Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
V. S. Serebryakova, Circular motions of linked Froude pendulums, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1965, Number 4, 122–125
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 118.70.116.132
November 6, 2022, 10:32:56
И З В Е С Т И Я В Ы С Ш И Х У Ч Е Б Н Ы Х З А В Е Д Е Н И Й
1ш ' ~~ МАТЕМАТИКА " №4(47)
У Д К 517.919
В. С. Серебрякова
О К Р У Г О В Ы Х Д В И Ж Е Н И Я Х С В Я З А Н Н Ы Х М А Я Т Н И К О В Ф Р О У Д А Рассмотрим механическую систему, движение к о т о р о й описы
вается системой
JC + ах 4 - f(x) = TV sign (2 — x) + k'b (y — x), ^ у 4 - ay 4 - / ( j / ) == TVsign (Q—y) — ki>(y — x),
где /(-/j) — нечетная периодическая функция с периодом 2гс, имею
щая два корня на периоде ( / ( • * ) = / ( 0 ) = 0) и такая, что ^ / ( " i ) > 0 вблизи TJ = 0. Кроме т о г о , функция /(-/;) имеет в с ю д у н е п р е р ы в н у ю п р о и з в о д н у ю f с двумя нулями на периоде. А н а л о г и ч н ы е усло
вия наложим на ф у н к ц и ю ty(z) и, не нарушая о б щ н о с т и , будем считать | ф ( г ) | < 1 . П у с т ь a, TV, 2 , /г — п о л о ж и т е л ь н ы е постоянные величины. Перечисленные выше ограничения, накладываемые на функции и параметры, входящие в систему (1), назовем условиями (А).
В частном случае при / ( n j ) = sinvj система (1) будет описывать д в и жение связанных маятников Ф р о у д а — Ж у к о в с к о г о одинаковых масс.
Причем TVsign (2 — п) будет характеризовать трение вала ( с к о р о с т ь вращения к о т о р о г о 2 ) о муфту маятника; Щ(у — х) — сила взаимо
действия рассматриваемых маятников, осуществляемая через тре
ние. И з в е с т н о , что в р а щ а ю щ и й с я вал с л у ж и т и с т о ч н и к о м энергии, которая может поддерживать колебания маятников, обеспечивая, в ч а с т н о с т и , в о з м о ж н о с т ь автоколебаний системы |1], и м о ж е т д а ж е раскачивать их, создавая к р у г о в ы е д в и ж е н и я .
§ 1. П у с т ь изучаемая система (1) не имеет особых т о ч е к , т. е.
выполняется неравенство
\ k - N \ > m a x / f t ) . (2) Л е г к о показать, что при условии (2) с к о р о с т ь к а ж д о г о из рассмат
риваемых маятников (х (t) и y(t)) п о л о ж и т е л ь н а , начиная с н е к о т о р о г о момента времени t, следовательно, маятники с о в е р ш а ю т кру
говые д в и ж е н и я , а система (1) имеет периодическое по х и у ре
шение. Систему (1) заменим эквивалентной ей системой
х = и,
и = — ш — f(x) + TV sign (2 — а) + Ц (v — и), ^
У = v,
•и = — av —f(y) + TVsign (Q — v) — k$(v — u),
к о т о р у ю представим в виде д в у х систем дифференциальных уравне
ний, полагая
TVsign (и — 2 ) = TV для и > 2 , N sign (v — Q) = N для v>Q,
О круговых движениях связанных маятников Фроуда 123'
TVsign (й — Щ = — TV для и < 2 , TV sign {v — 2) = — TV для v < 2 .
Таким образом, изучение т р а е к т о р и й системы (3) сведем к изучению т р а е к т о р и й системы
х = и,
и = — аи -[f(x)-N] + mv-- u), у = v,
<v = — av -[f(y)-N]-W(v -u)
v < 2 и системы
х = и,
и = — аи ~{f(x) + N} + k<b(v - M),
y = v,
V = — av -[f(y) + N]-bUv — u)
(4)
(5)
для и > 2 и ^ > 2 .
Системы (4) и (5) м о ж н о представить в виде систем уравнений
первого порядка к . - ' . . . > .
da —• au — [/(*) -N] + k<b (v
dx •a
dv — av — [f(y) — N — К (;• — u)
dy V
da — au — [ / ( • * ) + N] - f k'b (v — a)
dx a
dv — av — [fly) + N] — k<b (v
- a )
dy V
(6)
(?)
о п и с ы в а ю щ и х движение в фазовом пространстве (х, у, и, v). Каче
с т в е н н у ю к а р т и н у н е и н т е г р и р у ю щ и х с я непосредственно систем (6) и (7) опишем с п о м о щ ь ю п р о е к ц и й на координатные плоскости х()и и yOv четырехмерного фазового п р о с т р а н с т в а , [2], каждая из кото
рых будет характеризовать д в и ж е н и е рассматриваемых, маятников.
Фроуда в о т д е л ь н о с т и .
Сначала исследуем на фазовой п л о с к о с т и хОи уравнение
для
и
< 2 иda dx
du dx
•au — [f(x) — N\ + ki>(v — a) и
-aa — \f (x) + N ] -I- k'b (v — u)
(8)
(9) для и > 2 . Уравнения (8) и (9) описывают п р о е к ц и и на плоскость хОи интегральных к р и в ы х системы (3). Заметим, что \ э т и , проекций состоят из к у с к о в т р а е к т о р и й уравнений (8) и (9), которые „склеи
в а ю т с я " в т о ч к а х прямой и = Q. Задача изучения т р а е к т о р и й урав
нения (8) и (9) у с л о ж н я е т с я наличием члена ф (v — и), зависящего от v, п о э т о м у это изучение проведем с п о м о щ ь ю "уравнений,.срав
нения, п о л у ч а ю щ и х с я заменой функции ф (v — и) на 1 и на —1 в: урав
нениях (8) и (9).
124 В. С. Серебрякова
Уравнения сравнения записываются с л е д у ю щ и м образом:
du~ _ —ад — [ / (х) — N] — k dx и du+ - ад — [f(x)-N] + k для tl < й и
(10) ( П )
(12) dx и
du~ — аи — [f{x) + ЛН — к
dx а ', du+ ^ - ад - | f(x) + N] + k
dx и для
и
> 2 .О ч е в и д н о , на п л о с к о с т и хОи справедливы неравенства
* С < <
J4l
при « > О, d.* dx dx^l
<^L
<J±i при и < О,
rfx d-v
которые д а ю т возможность з а к л ю ч и т ь к а ж д у ю п р о е к ц и ю интеграль
ной к р и в о й системы (3) в „ в и л к у " , с о с т о я щ у ю из и н т е г р а л ь н ы х кри
вых уравнений сравнения (10) — (12) при с о о т в е т с т в у ю щ и х этим уравнениям и. Л е г к о п р о в е с т и качественное исследование уравне
ний (8), и (9) с п о м о щ ь ю уравнений сравнения (10) — (12) так ж е , как и в работе [2].
О т м е т и м , ч т о , в силу п е р и о д и ч н о с т и ф у н к ц и й , в х о д я щ и х в си
стему (3), качественная картина изучается в полосах ш и р и н о й 2тс, и д у щ и х вдоль осей и и v с о о т в е т с т в е н н о , и что при у с л о в и и (2) система (3) не имеет ни особых т о ч е к , ни предельных циклов цер- вого рода, с о о т в е т с т в у ю щ и х периодическим по времени t траек
т о р и я м . Все т р а е к т о р и и уравнений (10)—(12) при t-^co п р и б л и ж а ю т с я к единственному у с т о й ч и в о м у предельному циклу в т о р о г о р о д а , к о т о р ы й охватывает цилиндр фазовой п л о с к о с т и (теорема 1 рабо
т ы [3]). О т с ю д а следует, по теореме 3 с т а т ь и [2], ч т о система (3) имеет периодическое по х и по у решение. Таким образом, очевидна
Т е о р е м а 1. Система (3), удовлетворяющая условиям (А) и (2),
всегда имеет периодическое решение.
§ 2. В отличие от предыдущего параграфа, д о п у с т и м , ч т о си
стема (3) имеет особые т о ч к и , к о т о р ы е я в л я ю т с я особыми т о ч к а м и с и с т е м ы (4) и определяются из уравнений и = 0, v = 0, f(x) — N = 0, f{y) — N=0, Следовательно, в этом параграфе ограничимся изуче
нием системы (3) для д о с т а т о ч н о малых /V, у д о в л е т в о р я ю щ и х соот
н о ш е н и ю
0 < N< m a x / С ч ) . (13) На фазовых п л о с к о с т я х хОи и yOv особые т о ч к и с о о т в е т с т в у ю щ и х
уравнений систем (6) и (7) не совпадают с о с о б ы м и т о ч к а м и урав
нений сравнения (10) и (11) и определяются из
f(4) = N±k.
(14)Д о п у с т и м , что уравнения (14) имеют к о р н и , т. е. п у с т ь N и k т а к о в ы , ч т о
\N± k\ < m a x / f t ) . (15)
О круговых движениях связанных маятников Фроуда
О ч е в и д н о , из выполнения неравенства (15) следует неравенство (13).
В в и д у т о г о , что коэффициенты в обоих уравнениях (1) одинаковы, маятники с о в е р ш а ю т одинаковые д в и ж е н и я при одинаковых началь
ных состояниях и одной и т о й ж е начальной с к о р о с т и .
Рассмотрим случай наличия к р у г о в о г о д в и ж е н и я к а ж д о г о маят
ника. Как следует из с т а т ь и [2], система (3) имеет периодическое но х я у решение.
Т е о р е м а 2. Если существует верхнее периодическое по х ре
шение уравнения (10) и выполняется неравенство (15), то суще
ствует периодическое по х и у решение системы (3).
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 с т а т ь и [4].
В заключение о т м е т и м , ч т о разновидности расположения траек
т о р и й уравнений (8) и (9) на фазовой п л о с к о с т и хОи при фиксиро
ванных значениях а я N в зависимости от изменений значений пара
метра 2 изучены качественными методами в работе [5] и м о г у т быть п о в т о р е н ы для с о о т в е т с т в у ю щ и х уравнений систем (6) и (7) на фазовой п л о с к о с т и yOv.
г. Свердловск Поступило 27 I 1964
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. А н д р о н о в, А. А. В я т т , С. Э. Х а й к и и . Теория колебаний. Физ- матгиз, М., 1959.
2. В. С. С е р е б р я к о в а , Е. А. Б а р б а ш и н. Качественное исследование урав
нений, описывающих движение взаимодействующих точек по окружности. Изв. вузов, Матем., № 2(21), стр. 137—146, 19Ы.
3. В. А. Т а б у е в а. О круговых движениях маятников Фроуда. П М М , т. 25, вып. 3, стр. 576—578, 1961.
4. В. С. С е р е б р я к о в а. О круговых движениях связанных маятников. Изв.
вузов, Матем., № 3(22), стр. 103—108, 1961.
5. В. А. Т а б у е в а. Исследование колебаний маятника Фроуда — Жуковского с учетом сил кулоновского трения. Сиб. матем. журн., т. IV, вып. 4, № 2, стр. 377—
390, 1963. • '
