1.17.° На основі AC рівнобедреного трикутника ABC позначили точку M, а на бічних сторонах AB і BC відповідно точки K і N, так що MK || до н.е., MN || АВ. 1.21.° У рівнобічній трапеції ABCD (BC || AD) бісектриси гострих кутів BAD і CDA перетинаються в точці, що належить основі BC. 1.29.• Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає діагональ BD і сторону BC відповідно в точках E і F так, що BE : ED = 2 : 7.
1.39.• Коло, побудоване на діагоналі AC ромба ABCD як діаметр, проходить через середину сторони AB. 1.46.•• На стороні AC трикутника ABC позначили точку K так, щоб накреслені кола трикутників ABK і BCK дотикалися. 1.58.•• Трапеція ABCD (AB CD ) така, що коло, описане навколо трикутника ABD, дотикається до прямої BC.
- теорема косинусів
- теорема синусів
- На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповід- но точки C 1 , A 1 і B 1 так, що прямі AA 1 , BB 1 і CC 1 конкурентні
- розв’язування трикутників
- формули для знаходження площі трикутника
Якщо ви використовуєте позначення для довжин сторін і розмірів кутів трикутника ABC (див. заключну роботу), тоді, наприклад, для сторони, довжина якої дорівнює a, ви можете написати:. 3.13.° На продовженні гіпотенузи AB прямокутного рівнобедреного трикутника ABC точку B позначено точкою D так, що BD = BC. 3.34.• На стороні AB трикутника ABC позначено точку K, а на стороні BC, продовженій через точку C, — точку M.
4.15.• Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють sin A, sin B, sin C, де A, B і C — кути цього трикутника ABC. Щоб сторони AA1, BB1 і CC1 трикутника ABC розрізали в точку (рис. 4.11), необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність. Доведіть, що діагоналі AD, BE і CF перетинаються в точці тоді і тільки тоді, коли AB .CD .EF = BC .DE .FA.
На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначено відповідно точки C1, A1 і B1 так, що прямі AA1, BB1 і CC1 паралельні. 1 У завданнях цього пункту та вправі 5.1-5.9 прийнято позначення: a, b і c — довжини сторін трикутника, a, b і g — величини кутів, протилежних сторонам з довжинами a. , b і c відповідно.
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін і синуса кута між ними
З курсу геометрії у 8-му класі ви знаєте, що площу A трикутника зі сторонами a, b і c і висотами ha, hb і hc можна обчислити за допомогою формул.
Доведіть, що площу S трикутника ABC можна обчислити за формулою
Чи може радіус кола, вписаного в трикутник BCM, бути половиною радіуса кола, вписаного в трикутник ABC.
Оскільки в трикутниках OA1A2 і OA2A3 кути 2 і 3 рівні, A1A2 = A2A3 і OA2 — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. У 1796 році видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаус зміг побудувати правильний 17-гагон за допомогою циркуля та лінійки.
Побудуйте правильний п’ятикутник
- довжина кола. площа круга
Отже, можна побудувати трикутник ABC, у якого сторони AB і BC — сторони правильного п’ятикутника, відрізок AC — його діагональ. При необмеженому збільшенні значення n окружності Pn і Pn′ відповідно будуть як завгодно незначно відрізнятися від довжин C і C' описаних кіл. На рисунку 8.9 зображено фрагмент правильного кута n із центром у точці O зі стороною AB = an і радіусом описаного кола, що дорівнює R.
Оскільки радіуси, проведені у вершинах правильного n-кутника, ділять його на n рівних трикутників, то площа n-кутника Sn в n разів більше площі трикутника AOB. Кожну з цих частин разом з радіусами OA і OB називають круговим сектором або просто сектором. Щоб знайти площу відрізка, зафарбованого рожевим кольором (рис. 8.12), необхідно від площі сектора, що містить хорда AB.
Щоб знайти площу синього відрізка, до площі сектора, який не містить хорди AB, додайте площу трикутника AOB. 8.21.° Доведіть, що площа півкола, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника як діаметра (рис. 8.17), дорівнює сумі площ півкіл, побудованих на його катетах як діаметрів. 8.24.° Дві трубки діаметром 30 см і 40 см необхідно замінити однією трубкою такої ж місткості1.
8.27.• Знайдіть площу розетки (заштрихованої фігури), зображеної на рисунку 8.18, якщо сторона квадрата ABCD дорівнює а. Під час побудови чотирьох дуг із центром у вершинах квадрата ABCD і радіусами — вусами, що дорівнюють стороні квадрата, утворилася фігура, обмежена червоною лінією (рис. 8.19).
Відстань між двома точками із заданими координатами
На папері в клітинку зображено опуклий n-кутник так, що всі його вершини розміщено у вузлах сітки й жодний інший
- рівняння фігури
- якщо точка належить фігурі F, то її координати є розв’язком даного рівняння;
- будь-який розв’язок (x; y) даного рівняння є координатами точки, яка належить фігурі F
Рівняння кола радіуса R із центром у точці A (a; b) має вигляд
- загальне рівняння прямої
- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
10.12.° Скільки кіл, що проходять через точку (3; 5), радіуси яких дорівнюють 3 5 і центри яких належать осі ординат. Правильним є і таке твердження: будь-яке рівняння виду ax + + by = c, де a, b і c — деякі числа, а a і b одночасно не дорівнюють нулю, є рівнянням прямої . З курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння виду ax + by = c називають лінійним рівнянням із двома змінними.
11.23.• Напишіть рівняння розташування центра кола, радіус якого дорівнює 5 і яке відтинає хорду довжиною 6 на осі абсцис.
- метод координат
Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої AB і перетинає відрізок AB у точці M так, що AM : MB = 2 : 1. Зробимо це так: виберемо точку A за початок координат, відрізок АВ — одиничний, а вісь абсцис проведемо так, щоб точка В мала координати (1; 0) (рис. 13.1). Однак якщо ви введете систему координат, як показано на малюнку 13.2, то достатньо двох параметрів.
Однак, якщо ви виберете систему координат, як показано на малюнку 13-3, ви можете обмежитися трьома параметрами. 13.3.• Визначте ПМТ, сума квадратів відстаней від яких до кутових точок A і B трикутника ABC дорівнює квадрату відстані від його третьої кутової точки — точки C. У півплощині трикутника ABC пряму AB на відрізках AC і CB як сторонах побудуйте рівносторонні трикутники AMC і CNB.
13.16.•• Через довільну точку M меншого з двох концентричних кіл, радіуси яких дорівнюють R і r, R > r, проведено хорду BC більшого кола і хорду MA меншого кола (рис. Якщо кола дотикаються до точки А (рис. 13.8), то їх радикальна вісь проходить через точку А і перпендикулярна до прямої О1О2 (подумайте чому).Вісь через точку Х, яка сполучає радикальну вісь, належить двом колам, до цих кіл проведено дотичні XA і XB (A і B — дотичні), то отримуємо, що XA = XB (рис. 13.9).
З цього випливає, що середини відрізків AB, CD, EF і PQ лежать на одній прямій, перпендикулярній до прямої O1O2 (рис. 13.11). Ми покажемо, як використовувати цю теорему для побудови радикальної осі кіл, розташованих, як показано на малюнку 13.13. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABC є корінним центром двох даних кіл і кола, побудованого на стороні AB як діаметрі.
Вектори
Якщо точка М не належить прямій, що містить вектор а, то через точку М проведемо паралельну їй пряму (рис. 14.11, б).
16.46.• Весляр із пункту А перетинає річку завширшки 240 м із постійною особистою швидкістю, направивши ніс човна перпендикулярно до протилежного берега.
18.48.•• На гіпотенузі AB рівнобедреного прямокутного трикутника ABC знайдіть таку точку K, щоб відрізок CK і медіана AM були перпендикулярними.
Тут відрізок A1B1 є образом відрізка AB при перетворенні f, зокрема точка A1 є образом точки A, точка B1 є образом точки B. Визначимо перетворення g кола: кожній точці X кола відповідає точці Х1 — основі перпендикуляра, опущеного з точки Х на діаметр АВ. При цьому кожній точці кола відповідає одна точка діаметра АВ, а кожна точка діаметра АВ є образом хоча б однієї точки кола.
Оскільки перетворення f відрізка AB є оборотним, то можна розглядати функцію f1, область визначення якої – множина точок відрізка A1B1 і яка задається за правилом: до будь-якої точки X1 відрізка A1B1 узгоджуємо одну точку X відрізка AB таку, що точки O, X і X1 лежать на одній прямій. Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.6): кожній точці X площини поставимо таку точку X1, що точка O є серединою відрізка XX1 (до точки O будемо відповідати самій точці О). Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.7): будь-якій точці X площини поставимо у відповідність точку X1 таку, що пряма l є серединним перпендикуляром відрізка XX1 (до будь-якої точки прямої l будемо відповідати одній точці).
Задамо перетворення площини за таким правилом (рис. 19.9): кожній точці X площини поставимо таку точку X1, що XX1 a Кожній точці X сторони OA поставимо точку X1 сторони OA. сторону OB таку, що XX1 || p (точка O відповідає самій точці O). Кожна точка X сторони OA приєднана точкою X1, яка належить стороні OB і лежить на колі радіуса OX із центром O (сама точка O приєднана).
Кожна точка X сторони OM відповідає точці X1 сторони ON так, що пряма XX1 перпендикулярна до бісектриси кута MON (точка 2, де M=XX1∩l, а точки X і X1 лежать на різних половинах -площини відносно прямої l (кожна точка прямої l буде суміщена з цією точкою).
Тепер накладання фігури F на фігуру F1 можна розглядати як рух фігури F, зображенням якої є фігура F1.
- осьова симетрія
20.9.° Точки A1 і B1 не належать прямій AB і є образами точок A і B відповідно при паралельному переміщенні прямої AB. 20.13.° Чи існує паралельне перенесення рівностороннього трикутника ABC, у якого сторона AB є образом сторони BC. 20.26.•• Побудуйте довжину, рівну і паралельну даній довжині АВ, так щоб один її кінець лежав на даній прямій, а другий — на даному колі.
20.29.* Побудуйте чотирикутник, протилежними сторонами якого є пари чотирьох непаралельних кутів і дві протилежні сторони. 20.30.* У якому місці слід побудувати міст MN через річку, що розділяє два населені пункти А і В (рис. 20.14), щоб дорога AMNB була найкоротшою (береги річки розглядаємо як паралельні прямі, міст перпендикулярний до берега річки). Нехай Y — довільна точка на прямій a, відмінна від точки X (рис. 21.15), відрізки A1X і A1Y — образи відрізків AX і AY із симетрією відносно прямої a відповідно.
На сторонах AB, BC і CA гострокутного трикутника ABC знайдіть точки M, N і P так, щоб периметр трикутника MNP був найменшим. З розв’язку задачі 3 випливає, що з периметрів усіх трикутників, для яких визначена точка P, а точки M і N належать сторонам AB і BC відповідно, найменшим є периметр трикутника MNP. Отже, довжина відрізка EF буде найменшою при найменшій довжині відрізка BP, тобто коли BP — висота трикутника ABC.
З побудови випливає, що периметр будь-якого іншого трикутника, вершини якого лежать на сторонах трикутника ABC, більший за периметр трикутника MNP. 21.7.° Побудуйте рівнобедрений трикутник ABC за вершиною A, точкою K, що належить стороні BC, і прямою, що містить висоту, проведену на основі AB (рис. 21.23). 21.11.° На рисунку 21.25 зображено рівнобедрений трикутник ABC і пряму l, що містить його висоту, проведену на основі AC.
