All Russian mathematical portal

(1)

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

N. T. Mishnyakov, A problem of the type of Carleman’s problem for a multiply connected region in the class of generalized analytic functions, Sibirsk. Mat. Zh. , 1968, Volume 9, Number 3, 607–

613

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 178.128.90.69

November 6, 2022, 02:00:44

(2)

Том IX, № 3 Май — Июнь 1968 г.

УДК 517.53

Н. Т. МИШНЯКОВ

ЗАДАЧА ТИПА ЗАДАЧИ КАРЛЕМАНА

ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ Ф У Н К Ц И Й

Пусть L — совокупность контуров Ляпунова Z,⁰, / и , . . . из которых LQ охватывает все остальные. Область внутри Lo и вне Li, L², .. ., L^m обоз

начим через D⁺, а дополнение области Z )⁺ + L до полной плоскости — че

рез D~.

Пусть

т

a(t) == 2 a^k(t)(o{t, L^H), где

1, если t б со (Z, L^h) —^л

1 U на всех остальных контурах,

Uk(t) —функция, которая переводит контур Ь^к в себя с сохранением на

правления обхода на нем, удовлетворяя при этом условию Карлемана

a^k[a^h(t)] SEE t. (1)

На контуре L заданы функции G(t) ф О, ^ ( 0 - Так же, как и функция а'(£), они принадлежат пространству Н функций, удовлетворяющих усло

вию Гельдера.

Требуется найти регулярное в /?+ и непрерывное в D+ решение U(z) уравнения

dUl dz = A(z)U, (2) удовлетворяющее на L одному из условий

Е / + И 0 ] =G(t)U+(l) +g(l), (3)

U+[a(t)]=G{i)U+(l). (3') Коэффициент A(z) считаем принадлежащим пространству функций

L^P2(E), р > 2, заданных на всей плоскости Е.

При A(z) s = 0 получим краевую задачу типа задачи Карлемана для аналитических функций, которая рассматривалась в работе (*).

Метод исследования задачи (3) заключается в сведении ее с помощью обобщенного интеграла типа Коши к неоднородному уравнению нетеров-

(3)

608 Н. Т. Мишняков

ского типа. Для неособого случая, когда индекс задачи I n d C ( / ) >

> 2 (га — 1 ) , подсчитывается число решений и условий разрешимости за

дачи ( 3 ) , а также дается алгоритм нахождения этих решений.

§ 1

Решение задачи (3) будем искать в виде 1 г*

U (z) = — \Q¹ (z, х) ф [а (т)] dx — Q² (^z, * ) Ф [ « ( * ) ] dx + ш J

L

+ U¹(z)- jjto(T, L^m) c p ( t ) [ l + | а ' ( т ) | ] Ж т , (4)

L

где fit и Q2 — нормированные ядра уравнения ( 2 ) ; Ut(z) — частное реше

ние уравнения ( 2 ) , регулярное в О + и непрерывное в D+, Uj Ф 0; плот

ность ф(т) —функция, удовлетворяющая условию Гельдера, определенная

т—1

с точностью до слагаемого вида 2 ИтгО) (т, L^k)\ № — произвольные вещест¬

венные постоянные, причем

ф [ а ( т ) ] = ф ( т ) . (5) Интегральное представление (4) получим, если в формуле (см. (²) ,

стр. 195)

U(z)~K[<b,D] = <S)(z) +

jjjjГ

^г

(z,

s)Ф(С)^5*1 +

+ 55г

^а

(

²

,С)Ф(С)йЕ</т1,

которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между любой аналитической в D+ и непрерывной в D+ функцией Ф (z) и регулярным в D+ и непрерывным в Z)+ решением уравнения ( 2 ) , возьмем аналитическую

функцию Ф ( з ) в виде (см. (*))

ф^{( z ) =} I , VW^dt⁺ .с^{( т ? ф}⁽^t^{) [ 4 +} | „ '^{( т )} | j^d^a.

L L

Подставляя теперь в (3) граничные значения функции ( 4 ) , вычисленные по формулам Ю. В. Сохоцкого, получим неоднородное интегральное урав

нение

1

== [ 1 -г G (*)] Ф

(0

+ {Qi [a

(0,

a (т)] а' (т) + G (т) Q^x (t, x) т '²}^Фd x -

L

+

{f/i

[a

(*)] - G

(0

ЩГ)}'

J

^{© (t, L}^w^{) Ф} ( T ) [1 -h

I

a' (t)

I

] da = g

(0-

( 6 )

(4)

Используя свойства (см. (²) , стр. 179) ядер Qi(z, т) и ^ 2 ( 2 , т) уравнения (2), равенства ( 3 ) , (4) и

° '^{( т )},^ч L . = Д <т, *), J L —^ = *(т, о .

а(т) — а ( т ) т — £^t i х— t

где /?(т, 0 , £ ( т , / ) — ядра Фредгольма, уравнение (6) преобразуем к виду H-a{t))<p!t)+ i + С ф⁺

яг J т — £

+ J J A ^ , x)y(x)dx + J t f³( *^f T ) 9 [ a ( T ) ] d t = g( 0 , ( 6 ' }

L L

где A'i(/, т ) и K2(t, x) — ядра Фредгольма.

Уравнения вида (6') изучены в работе (⁵) , из которой следует, что индекс уравнения (6') равен к = Ind G(t).

Непосредственной проверкой можно убедиться, что если ф(/) есть ре

шение однородного уравнения

Кц> = 0, ( 6 " ) то ф [ а( 0 ] является его решением. Поэтому фундаментальную систему ре

шений фг(£) уравнения (6) можно выбрать (см. (*)) так, чтобы выполня

лись равенства

Ф*(0 = Ф* [<*(*)] ( * = l , 2 , . . . , i ; ) , (7) а линейная независимость понималась бы в смысле комбинаций с вещест

венными коэффициентами.

Интегральное уравнение ( 6 " ) разрешимо и имеет, но крайней мере, т — 1 линейно независимых нетривиальных решений, удовлетворяющих условию ( 7 ) .

В самом деле, как легко убедиться, такими решениями будут функции со(/, Li)^{(i =} 1, 2, 1 ) .

Неоднородное интегральное уравнение ( 6 ) , согласно теоремам Нетера будет разрешимо тогда и только тогда, когда будут выполнены условия

\g(t)^(t)dt = 0 (/ = 1 , 2 , . . . , у), (8)

L

ГДЕ tyj — РЕШЕНИЯ СОЮЗНОГО ОДНОРОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Щ ЕЕ [1 — G (t)] г|> (*) + Д - jj {Qi [А (Т), A (t)d'(t) + О (т) Q¹[x, t]t'²} ^ dx —

L

fa^{2 [ T}' ^t^] ^a ' ⁽ ^t ⁾ ^ +^G f^a(^T) ] ^Q2 [A ( t ) , A ( 0 1 a ' ( t ) A' (t)}ф [A ( t ) ] d t + L

+ [1 + | ( 0 I ]⁰³¹ *, L^m) • A ^m = 0, (9)

Km- ^{U¹[a(x)]^-G(x)U^)}^(x)dx. (10)

(5)

610 Н. Т. Мишняков

Вследствие того, что tyj(t) и ^ j [ a ( Z ) ] a ' ( Z ) £^{/ 2}G [ a ( / ) ] являются решениями уравнения ( 9 ) , фундаментальную систему можно выбрать так, что будут выполняться условия

'ФЛО =b[a(t)]a'(t)G[a(t)]t'\ (11)

§ 2

Рассмотрим краевую задачу ( 3 ' ) при отрицательном индексе.

IndG(t) = х <С 0. Используя представление первого рода ( (²) , стр. 158) для обобщенных аналитических функций

U(z) = v(z)#*\ co(z) = - ^ [ [ J ^ L ^ ^F d T¹

сведем однородную краевую задачу (3') к задаче типа задачи Карлемана для аналитической функции ср (z):

<p+[a(*)] = G(t)e*№Wm<j+Jj): (12) Задача (12) не разрешима (см. ( * ) ) . Следовательно, и задача ( 3 ' ) не раз

решима.

Отюда заключаем, что при х < 0 однородное интегральное уравнение (6) имеет точно т — 1 решений со (t, Ьъ) (к = 1, 2 , . . . , т — 1 ) . Дейст

вительно, если бы уравнение (6) имело другие решения, то тогда бы име

ла нетривиальное решение и однородная задача ( 3 ' ) .

Поэтому союзное интегральное уравнение ( 9 ) , согласно теореме Нётера о разности чисел линейно независимых решений данного и союзного урав

нений, имеет v' — —х + т — 1 нетривиальных решений.

Теперь уже легко видеть, что справедлива

Т е о р е м а 1. При х < 0 однородная краевая задача ( 3 ' ) не разрешима, а неоднородная задача (3) разрешима только тогда, когда выполнено

—х + m —1 условий j g(t)tyj(t)dt = 0 (/ = 1, 2, . . . , —х - f m — 1 ) , где — решения союзного уравнения ( 9 ) .

§ з

Построим задачу, союзную задаче ( 3 ) . Для этого рассмотрим функцию W(z) = ™ VQi (т, z)-ф [а (т)] а' (т)dx — Q²( t , z)^ [ а ( т ) ] a' (x)dx, (13)

L

которая является решением уравнения

dW/dz = -A (z)W. (14) Используя формулы Ю. К. Сохоцкого и учитывая, что г|)(/) —решение

уравнения ( 9 ) , получим

^ <^a ^{^t⁾^] = F T i T ^ + ^ ' ' m ^ ' ' ⁰⁽' ' ^L ^m ⁾ ⁽ ¹ ⁵ ⁾

(6)

Умножим равенство (15) на a' (t) t^f (s) ds и возьмем интеграл по контуру L^m от обеих частей ( 1 5 ) :

^ 4T[a(t)]a'(t)dt= ^W~(t)dt + K^m \ [1+ \а'{t)\] ds. (16)

Так как |j [1 + I « ' ( £ ) ] ds = 2L^m=f=Q, a ^ 4T(t)dt=0 по теореме Коши, то из (16) следует

K^m = 0 ( 1 7 )

Поэтому условие ( 1 5 ) запишется так:

F⁵

Y 4 a( t ) ] = - ^ Y - ( t ) ( н а L ) . ( 1 5 ' ) В силу нормированности ядер Qi (т, z) и йг(т, z ) , функция ^V{z) в об

ласти D~ — аналитическая. Следовательно, равенства ( 1 5^х) есть краевые условия однородных задач типа задачи Карлемана теории аналитических функций для односвязных областей Dc (i = 0, 1, 2 , . . . , т), среди кото

рых А г содержит бесконечно удаленную точку. Индексы задач (15') для областей D% (i = 1, 2 , . . . , т) отрицательны, поэтому (^б) задачи (15^х) име

ют только тривиальные решения, т. е.

Wi(z) = 0 (* = l , 2 , . . . , m ) . Покажем, что и Wo(z) = 0.

Для этого возьмем разложения ( (²) , стр. 203) в ряд по т ядер Qi(z, т) и Q²(z, т ) в окрестности бесконечно удаленной точки:

1 °°

Q i ( s , t) S [ ^ ( 2 ) - / f /²,^{+ 1}( z ) ] T - ^ ,

(18) 1^c°

« 2 ( 2 ,

t ) =

^T

S

^[U^2h^{(z) + itf}^{8 f e + 1}^(*)] T - f c - i ,

где

f/^2fe = K(z\ £>), t W i = * (и*, # ) ( * = 0, 1, 2, . . . )

— частные решения уравнения ( 2 ) , являющиеся аналогами степеней z^k и

•iz^f\ и подставим в ( 1 3 ) . Будем иметь

Т0-( z ) = -L J - jj [tf0 (т) _ Ш1 (т)] г|> [а (т)] а' (т) dx +

+ J T F M * ) - ^7F)J * [ « ( T )J A' (Т) dx}+... ( 1 3 ' ) Преобразуем (1 3 ' ), используя условие (1 1 ) :

To" (^Z) = - I -1 -

JL $

^U⁰^{[A (Т)] -}^{G (x)}^Г|>^{(x) dx +}

+ Ш \ ^[^U ^l^[^a ⁽^T ⁾¹ ^_ ^G ⁽ ^T ⁾ * ⁽ ^T ⁾ ^d ^T ^{} +} • • •

Второй интеграл правой части ( 1 3 " ) , согласно ( 1 0 ) и ( 1 7 ) , равен нулю.

(7)

612 Н. Т. Мишняков

Далее, учитывая ( 1 ) , можно показать, что

Re j j { J 7⁰[ a ( T ) ] — G(x)U^i)}^dx = 0. (19)

L

Интегрируя же по контуру £⁰ условие (15') и равенство ( 1 3 " ) , получим

— Jj{<70 [a(x)] — G(x)U⁰(r)}tydx= \чГ(т)Лх= Ст"(т)Л.

Отсюда следует, что и

Im ^{U⁰ [а(х)] — G(х) Щ^)}^dx = 0. (20)

L

Равенства (19) и (20) означают, что и первый интеграл в правой части (13") равен нулю. Возвращаясь к функции^x¥⁰-(z), видим, что в точке z = оо она имеет нуль не ниже второго порядка.

Решая задачу (15') для бесконечной области Do~ способом, указанным в работе (⁶) , найдем

=C%r{z)lz, (21) где х о ~ ( ° ° ) Ф 0, С — вещественная постоянная. Но так как в (21)

Хо~(оо) Ф 0, то для того, чтобы^xi^ro~(z) имела в бесконечно удаленной точ

ке нуль не ниже второго порядка, необходимо положить С = 0. Тогда

l¥o~(z) = 0. Итак, все Wc(z) = 0. А это возможно ( (2) , стр. 199) только тогда, когда плотность W [ a ( / ) ] a ' ( Z ) есть граничное значение непрерывной в D⁺ функции 4^{r +}( z ) , удовлетворяющей внутри D⁺ уравнению ( 1 4 ) , т. е.

когда

q[a(t)]a'(t) =W+(t). (22) Из условия (11) и равенства (22) следует союзная задача

T + [ a ^ = G ( ^ ^T ^ <^{2 3}>

для функции W (z), являющейся решением уравнения ( 1 4 ) . Условие (8) в силу (22) примет вид

^g[a(t)]Y⁺(t)dt=0. (24>

L

Следовательно, справедлива

Т е о р е м а 2. Задача (3) разрешима тогда и только тогда, когда выпол

нено условие (24) для любого решения союзной задачи ( 2 3 ) .

Если союзная задача (23) не имеет решения, кроме тривиального, то задача (3) безусловно разрешима.

§ 4

Из формулы (13) получаем, что числа линейно независимых решений союзного однородного уравнения и союзной задачи одинаковы.

Так как индекс союзной задачи (23) равен 2т — 2 — % и, следователь

но, при к > 2т — 2 является отрицательным числом, то на основании тео-

(8)

ремы 1 и теоремы Нётера можно подсчитать число решений однородной краевой задачи ( 3 ' ) . Именно, справедлива

Т е о р е м а 3. Если к > 2т — 2, то неоднородная задача (3) всегда раз

решима, а однородная задача (3') имеет к — m + 1 линейно независимых решений.

Поступило 17.VIII.1965 ЛИТЕРАТУРА

1 З в е р о в и ч Э. И., Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязнон области, Доклады Ак. наук СССР, 156, № 6 (1965), 1270—1272.

2 В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959.

3 Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, Физматгиз, М., 1963.

4 Л и т в и н ч у к Г. С. и X а с а б о в Э. Г., Один класс сингулярных интегральных уравнений и обобщенная краевая задача типа задачи Карлемана, Сиб. матем. ж., V, № 4 (1964), 857—880.

5 Л и т в и н ч у к Г. С , Об индексе и нормальной разрешимости одного класса функ

циональных уравнений, Доклады Ак. наук СССР, 149, № 5 (1963), 1029—1032.

5 Л и т в и н ч у к Г. С. и X а с а б о в Э. Г., Об одном типе сингулярных интеграль

ных уравнений, Сиб. матем. ж., V, № 3 (1964), 608—625.