<9/ = М AdtAdi + fdf A ddt = -2тг/с// Л <9<9F^M.

Т а к как д л я любого вектора Z т и п а (1,0) в ы п о л н я е т с я р а в е н с т в о df(Z) = df(Z), то п о л о ж и т е л ь н а я определенность с и м м е т р и ч е с к о й 2- формы g(P, Q) = Ф( J P , <3) ассоциированной с формой Ф, о ч е в и д н а в с и л у р а в е н с т в а

g(Z, Z) = i<b{Z, Z) = е2' (-lf-i(Zf)2 + gM(Z, Z)\ (1.3) и п о л о ж и т е л ь н о й определенности э р м и т о в о й м е т р и к и базы, ассоции­

рованной с Фм- Построенное кэлерово многообразие Е я в л я е т с я гло­

б а л ь н о т р и в и а л ь н ы м к э л е р о в ы м расслоением н а д М о т н о с и т е л ь н о проекции 7Г на М, с т а н д а р т н ы м слоем которого с л у ж и т полоса S :=

{в £ С | а < Кев < Ь]. В качестве т р и в и а л и з а ц и и (М,а) можно в ы б р а т ь голоморфное отображение (z,0) : Е »—• М х S. Если к э л е р о в а м е т р и к а в полосе 5, с т а н д а р т н о м слое, в ы б и р а е т с я по формуле

g^s = -^-exp(2f(Ree))fdede, (1.4)

то сужение т р и в и а л и з а ц и и (z,6) : Е »—• М х S, определенной формулой 0 = t -f-ilm£, на к а ж д ы й слой я в л я е т с я изоморфизмом к э л е р о в ы х мно­

гообразий. Покажем вполне г е о д е з и ч н о с т ь слоев построенного рас­

слоения. П о л о ж и м W — д/д( и W — д/д(. Используя формулы (9)—(12) и з [3, г л . IX, §5], п о л у ч и м

V^WW = 0, V^WW = qW,

где q = — 27г(/-|-^//~¹). А так как связность кэлерова, то э т и м показано, ч т о слои вполне геодезические и Е я в л я е т с я ИГ-расслоением.

И з способа з а д а н и я кэлеровой формы Ф формулой (1.1) в и д н о , ч т о 7Г я в л я е т с я конформной субмерсией с показателем, р а в н ы м / , Hdf — 0, и п о э т о м у п о к а з а т е л ь конформности я в л я е т с я в е р т и к а л ь н ы м . В ито­

ге построено кэлерово КИГ-расслоение с в е р т и к а л ь н ы м п о к а з а т е л е м конформности. С л е д у е т о т м е т и т ь , что п о к а з а т е л ь конформности / в э т о м примере в с ю д у н е в ы р о ж д е н н ы й и согласно п р е д л о ж е н и ю 2.1 и з [2] построенное расслоение не я в л я е т с я плоским.

Кэлеров аналог скрещенного произведения 115

В 2

Ч*Ш ^da<pl

0

0

dp*_ dl dl - "ds"

П Р И М Е Р 1.4. З д е с ь будет построено семейство к э л е р о в ы х КИГ-рас- слоений с в е р т и к а л ь н ы м показателем конформности, к о т о р ы й в о т л и ­ ч и е от п р е д ы д у щ е г о примера может и м е т ь т о ч к и в ы р о ж д е н и я . Пусть, как и в примере 1.3, (М, Фм) — кэлерово многообразие, a Ем — его к э л е р о в потенциал, и пусть l(s) : [0; В) «-+ М — г л а д к а я (в 0 — спра­

ва) н е в ы р о ж д е н н а я функция. Кроме того, пусть в ы п о л н я е т с я неравен­

ство (1.5). Формулой (1.6), в которой ро Ф 0, определим п о л о ж и т е л ь ­ н у ю функцию p(s). И з условий на l(s) и равенств (1.6), (1.7) с л е д у е т г л а д к о с т ь функции р2 по s. (Под дифференцируемостью в г р а н и ч н ы х т о ч к а х Im/(s), если т а к о в ы е имеются, подразумевается односторонняя дифференцируемость.) Далее,

(1.5)

p\s)=pl-2 \С \-Г-\ da, (1.6)

(1.7) О т к р ы т о е множество Е = {(w,z) Е С х М | |w|exp(—2KFM) < В} относи­

т е л ь н о проекции на М я в л я е т с я голоморфным расслоением. С помо­

щ ь ю формулы

Ф = - - а д л ад + Р2(*)ФМ , (1.8)

7Г

г д е

s = \w\e~2*FM : £ - * М , (1.9)

о п р е д е л и м на нем 2-форму т и п а (1,1). Покажем, ч т о если и с к л ю ч и т ь и з Е комплексную гиперповерхность w = 0, на которой функция р2

в ы р о ж д а е т с я , то получим расслоенное пространство и з примера 1.3.

Вещественная функция

Д*) = 1пр(*), (1.10) s = ехр(<), w — ехр(С), (1-11) после замены переменных по первой формуле из (1.11) имеет отрица­

т е л ь н у ю п р о и з в о д н у ю по t на вещественном и н т е р в а л е (—оо;1пВ). Э т о с л е д у е т и з формулы (1.6). Г л а д к о с т ь Ф обеспечена условием г л а д к о ­ с т и в ы р а ж е н и я в левой ч а с т и (1.7). Если теперь р а с с м а т р и в а т ь t как функцию на Е, определенную формулой (1.2) при замене голоморфных к о о р д и н а т по второй формуле из (1.11), то, обозначая по-прежнему т о ч ­ кой п р о и з в о д н у ю по t, д л я дифференциалов, определенных на Е, и з формул (1.10), (1.7) и (1.6) получим (знаки + и л и - в ы б и р а ю т с я одина­

ковыми)

dl = ±e!(-f)-

l4f> d

l = Jdl = ±e*(-f)-

'

d

f.

А т а к как д л я л ю б о й функции / на комплексном многообразии вы­

п о л н я е т с я равенство 2idl A dl = dl Л dc/, то последние д в а р а в е н с т в а п о з в о л я ю т з а к л ю ч и т ь , ч т о форма Ф в равенствах (1.8) и (1.1) — э т о одна и т а ж е форма. Т а к и м образом, Е без гиперповерхности w = 0 есть расслоенное пространство и з примера 1.3. Т о ч к и и с к л ю ч е н н о й

г и п е р п о в е р х н о с т и я в л я ю т с я п р е д е л ь н ы м и т о ч к а м и о т к р ы т о г о мно­

ж е с т в а , которое, как показано, есть кэлерово КИГ-расслоение с вер­

т и к а л ь н ы м показателем конформности. Поскольку форма (1.8) г л а д к о о п р е д е л е н а в с ю д у на Е, то д л я д о к а з а т е л ь с т в а того, ч т о Е ц е л и к о м я в л я е т с я к э л е р о в ы м КИГ-расслоением с в е р т и к а л ь н ы м п о к а з а т е л е м конформности, д о с т а т о ч н о в силу соображений н е п р е р ы в н о с т и дока­

з а т ь л и ш ь п о л о ж и т е л ь н у ю определенность в т о ч к а х гиперповерхно­

с т и w = 0 с и м м е т р и ч е с к о й 2-формы д, ассоциированной с Ф. Е с л и обо­

з н а ч и т ь ч е р е з дм риманову метрику на М, ассоциированную с Фм, то в т о ч к а х указанной гиперповерхности получаем д л я

9 = ^(dl2 + d42)+p2(s)gM (1.12)

в ы р а ж е н и е

g\w=o =^dcl2+P2o9M. (1.13)

Кроме того, и з (1.12) с т а н о в и т с я прозрачным г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л функции I на, Е. С т о ч н о с т ь ю д о д е л е н и я на константу \/2ж она я в л я ­ ется д и с т а н ц и е й м е ж д у гиперповерхностями / = const.

Т о ч к и гиперповерхности w = 0 с о о т в е т с т в у ю т т о ч к а м , где функ­

ц и я s и з (1.9) обращается в нуль. Используя п р и в е д е н н у ю в (1.11) с в я з ь м е ж д у s и t, в и д и м , ч т о э т и т о ч к и п о л у ч а ю т с я при s —* 0 и л и t —• — со. Из в ы р а ж е н и я / через /, полученного с п о м о щ ь ю р а в е н с т в (1.10) и (1.6), с л е д у е т равенство

df = -⁸j-p-*(8)dl. (1.14)

Функцию / можно в ы б р а т ь так, ч т о б ы в ы п о л н я л о с ь равенство

l i m / Д = 0, (1.15)

• - о ds ^v '

ро можно в ы б р а т ь о т л и ч н ы м от нуля. Поскольку / есть не ч т о иное, как п о к а з а т е л ь конформности, то равенства (1.14), (1.15) п о к а з ы в а ю т , ч т о в т о ч к а х гиперповерхности w = 0 имеется в ы р о ж д е н и е п о к а з а т е л я конформности, т. е. df = 0.

§ 2. П о л н ы е р а с с л о е н и я

Х о д ж е в о многообразие — э т о кэлерово многообразие (М, Фо), все п е р и о д ы к э л е р о в о й формы, т. е. и н т е г р а л ы Фо по д в у м е р н ы м ци­

к л а м и з г р у п п ы ц е л о ч и с л е н н ы х г о м о л о г и и #2(М, Z), которого цело- к р а т н ы некоторому одному числу. Д р у г и м и с л о в а м и , его к э л е р о в а форма Фо пропорциональна некоторому целочисленному к о г о м о л о г и ­ ческому классу Фм, точнее, его образу при гомоморфизме в когомоло- г и я х с п о с т о я н н ы м и коэффициентами, и н д у ц и р о в а н н о м у в л о ж е н и е м Ъ »-• С, при о т о ж д е с т в л е н и и д е Р а м а [4, с. 43]. Расслоенное простран­

ство, оснащенное римановой метрикой, будет н а з ы в а т ь с я полным, е с л и оно я в л я е т с я п о л н ы м как риманово многообразие. Нужно о т м е т и т ь , ч т о для п о л н ы х расслоений и з о м е т р и ч н о с т ь слоев с л е д у е т и з и х впол­

не г е о д е з и ч н о с т и .

Хорошим покрытием многообразия будет н а з ы в а т ь с я , как э т о ино­

г д а п р и н я т о , о т к р ы т о е л о к а л ь н о конечное п о к р ы т и е <%£ = {U^Q} такое, ч т о с а м и м н о ж е с т в а п о к р ы т и я и пересечение л ю б о г о конечного ч и с л а м н о ж е с т в Ua — э т о с т я г и в а е м ы е множества. Д л я л ю б о й к э л е р о в о й

Кэлеров аналог скрещенного произведения 117 формы Фм ее образ при изоморфизме д е Р а м а Я ?л н-> #2( С ) в с е г д а мож­

но п р е д с т а в и т ь вещественным 2-коциклом х — (Xapj) хорошего покры­

т и я W = {UQ}. Э Т О Т КОЦИКЛ определяется (см. [4 с. 83-85]) с л е д у ю щ и м и у с л о в и я м и :

xapy = Fap + Fpy + ^7<*> (2.1)

I m Fa / 3 = , F > - Fa, (2.2)

- 2 Ш >^а = Фа = Ф м | ^ а , (2.3)

г д е Fap — голоморфные функции, определенные на Ua П С//з, а Fa — в е щ е с т в е н н ы е функции на (7а (кэлеровы п о т е н ц и а л ы ) .

Лемма 2.1. Если Фм — форма Ходжа многообразия М, то в линей­

ном голоморфном расслоении L, характеристический класс которого c(L) = Фм) существует такое эрмитово скалярное произведение Л, ч т о его локальные координатные представления h^Q относительно атласа

<$/ = {{/a} имеют вид

h^a = exp(-47rF^a),

г д е Fa — э т о вещественные кэлеровы потенциалы для Фм на Ua-

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Применяя изоморфизм д е Рама, о п р е д е л е н н ы й формулами (2.1)—(2.3), в случае ходжевой формы Фм можно з а к л ю ч и т ь , ч т о 2-коцикл х = {х^ар^у} когомологичен целочисленному 2-коциклу с = {са/?7}, т. е. с у щ е с т в у ю т т а к и е комплексные ч и с л а Рар, ч т о

Сару = «e/?7 + ^«0 + Pfiy + ^7« (2.4) д л я л ю б ы х а,/?,7 т а к и х , ч т о f/a П [//? П С/7 / 0 . П о к р ы т и е при э т о м ,

если необходимо, заменяется более тонким. Как известно [4, с. 83-85], функции

/ £ = exp(27riQa/?) :UanUp~Cr, Qap = Fe / J + Pa / 3 (2.5) я в л я ю т с я функциями перехода голоморфного линейного расслоения, х а р а к т е р и с т и ч е с к и й класс c(L) которого равен Фм-

О б о з н а ч и м через 7L постоянный Z-пучок, а через б* — пучок рост­

ков не о б р а щ а ю щ и х с я в нуль голоморфных функций на М. Хорошо известно, например, и з формулы (11) в [5, г л . I, §5] такое д о с т а т о ч н о о ч е в и д н о е о б с т о я т е л ь с т в о , ч т о экспоненциальная п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь

O ^ Z K , ^ 2 ^ р <Г *-> О

я в л я е т с я короткой т о ч н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю для л ю б о г о комп­

лексного многообразия. По построению голоморфного л и н е й н о г о рас­

слоения L над М его х а р а к т е р и с т и ч е с к и й класс c(L), о п р е д е л е н н ы й и з э к с п о н е н ц и а л ь н о й последовательности, совпадает с ц е л о ч и с л е н н ы м к о г о м о л о г и ч е с к и м классом с из формулы (2.4). При э т о м , конечно, c(L) о т о ж д е с т в л я е т с я со своим образом в комплексных к о г о м о л о г и я х

#2( С ) при отображении в когомологиях и н д у ц и р о в а н н ы м естествен­

н ы м в л о ж е н и е м Z »-• С.

Переходя к построению э р м и т о в а скалярного п р о и з в е д е н и я h в L, с л е д у е т п р е ж д е всего о т м е т и т ь , ч т о комплексные ч и с л а Рар в (2.4) можно в ы б р а т ь ч и с т о вещественными. Е с л и э т о не так, то можно с д е л а т ь замену Р^ар := КеР^ар, отбросив м н и м у ю ч а с т ь . Т а к как х — в е щ е с т в е н н ы й коцикл, то значение сарУ1 определенное формулой (2.4), после т а к о й замены не и з м е н и т с я . Эрмитово скалярное п р о и з в е д е н и е h о п р е д е л и м л о к а л ь н о к о о р д и н а т н ы м и п р е д с т а в л е н и я м и

h^a = ехр(-4я\Р^а) (2.6)

*=-Т^ЕЙ^+к^Г"^- (2-8)

о т н о с и т е л ь н о использованного выше а т л а с а ^ , г д е функции к э л е р о в а п о т е н ц и а л а FQ т е же, ч т о и прежде. Корректность т а к определенно­

го э р м и т о в а скалярного п р о и з в е д е н и я следует и з с р а в н е н и я к р а й н и х ч а с т е й в цепи равенств

M / f I² = h^aexp(-4irlmF^ap) = hp,

п р и п о л у ч е н и и которых и с п о л ь з о в а л а с ь формула (2.2) и о т с у т с т в и е м н и м о й ч а с т и у в е л и ч и н P^Qp.

Теорема 2.2. Каждое (полное) ходжево многообразие М может служить базой (соответственно полного) кэлерова КЙГ-расслоения с вертикальным всюду невырожденным показателем конформности.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Так как М — ходжево многообразие, то его к э л е ­ рова форма Фо = АФм пропорциональна некоторой форме Х о д ж а Фм- П р и м е н я я лемму 2.1 в случае х о д ж е в о й формы Фм, р а с с м о т р и м ква­

д р а т нормы вектора слоя:

h^aw^aw^a = |Е|². (2.7)

Э т о есть функция, определенная в с ю д у на L. З д е с ь ч е р е з w^a € С обозначено координатное п р е д с т а в л е н и е вектора Е о т н о с и т е л ь н о ло­

к а л ь н о й т р и в и а л и з а ц и и cra голоморфного линейного расслоения, т . е.

(zywa) — aa о ^^(z.wp) = (z,fPwp) Р а с с м о т р и м т е п е р ь л и ш ь подрас- слоение Е, состоящее и з векторов, норма которых б о л ь ш е е д и н и ц ы . С л е д у ю щ е й формулой определим на Е форму т и п а (1,1):

2 i f l | 5 | A 0 l 5 | 2 тг | S | ' l n2| S |+l n | S | '

Ч е р е з v в формуле (2.8) обозначена проекция расслоения L, суженная на Е. С учетом в ы р а ж е н и й (2.6), (2.7) и (1.9) с т а н о в и т с я о ч е в и д н о , ч т о форма Ф, з а д а н н а я формулой (2.8), в к а ж д о й порции н а д U^a с о в п а д а е т с формой Ф и з примера 1.3, если в ы б р а т ь f(t) = (In 2 — lntf)/2, a = 0, b = +oo и п о л о ж и т ь , как в (1.11), С = lntu. С в я з ь между ф у н к ц и я м и / и / и з п р и м е р а 1.4, о п р е д е л я е м а я формулами (1.6) и (1.10), п о з в о л я е т в ы ч и ­ с л и т ь l(s) = In In s. Используя при э т о м равенства и з (1.11) и формулу (2.6), п о л у ч а е м t = Ins = ln|E|. На основании примера 1.3 можно з а к л ю ­ ч и т ь , ч т о расслоение Е, оснащенное формой Ф, я в л я е т с я к э л е р о в ы м КИГ-расслоением с в е р т и к а л ь н ы м показателем конформности.

О с т а л о с ь рассмотреть с л у ч а й полной базы. П р е ж д е всего нужно о т м е т и т ь , ч т о с т а н д а р т н ы й слой построенного расслоения, диффео- морфный Ш х 51, есть не ч т о иное, как псевдосфера Б е л ь т р а м и к р и в и з ­ ны —2л*. Это в и д н о и з формулы (1.4), которая в э т о м с л у ч а е приобре­

т а е т в и д (О € С*)

1 dOdO

9S~ 2^(Re^)2*

Т а к и м образом, к а ж д ы й слой расслоения я в л я е т с я п о л н ы м римано- в ы м многообразием. В (1.12) имеется в ы р а ж е н и е д л я р и м а н о в о й ме­

т р и к и <7, ассоциированной с Ф. Отображение, с о п о с т а в л я ю щ е е вектору Е вещественное ч и с л о /(|Е|)/\/27г, я в л я е т с я римановой субмерсией и з Е на Ш о т н о с и т е л ь н о канонической м е т р и к и прямой. Р а с с м о т р и м произ­

в о л ь н у ю ф у н д а м е н т а л ь н у ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь векторов S& в Е от­

н о с и т е л ь н о д и с т а н ц и и , порожденной д. Ч и с л о в а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь /(|Efc|) т а к ж е я в л я е т с я ф у н д а м е н т а л ь н о й и, с л е д о в а т е л ь н о , о г р а н и ч е н ­ ной. Т а к к а к р²( / ) = 2ехр(—/) — г л а д к а я функция от /, как в п р и м е р е 1.4, то с у щ е с т в у ю т т а к и е п о л о ж и т е л ь н ы е ч и с л а с и г , ч т о при S = S&

г > р2(|Н|) £ с. (2.9)

Кэлеров аналог скрещенного произведения 119 Пусть з а м к н у т о е в Е подмножество Q С Е состоит и з в е к т о р о в Е, удо­

в л е т в о р я ю щ и х (2.9). П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь Н* с о д е р ж и т с я в Q. Рассмо­

т р и м риманову метрику

g = ^ ( d /2 + <f/2) + c z A / M (2.10)

на Q. Из (1.12) и второго неравенства в (2.9) следует, ч т о q <C #, п о э т о м у И* я в л я е т с я ф у н д а м е н т а л ь н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю и о т н о с и т е л ь н о д и с т а н ц и и , порожденной q. Риманово многообразие (Q,q) я в л я е т с я п р я м ы м п р о и з в е д е н и е м полных римановых многообразий: з а м к н у т о ­ го п о д м н о г о б р а з и я псевдосферы Б е л ь т р а м и и базы М с римановой ме­

т р и к о й сдм- Поэтому (Q,g) т а к ж е я в л я е т с я п о л н ы м р и м а н о в ы м мно­

гообразием, и р а с с м а т р и в а е м а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и т с я относи­

т е л ь н о д и с т а н ц и и , порожденной q. Из первого неравенства в (2.9) сле­

д у е т , ч т о д ^ г • q и п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 5* с х о д и т с я и о т н о с и т е л ь н о д и с т а н ц и и , порожденной д. Т а к и м образом, Е я в л я е т с я п о л н ы м к э л е - р о в ы м многообразием.

Теорема 2.3. Пусть М — полное ходжево многообразие с формой Ходжа Фм, и пусть гладкая вещественная невырожденная функция /(s), определенная на интервале (A; J5), где 0 ^ А < В ^ +оо, удовлетво­

ряет следующим условиям:

1) Im/ = (—оо;+оо);

2) для некоторого С £ (А] В) выполняется неравенство

5 2

p

W = rf-

/*(^) <^>° (

)

с

д л я любого s £ (А; 5 ) , благодаря которому определена положительная функция p(s). Тогда существует полное кэлерово КИГ-расслоение Е с вертикальным показателем конформности f = lnp(s) (s — вещественная функция на Е c l m s = (А] В)), стандартный слой которого голоморфно эквивалентен кольцу {w £ С | А < \w\ < В}.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О э т о й теоремы в т о ч н о с т и п о в т о р я е т д о к а з а т е л ь ­ ство т е о р е м ы 2.2 до момента построения расслоения Е. З д е с ь опре­

д е л и м Е — {Е £ L | А < |Е| < В}. Кэлерову форму Ф на Е з а д а д и м р а в е н с т в о м (1.8), в котором роль функции l(s) и г р а е т функция и з усло­

в и я т е о р е м ы . Из рассмотрений примера 1.4 следует, ч т о Е я в л я е т с я к э л е р о в ы м КИГ-расслоением с указанным в е р т и к а л ь н ы м п о к а з а т е л е м конформности, слой которого голоморфен кольцу {w £ С | А < \w\ < В}.

Лля д о к а з а т е л ь с т в а полноты Е прежде всего о т м е т и м , ч т о и з ус­

л о в и я (1) с л е д у е т полнота стандартного слоя, к о л ь ц а {а; £ С | А < \LJ\ <

В} о т н о с и т е л ь н о метрического тензора gs в формуле

* ⁵ = <Ш) 2 ( И ) с Ь ^ ⁽²¹²⁾

найденного и з (1.12) ( и л и (1.4)). Далее д о к а з а т е л ь с т в о п о л н о т ы Е в т о ч н о с т и п о в т о р я е т в ы к л а д к и теоремы 2.2, т а к как в э т о й теореме и с п о л ь з о в а л с я не конкретный в и д функции /(s), а л и ш ь у с л о в и я (1) и (2), которым у д о в л е т в о р я е т /.

Теорема 2.4. Пусть М — полное ходжево многообразие с формой Ходжа Фм, и пусть вещественная невырожденная возрастающая функ­

ция /(«), определенная на полусегменте [0;£), где 0 < В ^ +оо, удовле­

творяет следующим условиям:

(1) Im/ = [0;+oo);

(2) для С = 0 выполняется неравенство (2.11) при каждом s £ [0; £ ) , функция p(s) положительная.

Тогда существует полное кэлерово КИГ-расслоение Е с вертикаль­

ным показателем конформности f = lnp(s) (s — вещественная функция на Е с Ims = (А; В)), слой которого голоморфно эквивалентен кругу {w £ С | Н < В} или С.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О ЭТОЙ теоремы в т о ч н о с т и п о в т о р я е т д о к а з а т е л ь ­ ство т е о р е м ы 2.3 с той разницей, ч т о Е теперь состоит и з в е к т о р о в , норма к о т о р ы х не превосходит В. При таком выборе Е слой оказыва­

ется голоморфным кругу и л и всей комплексной плоскости С в з а в и с и ­ м о с т и от того, конечно и л и нет В. A /(H) будет (с т о ч н о с т ь ю д о д и с т а н ц и е й от Н д о нулевого сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, М.: Мир, 1990.

2. Окрут С. И. Скрещенное произведение в кэлеровой геометрии / / Математическая физика, анализ, геометрия. 1997. Т . 4, № 1/2. С. 145-188.

3. Кобалси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.

4. Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

5. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М.: Мир, 1973.

г. Харьков Статья поступила 8 мая 1996 г.