Trafik Modeli

(1)

B ¨ol ¨um 10

Tra…k Modeli

Bu bölümde tek ¸serit bir yolun herhangi iki noktas¬aras¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gunun zamanla nas¬l de¼gi¸sti¼gini incelemek suretiyle tra…k yo¼gunluk mod- elini olu¸sturarak, farkl¬ba¸slang¬ç ¸sartlar¬ile modelin klasik ve genelle¸stirilmi¸s çözümlerini inceliyoruz. Konuya ili¸skin olarak detayl¬ bilgi için bölüm so- nunda sundu¼gumuz ve bu bölümü haz¬rlarken faydaland¬¼g¬m¬z kayna¼g¬öner- iriz.

10.1 Modelin türetili¸ si

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — –

A — — –> B

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – ([1]) yi takip ederek ¸sekilde görülen yol üzerinde al¬nan herhangi bir[AB]

kesitindeki tra…k yo¼gunlu¼gunun, key…T > 0için[0; T]zaman diliminde nas¬l de¼gi¸sti¼gini inceleyelim:

[0;T] zaman diliminde sözkonusu kesitin tra…k yo¼gunlu¼gundaki de¼gi¸sim, bu zaman dilimindeAnoktas¬ndan giren veBnoktas¬ndan ç¬kan araç say¬s¬aras¬ndaki farka e¸sittir:

¸

Simdi yukar¬daki ifadenin sol ve sa¼g yan¬n¬n matematiksel kar¸s¬l¬klar¬n¬

bulmaya çal¬¸sal¬m:

Öncelikle sol taraftaki ifadeyi gözönüne alal¬m: [0; T] zaman diliminde, araç say¬s¬ndaki de¼gi¸sim, t = T ve t = 0 anlar¬nda kesitte bulunan araç

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(2)

say¬lar¬aras¬ndaki farka e¸sittir.

Peki t = 0 an¬ndaki araç say¬s¬ne kadard¬r?

u(x;0)ilet= 0an¬ndaxnoktas¬nda birim uzunluklu bir kesitteki( örne¼gin bir kilometre uzunlu¼gunda) araç say¬s¬n¬gösterelim. u(x;0)’a x noktas¬nda vet= 0noktas¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gu ad¬n¬verece¼giz. O halde,t= 0an¬nda [AB] kesitinde bulanan araç say¬s¬n¬

Zb a

u(x;0)dx olarak elde ederiz.

Benzer biçimde t=T an¬nda kesitte bulunan araç say¬s¬n¬ise Zb

a

u(x; T)dx

olarak elde ederiz. O halde[0; T]zaman diliminde, araç say¬s¬ndaki de¼gi¸simi Zb

a

u(x; T)dx Zb a

u(x;0)dx= Zb a

(u(x; T) u(x;0))dx

olarak elde ederiz. E¼ger bu say¬ pozitif ise [0; T] zaman diliminde A noktas¬ndan giri¸s yapan araç say¬s¬, B noktas¬ndan ç¬k¬¸s yapan araç say¬s¬ndan daha fazlad¬r.

¸

Simdi öncelikle [0; T] zaman diliminde A noktas¬ndan giri¸s yapan araç say¬s¬n¬hesaplayal¬m:

Birim zamanda, örne¼gi bir saatte,Anoktas¬ndan giri¸s yapan araç say¬s¬= A noktas¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gu ile ayn¬ noktadaki tra…k h¬z¬n¬n çarp¬m¬na e¸sittir, bu say¬y¬

F(u(A; t)) ile gösterelim.

O halde[0; T]zaman diliminde A noktas¬ndan giri¸s yapan araç say¬s¬

ZT 0

F(u(A; t))dt

(3)

10.1 Modelin türetili¸si 3 dir.

Benzer biçimde birim zamandaB noktas¬ndan ç¬kan araç say¬s¬da F(u(B; t))

olup, [0; T]zaman diliminde B noktas¬ndan ç¬k¬¸s yapan araç say¬s¬

ZT 0

F(u(B; t))dt

O halde yo¼gunluk de¼gi¸simine ait yukar¬daki ifade gere¼gince, ZB

A

(u(x; T) u(x;0))dx= ZT

0

(F(u(A; t)) F(u(B; t)))dt (10.1)

elde ederiz. Öteyandan analizin temel teoreminden u(x; T) u(x;0) =

ZT 0

@u(x; t)

@t dt (10.2)

ve

F(u(B; t)) F(u(A; t)) = ZB A

@F(u(x; t))

@x dx (10.3)

olarak ifade edilebilir. (10.2) ve (10.3) ü (10.1) de yazarak, ZB

A

ZT 0

@u(x; t)

@t dtdx= ZT

0

ZB A

@F(u(x; t))

@x dxdt (10.4)

(10.4) ün sa¼g yan¬ndaki integrasyon s¬ras¬n¬de¼gi¸serek, ZB

A

ZT 0

@u(x; t)

@t +@F(u(x; t))

@x dtdx= 0 (10.5)

elde ederiz. Alt indis gösterimiyle, u_t = ^@u(x;t)_@t ve F(u)_x = ^@F^(u(x;t))_@x fonksiy- onlar¬n¬n tan¬m bölgeleri üzerinde sürekli olduklar¬n¬ kabul edelim. Key…

(4)

[A; B] [0; T] bölgesi üzerinde sürekli bir fonksiyonun integralinin s¬f¬ra e¸sit olmas¬, kendisinin özde¸s olarak s¬f¬ra e¸sit olmas¬n¬gerektirir(Al¬¸st¬rma 1). O halde

u_t+F(u)_x =u_t+F⁰(u)u_x = 0; 1< x < 1; t >0 (10.6) denklemini elde ederiz. Burada ( 1;1) bölgesi yeterince uzun bir tra…k yolunu temsil etmektedir.

10.2 Sabit h¬zla seyreden tra…kte yo¼ gunluk problemleri

Tra…k h¬z¬n¬n yo¼gunluktan ba¼g¬ms¬z olarak sabit oldu¼gunu kabul edelim: yani v(u) = c olsun. Bu durumda F(u) = cu elde ederiz. t = 0 an¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gunun ise u(x;0) = f(x) ile verildi¼gini kabul edelim. Bu durumda

u_t+F( u)_x = u_t+F⁰(u)u_x

= u_t+cu_x = 0; 1< x <1; t >0 (10.7)

u(x;0) = f(x) (10.8)

ba¸slang¬ç de¼ger problemini elde ederiz.

dx

dt = c

x(0) = x₀ (10.9)

ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümü olan ve karakteristik ad¬verilen

x(t) = ct+x₀ (10.10)

do¼grusu üzerinde u(x; t) nin türevini du

dt = @u

@t +@u

@x dx

dt = 0 (10.11)

olarak elde ederiz. O haldeu(x; t)fonksiyonux=x(t)karakteristi¼gi üzerinde de¼gi¸smemektedir. Dolay¬s¬yla, karakterisitik üzerindeki herhangi (x; t) için

u(x; t) = u(x₀;0) =f(x₀) = f(x ct) (10.12)

(5)

10.2 Sabit h¬zla seyreden tra…kte yo¼gunluk problemleri 5 dir. Gerçekten de (10.12) ile tan¬mlanan u(x; t) fonksiyonu (10.8) yi sa¼glar.

Bunu görmek için

u_t=f⁰(x ct)( c); u_x =f⁰(x ct) ifadelerini (10.8) de yerine yazmak yeterlidir.

ÖRNEK 10.1. v(u) = 2 birim h¬z¬ ile hareket edet tra…kte, ba¸slang¬ç araç yo¼gunlu¼gunun(araç/km)

f(x) = [10=(1 +x²)]

ile verildi¼gini kabul edelim. Burada [:]

[x] =n; n x < n+ 1

ile tan¬mlanan tamde¼ger fonksiyonudur. Bu durumda x = 2 noktas¬nda t = 0; t= 1 ve t = 2 an¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gunu hesaplay¬n¬z.

Çözüm.

F(u) = uv(u) = 2u, F0(u) = 2, o halde problemimizi

u_t+F⁰(u)u_x = u_t+ 2u_x = 0; 1< x <1; t >0 u(x;0) = [10=(1 +x²)]

ba¸slang¬ç de¼ger problemi olarak formüle edebiliriz. (10.12) den verilen problemin çözümü

u(x; t) = [10=(1 + (x 2t)²)]

olarak elde edilir. t= 0;1vet = 2 içinu(x; t)nin gra…¼gi ¸Sekil de sunulmak- tad¬r.

x= 2; t = 0 için u(2;0) = 2; x= 2; t = 1 için u(2;1) = 10; x= 2; t = 2 için u(2;2) = 2 elde ederiz.

Uyar¬. Ba¸slang¬ç fonksiyonu süreksizlik içeren problemin, süreksizlik nok- talar¬n¬n tra…k h¬z¬ ile birlikte ilerledi¼gini gözlemliyoruz. Bu durumda elde edilen çözümü klasik çözümden ziyade, türevlenebilirlik veya süreklilik kri- terini sa¼glamas¬ gerekmeyen, ancak ilgili tra…k yo¼gunlu¼gunu ilerleyen zaman de¼gerleri için do¼gru yans¬tan genelle¸stirilmi¸s bir çözüm olarak yorumla- mal¬y¬z.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(6)

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 0

2 4 6 8 10

Örnek 10.1 için ilerleyen zaman de¼gerleri ile tra…k yo¼gunlu¼gu

Ba¸slang¬ç de¼gerin parçal¬olarak tan¬mlanmas¬durumunda, her bir parça için çözümün ayr¬ayr¬belirlenmesi gerekir:

ÖRNEK 10.2. v = 10km/saat h¬zla seyreden bir tra…kte, x = 0 olarak tan¬mlanan bir noktan¬n solunda kilometre ba¸s¬na 10 araç, sa¼g¬nda ise 20 araç bulundu¼gunu kabul edelim. x = 10 uncu kilometrede t = 0;1;2 inci saatlerdeki araç say¬s¬nedir?

Çözüm.

Modelimizi

u_t+ 10u_x = 0

u(x;0) = 10 x 0

20 x >0 olarak ifade edebiliriz.

Öncelikle x₀ 0 ile negatif eksenden hareket eden karakteristiklerin denklemini ve bu karakteristikler üzerindeki çözümü belirleyelim:

dx

dt = 10)x= 10t+x₀

elde ederiz. O haldex₀ 0 oldu¼gu için x 10t bölgesinde u(x; t) =u(x₀;0) = 10

elde ederiz.

(7)

10.2 Sabit h¬zla seyreden tra…kte yo¼gunluk problemleri 7 Ikinci olarak· x0 >0ile pozitif eksenden hareket eden karakteristiklerin denklemini ve bu karakteristikler üzerindeki çözümü belirleyelim: Bu bölgede de x= 10t+x₀ olup, x₀ >0 içinx >10t bölgesinde

u(x; t) =u(x₀;0) = 20 elde ederiz. O halde

u(x; t) = 10 x 10t 20 x >10t genel çözümünü elde ederiz. Buradan

u(10;0) = 20; u(10;1) = 10; u(10;2) = 10 tra…k yo¼gunluk(araç say¬s¬/km) de¼gerlerini buluruz.

Ba¸slang¬ç fonksiyonu a¸sa¼g¬daki örnekte oldu¼gu üzere üç parça halinde de tan¬mlanm¬¸s olabilir.

ÖRNEK 10.3. Yo¼gun bir tra…ktev = 5 km/saat h¬zla ilerleyebilen araçlar¬n tra…k yo¼gunlu¼gu(araç say¬s¬/km) a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlanmaktad¬r.

u(x;0) = 8<

:

100 x <0 4(25 [x]²) 0 x 5

0 x >5

Buna göre (x; t) an¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gunu belirleyiniz. x= 6 -¬nc¬kilometrede ve t = 0;1=2,1 ve 1:5 zamanlar¬ndaki (saatlerindeki) tra…k yo¼gunlu¼gu nedir?

Çözüm.

F(u) =v(u)u= 5u; F0(u) = 5 olup modelimiz verilen ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬sa¼glayan

u_t+F⁰(u)u_x =u_t+ 5u_x = 0; 1< x <1

denkleminin çözümünü belirleme problemidir. Bunun için s¬ras¬yla negatif eksenden,[0;5] aral¬¼g¬ndan ve x > 5 bölgesinden ba¸slayan karakteristikleri, ve bu karakteristikler üzerindeki çözümü belirlemeliyiz.

(8)

x0 <0 için

dx

dt =F⁰(u) = 5 =)x(t) = 5t+x₀ karakteristikleri üzerinde

u(x; t) =u(x₀;0) = 100

elde ederiz. Bu çözümx₀ <0içinx <5t bölgesi üzerinde geçerlidir.

0 x₀ 5 içinx(t) = 5t+x₀ karakteristikleri üzerinde u(x; t) = u(x₀;0) =f(x 5t) = 4(25 [x 5t]²) elde ederiz. Bu çözüm5t x 5t+ 5 bölgesinde geçerlidir.

x₀ >5 içinx(t) = 5t+x₀ karakteristikleri üzerinde u(x; t) = u(x₀;0) = 0

elde ederiz. Bu çözüm x > 5t + 5 bölgesinde geçerlidir. O halde u(x; t) =

8<

:

100 x <5t

4(25 [x 5t]²) 5t x 5t+ 5

0 x >5t+ 5

x= 6 ¬nc¬kilometrede

–t = 0 içinx >5t+ 5 oldu¼gundanu= 0 d¬r.

–t = 1=2için5t x 5t+ 5 oldu¼gundanu= 4(25 [6 5=2]²) = 4(25 9) = 64 tür.

–t = 1 için5t x 5t+ 5 oldu¼gundan u= 4(25 1) = 96 –t = 1:5için x <5t oldu¼gundan u= 100 dür.

10.3 Yo¼ gunlu¼ ga ba¼ gl¬ h¬zla seyreden tra…kte yo¼ gunluk problemleri

Bu bölümde tra…k yo¼gunlu¼gunu h¬z¬n fonksiyonu olarak kabul ediyoruz.

v(u) =v_max(1 (u=u_max)^k); k= 1;2

(9)

10.3 Yo¼gunlu¼ga ba¼gl¬h¬zla seyreden tra…kte yo¼gunluk problemleri 9 gibi yo¼gunluk-tra…k ba¼g¬nt¬s¬n¬n geçerli oldu¼gunu kabul ediyoruz[1]. Burada v_max(km=saat) izin verilen maximum tra…k h¬z¬, u_max ise maximum tra…k yo¼gunlu¼gudur(araç/km). u = u_max oldu¼gunda v = 0 elde edilir. Bu sonuç maksimum yo¼gunlukta tra…¼gin durdu¼gunu ifade eder. u = 0 için ise v = v_max elde edilir. Bu sonuç ise yo¼gunlu¼gun söz konusu olmad¬¼g¬yerde tra…¼gin makimum h¬zla seyredece¼gini ifade eder.

k= 1 için

F(u) = uv(u) =v_max(u u²=u_max) elde ederiz. Bu durumda

c(u) =F⁰(u) =v_max(1 2u=u_max) (10.13) olup, modelimiz

u_t+c(u)u_x = 0 (10.14)

u(x;0) = f(x) olarak ifade edilir. Key…x₀ ile

dx

dt = c(u) (10.15)

x(0) = x₀

ile tan¬mlanan karakteristikler üzerinde du

dt(x(t); t)

= u_t+dx dtu_x

= 0

elde ederiz. O halde (10.15) ile tan¬mlanan karakteristikler üzerinde u sabit kal¬r, yani

u(x(t); t) = u(x₀;0)

d¬r. Öte yandan (10.15) ile tan¬mlanan karakteristikleri ise dx

dt = c(u)

= c(u(x(t); t)

= c(u(x₀;0))

(10)

ba¼g¬nt¬s¬ndan, integral almak suretiyle

x(t) =c(u(x₀;0))t+x₀ elde ederiz.

O halde

u(x; t) =u(x₀;0) =f(x c(u)t) (10.16) özel çözümünü elde ederiz. Gerçekten de (10.16) ile tan¬mlanan u, (10.14) ba¸slang¬ç de¼ger problemini sa¼glar.

u_t= f⁰(x c(u)t)(c⁰(u)u_tt+c(u)) den

ut= c(u)

1 +f⁰(x c(u)t)c⁰(u) (10.17) ve

u_x =f⁰(x c(u)t)(1 c⁰(u)u_xt) ba¼g¬nt¬s¬ndan

u_x = 1

1 +f⁰(x c(u)t)c⁰(u) (10.18) elde ederiz. (10.17) ve (10.18) i (10.14) da yazarak denklemin sa¼gland¬¼g¬n¬

görebiliriz.

Uyar¬. 10.16 ile tan¬mlanan çözümün f⁰(:)c⁰(:) 0 olmas¬ durumumda her t >0için tan¬ml¬oldu¼guna,f⁰(:)c⁰(:)<0olmas¬durumunda ise payday¬s¬f¬r yapan ilk t =t an¬na kadar, yani [0; t ) aral¬¼g¬nda geçerli oldu¼guna dikkat edelim.

ÖRNEK 10.4. umax = 100; vmax= 25 ve 10.13 ile tan¬mlanan c(u) = 25(1 u=50)

ve

u(x;0) =f(x) = 60 x <0

0 x 0

ba¸slang¬ç de¼geri ile u(x; t) tra…k yo¼gunlu¼gunu belirleyiniz.

Çözüm.

(11)

10.3 Yo¼gunlu¼ga ba¼gl¬h¬zla seyreden tra…kte yo¼gunluk problemleri 11 x0 <0 için

dx

dt =c(u(x₀;0)) = 25(1 6=5) = 5

olup, x= 5t+x₀ karakteristikleri boyunca u= 60 elde edilir.

x₀ 0 için

dx

dt =c(u(x₀;0)) = 25(1 0) = 25

olup, x= 25t+x₀ karakteristikleri boyunca u= 0 elde edilir.

Yukar¬da belirlenen karakteristiklerle taranmayan 5t x 25t ara bölgesinde

u=g(x=t); g(:) =c ¹(:)

¸seklinde çözüm arayal¬m.

c ¹(u) = 50 2u olup,

u=g(x=t) = 50 2x=t elde ederiz. O halde

u(x; t) = 8<

:

60 x < 5t 50 ^2x_t 5t x 25t

0 x >25t çözümünü elde ederiz.

Al¬¸st¬rmalar 10.1.

1. v(u) = 2 birim h¬z¬ ile hareket edet tra…kte, ba¸slang¬ç araç yo¼gunlu¼gunun

f(x) = 10e ^j^[x]^j ile verildi¼gini kabul edelim. Burada [:]

[x] =n; n x < n+ 1 ile tan¬mlanan tamde¼ger fonksiyonudur.

(a) u(x; t) tra…k yo¼gunlu¼gunu belirleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(12)

(b) f fonksiyonunun [ 10;10] aral¬¼g¬ndaki gra…¼gini çizdiriniz.

(c) t = 1;5;10 anlar¬ndaki tra…k yo¼gunluk de¼gerlerinin [ 10;10] aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gini çizdiriniz.

(d) x= 2 noktas¬ndat= 0; t= 1 vet= 2 an¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gunu hesaplay¬n¬z.

2. v(u) = 20 birim h¬zla seyreden bir tra…kte, x= 0olarak tan¬mlanan bir noktan¬n solunda, örne¼gin kilometre ba¸s¬na5araç, sa¼g¬nda ise15araç bulundu¼gunu kabul edelim. x= 10 uncu kilometrede ve t = 0;1;2-inci saatlerdeki araç say¬s¬nedir?

3. v(u) = 10 birim h¬zla ilerleyebilen araçlar¬n ba¸slang¬ç tra…k yo¼gunlu¼gu(araç say¬s¬/birim mesafe) a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlanmaktad¬r.

u(x;0) = 8<

:

50 x <0 50 [x]² 0 x 5

0 x >5

(a) Buna göre (x; t) an¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gunu belirleyiniz.

(b) f fonksiyonunun [ 10;10] aral¬¼g¬ndaki gra…¼gini çizdiriniz.

(c) t = 1;5;10 anlar¬ndaki tra…k yo¼gunluk de¼gerlerinin [ 10;10] aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gini çizdiriniz.

(d) x = 6 noktas¬nda ve t = 0;1=2,1 ve 1:5 zamanlar¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gu nedir?

4. u_max = 60; v_max = 50 ve v(u) = v_max(1 u=u_max) h¬z¬ ile hareket eden tra…kte

u(x;0) =f(x) = 50 x <0

0 x 0

ba¸slang¬ç de¼geri ile

(b) t = 1;5;10-uncu anlardaki tra…k yo¼gunluk de¼gerlerinin [ 10;10]

aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gini çizdiriniz.

(c) x = 5 noktas¬nda ve t = 0;1=2,1 ve 1:5 zamanlar¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gu nedir?

(13)

10.3 Yo¼gunlu¼ga ba¼gl¬h¬zla seyreden tra…kte yo¼gunluk problemleri 13

5. umax = 60; vmax = 50 ve v(u) = vmax(1 (u=umax)²) h¬z¬ ile hareket eden tra…kte ba¸slang¬ç tra…k yo¼gunlu¼gu

u(x;0) = f(x) = 30 0 x <10

0 x 10

ile tan¬mlanmaktad¬r. Buna göre

(b) t= 1;5;10 anlar¬ndaki tra…k yo¼gunluk de¼gerlerinin [0;100] aral¬¼g¬

üzerindeki gra…¼gini çizdiriniz.

(c) x= 20 noktas¬nda vet= 1 ve 2 zamanlar¬ndaki tra…k yo¼gunlu¼gu nedir?

(14)

(15)

Kaynaklar ve ilgili literatür

[1] Duchateau, P., Zachmann, D., Applied Partial Di¤erential Equations, Dover Pub., New York, 1989.