Доведіть, що площу S трикутника ABC можна обчислити за формулою

Т е о р е м а 6.7. Площа опуклого чотирикутника дорівнює по- ловині добутку його діагоналей і синуса кута між ними.

Д о в е д е н н я. Через вершини A, B, C і D чотирикутника ABCD проведемо прямі, паралельні його діагоналям AC і BD (рис. 6.6).

Отримаємо паралелограм MNPQ, у якому ∠M = j, MN = AC, MQ = BD. Площа цього паралелограма вдвічі більша за площу чотирикутника ABCD (доведіть це самостійно). Звідси

S_ABCD=¹S_MNPQ = MN MQ = AC BD 2

1 2

æ æsinϕ 2 æ æsin .ϕ 

Задача 1. Доведіть, що площу S трикутника ABC можна

З а д а ч а 3. Сторони трикутника дорівнюють 17 см, 65 см і 80 см.

Знайдіть найменшу висоту трикутника, радіуси його вписаного й описаного кіл.

Р о з в ’ я з а н н я. Нехай a = 17 см, b = 65 см, c = 80 см.

Знайдемо півпериметр трикутника: p=^{17 65 80}⁺ ⁺ =

2 81 (см).

Площу трикутника обчислимо за формулою Герона:

S= p p a p b p c( − ) ( − ) ( − )= 81 81 17 81 65 81 80( − ) ( − ) ( − ) =

= 81 64 16æ æ =9 8 4 288æ æ = (см²).

Найменшою висотою трикутника є висота, проведена до його найбільшої сторони, довжина якої дорівнює c.

Оскільки S= ¹ch_c

2 , то h_c ^S

= ²c =^{2 288} = 80 7 2 æ , (см).

Радіус вписаного кола r ^S

= p =²⁸⁸= 81

32 9 (см).

Радіус описаного кола R ^abc

= S = = =

17 65 80 4 288

17 65 5 4 18

5525 72 æ æ

æ æ

æ (см).

Відповідь: 7,2 см, ³²

9 см, ⁵⁵²⁵

72 см. 

З а д а ч а 4. Із точки M, яка належить куту AOB, опущено пер- пендикуляри MM₁ і MM₂ на сторони OA і OB відповідно (рис. 6.8).

Доведіть, що S_{OM MM} OM AOB

1 2

m 2æsin∠ .

B M

A M1

Рис. 6.8

Р о з в ’ я з а н н я. Очевидно, що точки O, M₁, M, M₂ лежать на одному колі з діаметром OM. Тоді M₁M₂ = OMæsin ∠AOB.

Маємо: S_{OM MM}₁ ₂ ¹OM M M

2 ¹ ²

= ^æ sin ,ϕ де j — кут між діагоналями чотирикутника OM₁MM₂.

Оскільки 0<sinϕm1, то

S_{OM MM} OM M M OM AOB

1 2

1 2 2 2

m æ = æsin∠ .

З а д а ч а 5. На стороні AC трикутника ABC позначено довільну точку M, відмінну від вершин A і C. У кожний із трикутників ABM і MBC вписано коло (рис. 6.9). Доведіть, що сума радіусів цих кіл більша за радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

Р о з в ’ я з а н н я. Позначимо S, S₁, S₂ — площі, p, p₁, p₂ — півпери- метри, r, r₁, r₂ — радіуси вписаних кіл трикутників ABC, ABM, MBC відповідно.

Маємо: S = S₁ + S₂, rp = r₁p₁ + r₂p₂.

Легко отримати (зробіть це само- стійно), що p₁ < p і p₂ < p. Тоді

rp = r₁p₁ + r₂p₂ < r₁p + r₂p.

Звідси r < r₁ + r₂. 

?

1. як можна знайти площу трикутника, якщо відомо дві його сторони та кут між ними?

2. запишіть формулу герона для обчислення площі трикутника.

3. як можна знайти площу трикутника зі сторонами a, b і c та радіусом R описаного кола?

4. як можна знайти площу трикутника, якщо відомо його півпериметр і радіус вписаного кола?

5. чому дорівнює площа описаного многокутника?

6. як можна знайти площу паралелограма, якщо відомо його сусідні сторони та кут між ними?

7. як можна знайти площу опуклого чотирикутника, якщо відомо його діа- гоналі та кут між ними?

ВпраВи

6.1.° Площа трикутника MKN дорівнює 75 см². Знайдіть сторону MK, якщо KN = 15 см, ∠K = 30°.

6.2.° Знайдіть кут між даними сторонами трикутника ABC, якщо:

1) AB = 12 см, BC = 10 см, площа трикутника дорівнює 30 3 см²; 2) AB = 14 см, AC = 8 см, площа трикутника дорівнює 56 см².

M C A

Рис. 6.9

6.3.° Площа трикутника ABC дорівнює 18 см². Відомо, що AC = 8 см, BC = 9 см. Знайдіть кут C.

6.4.° Знайдіть площу рівнобедреного трикутника з бічною стороною 16 см і кутом 15° при основі.

6.5.° Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, площа якого дорівнює 36 см², а кут при вершині — 30°.

6.6.° Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 13 см, 20 см і 21 см.

6.7.° Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 11 см, 25 см і 30 см.

6.8.° Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл трикутника зі сторонами:

1) 5 см, 5 см і 6 см; 2) 25 см, 29 см і 36 см.

6.9.° Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл трикутника зі сторонами 6 см, 25 см і 29 см.

6.10.° Доведіть, що Sm¹ab

2 , де S — площа трикутника, a і b — довжини його сусідніх сторін.

6.11.° Чи може площа трикутника зі сторонами 4 см і 6 см дорів- нювати: 1) 6 см²; 2) 14 см²; 3) 12 см²?

6.12.° Дві сусідні сторони паралелограма відповідно дорівнюють двом сусіднім сторонам прямокутника. Чому дорівнює гострий кут паралелограма, якщо його площа вдвічі менша від площі прямокутника?

6.13.° Знайдіть відношення площ S₁ і S₂ трикутників, зображених на рисунку 6.10 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

S1 S2

2 S1

4 5

а б

Рис. 6.10

6.14.° Знайдіть площу трикутника, сторона якого дорівнює a, а при- леглі до неї кути дорівнюють b і g.

6.15.° У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = a, ∠B = b. Знай- діть площу трикутника.

6.16.° У трикутнику ABC кут A дорівнює a, а висоти BD і CE до- рівнюють відповідно h₁ і h₂. Знайдіть площу трикутника ABC.

6.17.° Відрізок BM — висота трикутника ABC, BM = h, ∠A = a,

∠ABC = b. Знайдіть площу трикутника ABC.

6.18.° У трикутник зі сторонами 17 см, 25 см і 28 см вписано коло, центр якого сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трикутників, які при цьому утворилися.

6.19.^• Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC, AB = 6 см, AC = 8 см, ∠BAC = 120°. Знайдіть бісектрису AD.

6.20.^• Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 50 см, а бічні сторони — 13 см і 37 см.

6.21.^• Основи трапеції дорівнюють 4 см і 5 см, а діагоналі — 7 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

6.22.^• Сторони трикутника дорівнюють 39 см, 41 см і 50 см. Знайдіть радіус кола, центр якого належить більшій стороні трикутника та яке дотикається до двох інших сторін.

6.23.^• Доведіть, що ¹ ¹ ¹ ¹

1 2 3

h +h +h =r, де h₁, h₂ і h₃ — довжини висот трикутника, r — радіус вписаного кола.

6.24.^• Вершини трикутника сполучено із центром вписаного в ньо- го кола. Проведені відрізки розбивають даний трикутник на трикутники, площі яких дорівнюють 26 см², 28 см² і 30 см². Знайдіть сторони даного трикутника.

6.25.^• Медіани AA₁ і BB₁ трикутника ABC перетинаються в точці M.

Знайдіть площу трикутника ABC, якщо AA₁ = 9 см, BB₁ = 12 см,

∠AMB = 150°.

6.26.^• Радіус вписаного кола трикутника дорівнює 4 см. Точка до- тику ділить одну зі сторін трикутника на відрізки завдовжки 6 см і 8 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника.

6.27.^• Доведіть, що площу S трикутника можна обчислити за фор- мулою¹ S= rr r r_{a b c}.

6.28.^• Доведіть, що площу S трикутника можна обчислити за фор- мулою

h_a h_b h_c h_a h_b h_c h_a h_c h_b h_b

= 

 



 



 



+ + + − + − +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1

h_c −h_a



 

 .

1 У задачах 6.27–6.30, 6.32, 6.36–6.39 використовуються позначення, наведені на форзаці.

6.29.^• Доведіть, що площу S трикутника можна обчислити за фор- мулою S= ^{Rh h h}^{a b c}

2 .

6.30.^• Доведіть, що коли площа трикутника ABC дорівнює rr_c, то

∠C = 90°.

6.31.^• Чотирикутник ABCD вписано в коло радіуса R. Кут між його діагоналями дорівнює j. Доведіть, що площу S чотирикутника можна обчислити за формулою S = 2R²sin A sin B sin j.

6.32.^•• Доведіть, що довжину бісектриси трикутника ABC можна обчислити за формулою l_a

bc A

= b c + 2 cos2

6.33.^•• У трикутнику ABC проведено бісектрису AD. Відомо, що

1 1 1

AC+ AB= AD. Знайдіть кут BAC.

6.34.^•• У трикутнику ABC відомо, що ∠ABC = 60°, AB + BC = 3 см.

Відрізок BD — бісектриса трикутника, BD=²AC

3 . Знайдіть сторони трикутника.

6.35.^•• Знайдіть площу трикутника, якщо відомо, що дві його сто- рони дорівнюють 35 см і 14 см, а бісектриса трикутника, про- ведена з їхньої спільної вершини, дорівнює 12 см.

6.36.^•• Для трикутника ABC доведіть нерівність Sm^a² ^b² 4 + . 6.37.^•• Для трикутника ABC доведіть нерівність:

1) Sm^a² ^{ab b}² 6

+ +

; 2) Sm^a² ^{ab b}²

− + .

6.38.^•• Доведіть, що для прямокутного трикутника виконується нерівність R r+ l 2 ,S де R і r — радіуси описаного та вписа- ного кіл відповідно.

6.39.^•• Для трикутника ABC доведіть нерівність h_a+h_b+h_cl9 .r 6.40.^•• У трикутник ABC вписано коло радіуса r. Через центр цього

кола проведено пряму, яка перетинає сторони AB і BC у точ- ках M і N відповідно. Доведіть, що S_MBNl2r².

6.41.^•• У трикутнику ABC проведено медіану BM. Чи може радіус кола, вписаного в трикутник BCM, бути вдвічі меншим від ра- діуса кола, вписаного в трикутник ABC?

6.42.^•• Довжини сторін трикутника не перевищують 1. Доведіть, що його площа не перевищує ³

4 .

6.43.^* У трикутнику позначено дві точки. Відстані від однієї з них до сторін трикутника дорівнюють 1 см, 3 см і 15 см, а від дру- гої — 4 см, 5 см і 11 см (сторони розглядаються в тому самому порядку). Знайдіть радіус кола, вписаного в даний трикутник.

6.44.^* У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Доведіть, що Sm⁽^{a c b d}⁺ ^{) (} ⁺ ⁾,

4 де S — площа чотири- кутника.

6.45.^* Периметр чотирикутника дорівнює 4. Доведіть, що його площа не перевищує 1.

6.46.^* (Ф о р м у л а К а р н о¹) Точка O — центр описаного кола гостро- кутного трикутника ABC. Точки M₁, M₂ і M₃ — середини сторін BC, AC і AB відповідно. Доведіть, що OM₁ + OM₂ + OM₃ = R + r, де R і r — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл три- кутника ABC.

6.47.^* Додатні числа x, y, z задовольняють систему рівнянь x xy

z z zx x

2 2

3 3

25 16

+ + =

+ =

+ + =













, ,

Знайдіть значення виразу xy + 2yz + 3xz.

1 Карно Лазар (1753–1823) — французький математик, фізик, дер- жавний і військовий діяч.

!

гоЛоВне В параграфі 2

Синус, косинус, тангенс і котангенс кута від 0° до 180°

Косинусом і синусом кута a (0°m mα 180°) називають відповідно абсцису й ординату точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a.

Тангенсом кута a, де 0°m mα 180° і a ≠ 90°, називають відно- шення ^sin

cos^a. a

Котангенсом кута a, де 0° < a < 180°, називають відношення cos

sin^a. a

Теорема косинусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними:

a² = b² + c² – 2bc cos a.

Лема про хорду кола

Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

a b c

sin sin sin . α= β = γ

Формули для знаходження площі трикутника S=¹ab

2 sinγ

Формула Герона: S= p p a p b p c( − ) ( − ) ( − ) S ^abc

= R S = pr4

Формула для знаходження радіуса кола, вписаного в трикутник r ^S

= p

Формули для знаходження радіуса кола, описаного навколо три- кутника

R= ^a 2 sinα R ^abc

= S 4

Формули для знаходження площі чотирикутника

Площа S паралелограма: S = ab sin a, де a і b — довжини сусід- ніх сторін паралелограма, a — кут між ними.

Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей і синуса кута між ними.

Площа многокутника, описаного навколо кола

Площа многокутника, описаного навколо кола, дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.