(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. В. Пупышев, Двумерное движение медленной кванто- вой частицы в поле центрального дальнодействующего потенциала, ТМФ , 2019, том 199, номер 3, 405–428 DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9636

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

3 ноября 2022 г., 15:14:38

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Том 199, № 3 июнь, 2019

⃝c 2019 г. В. В. Пупышев^∗

ДВУМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МЕДЛЕННОЙ

КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА

Исследуется двумерное движение медленной квантовой частицы в поле цен- трального дальнодействующего потенциала, убывающего в пределе больших расстояний r как степенная функция r^−β с показателем β ∈ (1,2). Найдены низкоэнергетические асимптотики всех парциальных фаз и дифференциаль- ного сечения рассеяния такой частицы. Получено простое приближение для энергий ее слабосвязанных состояний.

Ключевые слова: двумерное рассеяние, центральный дальнодействующий потенциал, низкоэнергетические асимптотики, энергии слабосвязанных состояний.

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9636

1. ВВЕДЕНИЕ

Начнем с предположений. Предположим, что квантовая частица p₁ движется в двумерной плоскости P и обладает полной энергией E. Пусть точка O лежит в P и является неподвижным силовым центром, удаленным от частицы p₁ на расстоя- ние r. По определению силовой центр O воздействует на эту частицу посредством центрального медленно убывающего потенциала

V(r) =αV₀r^−β, α=±1, V₀>0, β∈(1,2). (1) Наша задача – найти главное слагаемое низкоэнергетической(E→0+)асимпто- тики дифференциального сечения рассеяния частицы p1 и приближенные энергии ee всех слабосвязанных(E→0−)состояний.

Для решения этой задачи применим известный метод построения асимптотиче- ских решений дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром перед старшей производной [1].

В разделе2к уравнению такого типа мы сводим одномерное уравнение Шредин- гера, описывающее радиальное движение частицыp₁в дальнодействующем поле (1).

∗Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия.

E-mail: pupyshev@theor.jinr.ru

405

Разделы3 и4посвящены выводу и анализу неявных и явных низкоэнергетических асимптотик всех парциальных фаз двумерного рассеяния частицы p₁ отталкиваю- щим (α= 1)или притягивающим(α=−1)потенциалом (1). B разделах 5и 6 для амплитуды и дифференциального сечения рассеяния потенциалом (1)(α=±1) по- строены довольно простые низкоэнергетические приближения. В разделе7найдено приближение для энергий всех слабосвязанных состояний частицыp₁в притягиваю- щем потенциале (1). В разделе8просуммированы результаты наших исследований.

Сделаем несколько важных замечаний.

Трехмерное рассеяние квантовой частицы в поле потенциала типа (1) до сих пор не исследовано в полном объеме. Точные решения задачи рассеяния и задачи на связанные состояния квантовой частицы в таком поле не известны. В работе [2]

впервые найдены два первых слагаемых низкоэнергетических асимптотик парци- альных фаз трехмерного рассеяния. Старшее слагаемое амплитуды трехмерного рассеяния впервые получено в статье [3]. Авторы работ [2], [3] использовали ме- тод построения асимптотических решений дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром перед старшей производной [1].

Двумерное движение медленной квантовой частицы в поле медленно убывающе- го потенциала (1) ранее не исследовалось. Настоящая работа является попыткой восполнить этот пробел современной теории двумерного рассеяния математически обоснованным анализом. Поэтому в разделах3–7особое внимание уделяется доказа- тельствам сходимости используемых интегралов и рядов, выводам оптимальных для вычисления представлений и исследованию неявных и явных, равномерных и нерав- номерных асимптотик всех используемых функций.

2. РАДИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДВУМЕРНОГО РАССЕЯНИЯ Пусть~– постоянная Планка, аd– единица измерения расстоянияr. Символами m₁иkобозначим массу и волновое число частицыp₁. Безразмерные волновое число q, аргументыx,ρи параметрbопределим соотношениями

q≡kd= d

~

p2m1E, x≡ r

d, ρ≡kr=qx, b≡ 2m1

~²

d^2−βV0

1/β

. (2) Потенциал (1) зависит только от расстояния r. Как известно [4], [5] в случае потенциалов такого типа сохраняются два квантовых числа: волновое числоkи по- луцелое числоλ=m−1/2, гдеm= 0,1, . . . . Радиальная волновая функцияu˜_λ(x, q) состояния рассеяния|q, λ⟩квантовой частицыp1 удовлетворяет одномерному урав- нению Шредингера

d²

dx² −λ(λ+ 1)

x² +q²−α b

x β

˜

uλ(x, q) = 0, x >0, q >0, (3) c условиями

˜

u_λ(x, q) =O(x^λ+1), x→0, (4)

и

˜

u_λ(x, q) = sin

ρ−πλ

2 +δ_m(q)

+O(ρ⁻¹), ρ→ ∞, m≡λ+1

2. (5) Это условие содержит искомую фазу рассеяния δ_m(q).

Перепишем задачу (3)–(5) в виде, удобном для наших исследований. Для этого положим

p²(y, s)≡1−α b

y β

− s

y 2

, y>0, s>0. (6) Затем подстановкойx=q^−2/βy,u˜λ(x, q) =uλ(y, q),ν = (2−β)/β,s=q^νp

λ(λ+ 1), ρ=yq^−ν сведем уравнение (3) к уравнению

q^2ν d²

dy² +p²(y, s)

u_λ(y, q) = 0, (7)

а из граничных условий (4) и (5) получаем условия

uλ(y, q) =O(y^λ+1), q^2/βy→0, (8) и

u_λ(y, q) = sin

ρ−πλ

2 +δ_m(q)

+O(ρ⁻¹), ρ→ ∞. (9)

Пределом низких энергий рассеяния мы называем пределq→0при фиксирован- ных значениях квантового числа λ, параметраdи параметровα,V₀ и β потенциа- ла (1).

3. РАВНОМЕРНЫЕ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИКИ ФАЗ

Асимптотику фазы δ_m(q), справедливую приq→0 и любом значении ее номера m = λ+ 1/2, будем называть равномерной по этому номеру низкоэнергетической асимптотикой.

Определим функцииy₀(s)иp(y, s). Для этого используем определение (6) функ- цииp²(y, s)и перепишем уравнениеp²(y, s) = 0в виде уравненияy²−αb^βy^2−β=s², y > 0, s > 0. Такое уравнение всегда имеет единственный неотрицательный ко- реньy₀(s). Этот корень является монотонно возрастающей функцией аргументаs.

Если s → 0, то y0(s) → bδα1, гдеδα1 – символ Кронекера. Функция p²(y, s) неот- рицательна, если α = ±1, y > y0(s) и s > 0. При таких же условиях функция p(y, s)≡p

p²(y, s)является вещественной и неотрицательной. Именно этот случай и рассматривается ниже.

Приступим к выводу равномерных низкоэнергетических (q → 0) асимптотик фазδm(q).

Положим q→0. Тогда исследуемое уравнение (7) становится двучленным диф- ференциальным уравнением второго порядка с малым параметром q^2ν перед стар- шей производной. Следуя монографии [1], применим известный метод построения асимптотических решений уравнений такого типа в случае граничных условий (8) и (9). Сначала выполним замены λ(λ+ 1)→(λ+ 1/2)² =m²,q^νp

λ(λ+ 1)→q^νm.

Затем записываем искомую равномерную асимптотику фазыδm(q)в виде равенства δm(q) =q^−νg(s) +O(q^ν), m= 0,1, . . . , s=q^νm, q→0. (10) В равенстве (10) функцияg(s)определена формулой

g(s)≡ πs 2 +

Z ∞

y₀(s)

[p(y, s)−1]dy−y₀(s), s>0. (11)

Поэтому производная g^′(s)этой функции определяется выражениями g^′(s) = π

2 −h(s), h(s)≡s Z ∞

y₀(s)

dy

y²p(y, s), s>0. (12) Выведем более удобные представления функцийg(s)иh(s)в виде интегралов по конечному отрезку 06z61. Сначала подстановкойy= (s²/b^β)^1/(2−β)/τ(s)сведем уравнение p²(y, s) = 0к уравнению

τ²(s) +ατ^β(s) = s

b

2β/(2−β)

, s>0, α=±1, β∈(1,2). (13) Заметим, что это уравнение всегда имеет единственный, причем неотрицательный и монотонно возрастающий на полуоси s>0 корень τ0(s). Еслиs→0, то τ0(s)→ 1−δ_α1.

Теперь положим

y = 1 zτ0(s)

s b

2β/(2−β)

, z∈[0,1]. (14)

Тогда y = y0(s), если z = 1, и y = ∞, если z = 0. Используя эти соотноше- ния, подстановку (14) и интегрирование по частям, сведем интеграл, содержащийся в сумме (11) к интегралу по отрезку06z 61. Таким образом, для функцииg(s) получаем искомое представление

g(s) =s 2

π− Z 1

0

2 +αβτ₀^β−2(s)z^β−2 q

1−z²+ατ₀^β−2(s)(1−z^β) dz

, α=±1, s>0. (15)

Той же подстановкой (14) сведем интеграл (12) к искомому интегралу h(s) =

Z 1

0

dz q

1−z²+ατ₀^β−2(s)(1−z^β)

, α=±1, s>0. (16)

Полученные представления (15) и (16) содержат лишь одну неизвестную функ- циюτ₀(s).

4. НЕРАВНОМЕРНЫЕ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИКИ ФАЗ

Будем считать, что значения параметровd,α,β и bфиксированы. Асимптотику фазыδm(q)приq→0 и дополнительном условииm≪q^−ν илиm≫q^−ν мы назы- ваем неравномерной низкоэнергетической асимптотикой этой фазы при малых или больших значениях ее номера m. Для вывода таких асимптотик сначала исследу- ем кореньτ₀(s)уравнения (13), а затем воспользуемся представлениями (15) и (16) функцийg(s)иh(s)через этот корень.

4.1. Свойства функции τ₀(s).

Случай β = 4/3.Решим уравнение (13). Подстановкойτ(s) = (v/3)^3/2 c услови- емv>0 сведем его к кубическому уравнениюv³+ 3αv²= 2u,u≡(27/2)(s/b)⁴>0, α=±1. Известным способом [6] найдем неотрицательный кореньv1 такого уравне- ния. Затем в использованной подстановке τ(s) = (v/3)^3/2 положимv=v1. В итоге получаем точное решениеτ0(s)исходного уравнения (13): в случаеα= 1иβ = 4/3

τ₀(s) = 3^−3/2

2 cos t

3

−1 3/2

, t≡arccos(u−1), u∈[0,2], τ₀(s) = 3^−3/2

2 ch

t 3

−1 3/2

, t≡arch(u−1), u >2,

(17)

а в случае α=−1иβ = 4/3 τ0(s) = 3^−3/2

2 ch

t 3

+ 1

3/2

, t≡arch(u+ 1), u>0. (18) Случай α= 1, s→0.Подстановкой

τ(s) = s

b

2/(2−β)

[1 +w(t)] (19)

сведем уравнение (13) к уравнениюβt[1 +w(t)]²+ [1 +w(t)]^β= 1,t≡(^s_b)²/β. В этом уравнении представим функцию w(t)суммой

w(t) =

3

X

n=1

antⁿ+χ(t), χ(t) =

∞

X

n=4

antⁿ, (20)

содержащей искомые коэффициенты an и функциюχ(t). В полученном соотноше- нии разложим функции[1 +w(t)]²и[1 +w(t)]^βв ряды Маклорена [7] по аргументуt, затем приведем подобные члены и положим равными нулю коэффициенты перед линейно независимыми степенными функциями tⁿ, n= 1,2,3. Таким образом, мы однозначно определим коэффициенты a_n, n= 1,2,3, через параметрβ и убедимся в том, что χ(t) =O(t⁴)при s→0. Затем в равенстве (19) заменим функцию w(t) суммой (20) с найденными коэффициентамиa_n,n= 1,2,3, и в итоге получаем иско- мую явную асимптотику корняτ0(s)уравнения (13) в случаеα= 1,s→0. Запишем ее в виде

τ0(s) = s

b

2/(2−β)

1−t+ (5−β)t²

2 + (7−β)(2β−7)t³

6 +O(t⁴)

, t= 1 β

s b

2

→0.

(21) Случай α=−1,s→0.Здесь второе слагаемое левой части уравнения (13) отри- цательно. Поэтомуτ(s)→1+ и следует использовать подстановкуτ(s) = 1 +w(t).

Такой подстановкой сведем исследуемое уравнение (13) к уравнению [1 +w(t)]²−[1 +w(t)]^β= (2−β)t, t≡ 1

2−β s

b

2β/(2−β)

.

Решение w(t) этого уравнения найдем способом, подробно изложенным выше для случая α = 1, s → 0: функцию w(t) заменим суммой (20), затем определим все коэффициенты a_n, n = 1,2,3, в равенство τ(s) = 1 +w(t) подставим сумму (20) с найденными коэффициентами a_n, n = 1,2,3. Полученную явную асимптотику корня τ₀(s)уравнения (13) в случаеα=−1,s→0 представим формулой

τ0(s) = 1 +t−(β+ 1)t²

2 + (β+ 3)(2β+ 1)t³

6 +O(t⁴), t= 1 2−β

s b

2β/(2−β)

→0.

Случай α±1, s→ ∞.Полагаяτ(s) = (s/b)^β/(2−β)[1 +w(t)]в исходном уравне- нии (13), получаем уравнение[1 +w(t)]²+αt[1 +w(t)]^β = 1,t = (b/s)^β. Разрешим его тем же способом, что и в рассмотренных выше случаях α=±1,s→0. В итоге при условияхα±1,s→ ∞имеем асимптотику

τ₀(s) = s

b

β/(2−β)

1−αt+ (2β−1)t²

4 −α(β−1)(3β−1)t³

16+O(t⁴)

, t= b

s β

→0.

(22) 4.2. Свойства функцииh(s)и ее производнойh^′(s). Так какτ0(0) = 1−δ1α, то из представления (16) следуют равенства

2

πh(0) = 0, α= 1, 2 πh(0) =

Z 1

0

√ dz

z^β−z² = 2

2−β, α=−1.

В пределе s → ∞, α =±1 функцияτ0(s)неограниченно возрастает. Поэтому ес- ли в представлении (16) положить s → ∞ под знаком интеграла, то получаются соотношения

2

πh(s)→1−, s→ ∞, α= 1, 2

πh(s)→1+, s→ ∞, α=−1.

В интеграле (16) функцияτ₀(s)монотонно возрастает на полуосиs>0. Поэтому на той же полуоси функция h(s)монотонно возрастает или монотонно убывает, если α= 1илиα=−1. Из представления (16) следуют непрерывность производнойh^′(s) на всей полуосиs>0 и равенство|h^′(s)|=αh^′(s).

В силу перечисленных выше свойств функцииh(s)при любомs>0верны нера- венства

06 2

πh(s)<1, α= 1, 1< 2

πh(s)6 2

2−β, α=−1. (23) Наглядное представление о свойствах функций h(s)и h^′(s)дает рис. 1. На нем представлены графики этих функций, вычисленные в случаяхα=±1,b= 2иβ= 4/3 по формулам (16)–(18).

Перейдем к выводу неявных и явных асимптотик функцийh(s)иh^′(s).

Случай α= 1, s→0.Сначала запишем равенство (16) приα= 1в виде h(s) =√

vS(v), S(v)≡ Z 1

0

dz

p(1−z²)v+ (1−z^β), v≡τ₀^2−β(s), s>0.

(24)

Рис. 1. Случайb= 2,β= 4/3. Графики функций2h(s)/π(а) и2h^′(s)/π(б) при α = −1 (сплошные кривые) и α = 1 (штриховые кривые). Графики функцийza(s)≡1(а) иzb(s)≡0(б) показаны тонкими прямыми линиями.

Затем представим интеграл S(v)рядом Маклорена S(v) =

∞

X

n=0

(2n−1)!!

2ⁿn! a_n(−v)ⁿ, a_n≡ Z 1

0

uⁿ(z)

√

1−z^β dz, u(z)≡ 1−z²

1−z^β. (25) Исследуем этот ряд. Сначала оценим интегралы an. В этих интегралах при любых z∈[0,1]u(z)∈[1,2/β]. Поэтомуan<(2/β)ⁿa0 при любомn>1. Следова- тельно,

|S(v)|< T(v)≡a0

∞

X

n=0

(2n−1)!!

n!

v β

n

.

По признаку Даламбера [7], [8] ряд T(v), а значит, и рядS(v)сходятся равномерно при условии v ≡τ₀^2−β(s) < β/2. Это условие выполняется при достаточно малых значениях аргументаs, потому что согласно формуле (21) функцияτ0(s)стремится к нулю приs→0.

Итак, если v < β/2, то ряд S(v) сходится равномерно. Поэтому при τ0(s) → 0 в формулах (24) этот ряд можно заменить суммой его слагаемых с номерами n = 0,1,2и, таким образом, вывести следующую неявную асимптотику функцииh(s):

h(s) =τ₀^(2−β)/2(s)

a₀−1

2a₁τ₀^2−β(s) +3

8a₂τ₀^4−2β(s) +O(τ₀^6−3β(s))

, α= 1, τ0(s)→0.

(26) Согласно формулам (25) коэффициентыa_n,n= 0,1,2, этой асимптотики являются интегралами. Такие интегралы удалось сначала свести к табличным [9], а затем выразить через линейные комбинации бета-функцийB(i/β,1/2),i= 1,3,5, следую- щими формулами:

cn≡ 1 βⁿ⁺¹B

2n+ 1 β ,1

2

, a0=c0, a1=β−2

β c0+ (6−β)c1, a2= (3β−2)(β−2)

3β² c0+ 2(β−2)(6−β)

β c1+ (10−3β)(10−β)c2.

(27)

Теперь найдем явную асимптотику функции h(s). Для этого в разложении (26) заменим функциюτ₀(s)ее асимптотикой (21), а коэффициентыa_n– правыми частя- ми равенств (27). Затем правую часть полученного представления разложим в ряд Маклорена по аргументу t = s/b и приведем подобные слагаемые. В результате получаем искомую явную асимптотику

h(s) =c0t+(β−6)c1

t³

2 +3(10−3β)(10−β)c2

t⁵

8+O(t⁷), α= 1, t≡ s

b →0. (28) Дифференцируя ее по переменной s, найдем явную асимптотику производнойh^′(s)

h^′(s) = 1 bβB

1 β,1

2

+O(t²), α= 1, t= s

b →0. (29)

Случай α=−1,s→0.Теперь, в отличие от предыдущего случаяα= 1,s→0, функция τ0(s) равна единице в точке s = 0. Покажем, что именно это обстоя- тельство не позволяет вывести явную асимптотику функции h(s) в виде конечной подсуммы ее ряда Маклорена. Продифференцируем равенство (16) по переменнойs, вычисляя при этом производную под знаком интеграла. Полученное представление

h^′(s) = 1

2(β−2)τ₀^β−3(s)∂_sτ₀(s)I(s), I(s)≡ Z 1

0

(1−z^β)dz

1−z²−τ₀^β−2(s)(1−z^β)3/2

содержит интегралI(s). Если в этом интеграле заменить подынтегральную функ- цию ее пределом при s→ 0, то в силу равенства τ₀^β−2(0) = 1 получается расходя- щийся интеграл.

Следовательно, производную h^′(s), а значит, и производные dⁿh(s)/dsⁿ, n > 1, в точке s= 0нельзя вычислить, дифференцируя правую часть равенства (16) под знаком интеграла. Другой способ вычисления таких производных найти не удалось.

Поэтому в обсуждаемом случае α= −1 придется ограничиться знанием старшего слагаемого h(0) =π/(2−β)асимптотики функцииh(s)приs→0.

Случай α = ±1, s → ∞. Здесь функция τ0(s) при s → ∞ имеет асимптоти- ку (22). Поэтому функцияτ₀^β−2(s)стремится к нулю как O((s/b)^β). Это позволяет исследовать функцию h(s)по аналогии с уже рассмотренным выше случаемα= 1, s→0.

Исходное интегральное представление (16) функцииh(s)запишем в виде h(s) =S(v), S(v)≡

Z 1

0

dz

p(1−z²) + (1−z^β)v, v≡ατ₀^β−2(s), s>0. (30) Разложим интеграл S(v)в ряд Маклорена

S(v) =

∞

X

n=0

(2n−1)!!

2ⁿn! b_n(−v)ⁿ, b_n≡ Z 1

0

uⁿ(z)

√1−z²dz, u(z)≡1−z^β 1−z². Найдем мажорантуT(v)такого ряда. Сначала оценим сверху интегралыbn. В этих интегралах u(z)∈[β/2,1]при любых z∈[0,1]. Поэтомуbn < b0 при любомn>1.

Следовательно,

|S(v)|< T(v)≡b0

∞

X

n=0

(2n−1)!!

n! |vⁿ|ⁿ.

По признаку Даламбера ряд T(v), а значит, и ряд S(v) сходятся равномерно при условии|v|=τ₀^β−2(s)<1, которое выполняется при достаточно больших значениях функции τ₀(s). Поэтому приτ₀(s)→ ∞ в формулах (30) рядS(v)можно заменить суммой его слагаемых с номерами n = 0,1,2 и, таким образом, вывести неявную асимптотику функцииh(s) =S(v)

h(s) = π 2 −α

2b1τ₀^β−2(s) +3

8b2τ₀^2β−4(s) +O(τ₀^3β−6(s)), τ0(s)→ ∞, (31) с коэффициентами b₁ и b₂, которые выражаются через бета-функции d₁ и d₂ фор- мулами

b1= β

2d1, b2=β

3[(2−β)d1+ 2(β−1)d2], dn≡B

nβ+ 1 2 ,1

2

, n= 1,2. (32) Теперь в равенстве (31) заменим функцию τ0(s) ее асимптотикой (22), а коэф- фициенты bn выразим по формулам (32). Затем правую часть полученного пред- ставления разложим в ряд Маклорена по аргументу t =b/sи приведем подобные слагаемые. В результате получаем искомую явную асимптотику функции h(s). За- пишем ее в виде равенства

h(s) = π

2 −αβd1

2 t+β(β−1)d2t²+O(t³), α=±1, t≡ 1 2

b s

β

→0. (33) Дифференцируя это равенство по переменной s, найдем явную асимптотику функ- цииh^′(s)

h^′(s) =αβ² 4bB

β+ 1 2 ,1

2 b

s β+1

1 +O b

s

β+1

, α=±1, s

b → ∞. (34) 4.3. Явные асимптотики функций g(s) и δ_m(q). В качестве исходного ис- пользуем представление (15) функцииg(s), содержащее интеграл. В пределеs→0 или s → ∞ этот интеграл сначала представим рядом Маклорена S(v) по малому аргументу v =τ₀^2−β(s) или v =ατ₀^β−2(s). Затем применим метод, подробно изло- женный в предыдущем пункте. В итоге выведем явные асимптотики исследуемой функции g(s). Используя коэффициенты c_n и d_n, определенные формулами (27) и (32), представим такие асимптотики следующими равенствами: в случаеα= 1, s→0,t≡s/b

g(s) =−b 2B

β−1 β ,1

2

+s 2

π−c0t−(β−6)c1

t³

4−(10−3β)(10−β)c2

3t⁵

8 +O(t⁷)

, (35) в случаеα=−1,s→0

g(s) = b 2B

β−1 β ,2−β

β

+ πβs

2(β−2) +O(s²). (36) Наконец, в случаеα=±1,s→ ∞

g(s) =βs α

2(1−β)d1t+ β−1

2β−1d2t²+O(α³t³)

, t≡ 1 2

b s

β

→0. (37)

Теперь в представлении (10) заменим функцию g(s) правыми частями равенств (35)–(37) и получаем искомые явные, но неравномерные по номеруm низкоэнерге- тические асимптотики фазы двумерного рассеяния δ_m(q): в случае α = 1, q → 0 и q^νm→0

δm(q) =− b 2q^νB

β−1 β ,1

2

+πm

2 −q^νm² 2bβ B

1 β,1

2

+O

q^ν+

q^2νm³ b³

, (38) в случаеα=−1,q→0 иq^νm→0

δm(q) = b 2q^νB

β−1 β ,2−β

β

+ πβm

2(β−2)+O(q^ν(1 +m²)). (39) При условияхα=±1,q→0иq^νm→ ∞

δm(q)≈ bβ 4

b q^νm

β−1 α 1−βB

β+ 1 2 ,1

2

+ 1

2β−1B

2β+ 1 2 ,1

2 b

q^νm β

(40) c точностью порядкаO(q^ν) +O((b/(q^νm))^2β−1).

Согласно полученным формулам (38)–(40) в пределе низких энергий модуль фа- зы δm(q) с небольшим номеромm ≪ q^−ν неограниченно возрастает какO(b/q^−ν), а при большом номереm≫q^−ν медленно убывает какO((b/(q^νm))^β−1).

5. АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ

Настоящий раздел посвящен исследованию амплитуды f двумерного рассеяния частицы p1 силовым центром O, воздействующим на эту частицу посредством по- тенциала (1). Сначала мы доказываем сходимость двух бесконечных разложений амплитуды f, а именно косинус-ряда Фурье и ряда, содержащего однократные ин- тегралы. Затем из этих разложений выводим два низкоэнергетических приближе- ния амплитуды f: приближение в виде бесконечного ряда и приближение в виде конечной суммы.

5.1. Исходное представление амплитуды рассеяния. Исходным для на- ших исследований является известное разложение [4], [5] амплитудыf двумерного рассеяния частицыp1силовым центром O по парциальным фазам

f(ϕ, q)≡A(q, d){Sδ(ϕ, q)−1 +e^2iδ0(q)}, ϕ∈[0, π], A(q, d)≡e^−i3π/4

s d

2πq, S_δ(ϕ, q)≡2

∞

X

m=0

cos(mϕ){1−e^2iδm(q)}. (41) Выявим условия, достаточные для сходимости ряда Sδ(ϕ, q). Сначала докажем лемму.

Лемма 1. Если t ∈ (−∞,∞) и ϕ ∈ (0, π],то имеет место формула суммиро- вания

2

n<∞

X

m=0

cos(m+t)ϕ= cosecϕ 2

sin

n+t+1 2

ϕ

+ sin

1 2 −t

ϕ

. (42)

Доказательство. Запишем цепочку равенств 2

n<∞

X

m=0

cos(m+t)ϕ=e^itϕL⁺_n(ϕ) +e^−itϕL⁻_n(ϕ), L^±_n(ϕ)≡

n

X

m=0

[e^±iϕ]^m. (43) Заметим, что функции L⁺_n(ϕ) и L⁻_n(ϕ) являются суммами членов геометрических прогрессий с показателями e^iϕ и e^−iϕ. Вычисляя эти суммы по известным фор- мулам [6], получаем представления L^±_n(ϕ) = [1−[e^±iϕ]ⁿ⁺¹]/[1−e^±iϕ]. Используя эти представления, алгебраическими преобразованиями сведем первое из двух ра- венств (43) к равенству (42) и таким образом закончим доказательство.

Напомним признак сходимости Абеля [8]: ряд со слагаемымиu_mv_m,m= 0,1, . . ., сходится равномерно, если любая конечная подсумма элементов u_m последователь- ности {um}^∞_m=0 ограничена по модулю, а последовательность {vm}^∞_m=0, монотонно убывая, сходится к нулю.

Теорема 1. Пусть при некотором целомnвыполняется неравенство|δn(q)| ≪1, а последовательность {δm(q)}^∞_m=n фаз рассеяния δm(q) сходится к нулю, моно- тонно убывая или монотонно возрастая. Тогда в области 0 < ϕ6π ряд Sδ(ϕ, q) сходится равномерно.

Доказательство. Представим рядS_δ(ϕ, q)в следующем виде:

Sδ(ϕ, q) =S1(ϕ, q) +iS2(ϕ, q), S1(ϕ, q)≡2

∞

X

m=0

cos(mϕ)[1−cos(2δm(q))],

S₂(ϕ, q)≡2

∞

X

m=0

cos(mϕ)[sin(2δ_m(q))].

(44)

Сначала исследуем бесконечную подсумму S_1,n(ϕ, q) ряда S₁(ϕ, q). Запишем ее в виде

S1,n(ϕ, q)≡

∞

X

m=n

um(ϕ)vm(q), um(ϕ)≡2 cos(mϕ), vm(q)≡1−cos(2δm(q)).

Выявим свойства последовательностей{um(ϕ)}^∞_n=mи{vm(q)}^∞_n=m. Используя фор- мулу (42) в частном случаеt= 0и при условии ϕ∈(0, π], получаем выражения

j<∞

X

m=n

u_m(ϕ)

= cosecϕ 2

sin

j+1 2

ϕ

−sin

n−1 2

ϕ

62 cosecϕ

2. (45) Значит, при условииϕ∈(0, π]все конечные подсуммы последовательности{um(ϕ)}^∞_n=m равномерно ограничены. Если последовательность {δm(q)}^∞_n=m монотонно убыва- ет, то 0 6 δm(q)≪1 при любом m> n. Если же последовательность {δm(q)}^∞_n=m монотонно возрастает, то 0 6 −δm(q) ≪ 1 при любом m > n. В обоих случаях вследствие четности функцииcos(2δm(q))последовательность{vm(q)}^∞_m=n, монотон- но убывая, сходится к нулю. Благодаря выявленным свойствам последовательно- стей{u_m(ϕ)}^∞_n=m,{v_m(q)}^∞_n=mи признаку Абеля рядS_1,n(ϕ, q)сходится равномерно на полуинтервале0< ϕ6π.

Теперь исследуем бесконечную подсуммуS_2,n(ϕ, q)рядаS₂(ϕ, q), содержащегося в формулах (44). Представим эту подсумму в видеS_2,n(ϕ, q)≡ ∓P∞

m=nu_m(ϕ)v_m(q), u_m(ϕ)≡2 cos(mϕ),v˜_m(q)≡sin(2|δ_m(q))|. В этом представлении выберем знак плюс или минус в случае монотонного убывания или возрастания последовательности {δm(q)}^∞_n=m. В любом из этих случаев последовательность{˜v_m(q)}^∞_m=n, монотонно убывая, сходится к нулю. Последовательность{um(ϕ)}^∞_m=nобладает свойством (45).

Значит, рядS_2,n(ϕ, q)сходится по признаку Абеля при любом ϕ∈(0, π].

Итак, бесконечные подсуммы S1,n(ϕ, q)и S2,n(ϕ, q) рядовS1(ϕ, q)и S2(ϕ, q)схо- дятся при любом ϕ∈(0, π]. Ясно, что таким же свойством обладают рядыS1(ϕ, q), iS2(ϕ, q)и их суммаSδ(ϕ, q), что и требовалось доказать.

5.2. Представление амплитуды рассеяния через однократные интегралы.

Исходное представление (41) амплитуды рассеяния f(ϕ, q) содержит фазы δ_m(q), m > 0, и является косинус-рядом Фурье. В теореме 2 мы показываем, что такой ряд сводится к бесконечному ряду, не содержащему фаз, но содержащему однократ- ные интегралы Фурье. Ряд такого типа потребуется в следующих двух пунктах для вывода низкоэнергетической асимптотики амплитуды рассеяния. Начнем с доказа- тельства следующей леммы.

Лемма 2. Пусть функция φ(t, q) непрерывна на полуоси t > 0 и стремится к нулю в пределе t→ ∞какO(t^−ε),ε >0. Тогда существует интеграл

ηn(ϕ, q)≡2 Z ∞

0

cos(tϕ)e^2iπnt

1−e^2iφ(t,q)

dt, n= 0,±1, . . . , ϕ∈(0, π].

Доказательство. Достаточно показать, что вкладPn(s)в интегралηn(ϕ, q)от областиt>s >0стремится к нулю пределеs→ ∞. В этой областиφ(t, q) =O(t^−ε), 1−cos[2φ(t)] = O(t^−2ε), sin[2φ(t)] = O(t^−ε). Следовательно, по порядку величи- ны вклад Pn(s)равен сумме функций T_n⁺(s)и T_n⁻(s): T_n^±(s) ≡R∞

s e^i(2πn±ϕ)tt^−εdt, s→ ∞,ϕ∈(0, π]. Интегрированием по частям представим функцииT_n⁺(s)иT_n⁻(s) в виде сумм:

T_n^±(s) = 1 i[(2πn±ϕ)t]

e^i(2πn±ϕ)ss^−ε+ε Z ∞

s

e^i(2πn±ϕ)tt^−ε−1dt

.

В интегралах, содержащихся в таких суммах, модули подынтегральных функций не превышают функции t^−ε−1. Поэтому обсуждаемые интегралы, а значит, обе функцииT_n⁺(s),T_n⁻(s)и вкладPn(s)сходятся к нулю как O(s^−ε)в пределеs→ ∞.

Следовательно, при условиях |n|>0 и ϕ∈(0, π]интеграл ηn(ϕ, q)существует, что и требовалось доказать.

Лемма 3. Пусть непрерывная на полуосиt>0 функция φ(t, q) при некотором целомn >0удовлетворяет неравенству|φ(t, q)| ≪1и стремится к нулю в пределе t→ ∞,монотонно убывая или возрастая в областиt > n. Тогда функция

Sξ(z, ϕ, q)≡

∞

X

m=0

ξ(z+m, ϕ, q), ξ(t, ϕ, q)≡2 cos(tϕ)

1−e^2iφ(t,q) , (46) является непрерывной в области G_zϕ≡ {z∈[0,1], ϕ∈(0, π]}.

Доказательство. Используя равенство ξ(z+m, ϕ, q) = 2 cos[(z+m)ϕ]

1−cos[2φ(z+m, q)]−isin[2φ(z+m, q)] , представим бесконечную подсумму Sξ,n(z, ϕ, q)рядаSξ(z, ϕ, q)в виде Sξ,n(z, ϕ, q) = S1,n(z, ϕ, q)∓iS2,n(z, ϕ, q). В этом представлении мы берем знак плюс или минус в случае монотонного убывания или возрастания функции φ(t, q), а бесконечные ряды S1,n(z, ϕ, q) и S2,n(z, ϕ, q): S1,n(z, ϕ, q) ≡ P∞

m=num(z, ϕ)vm(q), S2,n(z, ϕ, q) ≡ P∞

m=num(z, ϕ)˜vm(z, q), содержат функции um(z, ϕ), vm(z, ϕ)и ˜vm(z, ϕ): um(z, ϕ)≡ 2 cos[(z+m)ϕ],vm(z, q) = 1−cos[2φ(z+m, q)],˜vm(z, q) = sin|2φ(z+m, q)|.

Теперь применим формулу (42) для случая t =z, ϕ ∈ (0, π], и получаем выра- жение

j<∞

X

m=n

um(z, ϕ)

= cosecϕ 2

sin

j+1 2

(z+ϕ)

−sin

n−1 2(z+ϕ)

62 cosecϕ 2. Значит, при условииϕ∈(0, π]все конечные подсуммы последовательности{um(ϕ)}^∞_n=m равномерно ограничены. Так как функцияφ(t, q)монотонно убывает в областиt > n и сходится к нулю в пределе t → ∞, то при любомz ∈ [0,1]обе последовательно- сти{v_m(ϕ)}^∞_n=mи{˜v_m(ϕ)}^∞_n=mсходятся к нулю, монотонно убывая. Следовательно, в областиG_zϕоба рядаS_1,n(z, ϕ, q)иS_2,n(z, ϕ, q), а значит, и рядS_ξ(z, ϕ, q)сходят- ся равномерно по признаку Абеля. Все слагаемые ряда S_ξ(z, ϕ, q) – непрерывные функции. Поэтому в области G_zϕ ряд S_ξ(z, ϕ, q)является непрерывной функцией, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть при некотором целомnверно неравенство|δn(q)| ≪1,а все фазы δ_m(q), m > n, монотонно убывая (возрастая), сходятся к нулю в пределе m → ∞ как O(m^−ε), ε > 0. Предположим, что на полуоси t > 0 существу- ет непрерывная функция φ(t, q), удовлетворяющая условиям φ(t, q)|t=m = δm(q), m = 0,1, . . ., и монотонно убывающая (возрастающая) в области t > n. Тогда разложение амплитуды рассеяния

f(ϕ, q) =A(q, d)

∞

X

n=−∞

η_n(ϕ, q), η_n(ϕ, q)≡ Z ∞

0

e^2iπntξ(t, ϕ, q)dt, ξ(t, ϕ, q) = 2 cos(tϕ)

1−e^2iφ(t,q) ,

(47)

по однократным интегралам η_n(ϕ, q)сходится на полуинтервале0< ϕ6πравно- мерно.

Доказательство. Укажем следствия ограничений, наложенных на все фазы δ_m(q), m > 0, и функцию φ(t, q). Условия теоремы 1 выполнены, поэтому ряд S_δ(ϕ, q), содержащийся в представлении (41) амплитуды рассеяния, сходится при любом ϕ∈(0, π]. Функция φ(t, q)сходится к нулю как O(t^−ε), ε > 0, если t→ ∞.

Функцияξ(t, ϕ, q)непрерывна приt>0и ϕ∈[0, π], а в случаеt=mпри любомm равна слагаемому рядаSδ(ϕ, q):

ξ(t, ϕ, q)|_t=m= 2 cos(mϕ)

1−e^2iδm(q) , m= 0,1, . . . , ϕ∈[0, π],

следовательно, имеют место равенства S_δ(ϕ, q) =

∞

X

m=0

ξ(m, ϕ, q),

∞

X

m=0

ξ(1 +m, ϕ, q) =S_δ(ϕ, q)−2

1−e^2iδ0(q) . (48) Согласно лемме 2 все интегралы ηn(ϕ, q), |n| >0, существуют. Вследствие тож- деств

Z 1

0

ξ(m+z, ϕ)e^i2πnzdz= Z m+1

m

ξ(z, ϕ)e^i2πnzdz, m= 0,1, . . . ,

каждый интеграл ηn(ϕ, q) равен сумме бесконечного ряда интегралов по отрез- ку [0,1]:

ηn(ϕ, q) =

∞

X

m=0

Z m+1

m

ξ(z, ϕ, q)e^i2πnzdz=

∞

X

m=0

Z 1

0

ξ(z+m, ϕ, q)e^i2πnzdz. (49) Согласно лемме 3ряд S_ξ(z, ϕ, q), заданный формулами (46), является непрерыв- ной функцией в области. Такую функцию можно разложить в ряд Фурье по пере- меннойz∈[0,1]:

S_ξ(z, ϕ, q) =

∞

X

n=−∞

e^−i2πnz Z 1

0

e^i2πntS_ξ(t, ϕ, q)dt, z∈[0,1], ϕ∈(0, π].

По теореме Дирихле [8] такой ряд сходится равномерно к функции Sξ(z, ϕ, q) на интервале 0 < z < 1, а в точке z = 0 равен полусумме значений этой функции в точкахz= 0и z= 1:

1

2[Sξ(0, ϕ, q) +Sξ(1, ϕ, q)] =

∞

X

n=−∞

Z 1

0

e^i2πntSξ(t, ϕ, q)dt. (50) Выразим эту же полусумму через рядS_δ(ϕ, q). Благодаря формулам (41), (46), (48) и равномерной сходимости рядов Sδ(ϕ, q)и Sξ(z, ϕ, q)верны равенстваSξ(0, ϕ, q) = Sδ(ϕ, q),Sξ(1, ϕ, q) =P∞

m=0ξ(1 +m, ϕ) =Sδ(ϕ, q)−2

1−e^2iδ0(q) . Из этих равенств следует искомое представление

1

2[Sξ(0, ϕ, q) +Sξ(1, ϕ, q)] =Sδ(ϕ, q) + 1−e^2iδ0(q), ϕ∈(0, π].

Используя его и равенства (41), представим амплитуду рассеянияf(ϕ, q)в виде f(ϕ, q) =A(q, d)[Sξ(0, ϕ, q) +Sξ(1, ϕ, q)]. (51) Теперь ту же полусумму функций Sξ(0, ϕ, q)и Sξ(1, ϕ, q) выразим через бесконеч- ный ряд, содержащий сходящиеся интегралы ηn(ϕ, q). Для этого в правой части равенства (50) заменим функциюSξ(z, ϕ, q)ее рядом (46) и положимz= 0. Полу- чившийся ряд сходится при любомϕ∈(0, π]. Поэтому его можно проинтегрировать почленно, используя для этого формулы (49). В результате получается искомое представление

1

2[Sξ(0, ϕ, q) +Sξ(1, ϕ, q)] =

∞

X

n=−∞

ηn(ϕ, q) =

∞

X

n=−∞

Z ∞

0

e^i2πntξ(t, ϕ, q)dt.

Используя его, сведем равенство (51) к представлению (47), что и требовалось до- казать.

Стоит отметить, что при заданных значениях фаз всем достаточным условиям теоремы 2удовлетворяет кусочно-линейная функция

φ(t, q) =δm(q) + (t−m)[δm+1(q)−δm+1(q)], m= 0,1, . . . , t∈[m, m+ 1].

5.3. Низкоэнергетические представления амплитуды рассеяния. Здесь мы считаем, что q → 0, и для сокращения записи используем большой параметр µ ≡ q^−ν. Заменив в исходном представлении (41) амплитуды рассеяния f(ϕ, q) все фазы δm(q) правыми частями равенств (10), получаем следующее формальное представление:

f(ϕ, q)≡A(q, d)

Sg(ϕ, q)−1 +e^2iµg(0)+O(µ⁻¹) , q→0, Sg(ϕ, q)≡2

∞

X

m=0

cos(mϕ)

1−e^2iµg(m/µ) . (52)

Это представление является низкоэнергетической асимптотикой амплитудыf(ϕ, q), если содержащийся в нем ряд Sg(ϕ, q) сходится. Докажем теорему о сходимости этого ряда.

Теорема 3. Пусть волновое числоqнастолько мало,что выполняются асимп- тотические соотношения (40). Тогда в области 0 < ϕ6π ряд S_g(ϕ, q)сходится равномерно.

Доказательство. Вследствие асимптотических соотношений (40) при некото- ром достаточно большом и целомnвыполняется неравенство|µg(m/µ)| ≪1, а после- довательности{µg(m/µ)}^∞_m=n сходятся к нулю, монотонно убывая в случаеα=−1 и монотонно возрастая в случае α = 1. Следовательно, все элементы µg(m/µ), m>n, этой последовательности удовлетворяют всем условиям, наложенным в тео- реме 1 на соответствующие фазы δm(q), m >n. Поэтому в доказательстве теоре- мы1можно заменить каждую из фазδm(q)ее низкоэнергетическим приближением µg(m/µ) и, таким образом, убедиться в равномерной сходимости ряда Sg(ϕ, q) на полуинтервале0< ϕ6π. Теорема доказана.

Согласно формулам (40) фазы δm(q)в пределе m→ ∞ убывают слишком мед- ленно. Поэтому, используя представление (52) амплитуды рассеяния f(ϕ, q), нель- зя найти старшее слагаемое ее низкоэнергетической асимптотики. Для построения такого слагаемого методом стационарной фазы [10] придется доказать аналог тео- ремы2.

Теорема 4. Из представления (52) амплитуды рассеяния f(ϕ, q) следует ее представление в виде сходящегося при любом ϕ∈(0, π] разложения по однократ- ным интегралам

f(ϕ, q) =A(q, d) ∞

X

n=−∞

˜

ηn(ϕ, q) +O(µ⁻¹)

, η˜n(ϕ, q)≡ Z ∞

0

e^2iπntξ(t, ϕ, q)˜ dt, ξ(t, ϕ, q)˜ ≡2 cos(tϕ)

1−e^2iφ(t,q)˜ , φ(t, q)˜ ≡µg t

µ

, µ=q^−ν, q→0.

(53)

Доказательство. Как пояснялось при доказательстве теоремы3, произведения µg(t), t=m/µ,m >n, удовлетворяют всем условиям, наложенным в теореме 1 на соответствующие фазы δ_m(q), m>n. Согласно формуле (40) эти же произведения в пределе m → ∞ убывают как O(t^−ε), ε = β−1 > 0. Вследствие определения и асимптотики (37) функции g(s) при больших значениях аргумента s функция φ(t, q) =˜ µg(t/µ) обладает следующими свойствами. Эта функция непрерывна на полуоси s >0, в точке t = m/µ, m = 0,1, . . ., совпадает с приближением µg(t/µ) фазы рассеянияδm(q), в областиt>nмонотонно убывает или же возрастает в слу- чае α=−1 илиα= 1 соответственно. Следовательно, функцияφ(t, q)˜ подчиняется всем ограничениям, наложенным в теореме 2 на функцию φ(t, q). Поэтому в фор- мулировке теоремы 2 можно выполнить заменыδm(q)→µg(m/µ),φ(t, q)→φ(t, q),˜ ξ(t, q)→ξ(t, q). После таких замен представление (47) амплитуды рассеяния˜ f(ϕ, q) станет представлением (53), что и требовалось доказать.

Теперь используем формулы (53) для вывода старшего слагаемого низкоэнерге- тической асимптотики амплитудыf(ϕ, q).

Сначала в определении функцииξ(t, ϕ, q)˜ представим функцию cos(tϕ)полусум- мой функций e^itϕ и e^−itϕ, затем в интегралах η˜n(t, ϕ, q) сделаем замену перемен- ныхt→s/µ. Таким образом, получаем асимптотическое представление амплитуды f(ϕ, q)

f(ϕ, q) =µA(q, d) ∞

X

n=−∞

[F_n⁺(ϕ, µ) +F_n⁻(ϕ, µ)] +O(µ⁻²)

, q→0, (54)

через сходящиеся интегралы с большим параметром µ F_n^±(ϕ, µ)≡

Z ∞

0

e^{iµQ±n(s,ϕ)}−e^{iµs(2πn±ϕ)} ds, ϕ∈(0, π].

Исследуем эти интегралы. Их подынтегральные функции содержат фазыs(2πn±ϕ) и Q^±_n(s, ϕ)≡s(2πn±ϕ) + 2g(s). Производная первой из этих фаз по аргументуs не имеет нулей, потому чтоϕ̸= 0. Благодаря определениюg^′(s) =π/2−h(s)функ- ции h(s)нули производной ∂sQ^±_n(s, ϕ) являются корнями s^±_n(ϕ)соответствующего уравнения

2

πh(s) = 2n+

1±ϕ π

, s>0, ϕ∈(0, π]. (55) По той же причине верно равенство ∂_s²Q^±_n(s, ϕ) =−h^′(s). Его правая (и, следова- тельно, левая) часть никогда не обращается в нуль.

Обсудим уравнение (55). Благодаря неравенству h^′(s) ̸= 0, s > 0, его правая часть не имеет локальных экстремумов. Поэтому при данномnможет существовать только один, причем простой кореньs^±_n(ϕ). Такой корень существует тогда и только тогда, когда области допустимых значений обеих частей обсуждаемого уравнения пересекаются. Эти области определяются неравенствами (23).

Теперь предположим, что при данномnуравнение (55) имеет кореньs^±_n(ϕ). Такой корень является простым, и, кроме того,∂_s²Q^±_n(s, ϕ)̸= 0. Поэтому интегралF_n^±(ϕ, µ) с большим параметром µможно найти методом стационарной фазы [10]. Согласно