Нехай M2 є двовимiрним орiєнтовним многовидом з краєм ∂M2.
F-функцiї були введенi У. Фоксом у роботi [23] пiд назвою Peano-interior functions як узагальнення псевдогармонiчних функцiй.
У статтi [24] Фокс розширює клас функцiй, розглядаючи функцiї, якi є F-функцiями у внутрiшнiх точках поверхнi, i вiдповiдають певним технi- чним умовам у точках її краю. Вiн доводить теорему, про те що кожну таку
функцiю можна продовжити до F-функцiї, яка задана на бiльшiй поверхнi C(M2) ⊃ IntM2, i є локально постiйною на межi ∂C(M2).
Вiн дає таке Означення 10.1.2. Функцiя f :M2 →R називається вiддi- леною зверху вiд IntM2 у точцi x ∈ ∂M2, або S-вiддiленою у точцi x, якщо iснує окiл U точки x в M2, такий що f(y) < f(x) для всiх y ∈ U ∩IntM2.
Аналогiчним чином означаються й точки, у яких функцiя вiддiлена знизу вiд IntM2.
Нехай J є компонентою межi поверхнi M2. Позначимо через D(S, J) мно- жину всiх S-вiддiлених точок, що належать J. Оскiльки функцiя f неперерв- на, то вона постiйна на кожнiй компонентi зв’язностi множини D(S, J).
Взагалi кажучи, множина D(S, J) не є нi вiдкритою, анi замкненою пiд- множиною J. Щоб зменшити кiлькiсть компонент зв’язностi поверхнiC(M2), Фокс в [24] пропонує розглядати замiсть D(S, J) замкнену множину D(S, J).
Його метод побудови продовження F-функцiї є конструктивним i є злiченною процедурою приклеювання комiрцiв до частини межi поверхнi, продовження на них функцiї, i вирiзань отворiв у цих комiрцях. Ця процедура є гаранто- вано скiнченною лише тодi, коли ця функцiя постiйна на кожнiй компонентi множини D(S, J).
В [24] Фокс формулює в якостi нерозв’язаної проблеми таке питання: чи завжди F-функцiя f постiйна на компонентах зв’язностi множини D(S, J)?
Ми будуємо приклад F-функцiї, означеної на квадратi M2 = [0,1] ×[0,1], який дає негативну вiдповiдь на це питання, а саме на квадратi M2 iснує F-функцiя f : M2 →R, така що множина D(S, ∂M2) зв’язна i f D(S, J)
= [0,1] (див. Теорему 10.1.3).
Роздiл 11
Нехай U i V — деякi неперервнi дiйснозначнi функцiї на поверхнi M2. Скаже- мо, що V є вiдкритою на множинах рiвня U, якщо для кожного c ∈ U(M2) вiдображенняV|U−1(c) : U−1(c) → Rє вiдкритим у просторiU−1(c)у топологiї, iндукованiй з M2.
Теорема 11.1.2 Нехай U — псевдогармонiчна функцiя на M2. Для того,
щоб дiйснозначна неперервна функцiя V : M2 → R була спряженою псевдо- гармонiчною функцiєю для U на M2 необхiдно i досить, щоб V була вiдкри- тою на множинах рiвня U.
Наслiдок 11.1.6 Нехай U, V : M2 → R — спряженi псевдогармонiчнi функцiї на M2. Тодi на M2 iснує комплексна структура, вiдносно якої U i V є спряженими гармонiчними функцiями на M2.
Роздiл 12
Нехай z = F(x) — неперервна функцiя, означена в областi G ⊂ Rn. Точка y ∈ G є квазi-iзольованою для функцiї z = F(x), якщо {y} є компонентою зв’язностi множини F−1(F(y)).
Гiперповерхнею в Rn будемо називати гладку поверхню без краю розмiр- ностin−1вRn. Скажемо, що гiперповерхняH обмежує точкуx ∈ Rn, якщо вона обмежує область з компактним замиканням, яка мiстить точку x.
Означення 12.1.7 (В. В. Шарко) Нехай z = F(x) є Cr-гладкою фун- кцiєю у областi G ⊂ Rn i y ∈ G. Нехай F(y) = a. Функцiя z = F(x) на- зивається L-функцiєю у точцi y, якщо iснує послiдовнiсть (ai) регулярних значень z = F(x), що вiдповiдає наступним властивостям:
i. ai → a при i → ∞;
ii. для кожного i iснує компонента зв’язностi Hn−1i множини F−1(ai), така що Hn−1i є гладкою гiперповерхнею, що обмежує точку y;
iii. дiаметри Hn−1i прямують до 0, при i → ∞.
Наступна Теорема 12.2.1 вказує, як будувати послiдовностi вкладених гiперповерхонь, що збiгаються до точки, за допомогою досить гладкої функцiї на вiдкритiй областi G ⊂ Rn. Нехай G — область в Rn. Припустимо, що F ∈ Cn(G). Для того, щоб F була L-функцiєю у точцi x0 ∈ G необхiдно й достатньо, щоб x0 була квазi-iзольованою точкою F.
Роздiл 13
Вiдома теорема Жордана про криву стверджує, що доповнення площини до простої замкненої кривої має двi компоненти зв’язностi, причому межа
кожної з них збiгається з цiєю кривою. Це твердження дає необхiднi умо- ви для того, щоб компактна пiдмножина площини була була гомеоморфним образом кола. Але цi умови не є достатнiми. Контрприкладом є так звана польська крива (невелика модифiкацiя цього прикладу подається у даному роздiлi, див. Приклад 13.2.7).
Теорема Шенфлiса (див. [46]) стверджує, щодовiльний гомеоморфiзм про- стої замкненої кривої у площинi на одиничне коло продовжується до гомео- морфiзму площини на себе. Очевидно, кожна точка одиничного кола на пло- щинi досяжна з обох компонент зв’язностi доповнення до цього кола. Отже, кожна точка простої замкненої кривої на площинi досяжна з обох компонент зв’язностi доповнення до цiєї кривої. Виявляється, що умови на досяжнiсть точок компактної множини у площинi з компонент зв’язностi доповнення до цiєї множини є достатнiми для того, щоб множина була простою замкненою кривою.
Цей результат вiдомий, як теорема, обернена до теореми Жордана про криву (див. [47], [46]). К. Куратовський у своїй книжцi [47] дає дещо бiльш сильне твердження: якщо для компактної множини знайдуться двi ком- поненти зв’язностi її доповнення до R2, такi що кожна точка множини досяжна з обох цих компонент, то вказана множина є простою замкненою кривою.
Виявляється, що умови наведеної теореми можна дещо послабити у на- ступному сенсi. Нехай K є компактною пiдмножиною площини i доповнення площини до K має двi компоненти зв’язностi W1 i W2. Корисно розглядати окремо множини A1, A2 точок K, що досяжнi з W1 i W2, вiдповiдно. I якщо кожна з цих множин “гарно розташована” у K, то K є простою замкненою кривою, див. Теорему 13.2.9.
Зокрема, якщо множина K зв’язна i її пiдмножини K \ A1 та K \ A2 є нульвимiрними, то множини A1 i A2 “гарно розташованi” у K i K є простою замкненою кривою, див. Наслiдок 13.2.10.
Виявляється, що поняття “гарно розташованої” пiдмножини пов’язано з однiєю топологiчною властивiстю простору K. А саме, нехай (X,T) — де- який топологiчний простiр. Позначимо через LC(X) найслабшу топологiю
на X, що вiдповiдає такiй властивостi: для кожної вiдкритої пiдмножини W простору (X,T ) всi компоненти зв’язностi W є вiдкритими в тополо- гiї LC(X). У цих термiнах множини A1 i A2 є “гарно розташованими” в K якщо A1 i A2 є щiльними в K у топологiї LC(K), див. Означення 13.4.1 i Теорему 13.4.4.
Роздiл 14
Нагадаємо, що для кожногоX ⊂ Rn рiвнiстьdimX = nвиконується тодi й ли- ше тодi, колиX має непорожню внутрiшнiсть уRn, тобто мiститьn-вимiрний диск. Для k-вимiрних пiдмножин Rn (k < n) аналогiчне твердження не вико- нується. Л. С. Понтрягiн у роботi [48] побудував пару компактних пiдмножин Rn, таку що розмiрнiсть їх Декартового добутку менша за суму їх розмiрно- стей. З цього прикладу слiдує iснування k-вимiрної компактної пiдмножини Rn, яка не мiстить пiдмножини, гомеоморфної k-вимiрному диску.
Вiдомо, що у випадку n= 2k+ 1 множина Менгера Mkn розмiрностi k у Rn є унiверсальним k-вимiрним простором, тобто кожен сепарабельний метри- чний простiр, розмiрнiсть якого не перевищуюk, може бути вкладений у Mkn. Бiльш того М. А. Штанько довiв, що кожнаk-вимiрна компактна пiдмножина Rn може бути вкладена у Mkn.
Ми розбиваємо Mkn певним чином на двi неперетиннi пiдмножини Ckn i Fkn. Для кожноїk-вимiрної пiдмножини X ⊂ Rn i її вкладенняf уMkn розглянемо множини
X1(f) =f(X)∩Ckn, X2(f) =f(X)∩ Fkn.
Пара (X1(f), X2(f)) буде називатися представленням множини X, асоцiйо- ваним iз вкладенням f.
Виявляється, див. Теорему 14.2.1 (С. I. Максименко, М. О. Пан- ков, Є. О. Полулях), що достатньою умовою для того, щоб k-вимiрна компактна множина X ⊂ Rn мiстила пiдмножину, яка гомеоморфна k- вимiрному диску, є iснування представлення X, для якого розмiрнiсть мно- жини X1(f) дорiвнює k.
Роздiл 15
Вiдомо, що для повних метричних просторiв центр Бiркгофа BC динамi- чної системи з дискретним часом на такому просторi збiгається з замика- нням множини точок стiйких за Пуасоном, отже зберiгається при переходi вiд гомеоморфiзму до деякої його iтерацiї. У загальному випадку, для непов- них метричних просторiв центр Бiркгофа може i не збiгатися з замиканням множини точок стiйких за Пуасоном (див. [49]).
Виявляється, що не дивлячись на iтерацiйну нестiйкiсть неблукаючої мно- жини, центр Бiркгофа динамiчної системи зберiгається при переходi вiд вiд- ображення, що її породжує, до його iтерацiї.
Теорема 15.2.1 (I. Ю. Власенко, Є. О. Полулях) Нехай X — Хаус- дорфiв топологiчний простiр i g : X → X — гомеоморфiзм. Тодi BC(gn) = BC(g).
Роздiл 16
Вiдомi приклади (приклад Данжуа, потоки Черрi на торi), коли поведiнка по- току на двовимiрнiй поверхнi визначається його поведiнкою на iнварiантнiй пiдмножинi N, що є простором деякого розшарування Понтрягiна (див. Пiд- роздiл 1.8.24), причому обмеження потоку на N топологiчно спряжено вiдпо- вiднiй динамiчнiй системi Понтрягiна (неперервнiй надбудовi над дискретною динамiчною системою на множинi Кантора). Отже, виникають природнi пи- тання: при яких умовах динамiчна система Понтрягiна продовжується з простору розшарування Понтрягiна, вкладеного у двовимiрну поверхню, до потока на всiй поверхнi, а також коли простiр розшарування Понтрягiна може бути вкладений у двовимiрну поверхню.
В Теоремi 16.2.5 ми наводимо достатню умову того, що простiр N роз- шарування Понтрягiнаξ не може бути вкладений нi в яку двовимiрну поверх- ню, а також достатню умову, коли N не може бути вкладений у двовимiрну орiєнтовану поверхню. Зауважимо, що вiдомi приклади просторiв N, що вiд- повiдають цiй умовi, але можуть бути вкладенi у неорiєнтовану поверхню, див [50].
Роздiл 17
Важливу роль в дослiдженнi обертовних динамiчних систем (д. с.) с дискре- тним часом (каскадiв) грає така iнформацiя:
— на якi мiнiмальнi динамiчнi системи iснує проекцiя даної динамiчної си- стеми (X, f);
— як влаштованi цi проекцiї;
— як пов’язанi мiж собою рiзнi проекцiї д. с. (X, f) на мiнiмальнi д. с.;
зокрема, чи iснує для двох проекцiй h1 : (X, f) → (Y1, g1) i h2 : (X, f) → (Y2, g2)морфiзмψ : (Y1, g1) →(Y2, g2)динамiчних систем, такий щоh2 = ψ◦h1. Отримати вiдповiдi на такi питання в загальному випадку важко. Щоб наблизитись до розв’язку цiєї задачi, розглядають проекцiї даної д. с. не на всi мiнiмальнi д. с., а на деякi “простi” класи таких д. с. (дистальнi i рiвностепенно-неперервнi мiнiмальнi д. с., мiнiмальнi д. с., що допускають єдину iнварiантну ергодичну мiру, i т. iн.).
Нехай розглядається деяка сiм’я A мiнiмальних динамiчних систем i до- слiджуються властивостi проекцiї д. с. (X, f) на елементи цiєї сiм’ї. В деяких випадках елементи класу всiх проекцiй д. с. (X, f) на д. с. з A вдається впо- рядкувати в наступному сенсi.
Нехай h1 : (X, f) → (Y1, g1) та h2 : (X, f) → (Y2, g2) — проекцiї. Скажемо, що h1 ∼ h2, якщо iснує iзоморфiзм динамiчних систем ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2), такий що h2 = ψ◦h1. Позначимо через B фактор-сiм’ю всiх проекцiї з (X, f) на елементи класу A по цьому вiдношенню еквiвалентностi. Введемо на B бiнарне вiдношення . Нехай B1, B2 ∈ B. Скажемо, що B1 B2, якщо знайдуться представникиh1 : (X, f) →(Y1, g1) класу B1 ih2 : (X, f) →(Y2, g2) класу B2, а також морфiзм ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2), такi що h2 = ψ ◦h1. Легко бачити, що вiдношення означено коректно (тобто не залежить вiд вибору представникiв з B1 i B2).
Важливо знати, чи є вiдношення на класi B вiдношенням частково- го порядку.1 У випадку позитивної вiдповiдi на це питання виникає задача
1Легко бачити, що якщо вiдношення не є вiдношенням порядку на B, то для деякої д. с. (Y, g) з A iснує морфiзм α : (Y, g) → (Y, g), такий що вiдображення α : Y → Y не є iн’єктивним. Питання про iснування таких мiнiмальних динамiчних систем цiкаве саме по
описати властивостi класу B з частковим порядком , зокрема вказати кла- си всiх його максимальних й мiнiмальних елементiв та знайти найбiльший i найменший елементи (якщо вони iснують).
В даному роздiлi вивчається клас A всiх одометрiв (групових обертань над адичними групами). Вiдомо, що цей клас збiгається з класом всiх мi- нiмальних дистальних динамiчних систем, фазовий простiр яких гомеомор- фний множинi Кантора або скiнченний. Вiдомо також, що елементи класу A класифiкуються (з точнiстю до топологiчної спряженостi) за допомогою гратки так званих супернатуральних чисел (Σ,≤).
Ми вивчаємо динамiчнi системи (X, f) з Хаусдорфовим компактним фа- зовим простором та їх проекцiї на елементи класу A (вiдмiтимо, що завжди iснує тривiальна проекцiя (X, f) → ({pt}, Id) на динамiчну систему, фазовий простiр якої є одноелементною множиною).
Як виявляється, iснування нетривiальних проекцiй д. с. (X, f) на елемен- ти сiм’ї A пов’язано з iснуванням так званих перiодичних розбиттiв д. с.
(X, f) (скiнченних замкнених розбиттiв простору X, елементи яких циклiчно переставляються пiд дiєю вiдображення f : X → X).
Нехай P(X, f) ⊆ N — множина потужностей всiх перiодичних розбиттiв д. с. (X, f). Тодi P(X, f) — топологiчний iнварiант д. с. (X, f) i iснування не- тривiальних проекцiй д. с. (X, f) на елементи сiм’ї A еквiвалентно нерiвностi P(X, f) 6= {1}.
Позначимо через A(X, f) клас всiх елементiв A, на якi iснують проекцiї динамiчної системи (X, f). Нехай Σ(X, f) — пiдмножина множини суперна- туральних чисел, що вiдповiдає класу A(X, f). Нехай ще B(X, f) — сiм’я всiх проекцiї д. с. (X, f) на елементи класу A, B0(X, f) — фактор-клас класу B(X, f) по вiдношенню ∼ (див. вище).
До основних результатiв даного роздiлу можна вiднести наступнi твер- дження.
Нехай (X, f) — динамiчна система з компактним Хаусдорфовим фазовим простором i P(X, f) 6= {1}. Тодi
собi.
— бiнарне вiдношення на класi B0(X, f) є вiдношенням часткового по- рядку, див. Твердження 17.3.45;
— iснує сюр’єктивне вiдображення Λ0 : (B0(X, f),) → (Σ(X, f),≤), яке зберiгає вiдношення порядку i таке, що клас всiх максимальних елементiв з (B0(X, f),) збiгається з повним прообразом найбiльшого елементу множини (Σ(X, f),≤), див. Лему 17.3.46 i Наслiдок 17.3.48;
— впорядкований клас (B0(X, f),) iзоморфний впорядкованiй множинi (Σ(X, f),≤) тодi й лише тодi, коли д. с. (X, f) нерозкладна (тобто простiр X не можна представити у виглядi незв’язної суми двох власних замкнених iнварiантних пiдмножин), див. Теорему 17.3.59.
Особистий внесок здобувача
Всi отриманi в дисертацiї результати є новими.
З результатiв, надрукованих у спiльних зi спiвавторами статтях, в основну частину дисертацiї увiйшли тiльки такi, що отриманi здобувачем самостiйно, за винятком наступних, де вклад спiвавторiв є рiвноцiнним.
Теорему 4.8.1, автор отримав разом з В. В. Шарко та Ю. Ю. Сорокою.
Теорема 5.6.3 i Теорема 5.7.1, отриманi у спiвпрацi з I. А. Юрчук.
Результати Роздiлiв 6, 7 i8 отриманi разом з С. I. Максименко. Зокрема, у спiвавторствi з ним доведенi Теореми 6.2.7, 6.3.4, 7.1.5, 8.3.2 i 8.4.4.
Теорема 14.2.1 отримана разом з М. А. Панковим i С. I. Максименко.
У спiвавторствi з I. Ю. Власенко отримано Теорему 15.2.1.
Апробацiя результатiв дисертацiї
Результати роботи доповiдалися на
• семiнарах вiддiлу топологiї Iнституту математики НАН України; керiвник семiнару – член-кореспондент НАН України, доктор фiз.-мат. наук, професор, зав. вiддiлом топологiї В. В. Шарко;
• семiнарах лабораторiї топологiї при вiддiлi алгебри i топологiї Iнституту
математики НАН України; керiвник семiнару – доктор фiз.-мат. наук, стар- ший науковий спiвробiтник, зав. лабораторiєю топологiї С. I. Максименко;
• семiнарах кафедри геометрiї Нацiонального Унiверситету України iм. Т.
Г. Шевченко; керiвник семiнару – доктор фiз.-мат. наук, професор О. О. При- шляк;
• 4-iй мiжнароднiй конференцiї з геометрiї i топологiї, (м. Черкаси, 2001);
• Мiжнароднiй конференцiї Геометрiя в Одесi, (Одеса, 2008, 2013, 2015 та 2016);
• Мiжнароднiй конференцiїБоголюбiвськi читання, (м. Киiв, Україна, 2007);
• Мiжнароднiй конференцiї Боголюбiвськi читання, (м. Севастополь, Ук- раїна, 2013);
• Мiжнароднiй конференцiї Analysis and Topology, (м. Львiв, Україна, 2008);
• Мiжнароднiй конференцiї Infinite-Dimensional Analysis and Topology, (с. Яремче, Україна, 2009);
• Мiжнароднiй конференцiї Geometry “in large”, topology and applications, присвяченiй 90-рiччю з дня народження О. В. Погорєлова, (м. Харкiв, 2009);
• Мiжнародної конференцiї “Динамiчнi системи та їх застосування”, (м.
Київ, 2012);
• Мiжнароднiй конференцiїModern Advances in Geometry and Topology, при- свяченiй 70-рiччу з дня народження О. А. Борисенко, (м. Харкiв, 2016).
Публiкацiї
Основнi результати дисертацiї опублiковано в 21 роботi у фахових виданнях, 20 з яких належать до перелiку, що затверджений ДАК МОН України [7], [25], [33], [50]—[67] та 12 тезах конференцiй [68]—[79]. З них 2 монографiї: [51]
у спiвавторствi з I. Ю. Власенко та С. I. Максименко i [33] у спiвавторствi з I. А. Юрчук; 15 статей у наукових журналах, 4 статтi у збiрниках наукових праць Iнституту математики НАН України.
Зв’язок роботи з науковими програмами, плана- ми, темами
Дисертацiйна робота виконувалась у лабораторiї топологiї у складi вiддiлу алгебри i топологiї Iнституту математики НАН України. Її тема пов’язана з тематикою наукових дослiджень, якi проводились у вiддiлi. Результати робо- ти отриманi в рамках цiєї тематики, а саме в рамках програми НАН України
“Сучаснi методи дослiджень математичних моделей в проблемах природни- чих наук” №0107U002333, а також НДР “Топологiя многовидiв та їх засто- сування” №00106U000658.
Подяки
Перш за все хочу згадати з вдячнiстю мого вчителя i наукового керiвника Володимира Васильовича Шарко. Саме пiд його впливом сформувались мої науковi iнтереси i пiдходи до розв’язку математичних задач. На жаль вiн не дожив до моменту, коли дисертацiя була написана, але його поради вiдiграли значну роль у розвитку основних напрямкiв дослiджень, якi лягли в основу роботи.
Також хочу висловити щиру вдячнiсть своєму науковому консультанту Сергiю Iвановичу Максименко. Коли не стало В. В. Шарко, вiн погодився взяти на себе цю нелегку роль i допомiг довести справу до кiнця. Я не сумнi- ваюся, що без його пiдтримки i допомоги ця дисертацiя не була б написана.
Хочу також окремо подякувати всiх людей окрiм вже згаданих, з якими я спiвпрацював у рiзнi часи розв’язуючи математичнi задачi, частина з яких лягла в основу даної працi. А саме, я дякую М. О. Панкову, I. Ю. Власенко, I. А. Юрчук, Ю. Ю. Сороцi.
Також хочу подякувати всiм спрiвробiтникам вiддiлу топологiї i iншим колегам, якi неодноразово слухали мої доповiдi на семiнарах вiддiлу i вислов- лювали слушнi зауваження, зокрема це В. В. Сергейчук, В. В. Любашенко, А. О. Пришляк, Т. В. Рибалкiна, Ю. В. Шарко, В. В. Круглов, Б. Г. Фещенко.
Роздiл 1
Попереднi вiдомостi
1.1 Псевдогармонiчнi функцiї
Нехай M2 — поверхня, тобто двовимiрний сепарабельний многовид, на якому задано дiйснозначну функцiю f : M2 → R. Позначимо через
D = {(x, y) ∈ R2|x2 +y2 < 1} вiдкритий одиничний диск на площинi.
Означення 1.1.1 (див. [10], [14]) Функцiя f називається псевдогармонi- чною в точцi p ∈ M2, якщо iснують окiл N точки p у M2 i гомеоморфiзм T :D → N, такi що T(0,0) = p i функцiя
u = f ◦T : D →R2 гармонiчна i не є константою.
Окiл N називається простим околом точки p.
Ми можемо вибрати N i T з попереднього означення так, щоб вони вiдпо- вiдали спiввiдношенню
u(z) =f ◦T(z) = Rezn +f(p), z = x+iy ∈ D ,
для деякого n = n(p) ∈ N (див. [10]).
Означення 1.1.2 (див. [10], [14]) Функцiя f називається псевдогармонiч- ною на M2, якщо вона є псевдогармонiчною в кожнiй точцi p∈ M2.
Нехай f : M2 → R є псевдогармонiчною функцiєю на M2 i g : M2 → R — деяка дiйснозначна функцiя.
Означення 1.1.3 (див. [14]) Функцiяg називається спряженою псевдогар- монiчною функцiєю для f у точцi p ∈ M2, якщо iснують окiл N точки p у M2 i гомеоморфiзм T : D →N, такi що T(0,0) = p i
u = f ◦T : D →R2 i v = g ◦T : D → R2 є спряженими гармонiчними функцiями.
Окiл N i вiдображення T з попереднього означення можна вибрати так, щоб
u(z) =f ◦T(z) = Rezn +f(p),
v(z) =g ◦T(z) = Imzn + g(p), z = x+ iy ∈ D , для деякого n = n(p) ∈ N (див. [10]).
Означення 1.1.4 (див. [14]) Функцiяg називається спряженою псевдогар- монiчною функцiєю дляf наM2, якщо вона є спряженою псевдогармонiчною функцiєю для f у кожнiй точцi p ∈ M2.
1.2 Фундаментальнi покриття i неперервнiсть
Означення 1.2.1 (див. [80]) Покриття Γ топологiчного простору X на- зивається фундаментальним, якщо довiльна множина, перетин якої з ко- жною множиною B ∈ Γ є вiдкритим в B, сама є вiдкритою в X.
Вiдомо (див. [80]), що всi вiдкритi покриття, а також всi скiнченнi i локально скiнченнi замкненi покриття є фундаментальними.
1.3 Локальна зв’язнiсть областей у точках межi
Нехай U — вiдкрита пiдмножина площини. Наступнi означення (див. [46]) кориснi при вивченнi локальних властивостей множини FrU.
Означення 1.3.1 Проста неперервна крива ϕ : I → R2 називається надрi- зом U у точцi x ∈ FrU, якщо ϕ(0) = x i ϕ((0,1])⊂ U.
Означення 1.3.2 Назвемо точку x ∈ FrU досяжною з U, якщо iснує надрiз U у точцi x.
Означення 1.3.3 Розрiзом областi U мiж точками x0, x1 ∈ FrU називає- ться проста неперервна крива ψ : I → R2, така що ψ(0) = x0, ψ(1) = x1 i ψ((0,1)) ⊂ U.
Означення 1.3.4 Нехай X — топологiчний простiр, E ⊂ X. Множина E називається локально зв’язною (локально лiнiйно зв’язною) в точцi x ∈ X, якщо для кожного околу U точкиx в X знайдеться окiлV цiєї точки, такий що будь яку пару точок y0, y00 ∈ V ∩E можна з’єднати зв’язною (вiдповiдно, лiнiйно зв’язною) пiдмножиною множини U ∩E.
Нагадаємо, що область на площинi, межею якої є проста замкнена крива, називається Жордановою областю. Вiдоме наступне твердження (див. [46], приклад VI.16).
Лема 1.3.5 (Теорема Керек’ярто) Якщо на площинi двi простi замкне- нi кривi, J1 i J2, мають бiльше однiєї спiльної точки, то всi компоненти зв’язностi доповнення площини до J1∪J2 є Жордановими областями.
1.4 Означення й елементарнi властивостi роз- мiрностi
Кожному регулярному топологiчному простору X можна поставити у вiдпо- вiднiсть розмiрнiсть X, яка позначається indX. Означається вона за допо- могою наступних умов:
1. indX ∈ {−1} ∪ {0} ∪N∪ {∞} для кожного регулярного простору X; 2. рiвнiсть indX = −1 виконується тодi й лише тодi, коли X = ∅;
3. якщо iснує база U простору X, така що ind FrU ≤ n −1 для кожного U ∈ U, то indX ≤ n.
Iснує iнша функцiя розмiрностi dim, означена для кожного нормального простору (так звана розмiрнiсть за покриттями). Але цi двi функцiї роз- мiрностi збiгаються для сепарабельних метричних просторiв. Далi ми роз- глядаємо тiльки пiдмножини Rn, отже ми можемо використовувати dim для позначення функцiї розмiрностi.
Нам буде корисне наступне твердження.
Лема 1.4.1 (див. [81]) Нехай Y — пiдмножина сепарабельного метрично- го простору X. Нерiвнiсть dimY ≤ n виконується тодi й лише тодi, коли iснує база {Ui}∞i=1 простору X, така що dim FrUi ∩ Y ≤ n−1 для кожного i ∈ N.
Нагадаємо деякi основнi властивостi розмiрностi, див. наприклад [81].
Твердження 1.4.2 Якщо простори X i Y гомеоморфнi, то dimX = dimY. Твердження 1.4.3 Якщо Y ⊂ X, то dimY ≤ dimX.
Теорема 1.4.4 Якщо сепарабельний метричний простiр X можна пред- ставити у виглядi злiченного об’єднанняFσ-пiдмножин розмiрностi не бiль- ше k, то dimX ≤ k.
Теорема 1.4.5 Якщо f : X → Y — замкнене вiдображення сепарабельного метричного простору X у сепарабельний метричний простiр Y i iснує цiле k ≥ 0, таке що dimf−1(y) ≤k для кожного y ∈ Y, то dimX −dimY ≤ k.
1.4.6 Множина Менгера
Розiб’ємо одиничний куб In = [0,1]n на 3n кубiв, вершини яких належать до множини {0, 1/3, 2/3, 1}, а ребра паралельнi координатним осям i мають
довжину 1/3. Розглянемо куби, що не перетинаються з k-вимiрними граня- ми In i викинемо їх внутрiшностi у просторi In (в iндукованiй з Rn тополо- гiї). Те, що залишиться, позначимо mnk(In). Отримана множина є скiнченним об’єднанням кубiв, внутрiшностi яких попарно неперетиннi.
Подiбна конструкцiя коректно означена для кожної скiнченної сiм’ї n-ви- мiрних кубiв, що мають попарно неперетиннi внутрiшностi. Означимо Mkn(1) = mnk(In)
Mkn(i+ 1) = mnk(Mkn(i)), i ∈ N. Нехай
Mkn = \
i∈N
Mkn(i).
Кожна множина Mkn(i) компактна, тому Mkn — також компакт.
Твердження 1.4.7 (див. [81]) dimMkn = k.
Множина Mkn називається k-вимiрною пiдмножиною Менгера простору Rn. Легко бачити, що Mnn = In, а M0n є декартовим добутком n множин Кантора C.
1.5 Фактор-простори i фактор-вiдображення.
Нехай A — деяка множина.
Означення 1.5.1 Розбиттям множини A назвемо сiм’ю {Aα}α∈Λ непоро- жнiх пiдмножин множини A, що вiдповiдає наступним умовам:
1) A = S
α∈ΛAα;
2) Aα ∩Aβ = ∅ при α, β ∈ Λ, α 6= β.
Означення 1.5.2 Розбиття {Aeγ}γ∈Σ множини A називається подрiбнен- ням розбиття {Aα}α∈Λ, якщо для кожного γ ∈ Σ знайдеться таке α ∈ Λ, що Aeγ ⊆Aα.
Зауваження 1.5.3 Нехай розбиття {Aeγ}γ∈Σ є подрiбненням розбиття {Aα}α∈Λ множини A. З властивостi 2) означення 1.5.1 легко слiдує, що для довiльних α ∈ Λ i γ ∈ Σ або Aeγ ⊆ Aα, або Aeγ ∩Aα = ∅.
Зауваження 1.5.4 Iснує бiєктивна вiдповiднiсть мiж розбиттями мно- жини A й вiдношеннями еквiвалентностi на A:
1) кожному розбиттю {Aα}α∈Λ можна поставити у вiдповiднiсть вiдно- шення еквiвалентностi ρ за допомогою спiввiдношення
(a1 ρ a2) ⇐⇒ (∃α ∈ Λ : a1, a2 ∈ Aα) ;
2) у зворотньому напрямку, довiльному вiдношенню еквiвалентностi σ на множинi A вiдповiдає розбиття на класи еквiвалентностi.
Нехай A — множина, A = {Aα}α∈Λ — її розбиття.
Означення 1.5.5 Множина A/A, елементами якої є елементи розбиття A, називається фактор-множиною множини A по розбиттю A.
Вiдображення pr : A→ A, що ставить у вiдповiднiсть кожному елемен- ту a ∈ A елемент Aα ∈ A/A, такий що a ∈ Aα, називається вiдображенням проекцiї.
Подiбним чином можна означити фактор-множину A/ρ по вiдношенню еквiвалентностi ρ (див. Зауваження 1.5.4).
Нехай X — топологiчний простiр, H= {Hα}α∈Λ — його розбиття.
Задамо на множинi X/H топологiю за таким правилом: скажемо, що пiд- множинаB ⊆X/Hвiдкрита тодi й лише тодi, коли її повний прообразpr−1(B) є вiкритим у X. Ця топологiя називаєтьсяфактор-топологiєю i є самою слаб- кою топологiєю на просторi X, в якiй вiдображення pr : X → X/H неперерв- не.
Нехай X i Y — топологiчнi простори, H — розбиття простору X, T — роз- биття простору Y. Нехай f : X → Y — неперервне вiдображення, яке перево- дить елементи розбиття H в елементи розбиття T. Тодi означено неперервне