Ю. А. Казьмин, О разложениях в ряды по по- линомам Аппеля, Матем. заметки , 1969, том 5, выпуск 5, 509–520

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. А. Казьмин, О разложениях в ряды по по- линомам Аппеля, Матем. заметки , 1969, том 5, выпуск 5, 509–520

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:12:00

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 5Г № 5 (1969}г 509—520

УДК 517.6

О РАЗЛОЖЕНИЯХ В РЯДЫ ПО ПОЛИНОМАМ АППЕЛЯ

Ю. А. Казьмин

Рассматриваются вопросы, связанные с задачей о разло­

жении в ряды по полиномам Аппеля {Рп (Щ целых функций роста не выше первого порядка и нормального типа о при ус­

ловии, что функции A (t) и J3 (t) регулярны в круге 1*| < о*.

Библ. 15 назв.

Последовательность полиномов {Рп (z)}, Рп (%) = Сп, где Сп={=0— константы, п = 0, 1, 2 , . . . , называют сис­

темой обобщенных полиномов Аппеля (или системой полиномов класса Л(2)), если выполнено одно из следую­

щих равносильных условий:

1) p ; (2) = Pn_2(z);

2) существуют (формально) два таких степенных ряда

что (формально) имеет место равенство

оо

A (t) е* + В (t) <г* = 2П = =Д (*) tn. (1) Требование того, чтобы h-й полином Аппеля Рп (z)

имел степень, в точности равную тг, эквивалентно выпол­

нению неравенства

(всюду в дальнейшем предполагается, что это неравенст­

во имеет место). Различные свойства полиномов класса А^\ изучались В. Б. Ожеговым [1, 2]. В статье рассмат­

риваются вопросы, связанные с возможностью разложе­

ния целых функций роста не выше первого порядка и нормального типа в ряды по полиномам Аппеля {Pn(z)}\

при этом делается предположение, что их производящие

509

функции Л (t) и В (•/) регулярны в некотором круге

| * | < < х , 0 < а < + оо.

Ниже используются следующие обозначения:

1) A (\z | < R) — пространство функций, аналитичес­

ких в круге \ z \ <C R, 0 < i? < + °° (топология в A {\z\<R) определяется равномерной сходимостью на произвольном компакте, лежащем в круге | z \ < R).

2) А (| z | > R) — пространство функций, регуляр­

ных в области | 2 | !> 7? и обращающихся в нуль на бес­

конечности (топология в этом пространстве определяется равномерной сходимостью на одной из окружностей 1*1 = Ри» Р п < # > рЛ t Д, л = 0 , 1 , 2, ...; а А (\ z | < Д) - пространство функций, аналитических в замкнутом круге

| 2 | <С R, с топологией, определяемой равномерной схо­

димостью на одной из окружностей | z | = rn, rn^> R, rn I R, п = 0, 1, 2, ...

3) [1, т] — класс целых функций роста не выше перво­

го порядка нормального типа т, U < т < -f- oo.

4) [1; a ] = ; UT < &H ; т], 0 < а < + о о .

При Л (*) и 5 (£) е А (| £ | < а) ряд (1) сходится рав­

номерно по совокупности переменных z и t в произволь­

ном бицилиндре { | 2 | <С R; | г | < о}, 0 < i? < + °o- Рассмотрим следующие вопросы.

I. Всякая ли функция F (z) ЕЕ [1; о) может быть раз­

ложена в ряд по полиномам Аппеля

F

(

) = %Zo

со свойством коэффициентов

lTmy

|"^J<a, (3)

?г-кю •

равномерно сходящийся к F (t) в любой конечной части комплексной плоскости? (Заметим, что свойство коэффи­

циентов (3) автоматически за собой влечет сходимость ряда (2) на произвольном компакте.)

Если ответ на поставленный вопрос положителен, то естественно возникают следующие задачи:

И . Каково множество всех разложений вида (2)—(3) для данной функции F (z) класса [1; а)?

III. Существует ли такое сг0, 0 < а0< ^ + ° ° » что для лю­

бой функции F (z) е [1; о0) разложение (2) — (3) (в (3) о — сг0) единственно?

510

Решению сформулированных задач I—III и посвяще­

на эта работа. Аппаратом исследования служат краевые задачи теории аналитических функций, что позволяет дать исчерпывающий ответ на вопросы I—III.

Следует отметить, что предлагаемый здесь метод реше­

ния вопросов I—III без изменений применим к исследова­

нию более общей проблемы о разложениях V/ (z) GE H (G)y

единственным образом представимой в виде

/ ( 2 ) =

2SiL|=a

^'

где ядро К (г, t) регулярно в области C x ' D , O G G , D:{t, | t \ ^ а } , а у (t) ЕЕ A (\t\ > a ) , в ряды по функциям

{if> (z)}, определяемым разложением

К (z; t) A(t) + K ( - z-t)B (t) - S^{n = Q} Ц^п (z) tⁿ. При этом н^жно лишь предположить, что система функций

)

„ т£=0

такова, что каждая из последовательностей {ср2п(0} И

{ф271+1 (t)} полна соответственно в замкнутой по топологии пространства A (\t\ < а) линейной оболочке степеней

{ > } и {*2П+1}.

Метод исследования позволяет решить аналогичную задачу для полиномов Аппеля произвольного класса A{v\ р. > 1 (см, об этом ниже, замечание 1), а также для их обобщений типа тех, о которых только что говорилось.

Возможны вариации постановки задачи и в других направлениях. Например, использующимся в работе ме­

тодом можно решить задачу, аналогичную тем, о которых здесь шла речь выше, в предположении, что участвующие в задаче функции не аналитичны, а только, скажем, не­

прерывны на контуре \t\ = а. Однако все это привело бы лишь только к преодолению сугубо технических труд­

ностей. А поскольку существо дела вскрывается в клас­

сическом случае (1), изложение им и ограничивается.

Перейдем к изложению исследования вопросов, о кото­

рых говорилось во введении. Сразу же заметим, что ряд в правой части равенства (2) со свойством коэффициентов (3) имеет в качестве своей суммы функцию F (z), принад­

лежащую классу [1; а). Последнее немедленно вытекает

dnK(z; t) dzn

из следующего интегрального представления для S (z):

s

W = ш S,

+

'

>

где функция yx (t) = Д ^ j^Tie ^ d1I > б) ' а К0НТУР ин­

тегрирования в (5) выбран таким образом, что 0 << р << <т, и у^х (t) регулярна при | 11 ;> р.

Интегральное представление (5) между тем наводит на мысль о решении задачи I. Действительно, вопрос о раз­

ложении произвольной функции F (z) ЕЕ И; О) В ряд вида (2) — (3) равносилен вопросу о представлении V ^ (з) е [1; а) в форме (5) с функцией y^x(t)^A (\t\ > а).

Итак, пусть F(z) ЕЕ И; о). Это значит, что F (z) ЕЕ ЕЕ [1; т] при некотором т < а. И пусть т < р < а. Тогда имеет место для F(z)= 2J " Г Г ^ ^ [ 1 » *Т1 хорошо из­

вестное интегральное представление Б орел я

где Т ( 0 = Х _-л=о ^ + i Л7 шс. е^ ( И > Р ) > ВВИДУ того> что lim у | сА| ^ т < " р . Используя (5) и (6), запишем задачу I в форме интегрального уравнения

2S?J Ы (О*

' + 5(0*"

']у«(0Л = 2SiJ ^ Y ( 0 ^ . (7)

где у* (0 ~ искомая функция из пространства А ( | £ | > р ) , т < р < а, а у (/) известная функция из того же пространства (ее обычно называют ассоциированной по Борелю с функцией F (z) ЕЕ [1; т]). Соотношение (7) эк­

вивалентно следующей системе равенств (п = 0 , 1 , 2 , . . .):

g^jj ^ " { [ ^ ( 0 + ( - l )ⁿ5 ( 0 ] Y * ( 0 - Y ( 0 } ^ = 0, Последние в свою очередь равносильны тому, что на ок­

ружности | 11 = р имеют место соотношения

"f [ А (0 + В (О J Y* (0 ~ Y (0 = % (0 + Ф+ (0. Н)

1 [Л (О - в (0J Yx (0 - Y (') - Фй (0 + **"('). ( j

где ух (t) ЕЕ A (\t\ > р) — искомая функция, функции Ф+(t) и Y+(t) ЕЕ A (\t\ ^ p) и являются неизвестными;

функция ф~ (t) тоже неизвестна, но относительно нее знаем, что она четная H £ i ( | f | > p ) , a функция qr (t) — нечетная и принадлежит тому же пространству.

Исключим неизвестные функции ф~ (t) и ф- (t) ЕЕ

€ Е Л ( | £ | > р ) . ДЛЯ этого прежде всего заметим, что если точка t лежит на окружности \t\ = р, то и точка—t тоже расположена на этой окружности. Поэтому равенства (8) остаются верными и при замене t на — t. В результате та­

кой замены получим следующие соотношения:

[A(~t) + B(-t)] ух (-*) - у (-*) = Ф- ( * ) + Ф+( - 0 , | ^ [A(-t)-B(~t)yx(-t)-y(-t)^-%(t)+Y+(-t),\

которые имеют место на окружности 11 \ = р. Вычитая из первого равенства в (8) первое соотношение в (9), найдем [A(t) + B(t)] yx(t) - [A(~t) + B(-t)]yx(~t) -Y l (t) = Ф^ (*), где функция 7i(0 = y(t) — у (—t) e A (| t |) > p), из­

вестна и является нечетной, а функция Ф\ (t) = Ф+ (t) —

— ф+(—t) ЕЕ -4(| t | ^ р), неизвестна, но тоже нечетна.

Аналогично, складывая вторые равенства из соотношений (8) и (9), получим [A(t) - B(t)]yx(t)+[A(—t) - B(-t)]

Ух (—*)—Тг(0 = ^2 (*)> где функция y2 (t) =y(t) -f у (—t) ЕЕ ЕЕ .4(1 f | > р), известна и четна, а функция Ya (t) ==Чг+(£) + + Т+(—£) ЕЕ Л (|£| ^ р ) , неизвестна и тоже четна.

Таким образом, задача о разложении У F(z) Ez [1; о) в ряд вида (2) — (3) (или, что то же, об интегральном представлении вида (5) для \/ F (z) ЕЕ [1; о)) равносильна следующей своеобразной системе краевых задач: найти три функции

1) yx(t)EEA (|*| > p ) ,

2) нечетную Ot(t) Е 4 ( | < | < р),

3) четную Ч/'г (0 ЕЕ ^ (I M <^ р)» которые на окру­

жности | t | = р удовлетворяют соотношениям

[A{t) + B(t))yx(t)-[A(-t) + "I

+ B(-t)]yx(-t)-y1(t) = a>+l(t),

[A(t)~B(t)]yx(t)±[A(~t)- > (1 0)

- В (-*)] Y* ( - 0 - Y* (0 = ^2 (0- I

Проделывая (формально) с равенствами (10) обычные при

513

Д(0 =

Ai(0 =

решении алгебраических уравнений выкладки, приходим к следующей классической краевой задаче Римана:

Найти пару функций ух (t) e A (| t | > р), O j (t) ЕЕ A (\t\ ^ р) таких, что для них на окружности

\t\ = р имеет место равенство

A(t)yx(t)- Ax(0 =Ф?(0, (11) где

Л(0 + 5 ( 0 - и ( - г ) + # ( - < ) ] Л (0—.5(0 A{—t) — B{—t)

= 2 [A (t) A (~t) ~B(t)B (~t))

— четная функция из пространства А ( | < | < о ) , а функция

|Yi(0 -lA(-t) + B(-t)]'

| Y . ( 0 A{-t)-B{-t)

регулярна в кольце т < \t\ < ст и является известной.

Обратим внимание на то, что A (t) ф 0, так как А(0) = 2[а20-Ь1]фО.

Исследуем теперь, какая имеется связь между решени­

ями системы (10) и решениями краевой задачи (11).

Ясно, что каждое решение ух (t), Ф1 (t) и Ч^ (t) системы (10) порождает решение

{ух (t) £= A (\t | < р); Ф+0(1) = Ф\ (t) [A (-*) - В ( - 0 1 +

+ W+2(t)lA(-t) + B(-t))^A(\t\^p)}

краевой задачи Римана (11). Обратное же, вообще говоря, неверно. Множество решений краевой задачи Римана (И) в некотором смысле «обширнее» множества решений зада­

чи (10), и не каждое решение (11): пара функций {ух (t) ЕЕ А (\t | > р); Фо (0 е А (| t | ) < р)} — обязано пере­

ходить в решение системы (10): тройку функций (ТэЛО; Фг (О? ^2 (ОЬ ° которой говорилось здесь выше.

Однако каждое решение задачи Римана (И): {yx(t)>

Фо (0Ь~- очевидно, порождает решение {ух (t); Ф$ (t)\

Wl (t)} следующей системы краевых задач:

A (t) {[A (t) + B(t)) yx (t)~[A (-t) +

+ в (~t)] Ух ( - о - n (*)} = Ф1 (0, b(t){[A(t) — B(t)]yx(t) + [A(-t)-

-B(-t)]yx(<-t)-y2(t)} = 4rt(t),

(12)

где

— Фо(— t) [А (—t) 4- В (— t)] — нечетная функция |

а функция [ (13)

^t(t) = 0+o(t)[A(t)-B(t)] +

+ <b+0(-t)[A(-t)-B(-t)]

— четная и ЕЕ тому же пространству, что и Ф1(0» J

Легко сообразить, что решение yx(t) E= A (\t\ > р) краевой задачи Римана (И) будет тогда и только тогда являться решением системы (10), когда сопряженное с ух (t) решение Фо (t)EzA (\t\ ^ p) порождает функции Фх (i) и ¥2 (t) ЕЕ A (\t\ ^ р), определенные формулами (13), совокупность нулей которых содержит множество нулей (с учетом их кратности!) в круге \t\ ^ р определителя А (£). Другими словами, множество всех решений систе­

мы (10) является подмножеством совокупности всех ре­

шений краевой задачи Римана (11), у которого функции Oi (')/*(*) и ¥2+(0/А(0

принадлежат пространству A (\t\ ^ р). В частности, за­

дачи (10), (11) и (12) эквивалентны между собой тогда и только тогда, когда детерминант A (t) не имеет нулей при [*1<Р-

Учитывая сказанное, перейдем к отысканию множест­

ва решений системы (10). Для этого сначала решим крае­

вую задачу Римана (11).

До сих пор контур | * | = р в задачах (10), (11), (12) у нас был произвольным, лишь бы только т < р < ст. Те­

перь (исключительно для простоты дальнейшего изложе­

ния!) будем считать его выбранным таким образом, что детерминант A (t) на окружности |£| —р не обращается в нуль. Это всегда можно сделать ввиду того, что A (t) ЕЕ ЕЕ A (\t\ < о) и A (t) ф 0, как об этом уже здесь гово­

рилось. Индекс задачи Римана (И) на окружности |£| = р всегда неотрицателен и равен числу нулей (с учетом их кратности) определителя A (t), попавших в круг |£|<СР- В этом случае краевая задача (11) при любом свобод­

ном члене Ах (t) (аналитическом при \t\ = p) всегда имеет решение [10, 11]. Воспользуемся решением этой задачи,

515

приведенным в книге Ф. Д. Гахова [10] (см. стр. 117 и далее) с той лишь разницей, что роль канонических функций, в отличие от использующихся в [10], у нас будут играть следующие отношения:

X4Z) = ^ и Х~ (z) = ,

iJLli3*l<p ^^{k) 1 1}I ^ I < P^{V PkJ}

где произведение берется по представителям (3fe всех групп нулей вида ± pfe (нуль (3fe имеет кратность, рав­

ную nh) четной функции Д(£), попавших в круг |£|< р.

Для краткости это произведение в дальнейшем будем обо­

значать через я (р; z).

Общее решение краевой задачи (11) может быть запи­

сано в виде

Y x ( z ) =

* г* с

;£f^;)^

p

_

,)iV

i4)

rxV ; я (р; z) [_2я* Jl u = p A(t)(t— z) ' XP1 V ' J ' v ' где |z| > p, и

где |z| <^ p. В выражениях (14), (15) через PXp-i (2) обо­

значен произвольный полином степени не выше %⁹ — 1.

В случае, когда хр= 0 , в (14) и (15) следует положить л (р; *) = 1 и РХр_х (%) = 0.

Теперь выделим из множества функций (14), (15) ин­

тересующие нас решения системы (10). Как уже говорилось выше, для этого достаточно из (14), (15) выбрать те реше­

ния, для которых функции

нечетная OUt)/&(t))

(16) и четная "¥+2(t)/^(t)1^

где Ф^ (t) и Wl (t) определены равенствами (13), регу­

лярны при И | ^ р. Ясно, что если это можно сделать, так только за счет выбора подходящим образом полиномов из множества {Рх _х (z)}.

Покажем, что это всегда возможно. Для этого, исполь зуя (15), перепишем (16) в виде

1 •{[A{*) + B(z)]PXirl{z)-

[ A (-z) + В(- z)] РХр-г (-z) + U («)}, {[A(z)~B(z)]Px.1(z) +

я (р; z)

л(р; z)

где

+ [A (-z) -В(- z)] P^-i ( - « ) + U (z)},

(17)

, ,_ч A(z) + B(z)<; At(О я (Р; t) ,

1'1=Р

4 ( - » ) + В ( - г )

2Я1

!^Ш*^в-1<«

и является нечетной функцией, а _ A(»)-B{z) С Ai(Qn(p; Q ,. , /»W - 2S1 у,1=р д (*)(»-*) d J +

и является четной. Для того чтобы функции (17) были ре­

гулярными при |z| <^ р, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

dz -{[A(z) + B(z))PXp_1(z)~

- [ A (-z) + B(-z)] Р х (-z) + h (*)} U

* = Р * О, 1(18)

^{[A(z)~B(z)]PXp^(z) +

+ [A(-z)-B(-z)]P«^p_¹(-z) + U(z)}\^z=h = 0

для га = 0, 1, ..., nk — 1, |pf t| < р. Нетрудно усмотреть, что система алгебраических уравнений (18) всегда сов­

местна и имеет бесконечное множество решений:

Р%-1 (± Р*) = С&, п = 0 , 1 , . . ., щ - 1 (2 2,Э / | < р nft = Ир) • (19) Соотношения (19) единственным образом определяют поли­

ном Рхр1 (z) степени не выше хр— 1 (по этому поводу см., например, [1,2], стр. 64 и далее), и этот полином по числам (19) восстанавливается с помощью формулы Эрмита. Слу­

чай, когда A (t) имеет нули при \t\ = p, решается анало­

гичным образом (см. [10], стр. 128).

Итоги подводит

ТЕОРЕМА 1. I. Всякая функция Р (z) класса [1; т], О < т ^ а, может быть разложена в ряд по полиномам Аппеля (2) со свойством коэффициентов

Ш\хн\ш<9, т < р < б . (20) П. Всякая функция F (z) класса [1; т], 0 < т <CIPil ^ а»

г<9# (Зх — ближайший к началу координат нуль функции Д (t) = 2 [Л (£) 4 (—£) — В (t) В (-—£)Ь может быть един­

ственным образом разложена в ряд (2) со свойством (20).

Класс [1; fi), ц ^> | Pil , #2tf£ we является классом единствен­

ности.

III. Множество всех разложений вида (2)—(20) V функ­

ции F (z) Е= [1; т], т < р <С а, может быть описано формулами (5) — (14), где Acp-i (2) — полиномы степени не выше yip — 1, определенные соотношениями (18) — (19).

З а м е ч а н и е 1. Все без исключения полученные здесь результаты переносятся на обобщенные полиномы Аппеля класса А{р) (р — целое число, р > 1), определяе­

мые соотношениями

X l o A* (0 « * ' = 2 L > Pn (*) *» '(« = e^'v)

S

<?(6*)=f 0, где

<? (*) = ЗНо* *<***, * = ОД, . . ., p - 1.

Хорошо известно, что всякая функция F (z) ЕЕ [1; а) имеет ряд Тейлора^

*(*) = 2 1 , * ^ .,(21)

со свойством коэффициентов (3). Верно и обратное: всякая последовательность комплексных чисел {хп} со свойством (3) порождает ряд (21), равномерно сходящийся на V компакте комплексной плоскости к функции F (z) класса [1; а). Это оправдывает введение следующего определения:

Система функций {cpn (z)}^L0 с: [1; о) называется квази- степенным (к. с.) базисом в классе [1; а), если

1. Всякая функция F (2) e U; ст) может быть единствен­

ным образом разложена в ряд

^ ) = 2Г=о*»Ф»(

) <

)

со свойством (3), равномерно сходящийся к F (z) на про­

извольном компакте комплексной плоскости.

2. Всякая последовательность комплексных чисел {хп} со свойством (3) порождает ряд (22), равномерно сходя­

щийся на V компакте к F (z) ЕЕ [1; а).

Понятие к. с. базиса введено М. Г. Хаплановым [13].

Пункт II теоремы 1 в связи с этим может быть сформу­

лирован так:

ТЕОРЕМА Iй. Система полиномов Аппеля класса образует к. с. базис в V [1; т), 0 < т ^ | рх |, где |3Х — ближайший к началу координат корень уравнения Д (t) = О, и не обладает этим свойством ни в одном [1; т), т ^> | (5Х |.

1. Н о р м и р о в а н н ы е п о л и н о м ы Э р м и - та j—^—г _ образуют к. с. базис в V [1;т), 0<т<;+^о<5.

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно вспом­

нить, что производящая функция для полиномов Эрмита имеет вид e~zt+t2/2 == 2п=о~"Н~~" ^ и с о с л а т ь с я н а теоре­

му 1п. Интересно этот результат сопоставить с таким фактом: V подпоследовательность полиномов Эрмита

{H\n(z)}, номера которой %п обладают свойством lim nfkn =

n-юэ

= d >1/ 2 t полна в y/A(\z\<R), 0 < i? < + °°

(подпоследовательность {H^n+i (z)} уже не полна ни в од­

ном из пространств А (| z | < Щ) ]14].

2. П о л и н о м ы Л а г е р р а {L^a~n)(z)}™=0 onpe-

_ _ С Х 5 .

деляются разложением (1 + t)a e~zt = 2n=o ^n (z) tn, и, следовательно, система полиномов Лагерра {lJ£ (z)}^L0

образует к. с. базис в у И ; т ) , 0 < т ^ 1 (см. теорему I11).

3. П о л и н о м ы Б е р н у л л и имеют следующую

tezt oo В (z)

производящую функцию: ^— = 2jⁿ=o~ir~ *""

Теорема I11 позволяет утверждать: система полиномов Бернулли j—r-Z?n(zH является к. с. базисом в V [1; т), О < т < 2я.

4. П о л и н о м ы Э й л е р а {Sn (z)} и {Сп (z)}

соответственно определяются разложениями

sh tz+ ch t (1 — z) _ >n°° ., , v n

^K7 ^ " = 0 n W

519

и

obtz-sbtg-z)

$°

(z)r.

Преобразуя производящие функции к виду (1), с помощью теоремы Iй без труда установим, что полиномы Эйлера {Sn(z)}%Lo (и {Сп(з)}£=о) есть к. с. базис в V [1; т), 0 < т г <

<С я/2. Полиномы Эйлера рассматривались С. Н. Берн- штейном [15].

Московский государственный Поступило университет им. М. В. Ломоносова 15.1.1968

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] О ж е г о в В. Б., О некоторых экстремальных свойствах обоб­

щенных полиномов Аппеля, Докл АН СССР, 159, № 5 (1964), 9 8 5 - 9 8 7 .

[2] О ж е г о в В. Б., Об обобщенных полиномах Аппеля, в кн.

«Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций», Баку, 1965, 595—601.

[3] В i r k h о i i G.-D., Sur une generalisation de la serie de Tay­

lor, Сотр. rend. Acad, sci., 164, № 25 (1917), 942—945.

[4] Г е л ь ф о н д А. О., Проблема представления и единственно­

сти целой аналитической функции первого порядка, Успехи матем. наук, № 3 (1937), 144—174.

[5] Г е л ь ф о н д А . О . , К статье «Проблема представления и един­

ственности целой аналитической функции первого порядка», Успехи матем. наук, № 4 (1938), 278—290.

[6] Г о л у з и н Г. М., О полных системах функций в комплексной области, Уч. зап. Ленингр. ун-та, № 6 (1939), 48—51.

[7] Е в г р а ф о в М. А., О полноте систем аналитических функ*

ций, близких к {znp (z)}, {[q(z)]n p(z)}, Изв. АН СССР. Сер.

матем., 17 (1958), 421—460. • [8] Х а п л а н о в М . Г., К спектральной теории матриц в анали­

тическом пространстве, Докл. АН СССР, 40, № 6 (1953), 969 — 962.

[9] X а п л а н о в М. Г., Линейные операторы в аналитическом пространстве и их приложения, Докт. диссертация, Ростов-на- Дону, 1960; автореферат дисс. опубликован в Харькове в 1960.

[10] Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, М., 1963.

[ 1 1 ] М у с х е л и ш в и л и1 Н. И., Сингулярные интегральные

уравнения, М., 1963. (

[12] Г о н ч а р о в В. Л., Теория интерполирования и приближе­

ния функций, М., 1954.

[13)Х а п л а н о в М. Г., Матричный признак базиса в простран­

стве аналитических функций, Докл. АН СССР, 80, № Ц (1951), 177—180.

[14]. К а з ь м и н Ю. А., О подпоследовательностях полиномов Эрмита и Лагерра, Вестник Моск. ун-та № 2 (1960), 6—9.

[ 1 5 ] Б е р н ш т е й н С. Н., Собрание сочинений, т. 2, М., 1954.