R. G. Novikov, Construction of two-dimensional Schr¨ odinger operator with given scattering amplitude at fixed energy, TMF , 1986, Volume 66, Number 2, 234–240

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

R. G. Novikov, Construction of two-dimensional Schr¨ odinger operator with given scattering amplitude at fixed energy, TMF , 1986, Volume 66, Number 2, 234–240

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 139.59.245.186

November 3, 2022, 15:14:24

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А

Том 66, № 2 февраль, 1986

ПОСТРОЕНИЕ ДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С ДАННОЙ АМПЛИТУДОЙ РАССЕЯНИЯ

ПРИ ФИКСИРОВАННОЙ ЭНЕРГИИ Новиков Р. Г.

Классические необходимые свойства амплитуды рассеяния (взаим­

ность и унитарность) при условии малости ее £2-нормы оказываются достаточными для существования двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии.

1. ВВЕДЕНИЕ

Восстановление потенциала v в операторе Шредингера L=—A+u(x) по данным рассеяния является классической задачей. В одномерном слу­

чае эта задача исследована достаточно полно (см. [1, 2]). В многомерном же случае без предположения сферической симметрии она сильно услож­

няется. Основные результаты здесь принадлежат Л. Д. Фаддееву и Р. Ньютону (см. [1]). Однако, эти работы не дают еще эффективного описания данных рассеяния и их не удается приспособить для явного восстановления потенциалов.

В работах С. П. Новикова, А. П. Веселова, Б. А. Дубровина и И. М. Кричевера (см. [3]) найдено эффективное решение обратной за­

дачи для двумерного оператора Шредингера с периодическим потенциа­

лом по спектральным данным, снимаемым при фиксированном уровне энергии. В развитие этих работ и на основе нелокальной задачи Римана в [4] исследована обратная задача при фиксированной энергии для дву­

мерного оператора Шредингера с убывающим потенциалом. Однако вопрос о восстановлении убывающих потенциалов именно по амплитуде рассея­

ния при фиксированной энергии был оставлен открытым.

Для решения этого вопроса С. П. Новиков предложил найти связь между используемыми в [4] данными нелокальной задачи Римана и амплитудой рассеяния. В настоящей работе эта задача решается (теоре­

ма 3). При этом выяснилось, что классические необходимые свойства амплитуды рассеяния (взаимность и унитарность) в двумерном случае оказываются достаточными (по крайней мере, при условии малости нормы амплитуды) для существования убывающего потенциала с дан­

ной амплитудой при фиксированной энергии (теорема 1). Отсюда сле­

дует, в частности, что условия потенциальности и вещественности опера­

торов Шредингера в [4] являются не только достаточными, но и необ­

ходимыми.

234

Отметим, что схема доказательства теоремы 3 возникла в связи с рас­

смотрением возможности использования подхода С. В. Манакова к вос­

становлению нестационарного одномерного оператора Шредингера по данным рассеяния, собранным со всех уровней энергии [5].

2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Рассмотрим двумерный оператор Шредингера (1) L = - A + i ; ( z , z ) ,

где потенциал v(z, z) — гладкая вещественная убывающая функция, z=x+iy, z=x—iy. Амплитудой рассеяния при энергии к2>0 называется функция А (к, X, V ) , где кШ+, X, Х'^С, |A,| = |A/|=1, которая определяет­

ся как коэффициент в асимптотическом представлении решения г|) урав­

нения

(2) Ь^=к%

где

ik eihr / 1 \

(3) ib(z, z, к) = exp — (kz+z/k) +A (к, к, к') —=. + о ( — ,

2 Vr v Vr'

r=Yzz, k'=zfr, к — параметр.

Амплитуда рассеяния обладает следующими необходимыми свойства­

ми [6]. Взаимность:

(4) А(к,кпкг)=А{к, -k2, -ki).

Унитарность: оператор 5 вида

(5) ^ ^ а ) = ^ а ) + ^ ] / - ^ е ^ М ( А : Д Д ' ) ^ а ' ) | а ' | является унитарным оператором в L2 на окружности |А,|=1.

Т е о р е м а 1. Если при фиксированном к норма функции А=

=А(к, %и Х2) в L2-npостранетее на торе |A,i| = |X2|=l достаточно мала и обладает свойствами (4), (5), то существует оператор (1), для которого А служит амплитудой рассеяния на уровне энергии к.

Далее будет указан способ, сводящийся к решению соответствующих интегральных уравнений для построения оператора (1) по амплитуде рассеяния. Будем считать, что к=1.

Оператор (1) из теоремы 1 удается получить на основе следующей нелокальной задачи Римана. По заданной на торе функции R=R(X1 %'),

|A,| = |A/|=1, ищется пара функций if^Cz, z, X) со свойствами: функции я])* (z, z, X) J exp — (Xz+z/X) аналогичны по параметру X внутри и вне

Li

единичного круга соответственно; Km я|г (z, z,X)exp (Xz+z/X) I = 1.

При |A,| = 1 функции if)* должны быть связаны соотношением

(6) V^z1X)^-(z,z1X)+^R(X1X,)^-(z,z,X/)\dX,\.

Такая задача решается однозначно. По решениям 'ф±(^, z, Я) нелокаль­

ной задачи Римана однозначно определяется (С. В. Манаков) двумерный оператор Шредингера L в магнитном поле из условия

(7) ( L - F ) ^ ( z , z, Я)=0, А=1.

В [4] найдены следующие достаточные условия на i?, при которых опе­

ратор L имеет вид (1). Аналог взаимности:

(8) Д ( Л Д ' ) = Д ( А / Д ) . Аналог унитарности: оператор S вида

(9) ^ . а ) = я р ( М + | д а , Г ) Ф ( Я/) | ^,|

сохраняет следующее скалярное произведение функций йй окружности:

—Я)|йЛ|. И кроме того, норма ||Я||ы(т«) меньше 1, где Т2=

= { А Д ' : |Л| = | Г | = 1}.

Напомним, что если на потенциал не накладывать дополнительных условий, то он не восстанавливается однозначно по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии. Впрочем, эта неоднозначность уменьшается с ростом энергии (см. [1]). В нашем случае дополнительным условием является возможность получения оператора (1) путем решения нело­

кальной задачи Римана.

Чтобы по амплитуде рассеяния найти оператор (1), получаемый при решении нелокальной задачи Римана с некоторым ядром, нужно найти связь между А и R. Эту связь в приближенном виде дает

Т е о р е м а 2.

А{1,%)=Пле-^R{t%)sgn—( \ А . ) +0(||Д(6,

I x A

Теорема 1 является следствием теоремы 2, т. к. из теоремы 2 следует, что отображение R-^A функций со свойствами (8), (9) в функции со свойствами (4), (5) обратимо, если норма ||Л||ь2(т2) достаточно мала.

Отсюда следует, что необходимые свойства амплитуды рассеяния А (4), (5) переходят в достаточные свойства Я, при которых ядру R (с учетом

||/?||ь2(т2)<1) соответствует оператор (1).

Теорема 2, в свою очередь, вытекает из следующего результата.

Т е о р е м а 3. Пусть ядро R обладает свойствами (4), (5) и ||Л||ь2(т2)<1.

Тогда, определяя вспомогательные функции Ai(X, А/), Л2(Я, Я'), RY(Я, Я'),

#2(Я, Я'), (?(Я, Я') из нижеследующих соотношений (10) —(13), амплиту­

ду рассеяния можно найти по формуле (14):

(10) А{(Ъ,%")+ J R(lX')A1(X',X")\dX'\ =

4-(£—£-)«»

г \ к а/ )

= У"2яе-**/«Я(5,Г)

( И ) 42( | Д " ) = - 41( - 1 Д " ) ,

(12) Bh(l,V = -i:Ah(t,%)sgn(—(I—A)), fc=l,2,

236

(13) nne^Q^-Xn+lQa^lB^.nidK'l+BAl^n-O, (14) Л а Д ) = У 2 ^ ^^{/ 4}( ? ( | Д ) + 5¹( | Д ) + | ^ а д^/) 5¹а^,Д ) | ^^,| .

3. СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 3

Пусть ядро R(Я, X') достаточно гладкое. Пару функций ^(z, z, А,), дающую решение нелокальной задачи Римана, представим в виде

as)

(*,-,х)-( 1+-Ы ^Шг"г) «р [4 <к+л>],

(16) K(z,z,K) = (i>+(z,z,K)—^-(z,z,X))exp\--^-{lz+z/X)\.

Используя (15), (16), перепишем (6) в виде

(17) K(z,z,K)ex-p[-^(Kz+z/X)] = l R(K,K')X

Введем обозначение i|)(z,z,X)=i£(z,z,A)exp I—(Kz+z/'k) J. Функцию if), являющуюся решением уравнения (1) и убывающую как 0(1/Уг), можно асимптотически записать в виде суммы сходящейся и расходящей­

ся сферических волн:

(18) г | ) ( ^ , г Д ) = Л Д Я Д/0 ^ + Л а Д/ /) ^ 1 + о ( 4 г ) , Уг Уг Уг'

где X"=z/r. Отметим, что ty+(z, z, — A)=i|r(z, z, Я). Отсюда следует i|)(z, z, —Я) =—гр(is, z, К). Из последнего равенства и из (18) вытекает (11).

Для доказательства справедливости (10) воспользуемся методом ста­

ционарной фазы. Имеем

(19) J Д(ЯД')ехр[— a'z+zA')! \dV\=ibte-ia/iR(KXf)^+

2 Уг +У 2^Я (А,, -Я") eW4 ^ + о ( 4 Л ,

где A"=z/r. Подставим теперь (18) и (19) в (17). Приравнивая коэффи­

циенты при е1гЦг, получим

(20) 41( | Д, /) = У 2 ^ й ( | Д, ,) е -г"я / 4+

237

Отсюда

(21)

(Б, Г ) =У 2я Д(S, Г)«-'•" + X j J

' ^ \ « ;

> . g |

| +

^ш Q~^ (1+0)

с»

Используя в (21) равенство

(22) § eihxdk=n8(x)+ix-\

0

где ж = 1 . ( 1 - ( я ' -?) + Г ( 1 Д ' - 1 / и ) , и учитывая, что (£А" — X/r/Xf)/x=2t)/K/—£, получим

(23) i i , ( 6 ^ ^ ) - y ^ i i ( 6 ^ " ) g -w t + ^ j j - f l ( ^ ^ y < W | +

+ 4 J

<6,5) sgn ( 4 - (С/Г-r/S)) Л (•£, Г ) | d£ |

+

2 ^

" F=l • * 1

1 -

+

Последний интеграл понимается в смысле главного значения. Из (23) следует (10).

Рассмотрим теперь решение (1), равное

^ ' 2 V 2 n iJ 1 - A , >

X ехр [ -^- (Xz+z/X) J . Из (18) и (24) следует равенство

$ = ехр Г— (Я/z+z/A/) I + 5 , (Л', Я") ^ 4 + Я,(А,'Д") 4 ^ + о( 4 г ) г

L 2 J _ Mr Mr XMr'

где Bh{%', Я"), &=1, 2, определяются равенствами

х(£-£)|*|*.

Отсюда, используя (22), получаем (12).

238'

Найдем теперь такой интегральный оператор

чтобы

(25) <5ф = ехр | — (Xz+z/X) I +A (X, X") 4 : + о \-^\ ,

где ф дается формулой (24). Функция А(Х, X") является здесь амплиту­

дой рассеяния при энергии к=1.

Для справедливости (25) необходимо и достаточно выполнение (13) и (14).

Замечание. Приведенное рассуждение показывает, что если ядро R со свойствами (8), (9) в задаче Римана достаточно гладкое и имеет ма­

лую /Лнорму, то соответствующая R в силу (10) —(14) функция А яв­

ляется амплитудой рассеяния для некоторого убывающего потенциала в классическом смысле. Если же R — произвольная функция со свойствами

(8), (9) и с малой £2-нормой, то соответствующая R в силу (10) —(14) функция А является амплитудой рассеяния для некоторого убывающего потенциала v в обобщенном смысле. Последнее означает, что А аппрокси­

мируется в £2-норме классическими амплитудами рассеяния А, так, что соответствующие им убывающие потенциалы Uj сходятся к v.

4. АНАЛОГ СООТНОШЕНИЙ ГАРДНЕРА — ГРИНА — КРУСКАЛА — МИУРЫ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА —ДЕ ФРИЗА

Новиков и Веселов (см. [3, 4]) ввели двумерные нелинейные систе­

мы, частным случаем которых является уравнение Кортевега —де Фриза (КдФ) и высшие уравнения КдФ.

Систему, обобщающую уравнение КдФ, можно представить в виде сле­

дующей деформации оператора Шредингера на фиксированном уровне энергии к2:

(26) L+[L, A+A]=fL, где

(27) L=-A+v(z,z,t)-k2; £ = — L ; dt

А=д3+ид, f=du+du, du=—3dv, дх dy ' '

Будем далее считать, что k=l.

Т е о р е м а 4. Если потенциал v=v(z, z, t), зависящий от параметра t, удовлетворяет уравнению (26), то его амплитуда рассеяния А (к, Xi, t) удовлетворяет соотношению

(28) А (%, Хи t) =exp [it(X3-V+X-3-Xr8)]Л (X, X,).

Обратно, если амплитуда А=А(Х1 JU, t) определяется соотношением (28), где А(Х, ХЛ) удовлетворяет условиям теоремы 1, то потенциал y(z, z, t),

239

который соответствует А{Х, Ки t) в силу соотношений (10) —(14) и (6)г

(7), удовлетворяет (26).

Соотношения (28) являются аналогом известных соотношений Гард­

нера — Грина — Крускала — Миуры для уравнения КдФ.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как показано в [4], соотношение (28) для ядра Я (Я, A/, t) задачи Римана (6) является необходимым и достаточным, чтобы соответствующий этому ядру потенциал (7) удовлетворял (28). Из тео­

ремы 3 вытекает, что если одна из функций А или R удовлетворяет (28), то и другая функция также удовлетворяет (28). Отсюда вытекает утверж­

дение теоремы 4.

Автор приносит глубокую благодарность С. П. Новикову за постанов­

ку задачи и руководство работой и П. Г. Гриневичу за полезные обсужде­

ния темы настоящей работы.

Литература

[1] Шадан К., Сабатъе П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Mnpv 1980.

[2] Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М.: Наука, 1984.

[3] Новиков С. П.- УМН, 1984, 39, № 4, 97.

[4] Гриневич П. Г., Новиков Р. Г.- ДАН СССР, 1986, 286, № 1.

[5] Manakov S. V.- Physica 3D, 1981, 3, № 1, 2, 420-427.

[б] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1963.

Московский государственный Поступила в редакцию- университет 21.11.1985 г.

RECONSTRUCTION OF TWO-DIMENSIONAL SCHRODINGER OPERATOR FROM THE GIVEN SCATTERING

AMPLITUDE AT FIXED ENERGY Novikov R. G.

It is proved that the well-known necessary properties of scattering amplitude (duality and unitarity) are sufficient for existence of two-dimensional (Schrodinger operator with given scattering amplitude at fixed energy, if the ZAnorm of the amplitude is small.

240