Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
A. B. Rasulov, The Riemann problem on a semicircle for a generalized Cauchy–Riemann system with a singular line, Differ. Uravn., 2004, Volume 40, Number 9, 1290–1292
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 6, 2022, 05:59:24
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2004, том 40, № 9, с. 1290-1292
К Р А Т К И Е С О О Б Щ Е Н И Я
УДК 517.956
ЗАДАЧА РИМАНА НА ПОЛУОКРУЖНОСТИ Д Л Я ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА
С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ
© 2004 г. А. Б, Расулов
Обозначим через L полуокружность L = {(х,у) : х2 + у2 = Д2, у > 0}. Пусть D - область, содержащая бесконечно удаленную точку и ограниченную двубережными разрезами вдоль контура L, так что dD = L+\JL-.
В области D рассмотрим обобщенную систему Коши-Римана с сингулярной линией
dz z - z z - z z - z
где A(z,z), B(z,z) - целые аналитические функции по переменным z и z, d/dz = 2~г(дх + idy), w(z, z) = u(x,у) + и>(ж,у), /(z, г) - заданная непрерывная функция.
Теория обобщенных аналитических функций с коэффициентами из LP(D), р > 2, разработана в [1]. Более подробную информацию об исследовании системы (1), а также обобщенной системы Коши- Римана с сингулярной точкой можно найти в работах [2-4].
Краевая задача Римана с конечным индексом при весьма общих предположениях относительно коэффициента G(t) и контура L исследована Ф.Д. Гаховым и его учениками [5]. Краевую задачу с бесконечным индексом степенного порядка [6] изучал Н.В. Говоров. Краевая задача с бесконечным индексом логарифмического порядка была исследована П.Г. Юровым и другими авторами [7].
В работе [4] для уравнений с сингулярными коэффициентами краевые задачи в основном ставились при помощи весовых функций и многие из этих задач в результате сводились к известным задачам теории аналитических функций или к более изученным аналогичным задачам.
Наша цель - исследовать задачу линейного сопряжения с весовыми функциями и без них для реше
ний системы (1) и показать существенное различие между этими двумя постановками задач. Покажем, что задача Римана с весовыми функциями имеет конечное число линейно независимых решений, а без весовых функций она может иметь бесконечное число линейно независимых решений.
Согласно [4], решение системы (1) из класса Cpo(-D+), где D+— конечная часть области D, со
держащая часть сингулярной линии Г0, представимо в виде (при B(z,z) = 0 )
w(z,z) = \z- z | ^ ' * )e W l (" *i(z) -iJJ —
D+
где
w.b) A M ff А&й-А&Я dC A(zz)*0
D+
$i(z) - произвольная аналитическая функция комплексного переменного z, ReA(z,z) < 0.
Сначала рассмотрим задачу Римана с весовыми функциями.
Задача R. Требуется найти решение системы (1) такое, что
(2)
\Z — Z\ У ' >W )+{t) = G(t)[\z - z\-AMw]-(t)+g(t), t e L, где G ( t ) / 0 , g(t)€Ha(L), teL.
Используя представление (2) и условие задачи R, мы приходим к следующей задаче Римана для аналитических функций относительно голоморфной функции Ф(г) :
*+(t) = G№-(t) + g(t), (3) где IndG(t) = IndG(t), g(t) = еиГС)-"№TD-(t) - TD+(t) + g(t)e-^W e Ha{L).
1290
ЗАДАЧА РИМАНА 1291
Решение задачи (3), согласно [5], дается явной формулой. Задача (3) имеет конечное число линейно независимых решений. Теперь покажем, что если задачу линейного сопряжения рассматривать без весовых функций, то ее индекс в точках пересечения контура L с сингулярной линией обращается в бесконечность и, следовательно, если она разрешима, то имеет бесконечное число линейно независимых решений. Для этого достаточно воспользоваться интегральным представлением (2) при f{z,z) = 0.
В результате приходим к однородной задаче Римана с коэффициентом G(t) = Go(t)\t — t|^WeW l Заметим, что если х0 = IndGo(t) = 0, то argG(t) = Imip(t) In \t - t\.
Пусть Ai = Im (p(—R); A2 = lnup(+R), тогда имеют место следующие случаи:
1) если Хк > 0, к = 1,2, то индекс задачи Римана в концах контура обращается в — оо;
2) если Ал < 0, к = 1,2, то индекс задачи Римана в концах контура обращается в +оо;
3) если Ai < 0, А2 > 0, то в точках (-Д,0) и (0,Д) индекс задачи Римана соответственно обращается в + оо и -оо;
4) если Ai > 0, А2 < 0, то в точках (-Д,0) и (0,Д) индекс задачи Римана соответственно обращается в -оо и +оо.
В дальнейшем через Ль обозначим класс кусочно-аналитических функций, непрерывно продол- жимых на L справа и слева, ограниченных при z - » 00, z -> - Д , z -» +Д, где через L обозначается контур L, за исключением его концов.
ЗАДАЧА RQ. Найти функцию Ф(г) класса Ас, удовлетворяющую на контуре L линейному соот
ношению
Ф+(*) = С « ф - ( * ) , (4)
где G(t) - заданная на L (при t ф —Д, t ф +R) комплексная функция точки t такая, что
argG(t) = Imy>(t)ln|t-f|, (5) G0(t)9LJI(t)Mt) е Ha(L), A i < 0 , A2> 0 , ]n\G(t)\eHa(L). (6)
Из (4) и (5) следует, что индекс G(t) при t —> —R обращается в +оо и при t -> R обращает
ся в —оо логарифмического порядка. Поэтому решением задачи RQ назовем такую функцию X(z) класса A L , которая обращается в нуль в области DUL, удовлетворяет условию (3) и ограничена при z -> оо и z - Д , z -> +Д.
ТЕОРЕМА 1. В предположениях (4)~(б) каноническая функция задачи RQ выражается формулой
w \2тгг У г- z 2 m J т-z. J
L L
Доказательство теоремы 1 не приводим из-за громоздких вычислений. Только заметим, что в окрестности точек t = —Д, t — +R справедлива оценка
X(z) = E X P J 4 " 1 ^ * I N \ z - Ck\ + O(LN\z - + вд}, fc = Т Д
где Ck = (—1)*Д, r£(z), к — 1,2, ограничена вблизи точек Ск и имеет определенный предел.
ТЕОРЕМА 2 . Для того чтобы однородная краевая задача RQ С бесконечным индексом логарифми
ческого порядка была разрешимой в классе AL, необходимо и достаточно, чтобы Х\ < О, А2 > 0.
Будем говорить, что функция Ф(г) принадлежит классу A L , если соответствующее решение
задачи RQ ограничено В DUL, где F\ ^ ^ и F2 ~ пРо и з в о л ь н ы е Функции, в частности, полиномы.
ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы функция Ф(г) принадлежала классу AL, необходимо и достаточно,
чтобы функции F\ ^ ^ д ^ , F2 ^ ^ Д ) удовлетворяли условиям:
1) при всех достаточно малых t'k, к — 1,2 (t[ = t + R, t'2 = t - Д), In |F&[l/£jJ| < - Re{X(t)} +
+ CF - max{CVi, CF2 } = const;
2) при всех z - > 00 Fk[l/t'k], к = 1,2, ограничены.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 40 № 9 2004
1292 РАСУЛОВ
Теорема 4. Однородная краевая задача Щ имеет бесконечное число линейно независимых огра
ниченных решений.
Замечание. Случаи 1)-3) исследуются аналогичным образом. Только заметим, что классы функ
ций, к которым принадлежит X(z), будут другими.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959.
2. Усманов З.Д. / / Исследования по краевым задачам и интегральным уравнениям. Душанбе, 1976.
С. 159-186.
3. Михайлов Л. Г Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциаль
ным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963.
4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Ч. 1, 2. Душанбе, 1980, 1982.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.
6. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М., 1986.
7. Юров П.Г. Краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка: Дис. ...
д-ра физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1968.
8. Расулов А.Б. / / Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С. 270-275.
Худжандский государственный университет Поступила в редакцию им. Б. Гафурова 11.10.2002 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 40 № 9 2004
