• Nenhum resultado encontrado

Санкт-Петербург 10 – 13 апреля 2006 года

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "Санкт-Петербург 10 – 13 апреля 2006 года "

Copied!
645
0
0

Texto

(1)
(2)

Санкт-Петербургский государственный университет

Факультет прикладной математики – процессов управления

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

ТРУДЫ XXXVII МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ АСПИРАНТОВ И СТУДЕНТОВ

Санкт-Петербург 10 – 13 апреля 2006 года

ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2006

(3)

УДК 517.51:517.9:518.9 ББК 22.1

П84

Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук, проф. Е. И. Веремей (С.-Петерб. гос. ун-т), д-р техн. наук, проф. А. А. Рогов (Петрозаводский гос. ун-т)

Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета факультета прикладной математики − процессов управления

Санкт-Петербургского государственного университета

Процессы управления и устойчивость: Труды 37-й П84 международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. – 640 с.

ISBN 5-288-04021-4

В сборник включены работы студентов, аспирантов и сотрудников факультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ и других высших учебных заведений, в том числе зарубежных, по математической теории процессов управления, математическим методам в механике и физике, матема- тическому моделированию в медико-биологических системах, технологиям про- граммирования, теории управления социально-экономическим системами.

Все работы докладывались на ежегодной 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость»

(10–13 апреля 2006 года).

Сборник предназначен для студентов старших курсов физико-математи- ческих факультетов, научных работников и аспирантов.

ББК 22.1

Сборник подготовлен к изданию при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках проекта СПбГУ

«Инновационная образовательная среда в классическом университете», ИОП:

«Прикладная математика и информатика», «Информационные технологии»,

«Медицинская физика и информационные технологии»,

«Прикладная математика и физика»

ISBN 5-288-04021-4 ©Авторы сборника, 2006

(4)

!" $#"%"&('#&")*

+

,*-/.103245167/8:9<;=>;@?<A3BDCFEGA3BIHJCFKFLA3MNEOFPCRQSTHUBDCRQQCFLBIVAWQSIUO3XYO

AWXYCRUBIAGZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZ\[

]0Y^0327/8_`;ba;ced<A3KRHEfBDOIBIHJCFKFLO3ghV/KFBDO3gJHiDOIKFBIHhfjHhfCFjCRk/OFPClOIB

UCRfjCFjm*iIUO3g<KRHKFBDCFEm$LnjA3oRUOIKFBIUO3g<KRHKFBDCFECeZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZpYq

9n5srutvW83w30`_`;xy;/z{CF|`CRUHCXYjAWUHJUO3g}oYAYPAFJHPQMlQHUCRgUO3gUCFKFBIAW~H

O3UA3jUO3g<KRHKFBDCFEm€i}LQA3KFKFCePHKFLjCFBIUm*kVfjAWiIQCRUHgZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZD‚3ƒ

„ 036t60ha;,e;…†$ru‡ˆ83w_`;ba;c‰fBIHEGAWQSIUA3MnKFBIA3d3HQHoYAW~HMnfQOIKFLO3XYO

OIjd3HBIAWQSIUO3XYOŠVfjAWiIQMCFEO3XYOePiIH‹`CRUHMŒ`@iŽOILjCFKFBIUOIKFBIH}LO3QQHUCR

A3jUO3g<BDO3JLHnQHdIjAW~HH

L 1

KufOIEOIŠSD‘KRHQ<KRiDCFBDO3iDO3XYOlPAWiIQCRUHMuZFZRZFZFZFZR‚3q

„

-/’W83wya;“e;c>jA3KRJCFBIUO3g”V/KFBDO3gJHiDOIKFBIHhOFPUO3XYOnLQA3KFKYAUCRQHUCRgUm*k

KRHKFBDCFE•ZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZ/‚3[

„ -/’W83w30—–‰;_`;˜AYPAFJAŽHPCRUBIH™‰HLAW~HHUCFKFLO3QSDLHkEUOW‹`CFKFBIiGZYZFZFZFZRZFZFZFZFZsš3›

œŽw303683w30–‰;_`;}žŠjHd3QH‹`CRUHCŸjCF|`CRUHM VjAWiIUCRUHM¢¡Žu™u™‰HUXFA£i

oRiDCFo1PCZYZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ¤šI[

¥`0Y^t6t60n¦;_`;…ua0YrŠ01ˆt60y–‰;§l;?HUHEHoYAW~HM<fO3QUO3gyfO3XYjCF|ŠUO3

KFBIH`ECFBDOFPA¨GgQCFjAGPQM‰VjAWiIUCRUHM

˙

x = ax

fjHŠjA3KRJCFBIAWkeKGBDO3JUOIKFBISD

jCYAWQSIUO3g<fjO3~CFKFKFOIjUO3g—A3jH™eECFBIHLHnZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZD›Dš

¥Š-D©ª83wa;=>;cedŠV/KFBDO3gJHiDOIKFBIHOFPUO3fA3jA3ECFBDjHJCFKFLHklKFCFECRgKFBIiŽKRH

KFBDCFE«QHUCRgUm*klPH™u™eCFjCRU~HAWQSIUm*kVjAWiIUCRUHgZ1ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZb›/¬

¥Š-D©ª83w30—a;¦;‰KRHEfBDOIBIHJCFKFLHHUi/A3jHAWUBIUmCuEUOW‹`CFKFBIi/A‰ZYZFZRZFZFZFZFZRZFZFZW­3ƒ

x—t6032^8`_`;“e;ced`V/KFBDO3gJHiDOIKFBIH}fO`JA3KFBIHfCFjCFECRUUm*kUCRQHUCRgUm*k

jA3oRUOIKFBIUm*kKRHKFBDCFEŽZRZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ®­I¬

x—t¯5F5Fw*“e;ba;…x—t¯5F5FwŠa;¦;Y°{O3JUA3MejCRQA3LKYAW~HMeEOFPH™‰H~HjO3i/AWUUO3XYO

ECFBDOFPAl±uSDeBDO3UAeZRZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZWq3›

–G^5srŠ²R7/0Y³€xy;“e;*ced«O3fHKYAWUHH€LQA3KFKYA•KRHKFBDCFE£PH™u™eCFjCRU~HAWQSIUm*k

VjAWiIUCRUHg”KŽOIBDLQO3UMeŠHEK1M—A3jXFVECRUBDOIE*´fjC1PKFBIAWiIQCRUUm*kifjO3

KFBDjAWUKFBIiDCŠfOIKRQC1PO3i/A3BDCRQSIUOIKFBDCRg—iDCFLBDOIjO3i}H—HECFeŠHk<KRfCR~HAWQSIUOIC

jCF|`CRUHCZYZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZs¬/p

µe³¶lt’\ˆ03¶83w‰¦;“e;F·uHKRQCRUUOICGEOFPCRQHjO3i/AWUHCoYAYPAFJHŽECF‹`OIjd3HBIAWQSI

UO3XYOlfCFjCRQCFBIA*ZRZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZF¬3q

a¶}51©03683wu_`;“e;DcedŠOFPUO3g}jCRQCRgUO3g}KRHKFBDCFEC*K*XFHKFBDCFjCFoRHKRUO3glkA3jA3L

BDCFjHKFBIHLO3gZ¤ZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZ®¸Iƒ

a¶}51©03683wl_`;“e;¹GV`CFKFBIiDO3i/AWUHCŠH<jA3KRJCFBlV/KFBDO3gJHiIm*kjCF‹ŽHEO3iOFP

UO3gnUCRQHUCRgUO3g~H™ejO3iDO3g—KRHKFBDCFEm€VfjAWiIQCRUHM‰Z1ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ\¸D¬

a¶eˆ517/8Y©‡¶83w30ºxy;“e;žŠCFjHOFPHJCFKFLHC—jCF|`CRUHM@H(Hk»OIjd3HBIAWQSIUA3M

A3KRHEfBDOIBIHJCFKFLA3M}V/KFBDO3gJHiDOIKFBISuZ1ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZY[3›

¼ˆ0DwWt6¢_`;=>;l‰dIKFO3QeBIUA3M‘V/KFBDO3gJHiDOIKFBIS$PH™u™eCFjCRU~HAWQSIUO3®jA3oR

UOIKFBIUm*kKRHKFBDCFE«KŠOFPUHE«oYAWfA3o1Pm*i/AWUHCFE`ZYZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ½[I¸

¾¶}51¿}5Fw—_`;=>;…eÀŠ¿lt60hxy;“e;±`AWk/OW‹`PCRUHC<jA3KFKFBDOWMUHM•ECF‹`PV«fO3

iDCFj/kUOIKFB3MEHiDBDOIjO3XYOlfOIjM/PLA`i

R n

ZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZ\pYƒIš

Á{03¿l6t7/83w`xy;“e;/ŠKRfO3QSDoFO3i/AWUHCeoYAWfA3o1Pm*i/AWUHM}iloYAYPAFJCeKFBIA3d3HQHoYAW

~HH<LO3QCFdDA3BDCRQSIUO3g<KRHKFBDCFEm@ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZDpYƒI¸

(5)

N

,*-Fˆ83w30}œl;]";…9n5srut60}_`;Š;c!X1QAYPLHkKRfQAWgUAWk<K`oYAYPAWUUmE»KRiDO3g

KFBIiDOIEBDO3JUOIKFBIH}Z1ZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZIpIpYš

,*-Fˆ83w30!œl;]";…G0(t.10D5Fw:a;“e;c‰~CRULA$fO3XYjCF|ŠUOIKFBIHfjHd3QH‹`CR

UHM UCRfjCFjm*iIUmEHFLKRfO3UCRU~HAWQSIUmEH KRfQAWgUA3EH BDjCFBISDCRXYO

fOIjM/PLAZRZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ¤pIpYq

,*-Fˆ83w30}œl;]";…e¼trŠ85F5Fw“e;_`;cedFjEHBDO3iIm*k—AWffjOILKRHEGAW~HMknK`oYAW

PAWUUmEKRiDO3gKFBIiDOIEBDO3JUOIKFBIHeZRZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZ¤pIpY[

90DwW‡Gv35167/8_`;_`;GKRQO3iIHCliIm*QCFBIA<oRiDCFo1Pm>HoKFLO3fQCRUHM”i<XFAWQA3LBIH

JCFKFLOIE«fO3QCZRZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZ pW‚I‚

9n5sr3³683w—œl;ba;c‰fBIHEHoYAW~HO3UUmC}EOFPCRQH«ihoYAYPAFJAWkºjA3KRfOIoRUAWi/AW

UHMfO3fV3QM~HgZ¤ZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ\pW‚I¬

98¤^.183wŽa;l;Y?<A3BDCFEGA3BIHJCFKFLOICEOFPCRQHjO3i/AWUHCEUO3XYOIOIKFBDjHgUO3gFEHKR

KRHO3UUO3g<KRHKFBDCFEm$KufOIEOIŠSD‘BDO3JCRJUm*koYA3jM/PO3iGZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ¤pYš3›

9`ˆtw38Y¶lt6!–‰;œl;…‰x”0Wt7Dt60hxy;]";?<A3BDCFEGA3BIHJCFKFLA3M«EOFPCRQSyVfjAWiI

QCRUHMHUBDCRUKRHiIUmE fVJLOIENoYA3jM‹`CRUUm*k JA3KFBIH~ i V/KFLOIjHBDCRQC

KŠžŽceŒ!ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZ/pYšI[

9`ˆtw38Y¶lt6–‰;œl;…aG5sr¤683wl“e;“e;ŠKFKRQC1PO3i/AWUHCufQOIBIUOIKFBIH<oYA3jM‹`CRU

Um*k«JA3KFBIH~fjH»EOFPCRQHjO3i/AWUHHfVJLA—iºfjOFPO3QSIUOIE£EGAWXFUHBIUOIE

fO3QC`ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZpF›Dq

„ trut6h_`;“e;c‘fOIKFBDjOICRUHH—iDCRgiIQCFBI®jA3oRQOW‹`CRUHM<UAfCFjHOFPHJCFKFLO3g

UCFjAWiIUOIECFjUO3g—KFCFBDLCeZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZpW­3ƒ

„ -/’W83we_`;“e;… „ -/’W83w30–‰;_`;WŒŠO3QCFdDA3BDCRQSIUmCjCF‹ŽHEm•VfjAWiIQMCFEm*k`ECR

kAWUHJCFKFLHkKRHKFBDCFEZRZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZ\pW­3q

¥*ˆtrŠ²R7/0Y³l¥l;_`;W?<A3BDCFEGA3BIHJCFKFLOICGEOFPCRQHjO3i/AWUHCfO3QCRiDO3g RQCFLBDjO3U

UO3gnfV|`LH`ZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZYpW­3[

x”037/01ˆ83w _`;_`; ced AWQXYCFdIjAWHJCFKFLHk BDOW‹`PCFKFBIi/AWk i BDCFOIjHH

B ϕ

®KRfQAWgUO3iZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZ1pYq3›

x”0Y^D7/83w30Ž=>;“e;¹GQA3dIOŽHKFLjHiIQCRUUA3MBDjCFŠHUAŠOILO3QO`XYjAWUH~m»jA3oR

PCRQA`PiIVkKFjC1P‰ZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ\pYqD¬

x—-D¶l-3^ xy;]"; zA3oFjA3dIOIBDLA AYPAWfBIHiIUO3XYO ECFBDOFPA fOFPAWiIQCRUHM

|ŠVEGA}ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZpW¬3š

µŽ5®ˆ5R.¤-/vYt6€a;œl;…"!Š8¤^8WvW83w30«a;¦;¡`iIVECFjUmCŽPQHUUmCŽiDO3QUm>i—LAW

UAWQCŠK‰PCY™eOIjEHjV/CFEmEOIKRUO3i/AWUHCFE—ZYZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZWpW¬3¸

at6t’10I’Y683w30exy;“e;RžŠjHECRUCRUHCECFBDOFPA*Li/AYPjA3BIUO3XYOLOIjUMPQMefQO3

k/OlOId3V/KRQO3iIQCRUUm*knKRHKFBDCFEZRZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZRpY¸D‚

arutIˆ683w€–‰;_`;*ŠKFKRQC1PO3i/AWUHC”PiIH‹`CRUHM€EGA3KFKRm UA«EUO3XYOIKRQO3gUOIE

RQA3KFBDOIECFjUOIE«iDMoFLO3VfjVXYOIEA3EOIjBIHoYA3BDOIjC{ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZRpY¸Iq

¼0YrŠ0I²¤³6}]";†>;…!ˆt²R¶lt4¦;_`;/c‰fBIHEHoYAW~HM`jA3KRfO3QOW‹`CRUHM}A3BDOIEO3i

i}EO3QCFLV3QCZRZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ¤pY¸I[

(6)

N

G+

]ˆt.18\ˆ 5Fw30e¥l;“e;YžŠjO3XFUOIoRHjO3i/AWUHC Y™u™eCFLBIHiIUOIKFBIHŽfjHECRUCRUHMekH

EHOIBDCFjAWfHHfjHnQCRJCRUHHnO3ULO3QO3XFHJCFKFLHkoYA3dIO3QCRi/AWUHgZFZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZ pY[Iš

9n5sr3³683w30N“e;“e;Ÿ˜AYPAFJA fjO3XFUOIoRHjO3i/AWUHM H ECFBDOFP X1QAWiIUO3XYO

FLKRfCFjBIAuZRZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZDpY[I¸

 t¶l7/83w30•¦;xy;…`¥`8¤^5R²Rt6$œl;9<;OIKFKFBIAWUO3iIQCRUHChfA3jA3ECFBDjO3i RfH

PCFEHO3QO3XFHJCFKFLO3ghEOFPCRQHhfO}PAWUUmE»HoFECFjCRUHM<oYA3dIO3QCRi/A3CFEOIKFBIHºH

iImo1POIjAWiIQHi/A3CFEOIKFBIH*ZYZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ®‚3ƒD­

œŽw303683wŠ_`;œl;…§`0I’W8\ˆlt7/83w`“e;]";D±`AWk/OW‹`PCRUHC*XYjAWUH~PO3iDCFjHBDCRQSIUO3

XYOlHUBDCFji/AWQA`fA3jA3ECFBDjAŽXFHfCFjXYCFOIECFBDjHJCFKFLO3XYOŽoYA3LO3UAZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ‚3ƒI¸

œŽw303683w_`;œl;…§`0I’W8\ˆlt7/83wn“e;]";"±`AWk/OW‹`PCRUHCfA3jA3ECFBDjAXFHfCFjXYCFO3

ECFBDjHJCFKFLO3XYOloYA3LO3UAZFZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ®‚/pIp

¥e^t7D-D683w30—¥l;_`;{?<A3BDCFEGA3BIHJCFKFLOIC}EOFPCRQHjO3i/AWUHCfCFjCRk/OFPUO3XYO<jCR

‹ŽHEGAKFOILjA3`CRUHMnKFLCRQCFBIUO3gnEm|Š~m!ZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ‚/pYq

¥`8\ˆ8W’W83w30l¦;l;…*¼ˆ8R³68(7/8–‰;_`;/žŠjHECRUCRUHC‰EGA3BDCFEGA3BIHJCFKFLHkECR

BDOFPO3ieieHKFKRQC1PO3i/AWUHHŽOIKFOIdICRUUOIKFBDCRgLO3XFUHBIHiIUm*kŠKFBIHQCRg`V`dIO3QSIUm*k

|ŠHoFOD™ejCRUHCRgZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZY‚I‚/p

¥Š-Fˆ51668Y29<;§l;žŠOIKFBIAWUO3iDLA}oYAYPAFJHhQHBDOFPHUA3EHJCFKFLO3XYO}EOFPCRQHjO3

i/AWUHMlZRZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZW‚I‚I­

¥Š-Fˆ51668Y29<;§l;¹BIA3BIHKFBIHJCFKFLA3MOIdIjA3dIOIBDLA`PAWUUm*kEOIjKFLHk}HU‹`CR

UCFjUm*k«HoRmKFLAWUHgPQM•fjOILQAYPLH@ECF‹lLO3UBIHUCRUBIAWQSIUO3g@O3fBIHJCR

KFLO3gnQHUHHnKRiDMoRH<i‰jLBIHJCFKFLHkEOIjMkZRZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ\‚3šIƒ

Ž5 }5Fw30y=>;“e;…}–{ˆ5¤¯83wh_`;“e;c iDOIoFEOW‹ŽUOIE LjHBDCFjHHoYAWiDCFj|`CRUHM

fjO3~CFKFKYAlLQA3KFBDCFjHoYAW~HHi}CRiDLQHPO3iDOIE«fjOIKFBDjAWUKFBIiDCZ1ZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZ‚3šD­

µ`03¶eˆ037/83w30@¦;=>;…}µ`03¶eˆ037/83w30§l;=>;‰fjAWiIQCRUHCºHU™eCFL~HO3UUmE

fjO3~CFKFKFOIE«fjH<LQHUHJCFKFLOIEyH—dICFKFKRHEfBDOIEUOIEBDCRJCRUHH}Z1ZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZW‚W›p

Á5®ˆ6‡¯_`;b–‰;3ffjOILKRHEGAW~HM`™‰VUL~HHŽEGA3KFKRm@d3HO3QO3XFHJCFKFLO3XYOuOId

CFLBIAZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZs‚W›I›

G

)*‘#l"&{

{+

;…!

"#%$

;…!&

(')'*+ -,

;&;/.10243657 89;:<=8>24?@8*7(3 AB:C2

34D<E0F7(24??:DGZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZW‚W›D[

,F+ "H(IKJ

;…L

+ ')'*+ NM

;…L

I1"#OH$P6

y;…&

(')'*+ Q,

;&;1RS?T5(:<=8*5(:DG

DU

n

WVF:<E24GB?:DG89B7(26X24365 8GB342Y?0243657 8ZU7(D<\[Y]Z^VB8*5 8`_B?:GB>a0D9bFGBD<E:89

<ED1VF249ZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ3‚I­I­

$`6c)$

;…!&

(')'*+ -,

;&;…

,1'+6d+ eJ

;fZ:>:5 89;g!8*5(267(<=8*7(h1:GB>

DUS:<=8>24?ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ1‚3qp

i +("#j+ k, ;…lL I1"#OH$P6 y;…l& (')'*+ m, ;&;… ,1'+6d+ nJ ;

.10243657 89:<=8>2ZUD7(<=8*5UD7oVB8*5 8@34D<E<@_BGB:3)8*5(:DGB?Z1ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZs‚3qI¸

_u’\ˆ0YrŠ83w30}_`;ba;…_u’\ˆ0YrŠ83w}¦;ba;ž`A3jAWQQCRQSIUOICŠfjO3XYjA3EEHjO3i/AWUHC`K

HKRfO3QSDoFO3i/AWUHCFEBDCRkUO3QO3XFHHqpo024Gr%s«ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ‚I¬I­

,0I’Y7Dt69<;=>;QXYOIjHBDEiImPCRQCRUHM<BDCFLKFBDO3iIm*k<OId3QA3KFBDCRg”injA3KFBDjO3

iIm*kHoFOIdIjA3‹`CRUHMk*ZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ‚3¸Iƒ

(7)

MoRmLCZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZY‚3¸Iq

,ˆ03¶l4t7/83wlœl;l;…*–*²F8¤^8WvY7Dt6”_`;ba;¹GfCR~HAWQSIUmCŠKFjC1PKFBIi/A`PQMjA3oR

jA3dIOIBDLHK2bfjHQOW‹`CRUHg}Z1ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZW‚3[3›

“*t68W.bˆ0IvW83wh¦;“e;?nCFBDOFPHLA<VJCFBIA—HUKFBDjVECRUBIAWQSIUO3gºH@ECFBDOFPHJCR

KFLO3gnfO3XYjCF|ŠUOIKFBIH<iIm*JHKRQCRUHMfO3QOW‹ŽHBDCRQSIUO3XYOlfO3QHUOIEGAZRZFZFZFZFZRZFZFZ¤šIƒIƒ

]ˆ03ªt^5Fw3²R7Dt2€“e;9<;…Šµ*ˆt^t©7/8(¼;_`; ‰fjAWiIQMeŠHC”KRHKFBDCFEm LO3U

BDjO3QMoRUAWUHg}ZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZWšIƒIq

]ˆt¿l7Dt6y“e;xy;?nCFBDOFPm£AWiDBDOIEGA3BIHoRHjO3i/AWUUO3g”HPCRUBIH™‰HLAW~HMXYjAW

UHBIUm*kOIdIjA3oR~O3iA3j/k/CFO3QO3XFHJCFKFLHkOId"CFLBDO3ilZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ3špYš

9n5srutvW83wa;“e;GmKFBDjA3M™‰HQS3BDjAW~HMlHoFOIdIjA3‹`CRUHgKFjC1PKFBIi/A3EHXYjAW

™‰HJCFKFLO3XYOlV/KFLOIjHBDCRQMH po024G] osZRZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZšpY¸

9rut¶eˆt5Fw}xy;9<;"c‰fBIHEGAWQSIUA3MnPCFLOIEfOIoRH~HM<BIA3d3QH~hinjCRQM~HO3U

UO3g<dDA3oFCuPAWUUm*kuZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZ1šD‚I­

¦*wW4tª¢“e;“e;lzA3oFjA3dIOIBDLAŸKFjC1PKFBIi‘AWiDBDOIEGA3BIHoYAW~HH:jCF|`CRUHg:oYAYPAFJ

BDjAWUKRfOIjBIUO3gQO3XFHKFBIHLH*Z¤ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ½šIšIƒ

„ 0Dw3³^83w 9<;ba; ?nOIj™eO3QO3XFHJCFKFLHg AWUAWQHo CFKFBDCFKFBIiDCRUUO3XYO

MoRmLA*ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ1šIšD¬

„

-/’W83wnµl;_`;…Gxh516D¿lt7/83w]";]";±ŠO3iImCi/A3jHAWUBIm‘HUBDCFji/AWQSIUO3ghfjO3

XYjA3EEUO3g—KRHKFBDCFEm—ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZsš3›p

œŽw303683w_`;_`;… !Š8F¯/^83w§l;“e;HKFBDOIjHMnfOWMiIQCRUHM´fjCRHEV`CR

KFBIi/AŽHnfjHECFjm(HKRfO3QSDoFO3i/AWUHMZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZsš3›I›

¥`01ˆ0I’35s^D6t7/83wœl;_`;"?nOFPCRQSnoYA3ŠHBIm‘LOIEfA3LBI½PHKFLO3iOIBUCRQH~CRU

oRHO3UUO3XYOLO3fHjO3i/AWUHMuZ1ZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ¤š3›D¸

¥`01ˆ037/83w3²R7Dt2@a;_`;iDBDOIEGA3BIHJCFKFLA3M<LQA3KFKRH™‰HLAW~HM<BDCFLKFBDO3iIm*kPO3

LVECRUBDO3ili}oYAYPAFJCŠLQA3KFBDCFjHoYAW~HHlZ1ZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFšD­I‚

¥`8\ˆ8Y¶l7Dt¯º9<;_`;¹GHKFBDCFEm O3~CRULH(oRUAWUHg´OIKRUO3i/AWUUmChUAºBDCFOIjHH

UCRJCFBDLHk}EUOW‹`CFKFBIieZYZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZRšD­I­

¥*ˆ0I²R683w30l_`;=>;GHUA3jUmCŠO3fCFjAW~HHUAYPbƒ´p®®EGA3BDjH~A3EHnHnHkEO3

PCRQHjO3i/AWUHC*ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZYšD­3[

Ž5FwWt60<_`;,e; GKFBDO3gJHiDOIKFBIS—AWQXYOIjHBDEO3i”|ŠH™ejO3i/AWUHMyfjHºHKRfO3QSI

oFO3i/AWUHH<fA3jAWQQCRQSIUm*kKRHKFBDCFEZRZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ®šIqD­

x—tIˆ8Y¿l6t45167/8ºœl;9<;‰?nCFBDOFPHLA«™eOIjEHjO3i/AWUHM€OIdIjA3oFO3i/A3BDCRQSIUO3XYO

fjO3~CFKFKYAŽUAŽOIKRUO3iDCŠfA3jAWQQCRQSIUm*kBDCRkUO3QO3XFHgnZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ/šIqI¸

x—t¯032^83w€–‰;Š;±ŠCFLOIBDOIjmCºA3KRfCFLBIm jA3oFjA3dIOIBDLHŸKRHKFBDCFE:EO3UHBDO3

jHUXFAŠPQMjA3KRfjC1PCRQRUUO3gbHU™ejA3KFBDjVLBIVjm”Z¤ZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ\šD¬I­

x”8 3.183w38Y2¢xy;“e;ŠŒŠO3UBDCFLKFBIUO3®OIjHCRUBIHjO3i/AWUUm*g!BDCFoYAFVjV/K«jV/KFKFLO3XYO

MoRmLA*ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ1šD¬3[

x—‡¿l7/83wu_`;ba;DcedICFKRfCRJCRUHC*dICFoFO3fA3KRUOIKFBIH}i`EGAWQOIdIP‹`CFBIUm*klHUBDCFj

UCFBdDA3oYAWkPAWUUm*keZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ\šI¸3›

§Ž53v35®ˆ83w30:_`;“e;—c iIm*JHKRQCRUHH FLKRfO3UCRU~HAWQSIUO3®BDjHXYO3UOIECFBDjH

JCFKFLHk

B ϕ

KRfQAWgUO3ilUAŽfA3jAWQQCRQSIUO3g<KRHKFBDCFECZRZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZRšI¸I[

µ`03¿l7Dt6—xy;“e;žŠjHECRUCRUHCeUCRgjO3UUm*kKFCFBDCRg<fjH<jA3oFjA3dIOIBDLCŽAWQXYO3

jHBDEGA`iHXYjC¤iIHjBIVAWQSIUm*g—™‰VBDdIO3Q ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZbšI[Iq

µŽ5®ˆ/rut683wnµl;_`;"žŠjC1PKFBIAWiIQCRUHC™‰QCFLKRHgºi<fjMEO3gºoYAYPAFJC}EOIj™eO3

QO3XFHJCFKFLO3XYO}AWUAWQHoYAZUAWQHouKFOIKFBIAWiIUm*knKRQO3iuZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZR›Dƒp

(8)

XYjCFKFKRHiIUO3XYOK1‹ŽA3BIHMfAWQHBDjO3iIm*kHoFOIdIjA3‹`CRUHgZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZR›DƒI[

-/²\037/83w}“e;¦;"¹O3iDjCFECRUUmClECFBDOFPmŸfCFjCRki/A3BIA os®s™‰VUL~Hgni—cŠ¹

:GVFD)g?{ZYZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZR›pF›

a0DwWtª7/0Y³«9<;“e;CRUCFjHjO3i/AWUHChUCFOIBDjH~A3BDCRQSIUm*k(EGA3BDjH~$KFO»KRfCR

~HAWQSIUmEH KRiDO3gKFBIi/A3EHZ ŒŠOFPHjO3i/AWUHC H PCFLOFPHjO3i/AWUHC

bƒ´p®®EGA3BDjH~}ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZF›/‚3ƒ

aG5sr`51651ª:a;Š“e;ŠKRfO3QSDoFO3i/AWUHCºBDCRkUO3QO3XFHg H pof`^PQM

OIjXFAWUHoYAW~HH VWPAWQCRUUO3XYO AYPEHUHKFBDjHjO3i/AWUHM ¡ jA3oRQHJUm*k

BIHfO3i`ZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZW›/‚I¬

a8Y¶l6t7/83w30xy;“e;RŒŠOIEfSDeBDCFjUOICEOFPCRQHjO3i/AWUHCAWQXYOIjHBDEO3iVfjAWiI

QCRUHMKufjO3XFUOIoFOIEZYZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ\›DšIš

a-lt¯h9<;xy;?nOFPCRQS•KRHKFBDCFEmO3fHKYAWUHM«H(AWUAWQHoYA”iDjC1PO3UOIKRUO3XYO

LOFPAŽjCFKRVjKFO3i K2ZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ›I›Dƒ

¼03¶03-Fˆ83w(“e;_`;Žc jA3KRfA3jAWQQCRQHi/AWUHH>d3mKFBDjm*k£fjCFOIdIjA3oFO3i/AWUHg

`VjSDC"ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZb›I›Dš

¼5®ˆ5¤¯83w—œl;_`;QXYOIjHBDE!d3mKFBDjO3XYOhKFCRXYECRUBIHjO3i/AWUHMºHoFOIdIjA3‹`CRUHg

UCRiImjO3iIUCRUUO3XYO}BDCFLKFBIAeZRZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZY›/­3ƒ

À*ˆª5Fwl_`;ba;zA3oFjA3dIOIBDLAKRHKFBDCFEm$VfjAWiIQCRUHMd3HoRUCFKDfjO3~CFKFKYA3EH”K

HKRfO3QSDoFO3i/AWUHCFENr :367(D?DU5`^;: 89hQ.1267(C267e‚3ƒIƒ3›ZWZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZ›/­I¬

#&")*«"%)

"ll

l

J*'

;… 6j

y; ]o24GB267 8*5(:GB> UD7(24?T5@24G1C1:7(DGB<E24G5Z5 8*7(>265aU7(D<

8>7(:34_B95(_F7(2 8?2)V DG%G8*5(:C2og!8*5(267o36bF3492og:5(A%?TbF?T5(24< V1bFG8<E:34?*ZFZFZFZFZRZFZ/›DqD­

_Šw3vY-3^83w30‰xy;“e;Fz{CF|`CRUHCGHUBDCRXYjAWQSIUO3XYOVjAWiIUCRUHMPQM‰iDCFjOWMBIUOIKFBIH

UCFjA3oFOIjCRUHMKFBDjAWk/O3iDO3g<LOIEfAWUHH<ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZD›/¬I‚

_uv\ˆt03683w_`;_`;"cednOFPUOIE(LQA3KFKFCLOIO3fCFjA3BIHiIUm*knPH™u™eCFjCRU~HAWQSI

Um*kHXYjeZRZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZs›/¬3[

_6v\ˆt03683wlµl;“e;…"µŽ51¶eˆ83w30Ž“e;_`;c‰~CRULA Y™u™eCFLBIHiIUOIKFBIHXYOIjOFPKFLO3g

KRHKFBDCFEm€fA3KFKYA3‹ŽHjKFLO3XYOAWiDBDOIEOId3HQSIUO3XYO}BDjAWUKRfOIjBIA{Z1ZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ½›D¸D­

,‰5s^8Y68W²F83w30£œl;=>;…—¥`8¤^’Yt6 “e;“e;ŠKFKRQC1PO3i/AWUHCŸEOFPCRQCRg KFBDjAWk/O3

i/AWUHMlZRZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZF›D¸I¸

,8W.1vW03683w30•_`;“e;cPUAhBDCFOIjCFEGAhi«BDCFOIjHH@UCRJCFBDLO3g@OIBIUOIKRHBDCRQSIUO3g

i/A3‹ŽUOIKFBIH”LjHBDCFjHCRiZ1ZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ ›D[Iš

,8\ˆ83wWª83w30!xy;“e;…<¥Š- *¶lt6!9<;“e;lžŠOIKFBDjOICRUHC$A3dIKFO3QeBIUO3XYO£jAWiI

UO3iDCFKRHM i BDCFOIjCFBIHLO3bHXYjO3iDO3g EOFPCRQH EO3UO3fO3QHKFBIHJCFKFLO3g

LO3ULVjCRU~HHuZ¤ZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ\­3ƒIƒ

“*t^7/83w30>§l;“e;…a^8W’W8 €036t6 §l;xy;…ŸÁ-3rŠ037 l;œl;nced¢O3fBIHEGAWQSI

UOIE AWQXYOIjHBDEC jA3KRfjC1PCRQCRUHM BDjCRkfA3jA3ECFBDjHJCFKFLO3XYO

jCFKRVjKYAŠZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZI­3ƒD¬

]0Y^5R.183w<_`;œl;…]01ˆ60D5Fw_`;=>;{cPUAHXYjAnKiImdIOIjOIEŸUAWQO3XYO3iDO3gKRH

KFBDCFEmhZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ¤­/pIp

]036D7/83w30<_`;,e;¡`HUA3EHJCFKFLOICŽPOIEHUHjO3i/AWUHC}jCF|`CRUHgyi”EOFPCRQMk

KFO3iDECFKFBIUO3XYO}OIKRV`CFKFBIiIQCRUHMfjOICFLBDO3iŽZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZD­/pYq

(9)

fjHMBIHMGZ¤ZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZb­I‚/p

]01ˆ60D5FwŽ_`;=>;…atvR³Iˆ¶8<¼;µl;cPUAŠPHUA3EHJCFKFLA3M}HXYjAŽfO3HKFLAuZFZRZFZI­I‚I­

]01ˆ60D5Fwu_`;=>;…a8¤^83w5FwŠ_`;=>;cPUA‰HXYjO3i/A3M}oYAYPAFJAFLO3QO3XFHJCFKFLO3

XYOEO3UHBDOIjHUXFAZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZR­I‚3¸

]0I²sˆ03¶83wŽxy;]";?<A3BDCFEGA3BIHJCFKFLA3MEOFPCRQSVfjAWiIQCRUHMoYAWfA3KYA3EH—ZRZFZFZFZ/­3šp

]ˆtª032n¥l;§l;…"x”0Y^0 5F5Fw–‰;_`;?UO3XYOI|ŽAWXYO3i/A3MnHXYjAŽAFVL~HO3UA`K‰VJAW

KFBIHCFE

N

fjOFPAWiI~O3i‰ZYZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZF­3šI¸

„ 51675FwWt4§l;_`;…a‡ˆ83w30Ž_`;¥l;ŠCRUO3iDOICefO3iDC1PCRUHCPHQCFjAŠUAŠi/AWQeBI

UOIEjm*ULCefjHV/KRQO3iIHHPH™u™eCFjCRU~HAW~HHnfOIBDjCFd3HBDCRQCRg}Z1ZFZRZFZFZFZRZFZFZFZW­W›/‚

„ ³¶l4t6 _`;“e; ±`A3jOFPUA3M BDCFOIjCFEGA i OFPUO3g KFBDOYkA3KFBIHJCFKFLO3g

HXYjCZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZ®­W›Dq

¥e^trŠ83w30–‰;§l;GmdIOIjO3fBIHEGAWQSIUO3XYOŠkHEHJCFKFLO3XYOŠKFOIKFBIAWi/AŠKRi/A3jHi/AW

CFEO3g—KRVWPOIKFBDjO3HBDCRQSIUO3gnKFBIAWQHfO3iIm|`CRUUO3g—fjO3JUOIKFBIHZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZD­I­3ƒ

¥e^trŠ83w30•–‰;§l;{?UO3XYOILjHBDCFjHAWQSIUm*gyiImdIOIjºUA<OIKRUO3iDC}UCFLOIBDOIjm*k

UA3dIOIjO3iŠiDoYAWHEUOuoYAWiIHKRHEO3glHU™eOIjEGAW~HHOIduOIBIUOIKRHBDCRQSIUO3gŽi/A3‹ŽUO3

KFBIH<LjHBDCFjHCRiŽZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZ/­I­I­

¥`8 F^83w3²R7/0Y³<§l;“e;°{CFOIjCFBIHLO3bHXYjO3i/A3MlEOFPCRQSlKFOILjA3`CRUHM}iImdIjOIKFO3i

iDjC1PUm*kiDCF`CFKFBIi}iA3BDEOIKY™eCFjVZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZb­I­3[

¥`8 Yrut60}=>;_`;cPUAŽoYAYPAFJAEGA3LjO FLO3UOIEHJCFKFLO3XYOlVfjAWiIQCRUHMeZ1ZFZ¤­3q3›

¥`8¤^’Yt6“e;“e;…¥Š-/v\ˆ³¿83w30¼;¦;IŠKFKRQC1PO3i/AWUHC*XYjVffO3iIm*kŽjCF|`CRUHg}i

V/KRQO3iIHMk}UCRJCFBDLHkPAWUUm*kŽZRZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZY­3qI[

¥`8Y6²R¶036¶lt683w!_`;xy;…—x”0Y^0 5F5Fw:–‰;_`;ŒŠOIEfjOIEHKFKRUOICŸjCF|`CRUHC

i PHUA3EHJCFKFLO3g EOFPCRQHNA3L~HO3UHjO3i/AWUUO3gN™‰HjEm KLjC1PHBDO3

i/AWUHCFEZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ¤­I¬W›

Ž5(6t60¦;_`;±ŠOIjEHjO3i/AWUUOIClUAWHECRUSD|`CFCKR®M/PjO}i<LOIO3fCFjA3BIHiI

Um*kHXYjAWkZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZ­I¬3¸

x”0Y^0 5F5Fwl–‰;_`;…G0IvY45167/8e_`;=>;3ŒŠO3ULVjCRUBIUA3MŠoYAYPAFJAeKRHUkjO3UHoYAW

~HH<jA3dIOIBIm$KFCFjiDCFjO3iH<HPCFEfOIBDCRUBIUm*gnAWUAWQHo"ZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZs­3¸Iq

–*.^8W’¤^t6”Àl;“e;cedO3fBIHEGAWQSIUOIKFBIHnjAYPHAWQSIUO3g<KFBDjA3BDCRXFHH}ZFZFZRZFZFZFZFZRZFZI­3¸I[

a^8W’W8 €036t6@§l;xy;…u5RvW8W²Y5F5Fwl9<;9<;…Á-3rŠ037 l;œl;žŠjOIKFBDCRg|ŽA3M•EO3

PCRQSHXYjm(UAŽiIm‹ŽHi/AWUHCŠi}KRQVJA3C ®‚/´› PHUA3EHLHZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZD­3[D¬

arutIˆ683w30”“e;_`;{žŠjHECRUCRUHCjA3KRfjC1PCRQCRUHM•™‰VUL~HO3UAWQO3i”iº™‰H

UAWUKFO3iDO3g—EGA3BDCFEGA3BIHLCGZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZRqIƒIƒ

arutIˆ683w30l§l;“e;…¼01ˆ03¿l6t60<a;œl; ‰fjOI`CRUUOICŠEOFPH™‰H~HjO3i/AWUUOIC

N

®M/PjOŽi}LOIO3fCFjA3BIHiIUm*kn°*žubHXYjAWk

n

QH~*ZRZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZ½qIƒ3›

a¶01ˆª5FwŽœl;_`;¨GXFAWQHBIA3jUmC`oRUAFJCRUHMHXYj—KuUC1PCRQHEmEH—iIm*HXYjm*

|ŽA3EH—HnfO3UMBIHCejA3oFjV|ŽA3e`CRXYOHXYjOILAŠZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZIqIƒI[

a¶}516t6!µl;§l;eŒNOIdIOIKRUO3i/AWUHNBDCRkUHJCFKFLO3XYO»AWUAWQHoYA@i(fjO3~CFKFKFC

fjHUMBIHMjCF|`CRUHMZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZbqpF›

a¶eˆ8Y7/036µl;“e;WÂuU™eOIjEGAW~HO3UUmCjAWiIUO3iDCFKRHMŽiuLOIEEVUHLAW~HO3UUm*k

KRHKFBDCFEGAWkeZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZ¤qpY¸

¼trŠ85F5Fw30”–‰;ba;… !ut¶eˆ83wŽ]";xy;c!KRHQSIUO}BDjAWUoRHBIHiIUm*kd3HUA3jUm*k

OIBIUOI|`CRUHMk*ZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZFZFZFZRZFZFZFZFZRZsqD‚W›

(10)

1. Математическая теория процессов

управления

(11)

Бугайченко Д.Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическая модель интеллектуального агента

Рекомендовано к публикации доцентом Соловьевым И.П.

Введение. Одной из основных особенностей большинства совре- менных информационных систем является то, что они не предна- значены для самостоятельного принятия решения в тех или иных ситуациях. Предположительно, все возможные варианты поведения таких систем должны быть спроектированы человеком и заложены в них на этапе разработки. Попадание подобной системы в усло- вия, не учтенные её разработчиками, может приводить к аварий- ному завершению или более тяжелым последствиям, вплоть до по- вреждения дорогостоящего оборудования и даже гибели людей. В то же время экспоненциальный рост вычислительных возможностей со- временных процессоров ведет к непрерывному росту спектра задач, поддающихся полной или частичной автоматизации, и увеличению их сложности. В таких условиях становится всё сложнее учитывать все особенности поведения систем на этапе их разработки, а также увеличивается вероятность ошибок в системах, в том числе и крити- ческих.

Особенно остро эта проблема проявляется при разработке систем управления сложными устройствами или комплексами, так как в этом случае системе приходится взаимодействовать с многогранным, сложным и плохо предсказуемым реальным миром. В этом случае вероятность того, что в процессе своей работы система встретится с не предусмотренными изначально её разработчиками ситуациями весьма велика, а последствия некорректного поведения системы мо- гут быть очень тяжелыми.

Одним из подходов, направленных на решение этой проблемы, является агентно-ориентированное программирование и применение мультиагентных систем. Можно сформулировать следующее опреде- ление агента, адаптированное многими современными исследовате- лями.

Определение 1 [1]. Агент – вычислительная система, помещен-

ная во внешнюю среду, способная взаимодействовать с ней, совершая

(12)

автономные рациональные действия для достижения определенных целей.

Важным отличительным свойством концепции агента являет- ся наличие внешней среды, с которой агент способен взаимодей- ствовать, но не обладает возможностью её контролировать, поэтому агент всегда должен быть готов к тому, что предпринятые им дей- ствия не приведут к желаемым результатам. Таким образом, агент является системой, способной адекватно реагировать на изменения внешней среды, не предусмотренные явно его поведенческими меха- низмами. Именно это свойство и делает концепцию агента привлека- тельным инструментом для решения управления сложными устрой- ствами и комплексами.

Математическая модель агента является удобным инструментом, позволяющим проектировать поведение агентов с использованием четких формальных методов, а затем проверять корректность полу- ченных систем с использованием методов автоматической проверки корректности.

В основе приведенной математической модели интеллектуально- го агента лежат работы М. Вулдриджа и Н. Дженингса [1–3]. В дан- ной работе мы предложим несколько расширений классических ме- тодов, позволяющих описывать такие особенности поведения интел- лектуального агента как целеполагание и прогнозирование, аккуму- ляцию опыта, а также планирование.

1. Базовый агент. Для начала предположим, что внешняя сре- да агента может быть описана с помощью множества S состояний среды. Возможные действия агента описываются с помощью множе- ства A действий. Агент может представляться как функция

action : S A.

Таким образом, выбор конкретного действия из множества воз- можных агент осуществляет, основываясь на текущем состоянии внешней среды, а также истории, описывающей все предыдущие со- стояния. Недетерминированное поведение внешней среды в этом слу- чае можно описать следующей функцией

env : S × A 2 S .

Недетерминизм внешней среды выражается в том, что в зависи-

мости от своего текущего состояния и выбранного агентом действия

среда может перейти в одно состояние из определенного множества.

(13)

2. Восприятие. Часто для описания агента удобно использовать модель восприятия окружающей среды. Для этого необходимо вве- сти множество P возможных восприятий и функцию see : S P, описывающую, каким образом определенные состояния среды вос- принимаются агентом. В этом случае агент может быть описан с помощью функции

action : P A,

т.е. действие такого агента определяется в общем случае текущим восприятием состояния внешней среды, а также множеством преды- дущих восприятий.

Модель восприятия обладает следующим важным свойством:

¬(see(s 1 ) = see(s 2 ) s 1 = s 2 ), т.е. разные состояния среды могут одинаково восприниматься агентом. Таким образом, модель воспри- ятия позволяет явно отразить следующие два аспекта деятельности агента:

неполнота информации – как правило, агенту доступна лишь частичная информация, позволяющая сделать вывод о том, что внешняя среда находится в одном из состояний класса;

избыточность информации – с другой стороны, обычно для принятия решения полная информация о состоянии внешней среды и не требуется.

3. Агент с состоянием. Еще одной интересной модификацией математической модели является агент с состоянием. Такой агент содержит некоторые внутренние структуры данных, которые он мо- дифицирует в зависимости от восприятия текущего состояния внеш- ней среды, и на основе полученных результатов выбирает действие.

Для формализации этого процесса введем множество I внутренних состояний агента и функцию

ref ine : I × P I, (1)

отвечающую за обновление внутреннего состояния в соответствии с текущим восприятием среды. Агент же в этом случае будет описы- ваться с помощью функции

action : I A,

т.е. действие будет выбираться на основе текущего внутреннего со-

стояния. При этом выбор действия на самом деле осуществляется с

(14)

помощью суперпозиции функций action(ref ine(i, see(s))). Для кор- ректного описания поведения агента с состоянием необходимо опре- делить начальное состояние i 0 . Тогда изменение внутреннего состоя- ния агента и выбор действия будет происходить следующим образом:

i n+1 = ref ine(i n , see(s n )), a n = action(ref ine(i n , see(s n ))), ∀n N.

Состояние позволяет основывать выбор действия не на последо- вательности входных данных переменной длины, а на одном кон- кретном элементе состояния, что является важным свойством с точ- ки зрения практической реализации.

4. Накопление опыта. Описанная выше математическая мо- дель обладает одним существенным недостатком – определенный таким образом агент не получает информации о совершенных им самим действиях, что резко ограничивает его возможности в накоп- лении опыта и анализе потенциальных последствий его действий.

Одним из решений этой проблемы является включение информации о совершаемых действиях явно во входные данные функции выбора действия

action : P × A A.

Для агента с состоянием анализ и накопление опыта осуществ- ляются функцией обновления состояния (1), следовательно, инфор- мацию о действиях агента логичнее обрабатывать именно с её помо-

щью: ref ine : I × P × A I.

5. Управляемый целями агент. В этом разделе рассмотрим такое важное отличительное свойство интеллектуального агента, как управляемое целями поведение. Одним из возможных способов опи- сания цели агента является определение оценочной функции

goal : P [0, 1].

Эта функция позволяет агенту для каждого восприятия состо- яния среды определить, насколько оно соответствует поставленной перед ним цели. Часто можно встретить ситуацию, когда цель аген- та является “неделимой”, т.е. агент либо достигает цель полностью, либо не достигает её вообще.

Обычно агент преследует не одну конкретную цель, а некоторый

их набор, при этом цели агента являются частью его внутреннего со-

стояния I = I 0 × 2 Goals , где Goals = {g | g : P [0, 1]} есть конечное

(15)

множество всех оценочных функций, а I 0 есть остальная часть со- стояния агента, не относящаяся к целеполаганию. Тогда общая оце- ночная функция агента для состояния (i, G) может быть определена, например, так:

goal(p) = 1

|G|

X

g∈G

g(p),

где p есть оцениваемое восприятие состояния среды. В случае, когда агент не имеет ни одной цели (G = ), значение оценочной функции определяется равным нулю (goal = 0). .

На практике чаще всего цели агента имеют различный приоритет.

В этом случае структура множества целей усложняется: Goals = {(g, w) | g : P [0, 1], w [0, +)}, где w есть неотрицательное число, определяющее приоритет конкретной цели для агента. Общая оценочная функция агента для состояния (i, G) тогда может иметь вид

goal(p) = 1 P

(g,w)∈G

w X

(g,w)∈G

(w · g(p)). (2)

В случае, когда агент не имеет ни одной цели с ненулевым прио- ритетом, то есть G = или P

(g,w)∈G

w = 0, значение оценочной функ- ции определяется равным нулю (goal = 0). .

Однако для эффективного управляемого целями поведения аген- ту недостаточно просто определить свои цели. Необходимым усло- вием для эффективности является способность предсказывать по- следствия своих действий. Как часть своего состояния агент должен включать прогнозирующую функцию

prog : P × A 2 [0,1] ,

принимающую в качестве параметров текущее восприятие состоя- ния внешней среды и действие агента, а возвращающая множество возможных восприятий состояний среды, в одно из которых она пе- рейдет после выполнения действия, вместе с вероятностью перехода.

Прогнозирующая функция является важной составляющей внут- реннего состояния агента и строится на основе его аккумулированно- го опыта. Обозначим множество всех прогнозирующих функций че- рез P rogs = {prog | prog : P ×A 2 [0,1] }. В этом случае структура внутреннего состояния агента примет вид: I = I 0 × 2 Goals × P rogs.

Использование прогнозирующих функций позволяет представить

задачу принятия решения агентом как задачу нахождения точки

(16)

максимального значения функции потенциального эффекта дей- ствия v : A [0, +), выражаемой через функции goal и prog. Для простой прогнозирующей функции это v(a) = P

p∈prog(p cur ,a)

goal(p), где p cur есть восприятие текущего состояния внешней среды. Для ве- роятностной прогнозирующей функции выражение сложнее:

v(a) = P

(p,θ)∈prog(p cur ,a)

(θ · goal(p)). Если же обратиться к вычисле- нию функции goal, см. (2), то можно получить следующее итоговое выражение функции v для агента с состоянием (i, G, prog) и внешней среды в состоянии, воспринимаемом как p cur :

v(a) = X

(p,θ)∈prog(p cur ,a)

  θ P

(g,w)∈G

w · X

(g,w)∈G

(w · g (p))

  .

6. Планирование. Важной для агента способностью является возможность планирования своих действий на несколько шагов впе- ред. Таким образом, помимо оперативных целей, достигаемых на текущем действии (именно такие цели рассматривались в предыду- щем разделе), у агента появляются перспективные цели, для дости- жения которых агенту потребуется выполнить последовательность из нескольких действий.

Процесс планирования включает также поддержание вспомога- тельной структуры данных, являющейся частью общего состояния агента. Обозначим множество всех таких структур как P lans, тогда состояние агента будет включать множество перспективных целей, прогнозирующую функцию, информацию о плане и остальную вспо- могательную информацию: I = I 0 × 2 Goals × P rogs × P lans . В итоге процесс планирования можно смоделировать с помощью планирую- щей функции

plan : 2 Goals × P rogs × P lans × P P lans,

которая на основе данных перспективных целей формирует структу- ру с описанием плана, используя для этого прогнозирующую функ- цию и восприятие текущего состояния внешней среды, а также функ- ции формирования оперативных целей

oper : P lans 2 Goals ,

(17)

которая на основе плана осуществляет формирование множества оперативных целей.

Можно отметить, что в большинстве случаев процесс планирова- ния имеет б´ольшую вычислительную сложность, чем процесс при- нятия решения о конкретном оперативном действии. Для оптимиза- ции этого процесса можно запоминать основу однажды составлен- ного плана и адаптировать её к возникающим задачам, что может оказаться значительно эффективнее создания нового плана “с нуля”.

Литература

1. Wooldridge M.J., Jennings N.R. Intelligent Agents: Theory and practise // The Knowledge Engineering Review, 1995.

2. Wooldridge M.J. The Logical Modeling of Computational Multi- Agent Systems: phd thesis. Manchester, 1992. 153 p.

3. Wooldridge M.J. Intelligent Agents // Multiagent Systems, 2001. P.

27–79.

4. Huhns M.N. , Stephens L.M. Multiagent Systems and Societies of Agents // Multiagent Systems, 2001. P. 79–121.

5. Jennings N.R., Wooldridge M.J. Applications of Intelligent Agents.

London: Queen Mary & Westfield College, University of London, 2000. 27 p.

6. Miraftabi R. Agents on the Loose: An overview of agent technologies.

Joensuu: Department of Computer Sciense, University of Joensuu, 2000. 17 p.

7. Van Dyke Parunak H. Industrial and Practical Application of DAI

// Multiagent Systems, 2001. P. 27–79.

(18)

Галайко А.С.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об асимптотической устойчивости при переходе от непрерывной системы к разностной системе

Рекомендовано к публикации профессором Прасоловым А.В.

Цель данной работы заключается в исследовании сохранения свойства асимптотической устойчивости и оценки области притяже- ния при переходе от непрерывной системы к разностной.

Рассматривается система из двух уравнений Лотки – Вольтерры:

½ x ˙ = x(1 x y),

˙

y = y(1 αx βy). (1)

Данная система имеет асимптотически устойчивое нетривиаль- ное положение равновесия

x = β 1

β α , y = 1 α

β α (2)

при ограничениях на параметры α и β [1]: α (0, 1) , β > 1, и обла- стью её притяжения является открытый положительный квадрант, или, после перехода к системе в отклонениях x = x x , y = y y , область:

x > β 1

β α , y > 1 α

β α . (3)

Этот факт для системы (1) получен с использованием известной функции Ляпунова [1]

V (x, y) =

³

x x x ln x x

´ +

³

y y y ln y y

´

. (4)

Рассмотрим переход к разностной системе через переход к инте- гральным уравнениям

½ x(t k+1 ) = x(t k ) exp( R t k+1

t k (1 x(s) y(s))ds), y(t k+1 ) = y(t k ) exp( R t k+1

t k (1 αx(s) βy(s))ds).

Положим t k = kh, t k R 1 , h – шаг дискретизации. Обозначим:

x(t k ) = x k , y(t k ) = y k . Пользуясь приближениями экспоненты и ин-

теграла и сохраняя прежние обозначения, получаем более простой

вид дискретной системы:

(19)

½ x k+1 = x k (1 + h(1 x k y k )),

y k+1 = y k (1 + h(1 αx k βy k )). (5) Данная система имеет нетривиальное положение равновесия (2).

Положительный квадрант инвариантен по отношению к системе (1), но не инвариантен по отношению к системе (5). Инвариантным же по отношению к системе (5) будет подмножество положительного квадранта, определяемое системой неравенств

½ 1 + h(1 x k y k ) > 0, 1 + h(1 αx k βy k ) > 0.

Или, после преобразования:

½ x k + y k < 1 h + 1, αx k + βy k < h 1 + 1.

Делая замену x = x x , y = y y , получим:

½ x k + y k < h 1 + 1 β−α β−1 β−α 1−α ,

αx k + βy k < h 1 + 1 α β−α β−1 β 1−α β−α . (6) Область притяжения содержится в множестве, которое является решением системы неравенств (6) с учетом ограничений (3).

Теперь проверим, будет ли асимптотически устойчиво положение равновесия (2) дискретной системы (5).

Утверждение. Для системы (5) асимптотическая устойчи- вость положения равновесия будет иметь место при ограничениях на шаг дискретизации: h (0, 1) (1, 2) и при α (0, 1) , β > 1.

Доказательство. Система линейного приближения системы в отклонениях (

x k+1 =

³

1 h β−α β−1

´

x k h β−α β−1 y k , y k+1 = 1−α β−α hαx k +

³

1 1−α β−α

´ y k , имеет следующие собственные числа:

λ 1 = |1 h|, λ 2 =

¯ ¯

¯ h + βαh βh + β α α β

¯ ¯

¯.

(20)

Как известно [2], для асимптотической устойчивости собственные числа матрицы линейного приближения должны быть по модулю меньше единицы. Решая полученную систему неравенств, приходим к приведенному в утверждении ограничению на шаг h.

Проведём оценку области притяжения дискретной системы снизу.

Для этого воспользуемся методом функций Ляпунова [2].

Разложение функции Ляпунова (4) в ряд Тейлора для дискрет- ного случая имеет вид:

V (x k , y k ) = 1

2 x 2 k β α β 1 + 1

2 y 2 k β α

1 α + o(x k , y k ), где o(x k , y k ) – члены более высокого порядка.

Обозначим

V (x k , y k ) = 1

2 x 2 k β α β 1 + 1

2 y 2 k β α 1 α .

Справа стоит положительно-определённая квадратичная форма в каноническом виде.

Приращение функции V (x k , y k ) должно быть отрицательно опре- делено. Отрицательная определенность приращения функции в силу линейной системы следует из критерия Сильвестра. Таким образом, ещё раз показано локальное сохранение свойства асимптотической устойчивости в окрестности положения равновесия.

Приращение функции Ляпунова в силу всей системы имеет вид:

V = 1 2 x 2 k h

"

2 µ

x k + β 1 β α

β α β 1 + h

µ

x k + β 1 β α

2 β α β 1 + +

µ

y k + 1 α β α

2 β α 1 α

#

+ x k y k h

"

µ

x k + β 1 β α

β α β 1 + +

µ

x k + β 1 β α

2 β α β 1 α

µ

y k + 1 α β α

β α 1 α + +hαβ

µ

y k + 1 α β α

2 β α 1 α

# + 1

2 y 2 k h

"

h µ

x k + β 1 β α

β α β 1

2β µ

y k + 1 α β α

β α 1 α + 2

µ

y k + 1 α β α

2 β α 1 α

#

.

(21)

Для отрицательной определённости функции ∆V выражения, стоящие в квадратных скобках, должны быть меньше либо равны нулю.

После преобразований получаем неравенства h 2

µ

x k + β−α β−1 h 1

2

1 +

h 2 α µ

y k + 1−α β−α

2

1−α β−1

1, (7)

1 2

µ

x k + β−α β−1 1 2

2

β−α β−1 β−α

β−1 + α β−α 1−α +

1 2

µ

y k + β−α 1−α 2 1

2

β−α 1−α αβh

β−α

β−1 + α β−α 1−α 1, (8) x k + β 1

β α

≤ −β 2 µ

y k + 1 α β α

2 β 1 1 α + 2β

µ

y k + 1 α β α

β 1 1 α h.

(9)

Исследования показали, что неравенство (9) не влияет на область притяжения.

Обозначим Ω – решение системы неравенств (6), (7), (8). Таким образом, можно сформулировать утверждение:

Утверждение. Точка (x k , y k ), принадлежащая области, бу- дет являться точкой области притяжения положения равновесия (2) системы (5).

Литература

1. Прасолов А.В. Математические модели динамики в экономике.

СПб: Изд-во СПбГУ Экономики и Финансов, 2000. 247 c.

2. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных си-

стем: Учебное пособие. СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 c.

Referências

Documentos relacionados

Для подробного изучения данных вопросов обратимся к доктрине уголовного права, в которой содержится позиция, согласно которой в случае если виновный при совершении кражи не смог