2(f;) = sup jhj maxx j2hf(x)j; £¤¥ ¢â®à ï à §­®áâì á è £®¬h ¥áâì 2hf(x) =f(x+ 2h);2f(x+h) +f(x): ‡ ¤ ­­ãî ­ [0;] äã­ªæ¨î '() ­ §ë¢ îâ ¬®¤ã«¥¬ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 , ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®© ä㭪樨f'2C2

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Э. Гейт, О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности, Изв.

вузов. Матем., 1998, номер 9, 38–41

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

3 ноября 2022 г., 22:24:01

ˆ ‡ ‚ … ‘ ’ ˆ Ÿ ‚ › ‘ ˜ ˆ • “ — …   › • ‡ € ‚ … „ …  ˆ ‰

1998 Œ€’…Œ€’ˆŠ€ ò 9 (436)

“„Š 517.5

‚..ƒ…‰’

Ž ”“Š–ˆŸ•, Ÿ‚‹Ÿž™ˆ•‘Ÿ ‚’Ž›Œ ŒŽ„“‹…Œ

……›‚Ž‘’ˆ

ãáâì äã­ªæ¨ï ^{f 2 C2}, â.¥. ^f ¯¥à¨®¤  2 ¨ ­¥¯à¥à뢭  ­  ®á¨ (^;1;1). ®«®¦¨¬, ª ª

®¡ëç­®, (á¬., ­ ¯à., [1], á.115) ¤«ï 0

!

2(^f;) = sup

jhj

maxx

j^2hf(^x)^j;

£¤¥ ¢â®à ï à §­®áâì á è £®¬^h ¥áâì

^2hf(^x) =^f(^x+ 2^h)^;2^f(^x+^h) +^f(^x)^:

‡ ¤ ­­ãî ­  [0^;] äã­ªæ¨î ^'() ­ §ë¢ îâ ¬®¤ã«¥¬ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 , ¥á«¨

¤«ï ­¥ª®â®à®© ä㭪樨^f'2C2

!

2(^f';) =^'()^; 0^:

 ¯à¨¬¥à, ¢á¥ ¯¥à¢ë¥ ¬®¤ã«¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠áãâì ¬®¤ã«¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 ¹⁾.

„® á¨å ¯®à ­¥ ­ ©¤¥­® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ᢮©á⢮ ¬®¤ã«¥© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®àï¤- ª . ˆ§¢¥áâ­ë© ¨­â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â â ª¦¥ § ¤ ç  ¯®¨áª  ¤®áâ â®ç­ëå ãá«®¢¨©.

’¥®à¥¬  1. ”ã­ªæ¨ï '()^, 0 ^{ï¥âáï ¬®¤ã«¥¬} ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 ,

¥á«¨

(a) ^'(0) = 0;

(¡) ^'() ^{­¥ ã¡ë¢ ¥â ¨ ­¥¯à¥à뢭  ­}  [0^;];

(¢) ^{¢ à §«®¦¥­¨¨ ' ¯® ª®á¨­ãá ¬ '}(^x) = ^A+ ^P1

n=1 a

ncos^nx (0 ^x ) ^¢á¥ ª®íää¨æ¨¥­âë a

n 0^.

„®ª § â¥«ìá⢮. Žâ¬¥â¨¬, çâ® à §«®¦¥­¨¥ (¢) § ¢¥¤®¬® áãé¥áâ¢ã¥â, â.ª. ᮣ« á­® (¡) äã­ªæ¨ï^'¨¬¥¥â ®£à ­¨ç¥­­ãî ¢ à¨ æ¨î ­  [0^;], „ «¥¥, ¢ ᨫã (a) ¨§ (¢) ¨¬¥¥¬^A=^{; P1}

n=1 a

n,

¯®í⮬ã

'(^x) =^;X1

n=1 a

n+^X1

n=1 a

ncos^nx= (^;2)^X1

n=1 a

nsin^2nx2^; 0^x: (1)

’¥¯¥àì ¢ ª ç¥á⢥ âॡ㥬®© ä㭪樨^f' à áᬮâਬ

f

'(^x) = 12^{Xn=11 an}cos^{nx; ;1<x<}+^1: (2)

’ ª ª ª^f'(^x) = (^'(^x)^;A)⁼2, 0 ^x , â® ^{f' 2C2}. „«ï í⮩ ä㭪樨 (á¬., ­ ¯à., [2], á.70)

¨¬¥¥¬

^2hf'(^x) = (^;2)^X1

n=1 a

ncosⁿ(^x+^h)sin^2nh2^:

1)

‡ f

' 2C

2

¡¥à¥¬ç¥â­®¥¯à®¤®«¦¥­¨¥'()=2¤«ï(;1;+1).

Žâá ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î^an 0 (ⁿ1) á ãç¥â®¬ ᮮ⭮襭¨ï (1) ¯®«ãç ¥¬

k^2hf'(^x)^kC= 2^X1

n=1

(^;an)sin^2nh2 =^'(^jhj)^: (3)

‡­ ç¨â, ¢¢¨¤ã ¢®§à áâ ­¨ï^'(^h) (á¬. (¡)), ^!2(^f';) =^'() (0 ).

ˆ§ â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â å®à®è® ¨§¢¥áâ­®¥

‘«¥¤á⢨¥. …᫨ äã­ªæ¨ï^'() ¯à¨ ãá«®¢¨ïå (a), (¡) ⥮६ë 1 ï¥âáï ¢ë¯ãª«®© ¢¢¥àå

­  [0^;], â® ®­  ¥áâì ¬®¤ã«ì ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 .

„®ª § â¥«ìá⢮. —¥â­®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ä㭪樨 ^' ­  ¢áî ®áì á ¯¥à¨®¤®¬ 2 ¡ã¤¥â, ®ç¥-

¢¨¤­®, ¢ë¯ãª«ë¬ ¢¢¥àå ­  [0^;2]. ’®£¤  ¯® ⥮६¥ 35 ([3], á.46) ¥£® ª®íää¨æ¨¥­âë ”ãàì¥

­¥¯®«®¦¨â¥«ì­ë (ⁿ1). ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ (¢) ⥮६ë 1 â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®.

’®â ä ªâ, çâ® ¤®ª § ­­ ï ⥮६  1 ­¥ ᢮¤¨âáï ª á«¥¤á⢨î, ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â ¯à®á⥩訩

¯à¨¬¥à ä㭪樨^'() = 1^;cos (0 ). „«ï ­¥¥ ãá«®¢¨ï (a), (¡), (¢) ⥮६ë 1, ®ç¥¢¨¤­®,

¨¬¥îâ ¬¥áâ®. ‡­ ç¨â,^'() | ¢â®à®© ¬®¤ã«ì ­¥¯à¥à뢭®áâ¨, ¯à¨ç¥¬ ­¥ ïî騩áï ¢ë¯ãª«®©

­  [0^;] ä㭪樥©.

¨¦¥á«¥¤ãîé ï ⥮६  2 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® § ¯ á ä㭪権, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨ï¬ â¥-

®à¥¬ë 1, ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® è¨à®ª¨¬. ®âॡã¥âáï á«¥¤ãîé ï

‹¥¬¬ . ãáâì 1) ^{äã­ªæ¨ï f}(^x) ­¥®âà¨æ â¥«ì­  ¨ á㬬¨à㥬  ­  [0^;]; 2) ^{¢á¥ ¥¥ ᨭãá-}

ª®íää¨æ¨¥­âë b

n(^f)0^{, ⮣¤}  ¯¥à¢®®¡à §­ ï F(^x) =^Rx

0

f(^t)^dt (0^x) ^{¥áâì ¢â®à®© ¬®¤ã«ì}

­¥¯à¥à뢭®áâ¨.

„®ª § â¥«ìá⢮.  áᬮâਬ ᨭãá-àï¤ ”ãàì¥

f(^x)^X1

n=1 b

n(^f)sin^{nx; bn}(^f) = 2

Z

0

f(^t)sin^ntdt:

® á㬬¨à㥬®áâ¨^f ¯®ç«¥­­ë¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¨¬¥¥¬ ¤«ï 0^x ᮮ⭮襭¨¥

F(^x) =^X1

n=1 n

;1

b

n(^f)^;X1

n=1 b

n(^f)

n

cos^nx:

’®£¤ , ®ç¥¢¨¤­®, ^F(0) = 0 ¨ ^F |  ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï. „ «¥¥, ¯®áª®«ìªã ^f(^t) 0 ¤«ï ^{t 2} [0^;], â® ¯¥à¢®®¡à §­ ï ^F(^x) = ^Rx

0

f(^t)^dt ­¥ ã¡ë¢ ¥â ­  [0^;].  ª®­¥æ, ¥¥ ª®á¨­ãá- ª®íää¨æ¨¥­âë ­¥¯®«®¦¨â¥«ì­ë, â.ª. ¢á¥^bn(^f)0 ¯® ãá«®¢¨î 2).

’¥®à¥¬  2. Œ®¤ã«¥¬­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪  ï¥âáï «î¡ ïäã­ªæ¨ï ¢¨¤ 

F(^x) =^A;X1

n=1 a

2^n;n 1 cos(2^n;1)^x; 0^x; (4)

£¤¥A ¢ë¡à ­®¨§ ãá«®¢¨ï F(0) = 0^{, ¯à¨ç¥¬}

(a) 0^<an#0 ^{¯à¨ n"1}; (¡) ^P1

n=1 an

n

<+^1.

„®ª § â¥«ìá⢮.  áᬮâਬ ¯®ç«¥­­® ¯à®¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­­ë© àï¤ ¤«ï ^F(^x), â.¥.

f(^x) =^X1

n=1 a

nsin(2^n;1)^x: (5)

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ®­ á室¨âáï ­  ¢á¥© ®á¨, ¯à¨ç¥¬ ¥£® á㬬 ^f(^x) á㬬¨à㥬  ­  [0^;] ¢¢¨¤ã

¯à¥¤¯®«®¦¥­¨© (a), (¡) (á¬. â ª¦¥ ⥮६ã 47 ([3], á.57)).

„ «¥¥, ^b2n;1(^f) = ^{an >} 0, ^b2n = 0 ¯® ãá«®¢¨î. ˆ â.ª. äã­ªæ¨ï (4) ï¥âáï ¯¥à¢®®¡à §­®©

ä㭪樨 (5), â® ¢¢¨¤ã «¥¬¬ë ®áâ ¥âáï «¨èì ¤®ª § âì, çâ® ^f(^x) 0 ¤«ï ^{x 2} [0^;]. ‚ á¢ï§¨ á í⨬ ¢ë¯®«­¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ €¡¥«ï à鸞 (5). ’®£¤ , ¯®«®¦¨¢ ^an =^an;an+1 (ⁿ= 1^;2^;:::),

¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì

f(^x) =^X1

n=1

^anXn

j=1

sin(2^j;1)^x: (6)

‚­ãâ७­ïï á㬬  ¢ (6) ­¥®âà¨æ â¥«ì­  ¯à¨ 0^<x<, â.ª.

2sin^xXn

j=1

sin(2^j;1)^x=^Xn

j=1

[cos(^j;1)2^x;cos^j2^x] = 1^;cos2^nx= 2sin^2nx0^:

Šà®¬¥ ⮣®, ^an 0 ¤«ï ¢á¥å ⁿ ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î (a), â ª çâ® äã­ªæ¨ï (5) ¨ ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥

­¥®âà¨æ â¥«ì­  ¤«ï^x2[0^;].

‹¥¦ éãî ¢ ®á­®¢¥ ⥮६ë 2 ⥮६ã 1 ­¥âà㤭® ¢ë¢¥á⨠⠪¦¥ ¨§ á«¥¤ãî饣® १ã«ìâ â .

’¥®à¥¬  3. ”ã­ªæ¨ï '() (0 ) ^{ï¥âáï ¬®¤ã«¥¬} ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 ,

¥á«¨

(a) ^'(0) = 0^,

(¡) ^{' ­¥ ã¡ë¢ ¥â ¨ ­¥¯à¥à뢭 ­}  [0^;]^, (¢) ^ç¥â­®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥

b

'¯¥à¨®¤  2 ^{¤«ï '} 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î

j^2h'b(^x)^j2^'(^jhj) (^jxj<+^{1; jhj})^: (7)

„®ª § â¥«ìá⢮.  áᬮâਬ äã­ªæ¨î^f'(^x) =^'b(^x)⁼2. ’®£¤  ^f'2C2, ¯à¨ç¥¬ ¯® ¯à¥¤¯®-

«®¦¥­¨î (7) ¨ ¯à¨ ¯®¬®é¨ (¡) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì

!

2(^f';) =^!2(^{' =b} 2^;) ^'()^; 0^: (8)

Ž¡à â­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ á«¥¤ãî饣® ã⢥ত¥­¨ï: ç¥â­®¥ ¯¥à¨®¤  2 ¯à®¤®«¦¥­¨¥

b

'­  (^;1;+¹) ¢á类© ä㭪樨^'()0 (0 ),^'(0) = 0 ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬

!

2(^';b )2^'()^; 0 ^: (9)

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«ï 0 ¨¬¥¥¬ á­ ç «  ®ç¥¢¨¤­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮

!

2(^{' ;b} )maxx

j'b(^x+ 2)^;2^'b(^x+) +^'b(^x)^j:

‚§ï¢ §¤¥áì^x=^;, á ãç¥â®¬ ᢮©á⢠^'(0) = 0^'() ¯®«ã稬 (9)

!

2(^{' ;b} )^j'b() +^'b(^;)^j= 2^'()^:

‡­ ç¨â,^!2(^f';)^'() (0 ). ’®£¤  ¢¢¨¤ã (8) ⥮६  3 ¤®ª § ­ . ‚®¯à®á ® ¢®§¬®¦­®áâ¨

¥¥ ®¡à é¥­¨ï ®áâ ¥âáï ¯®ª  ­¥à¥è¥­­®© § ¤ ç¥©.

Žâ¬¥â¨¬ ¢ § ª«î祭¨¥, çâ® ¡¨¡«¨®£à ä¨î ¨ ®¡§®à १ã«ìâ â®¢ ¯® ¬®¤ã«ï¬ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨

à §«¨ç­ëå ¯®à浪®¢ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [4] (á¬.^x2).

1. ’¨¬ ­ €.”.^’¥®à¨ï ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ä㭪権 ¤¥©á⢨⥫쭮£® ¯¥à¥¬¥­­®£®. { Œ.: ”¨§¬ â£¨§, 1960. { 624 á.

2. ƒ¥©â ‚.. ^{’¥®à¥¬ë ¢«®¦¥­¨ï ¤«ï ­¥ª®â®àëå ª« áᮢ} ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権

// ˆ§¢. ¢ã§®¢. Œ â¥¬ â¨ª . { 1972. { ò4. { ‘.67{77.

3. • à¤¨ ƒ.•., ®£®§¨­áª¨© ‚.‚.^{ï¤ë ”ãàì¥}. { Œ.: ”¨§¬ â£¨§, 1962. { 156 á.

4. ˜¥¢ç㪠ˆ.€.à¨¡«¨¦¥­¨¥¬­®£®ç«¥­ ¬¨¨á«¥¤ë­¥¯à¥à뢭ëå­ ®â१ª¥ä㭪権. { Š¨¥¢:

 ãª®¢  ¤ã¬ª , 1992. { 225 á.

—¥«ï¡¨­áª¨© £®á㤠àá⢥­­ë© ®áâ㯨« 

ã­¨¢¥àá¨â¥â 12.01.1996