koordİnat sİstemİnde yansıma

(1)

koord İ nat s İ stem İ nde yansıma

Bir nesnenin veya şeklin bir doğruya göre simetriğine yansıma denir.

Suyun kenarındaki bir nesnenin sudaki görüntüsü, aynaya baktığımızda aynadaki görüntümüz yansımaya örnektir.

Koordinat sisteminde herhangi bir noktanın, doğru parçasının veya şeklin eksenlere göre yansımalarının görüntülerini bulabiliriz.

x eksen

İ

ne göre yansıma

A(2,4) ve B( -4, -3) noktalarının x eksenine göre yansımalarını inceleyelim;

A(2,4) noktasının x eksenine göre yansıması A΄(2, -4) olarak bulunmuştur.

B(-4,-3) noktasının x eksenine göre yansıması B΄(-4,3) olarak bulunmuştur.

x eksenine göre yansımada sıralı ikilinin apsisi

değişmezken ordinatının ters işaretlisine dönüştüğünü görüyoruz.

(x,y) noktasının x eksenine göre yansıması (x,-y) noktasıdır.

koord İ nat s İ stem İ nde yansıma

Kazanım :Koordinat sisteminde bir çokgenin öteleme, eksenlerinden birine göre yansıma,

herhangi bir doğru boyunca öteleme ve orijin etrafında dönme altındaki görüntülerini belirleyerek çizer.

koord İ nat s İ stem İ n İ hatırlayalım

Koordinat sistemi, iki sayı doğrusunun 0 noktalarında birbirine dik şekilde kesişmeleriyle oluşur.

Koordinat sisteminde yatay eksene x ekseni (apsisler ekseni) , dikey eksene y ekseni (ordinatlar ekseni) denir.

x ve y eksenlerinin kesiştiği (0,0) noktasına ise orjin denir.

Koordinat düzlemde her bir nokta bir sıralı ikili ile gösterilir.Sıralı ikilide birinci sayı apsisi, ikinci sayı ordinatı belirtir.

Örneğin koordinat sistemindeki A(2,4) noktası x = 2 doğrusu ile y = 4 doğrularının kesişim noktasını belirtir.

www.sefahoca.xyz @sefahocailematematik sefahocaxyz

1.Bölge 2.Bölge

3.Bölge 4.Bölge

x pozitif y pozitif ( , )++ x negatif

y pozitif ( , )-+

x pozitif y negatif

( , )+- x negatif

y negatif ( , )--

x y

A(2,4) B(-3,5)

C(-4,-2)

D(3,-1)

x y

A(2,4)

A (2,-4)΄ B(-4,-3)

B (-4,3)΄

www.ortaokulmatematik.org

(2)

Aşağıda koordinat düzleminde [AB]’nin x eksenine göre yansıması verilmiştir.İnceleyelim;

A(-5,3) noktasının x eksenine göre yansıması A (-5,-3) ΄ noktasıdır.

B(-1,-5) noktasının x eksenine göre yansıması (-1,-5) B΄

noktasıdır.

Aşağıda koordinat düzleminde ABC üçgeninin eksenine göre yansıması verilmiştir.İnceleyelim;

A(-2,5) noktasının x eksenine göre yansıması A (-2,-5) ΄ noktasıdır.

B(-4,2) noktasının x eksenine göre yansıması (-4,-2) B΄

noktasıdır.

C(3,3) noktasının x eksenine göre yansıması C΄(3,-3) noktasıdır.

Aşağıda koordinat düzleminde ABCD dötgeninin x eksenine göre yansıması verilmiştir.İnceleyelim;

A(-2,-2) noktasının x eksenine göre yansıması A (-2,2) ΄ noktasıdır.

B(-3,-5) noktasının x eksenine göre yansıması (-3,5) B΄

noktasıdır.

C(3,-4) noktasının x eksenine göre yansıması C΄(3,4) noktasıdır.

D(1,-1) noktasının x eksenine göre yansıması D΄(1,1) noktasıdır.

Aşağıdaki noktaların x eksenine göre yansımalarının koordinatlarını yazınız.

A(3,5) A ( , )΄ T(2,-1) T ( , )΄ O(4, -5) O ( , )΄ M(-8, -6) M ( , )΄ K(-4,4) K ( , )΄ R(3,-2) R ( , )΄ N(6, 4) N ( , )΄ C(7, -3) C ( , )΄

örnek:

x y

A (-2,2)΄

A(-2,-2) B (-3,5)΄

B(-3,-5)

C (3,4)΄

C(3,-4) D (1,1)΄ D(1,-1)

örnek:

x eksenine göre yansıma x eksenine göre

yansıma x eksenine göre

yansıma

x y

A (-2,-5)΄ B΄(-4,-2) B(-4,2)

C΄(3,-3) C(3,3) A(-2,5)

x y

B(-1,5)

B (-1,-5)΄ A (-5,-3)΄ A(-5,3)

(3)

Yukarıda koordinat sisteminde çizilmiş olan dörtgenin x eksenine göre yansımasının köşeleri koordinatlarını yazınız.

( , ) ( , )

Yukarıda koordinat sisteminde çizilmiş olan üçgenin x eksenine göre yansımasının köşeleri koordinatlarını yazınız.

( , ) ( , )

( , )

Yukarıda koordinat sisteminde çizilmiş olan şeklin x eksenine göre yansımasını çiziniz.

web sitemizi ziyaret etmeyi unutmayın...

örnek:

x y

örnek:

x y

örnek:

x y

(4)

y eksen

^İ

ne göre yansıma

A(2,4) ve B( -4, -3) noktalarının y eksenine göre yansımalarını inceleyelim;

A(2,4) noktasının y eksenine göre yansıması A΄(-2, 4) olarak bulunmuştur.

B(-4,-3) noktasının y eksenine göre yansıması B΄(4,-3) olarak bulunmuştur.

y eksenine göre yansımada sıralı ikilinin apsisi ters işaretlisine dönüşürken ordinatının değişmediğini görüyoruz.

(x,y) noktasının y eksenine göre yansıması

(-x,y) noktasıdır.

Aşağıda koordinat düzleminde [AB]’nin y eksenine göre yansıması verilmiştir.İnceleyelim;

A(2,5) noktasının y eksenine göre yansıması A (-2,5) ΄ noktasıdır.

B(4,1) noktasının y eksenine göre yansıması (-4,1) B΄

noktasıdır.

Aşağıda koordinat düzleminde ABC üçgeninin eksenine göre yansıması verilmiştir.İnceleyelim;

A(-3,3) noktasının y eksenine göre yansıması A (3,-3) ΄ noktasıdır.

B(-5,-2) noktasının y eksenine göre yansıması (5,-2) B΄

noktasıdır.

C(-1,-1) noktasının y eksenine göre yansıması C΄(1,-1) noktasıdır.

örnek:

x y

A(2,4) A (-2,4)΄

B(-4,-3) B (4,-3)΄

x y

B(4,1) A(2,5)

B΄(-4,1) A (-2,5)΄

örnek:

x y

A(-3,3)

B(-5,-2) C(-1,-1)

A (3,3)΄

C΄(1,-1)

B΄(5,-2)

(5)

Aşağıda koordinat düzleminde ABCD dötgeninin y eksenine göre yansıması verilmiştir.İnceleyelim;

A(5,-1) noktasının y eksenine göre yansıması A (-5,-1) ΄ noktasıdır.

B(4,-2) noktasının y eksenine göre yansıması (-4,-2) B΄

noktasıdır.

C(3,-5) noktasının y eksenine göre yansıması C΄(-3,-5) noktasıdır.

D(6,-4) noktasının y eksenine göre yansıması D΄(-6,-4) noktasıdır.

Aşağıdaki noktaların y eksenine göre yansımalarının koordinatlarını yazınız.

G(3,5) G ( , )΄ Ü(2,-1) Ü ( , )΄ M(4, -5) M ( , )΄ Ş(-8, -6) Ş ( , )΄ H(-4,4) H ( , )΄ A(3,-2) A ( , )΄ N(6, 4) N ( , )΄ E(7, -3) E ( , )΄

Yukarıda verilmiş [AB]’nin y eksenine göre yansıması [A B΄ ΄] dür. Buna göre ΄ noktasının ve B΄ noktasının A koordinatlarını yazınız.

A΄( , ) B΄( , )

Yukarıda verilmiş ABC üçgeninin y eksenine göre yansıması A B΄ ΄C΄ üçgenidir. Buna göre ΄ ΄C΄ A B üçgeninin köşelerinin koordinatlarını yazınız.

A΄( , ) B΄( , )

C΄( , )

web sitemizi ziyaret etmeyi unutmayın...

örnek:

x y

A (-5,-1)΄ A(5,-1)

B(4,-2) B΄(-4,-2)

C (-3,-5)΄ C(3,-5)

D (-6,-4)΄ D(6,-4)

örnek:

y eksenine göre yansıma y eksenine göre

yansıma y eksenine göre

yansıma

x y

B(-2,-1)

A(-6,-5)

örnek:

x y

C A

www.ortaokulmatematik.org B

(6)

Yukarıda koordinat sisteminde verilmiş olan paralelkenarın y eksenine göre yansımasının köşe koordinatlarını yazınız.

( , ) ( , )

Köşe koordinatları A(-6,5) , B(-6,2) , C(-1,2) ve D(-1,5) olan dikdörtgenin y eksenine göre yansıması ile köşe koordinatları E(2,-1) , F(2,-5) , G(6,-5) ve H(6,-1) olan karenin x eksenine göre yansımasının kesiştiği bölgenin alanı kaç br ‘dir?2

Yukarıdaki koordinat sistemi üzerine çizilmiş ABC üçgeninin x eksenine göre yansıması A B΄ ΄C΄ üçgenidir.

A B΄ ΄C΄ üçgeninin y eksenine göre yansıması ise

A B΄΄ ΄΄C΄΄ üçgenidir. Buna göre ΄΄ ΄΄C΄΄ üçgeninin köşe A B koordinatlarını bulunuz.

A΄΄( , ) B΄΄( , )

C΄΄( , )

A(3,a) noktasının x eksenine göre yansıması ΄(b,4) A noktasıdır. A΄ noktasının y eksenine göre yansıması ΄΄ A noktası olduğuna göre ΄΄ noktasının koordinatlarını A bulunuz.

örnek:

x y

örnek:

x y

A

B

C

örnek:

(7)

x y

A

B

koord İ nat s İ stem İ nde öteleme

Cismin duruşunu, yönünü ve görüntüsünü bozmadan yerinin değiştirilmesi hareketine öteleme denir.

Koordinat düzleminde öteleme hareketi yapılırken yön olarak sağ-sol-yukrarı-aşağı kullanılır.

A(-3,3) noktasındaki karınca B(3,3) noktasına

ötelendiğinde karıncanın bu öteleme hareketi için ‘‘6 birim sağa ötelenmiştir ’’ denilir.

A(-4,3) noktasındaki top B(-4,-4) noktasına ötelendiğinde topun bu öteleme hareketi için ‘‘7 birim aşağı

ötelenmiştir ’’ denilir.

K(4,-2) noktasındaki yaprak L(-3,2) noktasına, buradan da M(-3,4) noktasına ötelendiğinde yaprağın bu öteleme hareketi için ‘‘7 birim sola , 6 birim yukarı ötelenmiştir ’’ denilir.

Yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere;

 sağa veya sola öteleme hareketleri x eksenine paralel olduğu için ötelemeden sonra noktanın apsisi değişiyor, ordinatı değişmiyor.

 yukarı veya aşağı öteleme hareketleri y eksenine paralel olduğu için ötelemeden sonra noktanın apsisi değişmiyor, ordinatı değişiyor.

Kısaca ;

(x,y) noktası a birim sağa ötelendiğinde (x+a , y) noktasına dönüşür.

(x,y) noktası a birim sola ötelendiğinde (x-a , y) noktasına dönüşür.

(x,y) noktası a birim yukarı ötelendiğinde (x , y+a) noktasına dönüşür.

(x,y) noktası a birim aşağı ötelendiğinde (x, y-a) noktasına dönüşür.

koord İ nat s İ stem İ nde öteleme

Kazanım :Koordinat sisteminde bir çokgenin öteleme, eksenlerinden birine göre yansıma,

herhangi bir doğru boyunca öteleme ve orijin etrafında dönme altındaki görüntülerini belirleyerek çizer.

x y

A B

x y

L K M

(8)

Aşağıda koordinat sisteminde verilen doğru parçasını x ekseninde 5 birim sola, y ekseninde 3 birim aşağı öteleyiniz.

Aşağıda koordinat sisteminde verilen üçgeni x ekseninde 3 birim sağa, y ekseninde 4 birim yukarı öteleyiniz.

Aşağıda koordinat sisteminde verilen dörtgeni y ekseninde 4 birim aşağı, x ekseninde 2 birim sağa öteleyiniz.

Köşe koordinatları (-7,3) , (-4,5) , (2,5) ve (3,-1) olan dörtgen x ekseninde 5 birim sağa , y ekseninde 2 birim yukarı öteleniyor. Dörtgenin ötelendikten sonraki köşelerinin koordinatlarını yazınız.

( , ) ( , )

örnek:

x y

A

B

örnek:

x y

örnek:

x www.ortaokulmatematik.org y

(9)

Yandaki [KL]’nin orjin etrafında saat yönünde 90 döndürülmesio

ile [K L ] oluşmuş-΄ ΄ tur. İnceleyelim;

K(-3, 5) ve L(-3,1) noktaları orjin etrenda saat yönünde 90 döndürüldüğünde K (5,3) ve L (1,3) noktaları 0 ΄ ΄ oluşuyor.

(x,y) noktasının orjin etrafında saat yönünde 90 döndürülmesiyle (y , -x) noktası oluşur.o

Yandaki [KL]’nin orjin etrafında saat yönünün tersinde 90 o

döndürülmesi ile [K L ] oluşmuş-΄ ΄ tur. İnceleyelim;

K(-3, 5) ve L(-3,1) noktaları orjin etrafında saat yönünün tersinde 90 döndürüldüğünde K (-5,-3) ve L (-1,-3) 0 ΄ ΄ noktaları oluşuyor.

(x,y) noktasının orjin etrafında saat yönünün tersinde 90 döndürülmesiyle (-y ,x) noktası o

oluşur.

koord İ nat s İ stem İ nde dönme

Kazanım :Koordinat sisteminde bir çokgenin öteleme, eksenlerinden birine göre yansıma,

herhangi bir doğru boyunca öteleme ve orijin etrafında dönme altındaki görüntülerini belirleyerek çizer.

koord İ nat s İ stem İ nde dönme

Bir cismin sabit bir nokta etrafında belli bir derece döndürülmesine dönme denir.

Cismin döndürülmesi işleminde sabit olan nokta dönme merkezi, cismin ne kadar döneceğini belirten açı dönme açısı olarak adlandırılır.

Dönme işleminde yön olarak ‘‘saat yönü’’ ve ‘‘saat yönünün tersi’’ olmak üzere iki farklı yön vardır.

Dönme işlemi sonucunda cismin yönü ve doğrultusu değişebilir fakat boyu değişmez.

Yanda [AK]’nin K noktası etrafında saat yönünde 90 ve o

180o

döndürülmesiyle oluşan doğru parçaları verilmiştir.

İnceleyiniz.

xo

saat y önün

de xo

döndür ülüyor

xo

saat yönününtersinde

ox döndürülüyor

örnek:

K A

A΄

K A

A΄

örnek:

x y

K΄

K

L

L΄

örnek:

x y

K΄

K

L

L΄

saat yönünün tersinde 90 döndürmek ile

o

saat yönünde 270 döndürmek aynıdır.

o

(10)

ile [K L ] oluşmuş-΄ ΄ tur. İnceleyelim;

K(-3, 5) ve L(-3,1) noktaları orjin etrenda saat yönünde 180 döndürüldüğünde K (3,-5) ve L (3,-1) noktaları 0 ΄ ΄ oluşuyor.

(x,y) noktasının orjin etrafında saat yönünde 1800 döndürülmesiyle (-x, -y) noktası oluşur.o

ile tekrar [KL]

oluşmuştur.

İnceleyelim;

K(-3, 5) ve L(-3,1) noktaları orjin etrafında saat yönünde 360 döndürüldüğünde K (-3,5) ve L (-3,1) noktaları 0 ΄ ΄ oluşuyor.

(x,y) noktasının orjin etrafında saat yönünde 360 döndürülmesiyle (x ,y) noktası oluşur. 0

Yanda koordinat sisteminde çizilmiş üçgenin orjin etrafında saat yönünde 180o

döndürülmesiyle oluşan şekli çiziniz.

örnek:

x y

K΄

K

L

L΄

saat yönünde 180 döndürmek ile

o

saat yönünün tersinde 180 döndürmek aynıdır.

o

x y

K

L

örnek:

x y

örnek:

x y

örnek:

x y

örnek:

(11)

Köşe noktalarının koordinatları A(3,4) , B(-2,5) ve C(-4,-3) olan üçgenin x eksenine yöre yansıması alındıktan sonra orjin etrafında saat yönünde 90 döndürülüyor. Buna o

göre oluşan yeni üçgenin köşeleri koordinatlarını yazınız.

( , ) ( , ) ( , )

Koordinat sisteminde S(2,-9) noktası 6 birim yukarı

ötelendikten sonra orjin etrafında saat yönünün tersinde 90 döndürülüyor. Buna göre oluşan yeni noktanın o

koordinatları toplamı kaçtır?

Yandaki koordinat sistemindeki ve şekillerinin hangi yönde ne kadar ötelendiğinde olacağını yazınız.

Yanda koordinat sisteminde merkezi (3,3) noktasında olan bir daire dört eşit parçaya ayrılmıştır.

Dairenin orjin etrafında saat yönünde 90 o

döndürülmesiyle aşağıdakilerden hangisi oluşur?

(-3,5) noktasının orjin etrafında saat yönünde 270o

döndürüldükten sonra y eksenine göre yansıması olan noktanın koordinatlarını yazınız.

web sitemizi ziyaret etmeyi unutmayın...

yansıma, öteleme ve dönme sorular

karma karma

1.SORU 4.SORU

3.SORU 5.SORU

2.SORU

x y

... birim aşağı ... birim sola

x y

A) B)

C) D)

(12)

Yandaki koordinat sisteminde çizilmiş üçgenin x

eksenine göre yansıması alındıktan sonra orjin etrafında 180 o

döndürülüyor.

Oluşan yeni üçgenin köşeleri koordinatları toplamını bulunuz.

Yandaki koordinat sisteminde kare orjin etrafında saat yönünde 90 o

döndürülüyor ve dikdörtgenin y eksenine göre yansıması alınıyor . İki şeklin kesişimi olan bölgenin alanı kaç br 'dir?2

Koordinat sisteminde A(-4,3) noktasının orjin etrafında saat yönünün tersinde 90 döndürülmesi B noktası, B o

noktasının y eksenine göre yansıması ise C noktasıdır.

Buna göre köşeleri A,B ve C olan üçgeni çiziniz.

Yandaki koordinat düzlemine çizilmiş ABC üçgeninin x eksenine göre yansımasının orjin etrafında 180 döndürülme-o

siyle oluşan üçge- nin koordinatları toplamını bulunuz.

Koordinat

sisteminde çizilen Z har orjin

etrafında saat yönünde 90 o

döndürüldüğünde aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

6.SORU 9.SORU

7.SORU 10.SORU

8.SORU

x y

A

B C

x y

A) B)

C) D)