Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
E. V. Shikin, Isometric embedding of two- dimensional manifolds of negative curvature by the Darboux method, Mat. Zametki , 1980, Volume 27, Issue 5, 779–794
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use http://www.mathnet.ru/eng/agreement
Download details:
IP: 118.70.116.132
November 3, 2022, 16:28:04
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
т. 27, № 5 (1980)
ОБ ИЗОМЕТРИЧЕСКОМ ПОГРУЖЕНИИ ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
МЕТОДОМ ДАРБУ Е.В. Шикин
1. Один из методов для исследования вопроса об отыс
кании всех изгибаний данной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве Е3 был предложен Г. Дарбу [1], который указал, как общая задача об изгибании мо
жет быть сведена к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных типа Монжа-Ампера — уравнения Дарбу. То обстоятельство, что коэффициенты уравнения Дарбу определяются только метрической фор
мой поверхности, позволяет применить этот метод в тео
рии изометрических погружений (см., например, [2], где метод Дарбу приведен как один из возможных для дока
зательства существования в аналитическом случае локаль
ного изометрического погружения двумерного многообра
зия произвольной кривизны).
Важно отметить, что тип уравнения Дарбу определя
ется знаком кривизны линейного элемента многообразия:
это уравнение является эллиптическим, если кривизна К > 0, и гиперболическим, если К<. 0. При решении за
дачи о погружении в неаналитическом случае отмеченное обстоятельство существенно.
Задача, которая рассматривается в настоящей работе, сводится к интегрированию уравнения Дарбу гиперболи
ческого типа. Доказательство существования локального регулярного изометрического погружения в Е3 двумер-
© Издательство «Наука». 779 ГлаЕЕЕя рсракюкя
ного многообразия отрицательной кривизны, основанное на использовании метода Дарбу, было получено Ф. Харт- маном и А. Винтнером [3]. Условия дифференцируемости, при которых в этой работе было доказано существование регулярного изометрического погружения, являются самы
ми слабыми из известных (кривизна К линейного элемен
та — ^-гладкая функция).
Мы применим метод Дарбу для решения задачи о по
гружении в целом двумерных многообразий отрицатель
ной кривизны. Именно, будет доказано следующее утвер
ждение.
ТЕОРЕМА. Пусть риманово многообразие W гомео- морфно плоскости и имеет отрицательную кривизну К, которая удовлетворяет следующему условию: в окрестно
сти каждой точки существует полугеодезическая система координат (£, г)), в которой К как функция £ и г) принад
лежит классу С1. Тогда любой геодезический круг на много
образии W~ может быть изометрически погружен в Е3
в виде С2-гладкой поверхности.
Возможность регулярного изометрического погруже
ния произвольного геодезического круга на многообра
зии W~ отрицательной кривизны при условии, что К — СМ-гладкая функция, была доказана Э. Г. Позняком [4]
путем использования основных уравнений теории поверх
ностей отрицательной кривизны в римановых инвариан
тах. Как показано в работе [5], этот результат переносит
ся на случай, когда К — С2-гладкая функция. При даль
нейшем снижении условий регулярности использовать основные уравнения в римановых инвариантах для дока
зательства существования регулярного изометрического погружения не удается (см. пункт 4 настоящей статьи).
2. В этом пункте мы дадим краткое описание метода Дарбу применительно к условиям стоящей перед нами за
дачи.
Пусть метрика на многообразии W отрицательной кривизны задана линейным элементом вида
ds2 = Е dx2 + 2F dxdy + G dy2. (1) Доказательство существования в Е3 регулярной поверх
ности, радиус-вектор которой {X (я, у), Y (х, у), Z (х, у)}
удовлетворяет условию
dX2 + dY2 + dZ2 = ds2, (2)
780
может быть сведена к отысканию функции Z (х, у) такой, что линейный элемент
ds2 — dZ2 = S dx2 + 2f dx dy + & dy2, (3) где
g = E-%, f^F-ZJy, <9 = G-Zl (4) положительно определен и имеет нулевую кривизну, и
к определению по найденной функции Z (х, у) функций X — X (х, у), Y = Y (х, у) из уравнения
dX2 + dY2 = ds2 - dZ2. (5) Для того чтобы линейный элемент (3) имел нулевую
кривизну, функция Z должна удовлетворять следующему уравнению Дарбу:
Аг + A2R + A3S + A J + Аъ (RT - S2) = 0, (6) где Р = Zx, Q = Zy, R = Zxx, S = Zxy, T = Zyy, a Aj (/ =^l, . . .,5) — известные функции от коэффициентов линейного элемента (1), их первых производных и кри
визны К, а также Р и Q. Заметим, что сама неизвестная функция Z в выражения для функций Aj не входит.
Верно и обратное.
ЛЕММА 1 (см. [6]). Пусть С2-гладкая функция Z (х, у) является решением уравнения (6) в односвязной области U, причем линейный элемент (3)wположительно определен.
Тогда в области Х]лсуществуют С2-гладкие функции X (х, у) и Y (х, у) такие, что {X (х, у), Y (х, у), Z (х, у)} пред
ставляет собой радиус-вектор поверхности, посредством которой данная метрика (1) реализуется. Эти функции могут быть найдены квадратурами. F*! ^
Мы приведем здесь краткое доказательство этойтлем- мы, чтобы устранить ряд^неточностейДкоторые имеются в формулах статьи [6]. С*1**-1 ^* Ш
Д о к а з а т е л ь с т в*о. f Из^того, что Z ^является С2-гладким решением уравнения^Дарбу (6), вытекает, что линейный элемент (3) имеет нулевую кривизну. Отсю
да следует существование С^-гладкой функции в такой, что
Из соотношений (7) вытекает, что
(VIcosЭ)у = (£= cos9 + > ^g y~ ^2 Sin0^
( K * s m e )y = (F f- s m e — — с о в в ^ (8)
Последнее означает, что в области U существуют функции X (х, у), Y (х, у) такие, что
Xa = ] / ^ c o s 3 , Xy = ^=,cosQ+ Vc£&-&2 g i n Q
у № Ус$ ( 9 )
yx= / # s i n 0 , Fy = - ^ s i n 0 У^-^2
V% V C O S <
0
Так как функции $, f, §, 0 G С1 в области С/, то из формул (9) следует, что X и У — С2-гладкие функции.
Непосредственными вычислениями легко убедиться в том, что С2-гладкая поверхность, задаваемая радиус-вектором
{X (х, у), Y (х, г/), Z (х, у)}, реализует данную метрику (1).
3. Известно (см., например, [7]), что уравнение Мон- жа-Ампера гиперболического типа, в частности уравне
ние Дарбу (6), может быть сведено к системе пяти квази
линейных уравнений первого порядка относительно неиз
вестных функций х, у, Z, Р и Q, которая имеет следующий вид:
%гхи + А2уи + AhQu = О, X2xv + A2yv + AbQv = О,
А,хи + К2уи + АьРи=^0, (10) AAxv + %xyv + AbPv = 0,
Pxv + Qyv - Z„ = 0,
где гг и У — характеристические независимые переменные, а Хг и Я2 ( ^ i < ^г) — корни уравнения
X2 + АВХ + ^ М4 - АХАЪ = 0.
Система (10) эквивалентна уравнению (6) в следующем смысле. Еслия, г/, Z, Р, (? есть решение этой системы с на
чальными данными, определенными через начальные дан
ные для уравнения (6), и если якобиан / = xuyv — xvyu
отличен от нуля, то
Z (и (х, у), v (х, у)) = Z (х, у)
является решением задачи Коши для уравнения (6).
О п р е д е л е н и е [3]. Будем говорить, что функция ф (и, v) принадлежит классу С* в некоторой области на плоскости и, v, если в этой области она принадлежит классу С1 и имеет непрерывную смешанную производную Фиг»
Следуя [3], заменим систему (10) системой вида (Н) где Fj (j = 1, . . ., 5) — известные функции х, у, Р и Q.
Эта система эквивалентна системе (10) в классе С*-глад- ких решений при условии согласованности начальных данных.
4. Нетрудно показать (см., например, [8]), что в целом на многообразии W~ отрицательной кривизны может быть введена координатная система (ж, у) (с геодезической ба
зой), в которой линейный элемент W~ имеет вид
ds2 = dx* + В2 (х, y)dy\ (12)
Для этого линейного элемента система (11) может быть записана следующим образом:
1 кх
Уит— I "2" Т
(13) + I f ) (x*Vv + **Уи) — ("F + " # ) У^\
Zuv = axxuxv + a2xuyv + а&Уи + ЧУчУъ, (Щ Puv = b2xuy + b3xvyu + b4yvyv, (15) YUC ~ CjXuxv -f- c2xuyv -f- c^xvyu -f- c^yuyv1
где к = У—К, а аи Ьи ct (i = 1, . . ., 4) — известные функции х, г/, Р и Q:
(ц*= — Р(1пк)х, а2 = к^ — -^-(\пк)у(Р + <?), а3 = —Аф *-(1пА;)у(Р+#), а4= —<?(1п&)у;
ь4 = (л»в« - BS) Р + ( % • - ^ - - ^ ) <?;
^=(2*.-^.) с,
/ Вж у Д^В;, Вхку + Вукх \ п , / 1 и , B„ft\.h
+ 1,-1 Р 2Ж J^ + ^ ^ + TJ*»
,(ВХУ ВХВУ Вхку + Вукх \ л 1 1 1 . , В У к \ , и
+ \~в W гвк )4—\Y4-r -Y~)4t с4 = (-ВВХ У-ВХВУ +J&L.) P + ^ - ^ - ^ Q ;
здесь ф = YB2(1 — P2) — Q2.
З а м е ч а н и е 1. В случае линейного элемента произвольного вида правые части Fj системы (11) имеют, разумеется, похожую структуру. Однако в этом случае правые части Fx и F2 первых двух уравнений зависят также от Р и Q. Отсутствие функций Р и Q в уравнениях (13) для линейного элемента вида (12) играет существенную роль в дальнейших рассуждениях.
З а м е ч а н и е 2. Пусть система (13) имеет С*-глад- кое решение х (и, v), у (и, у), причем такое, что производ
ные хи и xv отличны от нуля. Умножим первое уравнение системы (13) на уи (yv) и вычтем его из второго, предва
рительно умноженного на хи (xv). После деления получен
ных уравнений соответственно на xtxv и хих%, положив
-?-> 5 = 1 Г ' (16)
приходим к следующим соотношениям:
1 кх &х \ „ / 1 кх . Вх \ , 1 /ci к В I \ 2 к 1 В J { 2 к
1 К , В !L)rs-BBxrh, (17)
784
Su _ (J_ J*x_ _ Bx \ __ AJ__ J^_ _Bx_\ 1_% 2_ жм — V 2 к В J [ 2s к ~^~ В ) ^ 2 к
Выражения, стоящие в левых частях полученных урав
нений, представляют собой полные производные функций г и s вдоль образов линий и = const и и = const на плос
кости параметров (х, г/), т. е. вдоль характеристик систе
мы (17):
do? ' da?
С учетом этого мы можем переписать систему (17) в сле
дующем виде:
rx + sry = Н {х, г/, г, 5),
(18) s* + rsy = Н (х, у, s, г),
где
я
(*,,,
г,,) = ( 4 4 - - 4 ) Н 4 - - т + т г ) ' -
-(-г^ + тЬ + т - ^ - ^ Л
Система (18) представляет собой систему основных урав
нений теории поверхностей отрицательной кривизны в ри- мановых инвариантах для линейного элемента (12) (ср., [4], [9]). Таким образом, если х (и, и), у (и, v) — С*-глад- кое решение системы (13), причем такое, что / = xuyv —
— xvyu Ф 0, то функции г (х, у) и s (х, г/), определяемые по формулам (16), непрерывны и их первые производные вдоль соответствующих характеристик (образов линий v = const и и = const на плоскости параметров (#, у)) также непрерывны по х и у. Эти функции являются реше
нием системы (18) в широком смысле (см. [10]). Отметим, что из неравенства нулю якобиана / вытекает, что г Ф s.
5. Доказательство теоремы разобьем на несколько эта
пов: 1) построение подходящей полугеодезической коор
динатной системы; 2) доказательство существования и единственности С*-гладкого решения системы (13) в бес
конечной полосе постоянной ширины, якобиан / которого отличен от нуля; 3) построение С*-гладкого решения си
стемы (14) — (15); 4) построение С2-гладкого изометри-
веского погружения произвольного геодезического круга на многообразии W~ отрицательной кривизны в Е3.
6. Пусть со — произвольный геодезический круг на многообразии W~ отрицательной кривизны. Взяв за базу какую-нибудь геодезическую линию Г, не имеющую с кру
гом со общих точек, построим полу геодезическую систему координат на всем многообразии W~. В этой системе ко
ординат линейный элемент многообразия W может быть приведен к виду
ds2 = Ах2 + Б2 (х, у)Ау2, (12) где функция В б С3 (я, у) и В (О, у) = 1, Вх (О, у) = 0.
Обозначим через Ut эквидистантную полосу ширины t с базой х = 0:
П, = {{x,y) | 0 < z < * , - o o < у< + оо}.
Пусть о CZ Па. Можно считать, что в некоторой полосе Пь (Ь ^> а) все производные функции В до третьего по
рядка включительно ограничены (В ЕЕ С3 (я, #)), кривизна X удовлетворяет неравенству —к\ ^ К ^ —к\, где kL
и к2 — положительные постоянные, и grad К равномерно непрерывен. Этого всегда можно добиться путем подхо
дящего изменения линейного элемента вне прямоуголь
ника Q = {(я, у) | 0 <; х <; а, с <^ г/ <^ d}, содержащего круг со.
7. Рассмотрим на плоскости параметров и и v прямую Yoi определяемую уравнением и + i; — 0. Пусть 7 — любая параллельная ей фиксированная прямая. Обозна
чим через я полосу плоскости (и, и), ограниченную Yo и у. Решение системы (13) в полосе я будем искать при следующих начальных данных на кривой 7о:
Х IVo = = ^» Хи |7о :== ^ Р Ivo = = д. /Q 2 е и Г ' у |Ve = 2eu, z/u |Ve = — yr |vo = e,
где e — некоторый числовой параметр ( 0 < е < 1).
З а м е ч а н и е . Вдоль ^0 начальные данные (19) сог
ласованы, т. е.
(х \у9) = xu IYO U -{- xv \y0v , (У Ivo)' = Уи Ivo и ' + yv lv, *Л 786
(' означает дифференцирование по натуральному параметру кривой).
Справедливо следующее утверждение о существова
нии в целом решения системы (13).
ТЕОРЕМА Б. При достаточно малом положитель
ном 8 в полосе п заданной ширины существует единствен
ное решение системы (13) класса С*, удовлетворяющее ус
ловиям (19). При этом производные решения х (и, v) и у (и, v) имеют следующий вид:
хи= — + 0 (е), xv = — + 0 (е),
yu = e + 0(ea), yv = -e + 0(e*), (20) где к — к (х (и, и), у (и, v)).
Доказательство теоремы Б основано на следующей лемме.
ЛЕММА 2. Пусть на прямой ус: и + v = с заданы со
гласованные начальные условия
х\Ус = х (и), хи \Ус = k{x(u)iy{u)) + e|ib Xv К = к(х{и), у (и)) + е[Х2'
У\ус = У (и)> Уи\ус = в + е2|Хз, yv \ус = — е + 8^4,
причем функции [ik (k = 1, . . ., 4), равномерно ограни
чены,
| |ift (е, и) | <[ Z? = const,
гг равномерно непрерывны. Тогда можно указать такое а, что при достаточно малом е # полосе па, заключенной между прямыми ус и ус+а, существует единственное С*- гладкое решение системы (13), удовлетворяющее начальным данным (21). 77/ш домш производные решения х (и, v) и у (и, v) по и и и имеют вид
1 1
Х и = k(x(u,v), у (и, *)) + 8 V l» ^= =Л (Я ?(М > 17), у (и, г)) + 8 V 2'
(22)
#u = в + e2v3, у„ = — 8 + e2v4,
где функции v^ = Vk (e, и, v) равномерно ограничены,
| v/c | <^ 2D, и равномерно непрерывны,
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы Б. Пусть h — ширина полосы я. По лемме 2 в полосе яа, заключенной между прямыми у0 и уа, и + v = а, существует С*-глад- кое решение системы (13); при этом производные решения по и и v имеют вид
1 1
ye = — e + eVi,
где функции |ife равномерно ограничены: | ^J | ^ Dx =
= 2D0 (здесь постоянная DQ зависит только от метрики и"ширины h полосы).
Щ Выберем теперь 7а за начальную кривую, а значения решения и его производных на 7а за начальные данные.
Считая, что eD1<C е0< 1, и вновь используя лемму 2, получим, что в полосе я«, заключенной между 7о и 7га>
и + v = 2а, существует' С*-гладкое решение системы (13), причем производные решения по и ж v имеют1 вид
1 1
Хи = — + Щ\, ^ = — + ец|, уи = е + 8>2, У0 = — е + 8a|iJ,
и выполнены неравенства | (i? | <; D2 = 4D0. Повторяя аналогичные рассуждения еще N — 2 раза, где iV =
= [}^2 h/a] + 1, мы1 получим, что в полосе я ширины h существует решение системьГ(13) такое, что
х и = "j£ I" 8lXi ' Жг ~ ~fc Г ^^2 »
(23) i/u = 6 + 82[if, */*= — e + ea|i*,
где функции \1к равномерно ограничены, а 8 удовлетво
ряет неравенству 2ND0e < e0< 1.
З а м е ч а н и е 1. Из формул (23) вытекает, что
* = Щ-+<>»- ( 2 4 )
З а м е ч а н и е 2. Якобиан решения системы (13) равен
J = xuyv — xvyu = — ^- + 0 (е2) (25) и в полосе я равномерно отделен от нуля.
788
З а м е ч а н и е 3. Если ширина полосы я выбрана достаточно большой, а 8 — достаточно малым, то из того, что якобиан решения отличен от нуля, й из формул (23) и (24) для решения вытекает, что при помощи найденных функций х {и, и) ж у (и, и) осуществляется однолистное отображение полосы я на область в плоскости (х,у), которая покрывает Па. Образы линий и = const и v = const, являющиеся на плоскости (#, у) характери
стиками, образуют правильную сетку, регулярно покры
вающую Па; образом у0 является ось Оу. Из формулы (24) видно, что в качестве ширины h полосы я достаточно взять h = а (1/7с2 + 8о)~г? а 8^> 0 выбрать меньше, чем е0/Л02-*
8. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 2 проведем методом последовательных приближений, предваритель
но преобразовав систему (13) к системе интегральных уравнений.
Умножим первое из уравнений (13) на к и, прибавив к обеим его частям kxxuxv + kyxvyv, получим
(bxu)v = -2Гку (xuVv — XvVu) + kBBxyuyv. Введем следующие обозначения:
f = -^ky, g = kBBx, l = -(ln(fkB))x,
т= — (1п(кВ))у. (26) Тогда уравнения системы (13) можно записать кратко в следующем виде:
(kxu)v = £, yuv = J/, (27) где
5? = / / + gyuVvf
(28) Л = I (xuyv + xvyu) + myuyv.
Рассмотрим на плоскости (и, v) прямоугольный тре
угольник ABC, гипотенуза АС которого лежит на ус (А (и0, v), С (и, v0)), а катеты АВ и ВС параллельны осям и и v соответственно. Проинтегрировав уравнения системы (27) по и от F {й, ?7) ЕЕ АС до D (йу v)EE AB,
получим
*» ^ ^ = fc (*(»,„),-у (а,,)) [((**«> <
й' »> + SI ад Ч)
dTl] '
(29) ffu (й, У) = уи (й, г;) + С Л/ (и, TJ) dr).
Интегрируя теперь (29) по и, придем к системе интеграль
ных уравнений:
S
u (кхи) | Си Л? С vA d^ + ju- X j -g^T» ) d T i , (30) Отметим, что в классе С*-гладких решений интеграль
ная система (30) эквивалентна системе (13).
За нулевое приближение возьмем начальные данные.
Считая, что п-е приближение известно, определим (п + 1)-е по следующим формулам:
71+1 0 /»U л 0 0 (*и (]Z Cv n
x=x\Vc + \ Аг(кха)\Уей1+\ f | \ 2 ( | , 4)dn,
с J u0 к с Juo к J -
(31)
71+1 0 Си ° r»u (>г> п
г / = 1 / | у
с+ \ г / и к ^ + \ &i\ .м(1, T))dri
n
(здесь использованы следующие обозначения: ф =±
71 П П
= q> (g, TJ) = ф (ж (£, т|), у (£, г]))).
Производные (л + 1)-го приближения П О К И У имеют вид
к " А
+ 1 j о о 1 PV П
си = — (кхи) к + — \ S # (и, л) <Ч
А; А ^ °
П + 1 0 . « U .71
2/п = »и к + \ Л (и> "Л) dTl» (32)
п+1 0 г»и п
Vv = yv к + \ ^ & у)d^'
790
*+1 1 / о 4 \ | r»u i n
*, = — + (*„ J") + \ — £d£ +
Л \ * /lvc J"„ A;
Доказательство равномерной ограниченности последо-
п п п п
вательностей производных хи, xv1 уи, yv проводится по индукции. Подставим выражения для тг-го приближения и его производных
хи = 4+ + ЕРЪ ^ = ^1 + 8№
к к
п п
ytt = e + ea|ij, Vv = — e+e2(x^,
где I И* I ^ Dm B правые части соотношений (31), (32).
Учитывая структуру начальных данных, функций X и Л, равномерную ограниченность коэффициентов /, g, I, m, а также за счет априорного выбора парамзтрае (очевид
ные, но громоздкие вычисления мы опускаем) можно ука
зать а такое, что в полосе ширины а выполнены следую
щие соотношения:
П+1 А П+1 А
хи = — + 8^+i, xv = — + ejij+i,
к к
п+1 п+1
уи = 8 + eVj*1, у9= — г + eVj4"1, где | ^+ 1 I < #n+i = Dn (1 + 1/(2п+« - 2)) < 2D.
Параметр е выбирается из условия 0 < 8 < е0 <^ AID, где D — постоянная, зависящая от функций В и к и их производных в полосе Па. Ширина полосы а выбирается из условия а < 1 / ( 9 Ш ) .
Заметим, что из соотношений (31) и равномерной огра
ниченности последовательностей производных сразу вы
текает равномерная ограниченность и равностепенная
п п
непрерывность последовательностей х и у.
п п
На самом деле последовательности х и у являются равномерно сходящимися. Докажем это. Введем следую-
Щие обозначения:
p(P) = s\ip{\Ax\ + \Ay\ + \Axu\ + \A%v\ + \Ayu\ + \Ayv\},
Jig
где
n n n - l n n n-1
Ax = x (щ v) — x (щ v)^ . • ., Ayv = 'yv (щ v) — yv (u, v) и р < а . Вычтем из соотношений (31), (32) для (п + 1)-го приближения соответствующие выражения для тг-го при
ближения, записанные по тем же формулам. После не
сложных выкладок с учетом введенных обозначений полу
чим оценку
п+1
p ( p ) < e D p { p ( P ) + sup[gradA]
п п
£1x1. (33)
(X , У )
из которой ввиду равномерной непрерывности grad к вытекает, что для любого п справедливо следующее нера
венство:
Р ( Р ) < Ф (Р),
где ф (Р) — известная функция такая, что ф (|3) ~-> О при
р-*о.
Таким образом, мы доказали, что не только последо-
п п
вательности х и у, но и последовательности их первых
п п п п
производных хи, xv, yu, yv являются равномерно сходящи
мися. Это означает, что предельные функции х и у явля
ются Сг-гладкими функциями от и и и и удовлетворяют интегральным соотношениям (30) и, следовательно, при
надлежат классу С*, являются решением системы (13) и их производные имеют требуемую структуру.
Единственность решения вытекает из утверждения III bis работы [3]. Лемма 2 доказана.
9. Так как теперь в полосе я функции х (и, v) и у (и, v) известны, то уравнения системы (15) можно запи
сать в следующем виде:
Puv = Ht Y&(i-P*)-Q* + Н2Р + HzQ, Qw = #4 V~B2 (1 - Р2) -Q2 + НЪР + H*Q,
где функции Hj = Hj (щи) (/ = 1, . . ., 6) непрерывны и ограничены в полосе я . Для положительной определен-
792
ности линейного элемента (3) необходимо и достаточно, чтобы решение системы (34) удовлетворяло следующим неравенствам:
1 - Р2 > О, В2 - <?2 > О, В2 (1 - Р2) - Q2 > 0, (35) что определяет выбор начальных данных для системы (34).
Справедливо следующее утверждение, доказательство которого проводится стандартными рассуждениями ме
тода последовательных приближений.
ЛЕММА 3. Система (34) имеет С*-гладкое решение в некоторой области A (Z я, удовлетворяющее начальным условиям
P\Vc = 0 (е), Q |Тс = О (е) (36) и неравенствам (35).
Наконец, функция Z находится квадратурами из урав
нения (14), так как теперь правая часть этого уравнения—
известная непрерывная функция переменных и и v VL ZE^C*.
Таким образом, мы получили, что в некоторой оцени
ваемой области А существует решение системы (13)—(15) класса С*. Из того, что якобиан решения системы (13) / .= xuyv — xvyu Ф О, вытекает, что и (х, у) и и (х, у) —
^-гладкие функции переменных х и у в области Па. Отсюда и из предыдущих рассуждений этого пункта вы
текает, что в некоторой достаточной малой, но оценивае
мой области Ajj. CZ Па существует С2-гладкое решение уравнения Дарбу (6). Можно считать, что эта область пред
ставляет собой прямоугольник со сторонами, параллель
ными координатным осям, например прямоугольник
&хо = {(*, У) I ^о < # < х0 + е2, | у — у0 | < е2}.
10. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Пусть (0> У о) — произвольная точка оси Оу, Тогда из теоремы Б, леммы 1 и леммы 3 вытекает, что метрика многообразия W~ в прямоугольнике
До = {(*, У) I 0 < х < е2, | у - 1 / „ | < 82} реализуется посредством поверхности $ класса С2, при
чем так, что ось Z является нормалью к поверхности § в точке с координатами {X (0, у0), Y (0, у0), Z (0, у0)}.
Сместимся вдоль оси Оу на е2 (это будет соответствовать повороту оси Z на угол 0(E)) и, повторяя рассуждения,
получим, что метрика в прямоугольнике
*i = {(*, У) I 0 < х < е2, у0<У<Уо + 2е2} реализуется посредством поверхности класса С2. Причем в прямоугольнике Д0 f] Ax в силу единственности най
денные решения будут совпадать.
Отсюда вытекает возможность реализации метрики многообразия W" в полосе ПЕ2. Если, далее, в качестве начальной кривой взять линию х = е2/2, то совершенно аналогично можно убедиться в возможности реализации метрики в полосе Пзе2/2. Продолжая эти рассуждения, мы исчерпаем всю полосу Па и, следовательно, докажем существование С2-гладкого изометрического погружения произвольного геодезического круга со в пространство Е'6.
Московский государственный Поступило университет им. М. В. Ломоносова 24. X.1979
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] D a r b o u x G., Lecons sur la theorie generale des surfaces, I I I , Paris, Gauthier-Villars, 1948.
[2] К а г а н В. Ф., Основы теории поверхностей, I I , M.— Л., ОГИЗ, 1948.
[3] Н а г t m a n P., W i n t n e r A., On hyperbolic partial differential equations, Amer. J. Math., 74 (1952), 834—864.
[4] П о з н я к Э. Г., О регулярной реализации в целом двумер
ных метрик отрицательной кривизны, Укр. геометр, сб., 3 (1966), 7 8 - 9 2 .
[5] Ш и к и н Е . В . , О регулярном погружении в целом в R3
некоторых метрик класса С4 отрицательной кривизны, Матем.
заметки, 14, № 2 (1973), 2 6 1 - 2 6 6 .
[6] Н а г t m a n P., W i n t n e r A., Gaussian curvature and local embedding, Amer. J. Math., 73 (1951), 8 7 6 - 8 8 4 .
[7] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, М.,
«Мир», 1964.
[8] Б л я ш к е В., Дифференциальная геометрия, М,—Л., ОНТИ, 1935.
[9] Р о ж д е с т в е н с к и й Б . Л . , Система квазилинейных урав
нений теории поверхностей, Докл. АН СССР, 143, № 1 (1962), 5 0 - 5 2 .
[10] Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л., Я н е н к о Н . Н., Системы квазилинейных уравнений, М., «Наука», 1966.
