O KORAZMERNOSTI MNOGOOBRAZI SIMMETRIQNYH MATRIC S KRATNYMI SOBSTVENNYMI ZNAQENIMI

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. Дана, Х. Д. Икрамов, О коразмерности многообразия симметричных мат- риц с кратными собственными значениями, Зап. научн. сем. ПОМИ, 2005, том 323, 34–46

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 17:33:09

seminarov POMI Tom 323, 2005 g.

M. Dana, H. D. Ikramov

O KORAZMERNOSTI MNOGOOBRAZI SIMMETRIQNYH MATRIC S KRATNYMI SOBSTVENNYMI ZNAQENIMI

1. Vvedenie

Pri fiksirovannomⁿvyberem sluqanym obrazom vewestven- nye simmetriqnye ^{n n}-matricy ^B i ^M, sostavim lineny puqok

A

(

^t

) =

^B

+

^tM

(1)

i rassmotrim povedenie ego sobstvennyh znaqeni^1:::nkak funkci ot^t. Esli prodelat~ tako ksperiment dl mnogih par

(

^BM

)

, to opredelits sledu wa tipiqna kartina povedeni funkci ⁱ

(

^t

)

: na nekotoryh intervalah izmeneni parametra grafiki kakih-to funkci, skaem, ^j

(

^t

)

^{i k}

(

^t

)

, kazalos~ by, ustreml ts k toqke pereseqeni odnako pereseqeni ne pro- ishodit i grafiki snova otdal ts drug ot druga.

to vlenie

ukloneni ot stolknoveni

bylo obnarueno fi- zikami na zare kvantovo mehaniki. Ego obsnenie bylo dano Vignerom i fon Nemannom. Privedem to obsnenie, sledu knige 1, s. 113{114].

Podhod Vignera i fon Nemanna osnovan na pripisyvanii razmernosti mnogoobrazi ^Mvewestvennyh simmetriqnyh ma- tric, ime wih kratnye sobstvennye znaqeni. Takie matricy v fiziqesko literature nazyva ts vyrodennymi

(degenerate)

. Otmetim prede vsego, qto mnoestvo^S

vseh

vewestvennyh sim- metriqnyh ^{n n}-matric est~ linenoe prostranstvo razmerno- sti ^N

=

ⁿ

(

ⁿ

+ 1)

⁼

2

. K tomu neposredstvenno oqevidnomu faktu mono priti nestandartnym putem, parametrizu matricy iz

S posredstvom ih sobstvennyh vektorov i sobstvennyh znaqe- ni. sno, qto v tipiqnom sluqae matrica ^{A 2 S} imeet pro- sto spektr. Postroit~ matricu s prostym spektrom mono, vy- brav proizvol~nye ⁿ razliqnyh vewestvennyh qisel ^1:::n v kaqestve sobstvennyh znaqeni i ortonormirovannye vektory

34

q

1 :::q

n v kaqestve sobstvennyh vektorov. Vybor vektora ^q1, uqityva ego normirovannost~, zavisit ot ^n;

1

stepene svo- body vybor vektora^q2 s uqetom ego normirovannosti i ortogo- nal~nosti vektoru ^q1 { ot ^n;

2

stepene svobody, i t.d. Obwee qislo stepene svobody v postroenii matricy s prostym spek- trom iz^S, takim obrazom, ravno

n

+ (

^n;

1) + (

^n;

2) +

+ 1 =

^N:

Podsqitaem podobnym e obrazom qislo stepene svobody pri postroenii matricy ^A2S, ime we prostye sobstvennye zna- qeni ^1:::n;2 i dvonoe sobstvennoe znaqenie ^n;1

=

ⁿ. Vykladki dl sobstvennyh vektorov te e, qto i vyxe, poka my ne dodem do vektora ^qn;2, otveqa wego poslednemu pro- stomu sobstvennomu znaqeni ^n;2. Vybor vektora ^qn;2 po- prenemu soderit dve stepeni svobody odnako kak tol~ko vek- tory ^q1:::qn;2 vybrany, oni odnoznaqno opredel t dvumer- noe sobstvennoe podprostranstvo dl^n;1. Uqityva, qto qislo

razliqnyh

sobstvennyh znaqeni teper~ ravno^n;

1

, obwee qislo stepene svobody ravno

(

^n;

1) + (

^n;

1) + (

^n;

2) +

+ 2 =

^N;

2

^:

Itak,

dim

^M

=

^N;

2

^:

(2)

Formula (2) daet prostoe obsnenie fenomenu ukloneni ot stolknoveni. Destvitel~no, v prostranstve razmernosti^N na- ugad vybrannoe odnomernoe linenoe mnogoobrazie (1) v obwem sluqae ne peresekaet mnogoobrazie^Mrazmernosti^N;

2

^{. Inymi}

slovami, matricy tipiqnogo puqka (1) ne dolny imet~ kratnyh sobstvennyh znaqeni.

Spravedlivost~ formuly (2) vyzyvaet, odnako, somneni, osnovannye na sledu wem soobraenii. Matrica ^A togda i tol~ko togda imeet kratnoe sobstvennoe znaqenie, kogda raven nul diskriminant

disc(

^A

)

ee harakteristiqeskogo mnogoqlena.

Uslovie

disc(

^A

) = 0 (3)

predstavlet sobo algebraiqeskoe uravnenie otnositel~no lementov ^{a11:::aij:::ann} matricy ^A. Buduqi naloeno na

S, to uslovie v tipiqnom sluqae dolno sniat~ razmernost~

na edinicu, a ne na dve edinicy, kak trebuet (2).

Popytka razrexit~ to protivoreqie predprinta v 2], gde pokazano, qto korazmernost~ mnogoobrazi ^M v prostranstve^S ne men~xe dvuh. to vytekaet iz vanogo rezul~tata N. V. Il - xeqkina 3], soglasno kotoromu modul~ diskriminanta kompleks- no normal~no matricy moet byt~ predstavlen v vide summy kvadratov module. V 2] ispol~zovana specializaci togo re- zul~tata dl vewestvennyh simmetriqnyh matric, priqem v to forme, kaka e pridana B. Parlettom v 4].

Vopros o tom, poqemu korazmernost~ mnogoobrazi ^M ravna dvum, a ne bol~xemu qislu, ostals v 2] bez otveta. Medu tem to otn d~ ne prazdny vopros, uqityva qto ue pri ⁿ

= 3

predstavlenie Il xeqkina dl diskriminanta

disc(

^A

)

^{vkl qa-}

et v seb 19 slagaemyh, vl wihs kvadratami mnogoqlenov ot lementov ^aij. Mnogie iz nih sovpada t tem ne menee, imeets bolee dvuh algebraiqeski nezavisimyh mnogoqlenov.

V nastowe stat~e my obosnovyvaem formulu (2) dl raz- mernosti mnogoobrazi ^M v sluqae ⁿ

= 3

^{. Pri n>}

3

^rassude-

ni, v suwnosti, byli by takimi e, no ih gromozdkost~ vozro- sla by proporcional~no koliqestvu slagaemyh v predstavlenii diskriminanta.

V razdele 2 my obsudaem predstavlenie Il xeqkina{

Parletta dl diskriminanta vewestvenno simmetriqno ma- tricy^A.

V razdele 3 issleduets struktura mnogoobrazi^M pri ⁿ

= 3

. Vydeleny neprivodimye komponenty togo mnogoobrazi. Po- kazano, qto vse oni, za iskl qeniem odno, ime t korazmernost~

3. Dl ostavxes komponenty^Lpoluqeno opisanie sistemo iz treh algebraiqeskih uravneni otnositel~no lementov^aij.

Nakonec, v razdele 4 my dokazyvaem, qto korazmernost~ kom- ponenty^L ravna dvum (a ne trem, kak mono bylo by oidat~).

2. Diskriminant simmetriqno matricy

Pust~ ^A { matrica pordka ⁿ s sobstvennymi znaqenimi

1 :::

n.

Diskriminant disc(

^A

)

to matricy opredelim kak rezul~tant Sil~vestra ee harakteristiqeskogo mnogoqlena^p

(

)

^,

t.e. formulo

disc(

^A

) =

^Y

i<j

(

^i;j

)

^2:

(4)

Buduqi simmetriqesko funkcie ot ^1:::n, diskriminant (4) vlets racional~nym vyraeniem ot kofficientov mno- goqlena ^p

(

)

, t.e., v koneqnom sqete, ot lementov matricy ^A. Okazyvaets, qto

disc

^(A) mono vyqislit~, ne nahod ^p

(

)

^{, a}

imenno kak opredelitel~ nekotoro matricy, strowes raci- onal~no neposredstvenno po^A.

Pust~^A

~

{ matrica s lementami

~

a

ij

= tr(

^Ai+j;2

)

^ij

= 1

2

^:::n:

Lemma 1

(Parlett)

. Spravedlivo ravenstvo

disc (

^A

) = det ~

^A:

(5)

V prostranstve ^Mn

(

^C

)

kompleksnyh^{n n}-matric fiksiruem bazis, sostowi iz matriqnyh edinic^Eij. Simvol

vec(

^B

)

budet oboznaqat~ stolbec razmernosti ⁿ², sostavlenny iz koordinat matricy ^{B 2Mn}

(

^C

)

v tom bazise (inaqe govor, sostavlenny iz lementov matricy^B). Postroim dve matricy razmera^{n2 n}:

O

A

= vec(

^I

) vec(

^A

) vec(

^A2

)

vec(

^An;1

)]

O

A

T

= vec(

^I

) vec(

^AT

) vec((

^AT

)

²

)

vec((

^AT

)

^n;1

)]

^:

Iz opredeleni matricy ^A

~

vytekaet ravenstvo

~

A

= (

^OAT

)

^TOA:

Primen teoremu Bine{Koxi i ispol~zu (5), poluqaem

disc(

^A

) =

^X

det

^OAT

(

)]det

^OA

(

)]

(6)

gde summirovanie proishodit po vozrasta wim posledovatel~- nostm, sostowim iz ⁿlementov mnoestva^f

1

2

^:::n2g.

Ot rassmotreni proizvol~nyh kompleksnyh matric peredem k vewestvennomu simmetriqnomu sluqa . Budem interpretiro- vat~ ^S kak ^N-mernoe podprostranstvo evklidova prostranstva

M

n

(

^R

)

, gde skalrnoe proizvedenie^{n n}-matric^X i^Y zadaets pravilom

(

^{X Y}

) = tr(

^YTX

) =

^Xn

ij=1 x

ij y

ij :

Ortogonal~nym dopolneniem k ^S vlets podprostranstvo ^K kososimmetriqnyh matric.

Fiksiruem v ^S ortonormirovanny bazis, sostowi iz ma- triqnyh edinic ^Eii

(

ⁱ

= 1

^:::n

)

i matric ^Eij+

(

^i<j

)

, gde

E +

ij

= 1

^p

2(

^Eij

+

^Eji

)

^:

Koordinaty matricy^A2Sv tom bazise sut~ lementy ee verh- nego treugol~nika, priqem naddiagonal~nye lementy beruts s kofficientom ^p

2

. Stolbec

vec

(^A), kak i ran~xe, sostavlets iz koordinat matricy^Ai imeet teper~ razmernost~^N, potomu

O

A { matrica razmera ^{N n}. Tak, pri ⁿ

= 3

poluqaem

O

A

=

0

B

B

B

B

B

B

B

@

1

^{a11 a(2)11}

0

^p

2

^{a12 p}

2

^a(2)12

1

^{a22 a(2)22}

0

^p

2

^{a13 p}

2

^a(2)13

0

^p

2

^{a23 p}

2

^a(2)23

1

^{a33 a(2)33}

1

C

C

C

C

C

C

C

A

:

(7)

Zdes~ print obhod pozici verhnego treugol~nika po stolbcam i qerez ^a(2)ij oboznaqeny lementy matricy ^A2.

Poskol~ku ^AT

=

^A, matrica ^OAT sovpadaet s matrice ^OA. Formula (6) prinimaet vid

disc (

^A

) = det(

^OATOA

) =

^X

det

^OA

(

)]

^2:

(8)

to i est~ iskomoe predstavlenie diskriminanta v vide sum- my kvadratov. Formal~no summa sostoit iz ^;Nn

slagaemyh, od- nako b&ol~xa qast~ iz nih, a imenno ^;Mn

slagaemyh, gde ^M

=

n

(

^n;

1)

⁼

2

, ravny nul . Destvitel~no, esli ni odin indeks po- sledovatel~nostine sootvetstvuet diagonal~nym pozicim, to pervy stolbec podmatricy ^OA

(

)

nulevo. V rassmotrennom vyxe primere takova posledovatel~nost~^f

2

4

5

^g.

Sredi nenulevyh slagaemyh summy (8) mnogie sovpada t (a sootvetstvu wie minory matricy ^OA sovpada t s toqnost~

do znaka). Tak, priⁿ

= 3

qislo nenulevyh slagaemyh v (8) ravno

6 3

;

3

3

= 19

razliqnyh e slagaemyh tol~ko 10.

3. Sistema algebraiqeskih uravneni, zadawa mnogoobrazie

^M

V tom i sledu wem razdelah my rassmatrivaem lix~ ve- westvennye simmetriqnye matricy pordka 3. Zapixem taku matricu ^A v vide

A

=

0

@

x u w

u y v

w v z 1

A

:

Togda

A 2

=

0

B

B

B

@ x

2

+

^u2

+

^w2

(

^x

+

^y

)

^u

+

^{v w}

(

^x

+

^z

)

^w

+

^uv

(

^x

+

^y

)

^u

+

^{v w y2}

+

^u2

+

^v2

(

^y

+

^z

)

^v

+

^uw

(

^x

+

^z

)

^w

+

^uv

(

^y

+

^z

)

^v

+

^{uw z2}

+

^v2

+

^w2

1

C

C

C

A :

Devtnadcat~ nenulevyh minorov, prisutstvu wih v pravo qasti formuly (8), mono razbit~ na tri gruppy: devt~ mino- rov s edinstvenno edinice v pervom stolbce stol~ko e mi- norov, u kotoryh v pervom stolbce stot dve edinicy nakonec, edinstvenny minor s trem edinicami v pervom stolbce. Esli ignorirovat~ skalrnye mnoiteli, to sredi minorov pervo gruppy razliqny lix~ tri:

f

1

= 1

^{a11 a(2)11}

0

^{a12 a(2)12}

0

^{a13 a(2)13}

=

^u

(

^x

+

^y

)

^u

+

^{v w}

w

(

^x

+

^z

)

^w

+

^uv

=

^uw

(

^z;y

) +

^v

(

^u2;w2

)

f

2

= 1

^{a11 a(2)11}

0

^{a12 a(2)12}

0

^{a23 a(2)23}

=

^u

(

^x

+

^y

)

^u

+

^{v w}

v

(

^y

+

^z

)

^v

+

^uw

=

^uv

(

^z;x

) +

^w

(

^u2;v2

)

i

f

3

= 1

^{a11 a(2)11}

0

^{a13 a(2)13}

0

^{a23 a(2)23}

=

^w

(

^x

+

^z

)

^w

+

^uv

v

(

^y

+

^z

)

^v

+

^uw

=

^{v w}

(

^y;x

) +

^u

(

^w2;v2

)

^:

Oni otveqa t perestanovkam , ravnym sootvetstvenno

(1

2

4)

^,

(1

2

5)

ⁱ

(1

4

5)

^.

Oboznaqim qerez ^f4f5:::f12 mnogoqleny, sootvetstvu wie nenulevym minoram vtoro gruppy (my budem ignorirovat~ ska- lrny mnoitel~^p

2

, prisutstvu wi v tih minorah). Edin- stvenny nenulevo minor tret~e gruppy oboznaqim qerez^f13. Togda sistema uravneni

f

1

= 0

^f2

= 0

^:::f13

= 0 (9)

daet opisanie mnoestva^M kak algebraiqeskogo mnogoobrazi v vewestvennom prostranstve peremennyh^{xy zuv w}.

Legko videt~, qto mnogoobrazie ^M privodimo. Esli, napri- mer, ^u

=

^w

= 0

^{, to A} prinimaet bloqno-diagonal~ny vid

A

=

^x

y v

v z

i ravenstvo (3) kvivalentno trebovani , qtoby qislo ^x bylo sobstvennym znaqeniem matricy

y v

v z

libo qtoby sobstvennye znaqeni to matricy byli odinako- vy. V pervom sluqae my imeem

x 2

;

(

^y

+

^z

)

^x

+

^{y z;v2}

= 0

vo vtorom { sistemu uslovi

v

= 0

^y

=

^z:

Takim obrazom,^Msoderit podmnogoobrazie^N1korazmernosti tri, opisyvaemoe sistemo uravneni

u

= 0

^w

= 0

^x2;

(

^y

+

^z

)

^x

+

^{y z;v2}

]

^v2

+ (

^y;z

)

²

] = 0 (10)

i oqevidnym obrazom raspada wees v summu dvuh neprivodi- myh mnogoobrazi. Dva drugih podmnogoobrazi analogiqnogo tipa ^N2 i ^N3 opisyva ts sistemami

v

= 0

^w

= 0

^z2;

(

^x

+

^y

)

^z

+

^xy;u2

]

^u2

+ (

^x;y

)

²

] = 0 (11)

i

u

= 0

^v

= 0

^y2;

(

^x

+

^z

)

^y

+

^xz;w2

]

^w2

+ (

^x;z

)

²

] = 0

^:

(12)

Rassmotrim teper~ mnogoobrazie

P

=

^{M n}

(

^N1N2N3

)

^:

Pokaem, qto ego ishodnoe opisanie posredstvom sistemy (9) mono reducirovat~ k sisteme iz treh uravneni

f

1

= 0

^f2

= 0

^f3

= 0

^:

(13)

Bolee toqno, my dokaem sledu wee: esli opredelit~ mnogo- obrazie ^Kkak mnoestvo rexeni sistemy (13) i poloit~

L

=

^Kn

(

^N1N2N3

)

to na mnogoobrazii ^L vse mnogoqleny ^f4f5:::f13 obrawa ts v nul~. Tem samym^L

=

^P.

Utverdenie

fj

L

= 0

dokazyvaets odnotipnym obrazom dl vseh minorov vtoro gruppy. My provedem dokazatel~stvo dl mnogoqlena

f

4

=

1

^{a11 a(2)11}

0

^{a12 a(2)12}

1

^{a22 a(2)22}

=

1

^{x x2}

+

^u2

+

^w2

0

^{u xu}

+

^{y u}

+

^{v w}

1

^{y y2}

+

^u2

+

^v2

=

u

(

^z;x

)(

^y;z

) +

^u

(

^u2;v2

) +

^{v w}

(

^z;x

)

^:

Rassmotrim proizvedenie

w f

4

=

^uw

(

^z;x

)(

^y;z

) +

^uw

(

^u2;v2

) +

^{v w2}

(

^z;x

)

^:

(14)

Poskol~ku^f1

= 0

v toqkah mnogoobrazi^L, to

uw

(

^y;z

) =

^v

(

^u2;w2

)

^:

Podstanovka togo sootnoxeni v (14) dat

w f

4

=

^u

(

^z;x

)

^uv

+

^w

(

^u2;v2

)] =

^uf2

= 0

dl toqek iz ^L. Ots da sleduet, qto

f

4

= 0 (15)

v toqkah iz ^L, dl kotoryh ^{w 6}

= 0

. Poskol~ku ^L ne vloeno v podprostranstva (10) i (11), vska toqka iz ^L s nulevo koor- dinato ^w vlets predelom posledovatel~nosti toqek iz ^L s

w6

= 0

. Potomu ravenstvo (15) vypolnets na vsm mnogoobra- zii ^L.

Pokaem teper~, qto mnogoqlen

f

19

=

1

^{a11 a(2)11}

1

^{a22 a(2)22}

1

^{a33 a(2)33}

=

1

^{x x2}

+

^u2

+

^w2

1

^{y y2}

+

^u2

+

^v2

1

^{z z2}

+

^v2

+

^w2

=

(

^y;x

)(

^z;x

)(

^z;y

) +

^x

(

^u2;w2

) +

^y

(

^v2;u2

) +

^z

(

^w2;v2

)

take obrawaets v nul~ na mnogoobrazii^L. S to cel~ ras- smotrim proizvedenie

uw f

19

=

^uw

(

^y;x

)(

^z;x

)(

^z;y

)+

^uw

(

^y;x

)(

^v2;u2

)

^;

(

^z;x

)(

^v2;w2

)] =

uw

(

^y;x

)(

^z;x

)(

^z;y

)+

^u

(

^y;x

)

^w

(

^v2;u2

)

^;w

(

^z;x

)

^u

(

^v2;w2

)

^:

(16)

Poskol~ku^f2

= 0

^if3

= 0

v toqkah mnogoobrazi ^L, to

w

(

^v2;u2

) =

^uv

(

^z;x

)

i

u

(

^v2;w2

) =

^{v w}

(

^y;x

)

^:

Podstavl ti sootnoxeni v (16), poluqaem

uw f

19

= (

^y;x

)(

^z;x

)

^uw

(

^z;y

) +

^{u2v;v w2}

] = (

^y;x

)(

^z;x

)

^f1

= 0

dl toqek iz ^L. Tem samym

f

19

= 0 (17)

v toqkah iz ^L, dl kotoryh^{uw 6}

= 0

. Ots da, kak i vyxe, vyvo- dim, qto, v destvitel~nosti, (17) vypolnets na vsem mnogo- obrazii ^L.

Podvedem itog provedennomu analizu. My pokazali, qto

M

=

^LN1N2N3

gde kadoe iz podmnogoobrazi ^N1, ^N2 i ^N3 imeet korazmer- nost~ tri. Dl podmnogoobrazi^L poluqeno opisanie sistemo uravneni (13). V sledu wem razdele my dokaem, qto

codim

^L

= 2

^:

4. Korazmernost~ mnogoobrazi

^L

Mnogoqleny^f1, ^f2 i ^f3 ot xesti peremennyh ^{xy zuv w} od- norodny, priqem nikakie dva iz nih ne soderat odinakovyh odnoqlenov. Ots da sleduet, qto ^f1, ^f2, ^f3 lineno nezavisimy kak lementy linenogo prostranstva^R

^{xy zuv w}

]

. Oni neza- visimy i funkcional~no, poskol~ku v matrice kobi

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^{xy zuv w}

) (18)

est~ minory pordka 3, ne obrawa wies v nul~ todestvenno.

Tak,

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^{xy u}

) =

^{uv w}

^{v w}

(

^y;x

) +

^u

(

^w2;v2

)] =

^{uv w f3}

(19)

est~ netrivial~ny mnogoqlen ot peremennyh^{xy uv w}. Zametim, odnako, qto minor (19) obrawaets v nul~ v toqkah mnogoobrazi^L. to ne sluqano v destvitel~nosti, matrica kobi (18) imeet na vsm^L rang, ne prevoshodwi dvuh.

Lemma 2. Mnogoqleny

^f1

,

^f2

i

^f3

udovletvort sootnoxeni

v f

1

;w f

2

+

^uf3

= 0

^:

(20)

to utverdenie proverets podstanovko vyraeni dl^f1,

f

2 i^f3 v levu qast~ sootnoxeni (20).

Teorema 1. Vse minory pordka 3 v matrice kobi (18) obrawa- ts v nul~ v toqkah mnogoobrazi

^L

.

Dokazatel~stvo.

Dvadcat~ minorov pordka 3, soderawihs v matrice (18), razob~em na qetyre gruppy. Perva gruppa sosto- it iz edinstvennogo minora

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^{xy z}

) =

0

^{;uw uw}

;uv

0

^uv

;v w v w

0

:

tot opredelitel~ oqevidnym obrazom raven nul , priqem dl takogo vyvoda sootnoxenie (20) ne nuno.

Devt~ minorov vtoro gruppy predstavl t sobo funkcio- nal~nye opredeliteli vida

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^t1t2t3

)

(21)

gde dve iz peremennyh^t1,^t2,^t3prinadleat gruppe

(

^{xy z}

)

, a tre- t~ { gruppe

(

^{uv w}

)

. Utverdenie teoremy proverets odnim i tem e sposobom dl vseh devti minorov. Dl opredelennosti, snova rassmotrim minor

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^{xy u}

)

^:

(22)

Differenciru (20) sootvetstvenno po ^x,^y i^u, nahodim

v

(

^f1

)

^0x;w

(

^f2

)

^0x

+

^u

(

^f3

)

^0x

= 0

(23)

v

(

^f1

)

^0y;w

(

^f2

)

^0y

+

^u

(

^f3

)

^0y

= 0

(24)

v

(

^f1

)

^0u;w

(

^f2

)

^0u

+

^u

(

^f3

)

^0u

+

^f3

= 0

^:

(25)

V toqkah mnogoobrazi^L ravenstvo (25) prinimaet vid

v

(

^f1

)

^0u;w

(

^f2

)

^0u

+

^u

(

^f3

)

^0u

= 0

(26)

poskol~ku ^f3

= 0

na ^L. Esli hot by odna iz koordinat ^u, ^v,

w otliqna ot nul, to sootnoxeni (23), (24) i (26) oznaqa t linenu zavisimost~ strok opredelitel (22). No i v toqkah,

gde ^u

=

^v

=

^w

= 0

(esli takie toqki na mnogoobrazii ^L ime t- s), minor (22) raven nul po nepreryvnosti. Kak i v predy- duwem razdele, rassudenie po nepreryvnosti osnovano na tom obstotel~stve, qto ^L ne vloeno ni v odno iz podprostranstv (10){(12).

Devt~ minorov tret~e gruppy sut~ opredeliteli vida (21), gde lix~ odna iz peremennyh ^t1, ^t2, ^t3 prinadleit gruppe

(

^{xy z}

)

, a dve ostal~nyh { gruppe

(

^{uv w}

)

. I zdes~ rassude- ni odnotipny dl vseh devti minorov. Dl opredelennosti, rassmotrim opredelitel~

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^xuv

)

^:

(27)

Po-prenemu vypoln ts ravenstva (23) i (25), a v toqkah mno- goobrazi^L spravedlivo (26). Differenciru (20) po peremen- no ^v, imeem

v

(

^f1

)

^0v;w

(

^f2

)

^0v

+

^u

(

^f3

)

^0v

+

^f1

= 0

^:

V toqkah iz ^L to ravenstvo prinimaet vid

v

(

^f1

)

^0v;w

(

^f2

)

^0v

+

^u

(

^f3

)

^0v

= 0

^:

(28)

Sootnoxeni (23), (26) i (28) oznaqa t, qto opredelitel~ (27) raven nul v toqkah iz ^L, gde hot by odna iz koordinat ^u,

v, ^w otliqna ot nul. V destvitel~nosti, tot opredelitel~

obrawaets v nul~ todestvenno na^L, qto, kak i vyxe, obosno- vyvaets soobraenimi nepreryvnosti.

Qetverta gruppa soderit edinstvenny minor

@

(

^f1f2f3

)

@

(

^{uv w}

)

^:

(29)

Prisoedin k (26) i (28) sootnoxenie

v

(

^f1

)

^0w;w

(

^f2

)

^0w

+

^u

(

^f3

)

^0w;f2

= 0

poluqaemoe differencirovaniem ravenstva (20) po ^w, i uqity- va, qto ^f2

= 0

v toqkah iz ^L, prenim obrazom vyvodim, qto minor (29) raven nul todestvenno na^L. Teorema dokazana.

Sledstvie 1. Korazmernost~ mnogoobrazi

^L

ne prevoshodit dvuh.

Destvitel~no, teorema oznaqaet, qto razmernost~ kasatel~- nogo prostranstva v l bo toqke iz ^Lne prevoshodit dvuh.

Sledstvie 2. codim

^L

= 2 .

Dokazatel~stvo.

Dostatoqno pokazat~, qto kasatel~nye vekto-

ry

(

^f1

)

^0x

(

^f1

)

^0y

(

^f1

)

^0z

(

^f1

)

^0u

(

^f1

)

^0v

(

^f1

)

^0w

i

(

^f2

)

^0x

(

^f2

)

^0y

(

^f2

)

^0z

(

^f2

)

^0u

(

^f2

)

^0v

(

^f2

)

^0w

lineno nezavisimy hot by v nekotoryh toqkah iz ^L. Imeem

@

(

^f1f2

)

@

(

^xy

) = 0

^;uw

;uv

0 =

^{;u2v w :}

tot opredelitel~ otliqen ot nul v toqkah, gde^{uv w6}

= 0

^{, obra-}

zu wih otkrytoe (v topologii Zarisskogo) plotnoe podmnoe- stvo v^L. Ots da vytekaet spravedlivost~ sledstvi.

Literatura 1. P. Lax,

Linear Algebra

. | Wiley, New York (1997).

2.

H. D. Ikramov, O razmernosti mnogoobrazi simmetriqnyh matric s kratnymi sobstvennymi znaqenimi. | . vyqisl. matem. matem. fiz.,

44(2004), 963{967.

3.

N. V. Ilxeqkin,Diskriminant harakteristiqeskogo mnogoqlena nor- mal~no matricy. | Mat. zametki,⁵¹ (1992), 16{23.

4. B. N. Parlett,

The (matrix) discriminant as a determinant

. | Linear Algebra Appl.,

³⁵⁵

(2002), 85{101.

Dana M., Ikramov Kh. D. On the codimensionof the variety of symmetricmatrices with multiple eigenvalues.

According to a result of Wigner and von Neumann, the dimension of the set

^M

of

ⁿⁿ

real symmetric matrices with multiple eigenvalues is equal to

^N;

2, where

N

=

ⁿ

(

ⁿ

+1)

⁼

2. This value is determinedby countingthe numberof free parametersin the spectral decomposition of a matrix. We show that the same dimension is obtained if

^M

is interpreted as an algebraic variety.

Postupilo 6 nvar 2005 g.

Universitet Kurdistana, g. Sanandad, Islamska Respublika Iran

Moskovski gosudarstvenny universitet