differencialxnye inwarianty odnoparametri~eskoj gruppy lokalxnyh preobrazowanij i integriruemye urawneniq rikkati

differencialxnye inwarianty odnoparametri~eskoj gruppy lokalxnyh preobrazowanij i integriruemye urawneniq rikkati

r.e.pOPOWI^,w.n.bOJKO¹

pREDLOVENNOWYJPODHODKPOSTROENI@DIFF ERENCIALXNYHINWARIANTOWOD-

NOPARAMETRI^ESKOJGRUPPY LOKALXNYHPREOBRAZOWANIJ W PROSTRANSTWE ODNOJ

NEZAWISIMOJIm^ZAWISIMYHPEREMENNYH.pOKAZANO,^TOPRIIZWESTNOMUNIWER- SALXNOM INWARIANTEPOLNYJNABORFUNKCIONALXNONEZAWISIMYHDIFF ERENCI-

ALXNYH INWARIANTOW PROIZWOLXNOGO PORQDKATAKOJ GRUPPY MOVNO POSTROITX

SPOMO]X@ODNOJKWA DRATURYIDIFF ERENCIROWANIQ.pROANALIZIROWANASWQZX

MEVDUDIFF ERENCIALXNYMIINWARIANTAMIPERWOGOPORQDKAIINTEGRIROWANIEM

URAWNENIJrIKKATI.

wWEDENIE

tEORIQ DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW QWLQETSQ WAVNOJ SOSTAWNOJ ^ASTX@ GRUP- POWOGO ANALIZA DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. w ^ASTNOSTI, EE ISPOLXZU@T (W QW- NOM ILI NEQWNOM WIDE)PRI INTEGRIROWANII W KWADRATURAH ILI PONIVENII PORQDKA OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ,OPISANII KLASSOW INWARIANTNYH DIF- FERENCIALXNYH URAWNENIJ1{5].w SWQZI S TEHNI^ESKOJ SLOVNOSTX@ POSTROENIQ POL- NOGO NABORA DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW PROIZWOLXNOGO PORQDKA OSOBU@ ROLX W IH TEORII IGRA@T RAZLI^NYE WARIANTY TEOREMY O KONE^NOM BAZISE DIFFERENCIALX- NYH INWARIANTOW, KOTORU@ NESTROGO MOVNO SFORMULIROWATX SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ PROIZWOLXNOJ GRUPPY GLOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ SU]ESTWUET TAKOJ KONE^^- NYJ NABOR DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW^, ^TO PROIZWOLXNYJ DIFFERENCIALXNYJ INWARIANT GRUPPYGQWLQETSQ FUNKCIEJ \TIH INWARIANTOW I IHG^-INWARIANTNYH PROIZWODNYH^.wPERWYE PODOBNOE UTWERVDENIE(DLQ ODNOPARAMETRI^ESKOJ GRUPPY LO- KALXNYH PREOBRAZOWANIJ W PROSTRANSTWE DWUH PEREMENNYH) POLU^ENO E]E s. lI W KONCE hIh W. 1] (SM. TAKVE 2, 4]) I WSKORE SU]ESTWENNO OBOB]ENO a. tRESSOM 6].

dALXNEJEE RAZWITIE TEORII DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW SWQZANO S RABOTAMI l.w. oWSQNNIKOWA 3] I p. oLWERA 7{10], GDE WWEDENY PONQTIQ OPERATORA INWARI- ANTNOGO DIFFERENCIROWANIQ, SOWOKUPNOSTI NEZAWISIMYH KONTAKTNO-INWARIANTNYH DIFFERENCIALXNYH FORM I DR.,A TAKVE POLU^ENY REZULXTATY O STABILIZACII RANGA PRODOLVENNOGO DEJSTWIQ GRUPPY I OCENKI KOLI^ESTWA DIFFERENCIALXNYH INWARI- ANTOW.

1

pOPOWI^ rOMAN eMELXQNOWI^, ^{bOJKO wQ^ESLAW nIKOLAEWI^}. ^{iNSTITUT MATEMATIKI nan}

w DANNOJ RABOTE IZU^A@TSQ DIFFERENCIALXNYE INWARIANTY ODNOPARAMETRI^ES- KOJ GRUPPY LOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ W PROSTRANSTWE ODNOJ NEZAWISIMOJ I mZA- WISIMYH PEREMENNYH (m ^{2 N}). oBOB]ENA TEOREMA lI O DIFFERENCIALXNYH INWA- RIANTAH ODNOPARAMETRI^ESKOJ GRUPPY LOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ,A IMENNO: DOKA- ZANO, ^TO PRI IZWESTNOM UNIWERSALXNOM INWARIANTE POLNYJ NABOR FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW PROIZWOLXNOGO PORQDKA TAKOJ GRUP- PY MOVNO POSTROITX S POMO]X@ ODNOJ KWADRATURY I DIFFERENCIROWANIQ.w STATXE TAKVE PROANALIZIROWANA SWQZX MEVDU DIFFERENCIALXNYMI INWARIANTAMI PERWOGO PORQDKA I INTEGRIROWANIEM URAWNENIJ rIKKATI.

1. oBOB]ENIE TEOREMY lI

O DIFFERENCIALXNYH INWARIANTAH

pUSTX ^Q = (xu)@_x+ⁱ(xu)@_uⁱ | INFINITEZIMALXNYJ OPERATOR ODNOPARAMET- RI^ESKOJ GRUPPY ^G LOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ, DEJSTWU@]EJ NA MNOVESTWE ^M

J

(0) =^{X U}, GDE^{X 'R} |PROSTRANSTWO NEZAWISIMOJ PEREMENNOJx I^{U 'Rm} | PROSTRANSTWO ZAWISIMYH PEREMENNYH^u= (u¹u²:::u^m),G⁽ⁿ⁾ |PRODOLVENIE DEJ- STWIQ GRUPPY^GNA PODMNOVESTWO^M(n⁾=^{MU(1)U(2)U(n)}PRODOLVENNOGO PROSTRANSTWA^J(n⁾=X^U(_n⁾ STRUJn-GO PORQDKA NAD PROSTRANSTWOM^XU (ZDESX

U

(n⁾=^{UU(1)U(2)U(n)}),n1,Q⁽ⁿ⁾|n-E PRODOLVENIE OPERATORA^Q(SM. 4]).

dIFFERENCIALXNYM INWARIANTOMn-GO PORQDKA GRUPPY G(ILI OPERATORA Q)NAZY- WAETSQ FUNKCIQ I:^M(_n^{) ! R}, QWLQ@]AQSQ INWARIANTOM PRODOLVENNOGO DEJSTWIQ G⁽ⁿ⁾.dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ^I BYLA DIFFERENCIALXNYM INWARIANTOMⁿ-GO PORQD- KA GRUPPYG,NEOBHODIMO I DOSTATO^NO WYPOLNENIE SOOTNOENIQQ⁽ⁿ⁾I = 0.

zDESX I DALEE INDEKSYi,j,k,lIZMENQ@TSQ OT1DOm.pO POWTORQ@]IMSQ INDEK- SAM PROIZWODITSQ SUMMIROWANIE.

pUSTX I = I(xu) = (I¹(xu)I²(xu):::I^m(xu)) | POLNYJ NABOR FUNKCIO- NALXNO NEZAWISIMYH INWARIANTOW(ILI UNIWERSALXNYJ INWARIANT3])OPERATORAQ, A J(xu) | ^ASTNOE REENIE URAWNENIQ QJ = 1. tOGDA FUNKCII I¹(xu), I²(xu), ...,I^m(xu)I J(xu) |FUNKCIONALXNO NEZAWISIMY.wYPOLNIM LOKALXNU@ ZAMENU PEREMENNYH:y =J(xu) | NOWAQ NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ I v^k =I^k(xu) | NOWYE ZAWISIMYE PEREMENNYE. w PEREMENNYH y I v = (v¹v²:::v^m) OPERATOR Q IMEET WID@y.sLEDOWATELXNO,DLQ PROIZWOLXNOGOn1WID PRODOLVENNOGO OPERATORAQ⁽ⁿ⁾ SOWPADAET SQ=@y,PO\TOMU

v v⁰ = dv¹ dy dv²

dy :::dv^m dy

v⁰⁰= d²v¹ dy² d²v²

dy² ::: d²v^m dy²

:::

v⁽ⁿ⁾= dⁿv¹ dyⁿ dⁿv²

dyⁿ ::: dⁿv^m dyⁿ

OBRAZU@T POLNYJ NABOR EGO FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH INWARIANTOW, T.E. v⁽_n⁾ = (vv⁰v⁰⁰:::v⁽ⁿ⁾) |UNIWERSALXNYJ INWARIANT GRUPPY G⁽ⁿ⁾. (fUNKCIONALXNAQ NE- ZAWISIMOSTXv, v⁰,v⁰⁰, ...,v⁽ⁿ⁾ O^EWIDNA,POSKOLXKU(yv⁽n⁾)QWLQETSQ NABOROM PERE- MENNYH W PROSTRANSTWE^J(n⁾.) |TO ZNA^IT, ^TO v | FUNDAMENTALXNYJ NABOR DIF- FERENCIALXNYH INWARIANTOW OPERATORA Q, T.E. PROIZWOLXNYJ DIFFERENCIALXNYJ INWARIANT OPERATORAQMOVNO PREDSTAWITX KAK FUNKCI@ OTv I PROIZWODNYHv PO OPERATORUG-INWARIANTNOGO DIFFERENCIROWANIQ,KOTORYJ SOWPADAET ZDESX S OPERA- TOROM^Dy=@_y+v_iy@_vⁱ+v_iyy@_vⁱy+POLNOJ PROIZWODNOJ PO PEREMENNOJ^y.

wOZWRATIMSQ K STARYM PEREMENNYM. u^ITYWAQ RAWENSTWO Dy = 1D_xJ D^x

SRAZU POLU^IM SLEDU@]U@ TEOREMU.

tEOREMA 1. pUSTX I = I(xu) = (I¹(xu)I²(xu):::I^m(xu)) ^| UNIWERSALXNYJ INWARIANT OPERATORA Q^, J(xu) ^| ^ASTNOE REENIE URAWNENIQ QJ = 1^. tOGDA FUNKCII

I^k(xu) D¹xJ D^x

p

I^k(xu) p= 1n

OBRAZU@T POLNYJ NABOR FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIAN^- TOW⁽ILI UNIWERSALXNYJ DIFFERENCIALXNYJ INWARIANT⁾n^-GO PORQDKA OPERATORAQ^.

sLEDSTWIE 1.dLQ PROIZWOLXNOGO OPERATORA Q SU]ESTWUET POLNYJ NABOR FUNK^- CIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW n^-GO PORQDKA^, W KOTOROM KAVDYJ INWARIANT QWLQETSQ RACIONALXNOJ FUNKCIEJ PEREMENNYHu_kx^,u_kxx^,...,(u^k)⁽ⁿ⁾ PRODOLVENNOGO PROSTRANSTWA S KO\FFICIENTAMI^,ZAWISQ]IMI OTx Iu^k.

iZ TEOREMY1PRIm= 1 MOVNO LEGKO POLU^ITX REZULXTAT s.lI O DIFFERENCI- ALXNYH INWARIANTAH ODNOPARAMETRI^ESKOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ W PROSTRANSTWE DWUH PEREMENNYH(SM. 1{4]).

sLEDSTWIE2.pUSTXI(xu)IV(xuux)^|DIFFERENCIALXNYE INWARIANTY NULEWO^- GO I STROGO PERWOGO⁽T^.E^.@V=@ux⁶= 0⁾PORQDKA OPERATORAQ=(xu)@x+(xu)@u^.

tOGDA FUNKCII

I V d^pV

dI^{p =} D¹xI D^x

p

V p= 1n^;1

GDEDx=@x+ux@u+uxx@u^x+:::^|OPERATOR POLNOJ PROIZWODNOJ PO PEREMENNOJx^, OBRAZU@T POLNYJ NABOR FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIAN^- TOW n^-GO PORQDKA OPERATORA Q^.

oTMETIM,^TO ESLI IZWESTEN UNIWERSALXNYJ INWARIANTI OPERATORAQ,TO ^ASTNOE REENIE URAWNENIQQJ = 1 MOVNO NAJTI S POMO]X@ ODNOJ KWADRATURY.nAPRIMER, W SLU^AE⁶= 0TAKIM REENIEM BUDETJ(xu) =^Rdx=(xU(xC)),GDEu=U(xC) | REENIE SISTEMY ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ I(xu) = C := (C¹C²:::Cm) OTNO- SITELXNO PEREMENNYH u, A POSLE INTEGRIROWANIQ NEOBHODIMO WYPOLNITX OBRATNU@

PODSTANOWKUC =I(xu).aNALOGI^NO, ESLI^{k 6}= 0DLQ NEKOTOROGOk, TO MOVNO PO- LOVITX J(xu) = ^R du^k=^k(XU¹:::U^k;1u^kU^k+1:::U^m) (SUMMIROWANIE PO k ZDESX NE PROIZWODITSQ),GDE x=X(u^kC),uⁱ=Uⁱ(u^kC),i⁶=k|REENIE SISTEMY ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJI(xu) =C OTNOSITELXNO PEREMENNYHx,uⁱ,i⁶=k.

pRIMER 1.pUSTXm= 1,AG= SO(2) |GRUPPA POWOROTOW,DEJSTWU@]AQ NA

XU 'R

2,S INFINITEZIMALXNYM OPERATOROMQ=u@x^;x@u(SM.DLQ SRAWNENIQ4]).

I =^px²+u² |INWARIANT GRUPPYG(OPERATORAQ),OTS@DAU(xC) =^pC^2;x². tOGDA

J=

Z dx

pC^2;x^{2 =arcsin}x

C ^=arcsin x

px²+u² (ZDESX KONSTANTA INTEGRIROWANIQ WZQTA RAWNOJ0),OTKUDA

V = Ix+Iuux

Jx+Juux = x+uux

;u+xux

px²+u² ILI V^e = x+uux

;u+xux

|DIFFERENCIALXNYJ INWARIANT PERWOGO PORQDKA OPERATORAQ.

tAKIM OBRAZOM,ESLI NAJDEN UNIWERSALXNYJ INWARIANT OPERATORAQ^,TO POLNYJ NABOR EGO FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW PROIZWOLX^- NOGO PORQDKA MOVNO POSTROITX S POMO]X@ ODNOJ KWADRATURY I DIFFERENCIROWA^- NIQ^.

2. dIFFERENCIALXNYE INWARIANTY

PERWOGO PORQDKA

rASSMOTRIM PODROBNEE DIFFERENCIALXNYE INWARIANTY PERWOGO PORQDKA. iZ TEORE- MY1SLEDU@T TAKIE UTWERVDENIQ.

uTWERVDENIE 1. eSLI I = (I¹(xu)I²(xu):::I^m(xu)) ^| UNIWERSALXNYJ IN^- WARIANT OPERATORA Q I J = J(xu) ^| ^ASTNOE REENIE URAWNENIQ QJ = 1^, TO FUNKCII

I^(1)k =I^(1)k (xu⁽¹⁾) =dI^k

dJ ⁼DxI^k

D_xJ ⁼ I_kx+I_kuⁱu_ix Jx+Ju^jujx

OBRAZU@T POLNYJ NABOR FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIAN^- TOW STROGO PERWOGO PORQDKA OPERATORA Q^.

sLEDSTWIE 3.kOMPONENTY STROGO PERWOGO PORQDKA UNIWERSALXNOGO DIFFERENCI^- ALXNOGO INWARIANTA OPERATORA QMOVNO ISKATX W WIDE DROBNO^-LINEJNYH FUNKCIJ PEREMENNYHu_kx PRODOLVENNOGO PROSTRANSTWA S KO\FFICIENTAMI^,ZAWISQ]IMI OT x Iu^k.

dLQ PEREFORMULIROWKI UTWERVDENIQ1WWEDEM NOWOE PONQTIE.

oPREDELENIE. dIFFERENCIAL dW(xu) BUDEM NAZYWATX INWARIANTNYM OTNOSI^- TELXNO GRUPPY G ⁽OPERATORA Q^), ESLI ON NE IZMENQETSQ POD DEJSTWIEM PREOB^- RAZOWANIJ IZ GRUPPY G^.

wWEDENNOE PONQTIE INWARIANTNOGO DIFFERENCIALA QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM BO- LEE OB]EGO PONQTIQ KONTAKTNO-INWARIANTNOJ DIFFERENCIALXNOJ FORMY PERWOGO PO- RQDKA W PRODOLVENNOM PROSTRANSTWE8].

nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYMUSLOWIEM INWARIANTNOSTIDIFFERENCIALA QWLQETSQ RAWENSTWOdQW(xu) = 0:wOZMOVNY DWA PRINCIPIALXNO RAZNYH SLU^AQ:

1)FUNKCIQW(xu) |INWARIANT OPERATORAQ,T.E.QW(xu) = 0DIFFERENCIAL dW(xu) AWTOMATI^ESKI BUDET INWARIANTNYM OTNOSITELXNO OPERATORAQ (INWARI^- ANTNYJ DIFFERENCIAL PERWOGO RODA)

2) FUNKCIQ W(xu) NE QWLQETSQ INWARIANTOM OPERATORA Q, NO DIFFERENCIAL dW(xu)INWARIANTEN OTNOSITELXNOOPERATORAQ(INWARIANTNYJ DIFFERENCIAL WTO^- ROGO RODA) TOGDAQW(xu) |NENULEWAQ POSTOQNNAQ.

uTWERVDENIE2.oTNOENIE INWARIANTNYH DIFFERENCIALOW OPERATORAQPERWO^- GO I WTOROGO RODA QWLQETSQ EGO DIFFERENCIALXNYM INWARIANTOM STROGO PERWOGO PORQDKA^.eSLIdI^1,dI^2,...,dI^m OBRAZU@T POLNYJ NABOR NEZAWISIMYH INWARIANT^- NYH DIFFERENCIALOW OPERATORA Q PERWOGO RODA^, TO IH OTNOENIQ S EGO INWARI^- ANTNYM DIFFERENCIALOM WTOROGO RODA IS^ERPYWA@T FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYE DIFFERENCIALXNYE INWARIANTY STROGO PERWOGO PORQDKA OPERATORAQ^.

eSLI IZWESTEN NEKOTORYJ NABOR FUNKCIJ I^k(xu) I J(xu), ZADA@]IH UNIWER- SALXNYJ INWARIANT I INWARIANTNYJ DIFFERENCIAL WTOROGO RODA OPERATORAQSOOT-

WETSTWENNO,TO WSE TAKIE NABORY,O^EWIDNO,MOVNO NAJTI PO FORMULAM I^(xu) =F(I(xu)) J^{^}(xu) =J(xu) +H(I(xu))

GDE F = (F¹F²:::F^m) I H | DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII SWOIH PEREMENNYH,

j@F=@I^j6= 0.|TI FORMULY OPREDELQ@T OTNOENIE \KWIWALENTNOSTINA MNOVESTWE

N NABOROW IZm+1GLADKIH FUNKCIJ OTm+1PEREMENNYH S NENULEWYM QKOBIANOM. sOOTWETSTWU@]EE MNOVESTWO KLASSOW \KWIWALENTNOSTI OBOZNA^IM KAK ^N=.

uTWERVDENIE3.mEVDU MNOVESTWAMI^N=I^fQ^gSU]ESTWUET WZAIMNOODNOZNA^^- NOE SOOTWETSTWIE^: SOWOKUPNOSTX ^f(I^k(xu) J(xu))^g REENIJ SISTEMY QI^k = 0^, QJ = 1QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA ^N=^,I NAOBOROT^,ESLI (I^k(xu)J(xu))

|NEKOTORYJ PREDSTAWITELX KLASA \KWIWALENTNOSTI IZ^N=^,TO SISTEMAQI^k= 0^, QJ = 1 QWLQETSQ OPREDELENNOJ SISTEMOJ LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ OT^- NOSITELXNO KO\FFICIENTOW SOOTWETSTWU@]EGO OPERATORA Q^.

3. sTANDARTNYJ PODHOD

I INTEGRIROWANIE URAWNENIJ rIKKATI

oPERATORYG-INWARIANTNOGO DIFFERENCIROWANIQ W SLU^AE ODNOJ NEZAWISIMOJ PERE- MENNOJ TRADICIONNO I]UTSQ W WIDE

D= 1DxI⁰Dx

GDE I⁰ | DIFFERENCIALXNYJ INWARIANT GRUPPY G. pO\TOMU DLQ POSTROENIQ UNI- WERSALXNOGO DIFFERENCIALXNOGO INWARIANTA PROIZWOLXNOGO PORQDKA ODNOPARAMET- RI^ESKOJ GRUPPY LOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ S POMO]X@ OPERATORAG-INWARIANTNOGO DIFFERENCIROWANIQ TAKOGO WIDA NEOBHODIMO NAJTIm+ 1FUNKCIONALXNO NEZAWISI- MYH DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW GRUPPY ^G MINIMALXNO WOZMOVNOGO PORQDKA, T.E. m FUNKCIONALXNO NEZAWISIMYH DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW NULEWOGO PO- RQDKA(ILI PROSTO INWARIANTOW)I ODIN DIFFERENCIALXNYJ INWARIANT STROGO PER- WOGO PORQDKA.dIFFERENCIALXNYJ INWARIANTI⁽¹⁾¹ STROGO PERWOGO PORQDKA NAHODITSQ KAK INWARIANT PERWOGO PRODOLVENIQ

Q⁽¹⁾=@x+ⁱ@uⁱ+ (_ix+_iu^ju_jx^;xu_ix^;u^ju_jxu_ix)@u^ix

OPERATORAQ, T.E. KAK PERWYJ INTEGRAL SOOTWETSTWU@]EJ HARAKTERISTI^ESKOJ SIS- TEMY OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ

dx ⁼du^k

^{k =} du_kx

_kx+_ku^ju_jx^;xu_kx^;_u^ju_jxu_kx ⁹l: @I⁽¹⁾¹

@u_lx ^{6= 0 (1)} (SUMMIROWANIQ POk ZDESX NET,NIVNIE INDEKSY FUNKCIJ OBOZNA^A@T DIFFERENCI- ROWANIE PO SOOTWETSTWU@]IM PEREMENNYM).iNTEGRIROWANIE SISTEMY (1), KAK PRA- WILO,QWLQETSQ TEHNI^ESKI SLOVNOJ ZADA^EJ.pRI IZWESTNOM UNIWERSALXNOM INWARI- ANTEI(xu)OPERATORAQ ONO SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ SISTEMY URAWNENIJ TIPA rIKKATI WIDA

dv^k

dx ^=;_u^j

v^kv^j+_ku^j

v^j;x

v^k+_kx

u⁼U⁽xC⁾ (2)

ESLI⁶= 0,ILI dv^k

du^{i =;}_u^j

ⁱ v^kv^j+_ku^j

ⁱ v^j;x

ⁱv^k+_kx ⁱ

x⁼X⁽uⁱC⁾ u^l=U^l(uⁱC⁾ l⁶⁼i (3) ESLIⁱ⁶= 0DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGOi.zDESXu=U(xC)Ix=X(uⁱC), u^l=U^l(uⁱC),l⁶=i|REENIQ SISTEMY ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJI(xu) =COTNO- SITELXNOPEREMENNYHuIx,u^l,l⁶=iSOOTWETSTWENNO.kONSTANTYC= (C¹C²:::Cm) W SISTEMAH (2) I (3) S^ITA@TSQ PARAMETRAMI. sLU^AJ ^{i 6}= 0 SWODITSQ K SLU^A@

⁶= 0 S POMO]X@ PREOBRAZOWANIQ GODOGRAFA(x ^$uⁱ, A TAKVE ^$i, v^{i !}1=vⁱ I v^l!;v^l=vⁱ,l⁶=i).pO\TOMU DALEE PODROBNO RASSMATRIWAETSQ TOLXKO SLU^AJ ⁶= 0.

pREDLOVENNYJ W UTWERVDENII1SPOSOB NAHOVDENIQ DIFFERENCIALXNYH INWARI- ANTOW STROGO PERWOGO PORQDKA W OTLI^IE OT STANDARTNOGO METODA POZWOLQET OBOJTI PRQMOE INTEGRIROWANIE SISTEMY URAWNENIJ TIPA rIKKATI(2)ILI(3)I NAJTI REE- NIE ZADA^I S POMO]X@ ODNOJ KWADRATURY I DIFFERENCIROWANIQ.|TO ZNA^IT,^TO PRI IZWESTNOM UNIWERSALXNOM INWARIANTEI(xu)OPERATORAQSISTEMY⁽²⁾I⁽³⁾WSEG^- DA INTEGRIRU@TSQ ODNOJ KWADRATUROJ. dEJSTWITELXNO,TAK KAKu=U(xC) |OB- ]EE REENIE SISTEMYu_kx=^k(xu)=(xu),TO LEGKO PROWERITX,^TOv=Ux(xC) |

^ASTNOE REENIE SISTEMY (2) (ZDESX, KAK I W (2), C | NABOR PARAMETROW). oB]EE REENIE SISTEMY(2)IMEET WID

v=^;(Iu^;C^eJu)^;1(Ix^;CJ^e x)

u⁼U⁽xC⁾=Uz+UC(E^;C^eJC)^;1CJ^e z

(W POSLEDNEM RAWENSTWE PROIZWEDENA PODSTANOWKAx =z,u=U(zC)),GDE E |EDI- NI^NAQ MATRICA RAZMERAmm, C^e= (C^e1C^e2:::C^em) | PROIZWOLXNYE KONSTANTY, Iu = (I_ku^l),C^eJu= (C^ekJ_u^l), Ix = (I_kx),C^eJC = (C^ekJ_C^l),Uz= (U_kz), UC = (U_kC^l).

oBRATNAQ MATRICA KIu^;C^eJu WSEGDA SU]ESTWUET PRI DOSTATO^NO MALYHC^ek, PO- SKOLXKUdetIu⁶= 0.

oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA SLU^AE ODNOJ ZAWISIMOJ PEREMENNOJ(m= 1).w \TOM SLU^AE PERWOE PRODOLVENIE OPERATORAQ=(xu)@x+(xu)@uI HARAKTERISTI^ESKAQ SISTEMA(1)IME@T SOOTWETSTWENNO WID

Q⁽¹⁾=@x+@u+ (x+ (u^;x)ux^;uu²_x)@u^x dx ⁼du

⁼ dux

x+ (u^;x)ux^;uu²_x: (4) eSLI IZWESTEN INWARIANTI(xu)OPERATORAQ,TO ZADA^A INTEGRIROWANIQ SISTEMY(4) SWODITSQ,W OB]EM SLU^AE, K INTEGRIROWANI@ URAWNENIQ rIKKATI(KAK UVE OTME^A- LOSX,MOVNO PREDPOLAGATX,^TO ⁶= 0)

dvdx ^=;_u

v²⁺_u^;_x v⁺_x

u⁼U⁽xC⁾ (5) GDE u = U(xC) | REENIE ALGEBRAI^ESKOGO URAWNENIQ I(xu) = C OTNOSITELXNO PEREMENNOJu,KONSTANTACS^ITAETSQ PARAMETROM.

wYPOLNIW W(5)PODSTANOWKUx=z,u=U(zC),PRIHODIM K URAWNENI@

dvdz ^{= 1}

;

_C

UCv²+ _C

UC ^;z+CU_z UC

v+z^;CU_z UC

: (6)

tAK KAK u = U(zC) | OB]EE REENIE URAWNENIQ uz = (zu)=(zu), TO LEGKO PROWERITX,^TOv=Uz(zC) (ZDESX,KAK I W(6),C |PARAMETR) |^ASTNOE REENIE URAWNENIQ(6).oB]EE REENIE URAWNENIQ(5) (ILI (6))IMEET WID

v=^;Jx+CI^e x

Ju+CI^e u

u⁼U⁽xC⁾=Uz^; JzUC

JC+C ^e

GDEJ |^ASTNOE REENIE URAWNENIQQJ= 1,C^e |PROIZWOLXNAQ KONSTANTA.

pRIMER 2. pUSTX Q = exp(^;x^;u)(@x+u@u). I(xu) = uexp(^;x) | INWARIANT OPERATORAQ, OTKUDAU(xC) =Cexp(x).tOGDA

J =

Z dx

exp(^;x^;Cexp(x)) = 1

C^exp(Cexp(x)) = exp(x+u) u (ZDESX KONSTANTA INTEGRIROWANIQ WZQTA RAWNOJ0),A PO\TOMU

V = exp(^;2x^;u)u²(ux^;u)

u+uux^;ux ILI V^e = ux^;u

u+uux^;uxexp(^;u) QWLQETSQ DIFFERENCIALXNYM INWARIANTOM PERWOGO PORQDKA OPERATORAQ.

uRAWNENIE(5)DLQ DANNOGO OPERATORA IMEET WID

dvdx ⁼v²+ (2^;Cexp(x))v^;Cexp(x):

fUNKCIQv=Cexp(x)QWLQETSQ EGO ^ASTNYM REENIEM,A OB]EE REENIE \TOGO URAW- NENIQ rIKKATI ZADAETSQ FORMULOJ

v=Cexp(x)^; C²exp(2x)

Cexp(x)^;1 +C^bexp(^;Cexp(x)) GDEC^b |PROIZWOLXNAQ KONSTANTA.

pRIMER3.pUSTXQ=xu(x@x+ku@u),k^2R.I(xu) =ux^;k|INWARIANT OPERATO- RAQ,OTKUDAU(xC) =Cx^k.tOGDA

J =^Z dx Cx^{k+2 =}

8

>

>

<

>

>

:

lnx C ^{= ln}x

xu ESLIk=^;1

;

C(k+ 1)1 x^{k+1 =;}(k+ 1)¹ xu ESLIk⁶=^;1

(ZDESX KONSTANTA INTEGRIROWANIQ WZQTA RAWNOJ0).sOOTWETSTWU@]EEURAWNENIE rIK- KATI IMEET WID _dv

dx ^=;Cx^1kv²+ 2(k^;1)

x v⁺kCx^k;2:

fUNKCIQ v = kCx^k;1 QWLQETSQ ^ASTNYM REENIEM \TOGO URAWNENIQ, A EGO OB]EE REENIE ZADAETSQ FORMULOJ

v=^;C

x^{2 1 +}C^b;1lnx

ESLIk=^;1 ILI v=Cx^k;1 k^; k+ 1

1 +Cx^{b k+1}

ESLIk⁶=^;1 GDEC^b |PROIZWOLXNAQ KONSTANTA.

zAKL@^ENIE

tAKIM OBRAZOM,NAHOVDENIE DIFFERENCIALXNYH INWARIANTOW ODNOPARAMETRI^ESKOJ GRUPPY G LOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ W PROSTRANSTWE S ODNOJ NEZAWISIMOJ PERE- MENNOJ SWODITSQ K POSTROENI@ UNIWERSALXNOGO INWARIANTA GRUPPYG.pRIWEDENNOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY1NE QWLQETSQ SU]ESTWENNO ^UWSTWITELXNYM K KOLI^ESTWU NEZAWISIMYH PEREMENNYH I DOPUSKAET OBOB]ENIE NA NEKOTORYE KLASSY MNOGOPARA- METRI^ESKIH GRUPP LOKALXNYH PREOBRAZOWANIJ(ILI ALGEBR lI DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW).

lITERATURA

1] Lie S. Vorlesungen uber Dierentialgleichungen mit Bekannten Innitesimalen Transformationen. Leipzig: B.G. Teubner, 1891. 568 s.

2] iBRAGIMOW n.h.aZBUKA GRUPPOWOGO ANALIZA. m.:zNANIE, 1989. 48S.

3] oWSQNNIKOW l.w.gRUPPOWOJ ANALIZ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. m.:nAUKA, 1978. 400S.

4] oLWER p. pRILOVENIQ GRUPP lI K DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM. m.: mIR, 1989. 639S.

5] fU]I^ w.i., {TELENX w.m., sEROW n.i. sIMMETRIJNYJ ANALIZ I TO^NYE RE- ENIQ NELINEJNYH URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. kIEW:nAUKOWA DUMKA, 1989. 336 c.

6] Tresse A. Sur les invariants dierentiels des groupes continus de transformations //

Acta Math. 1894.¹⁸. P. 1{88.

7] Olver P.J. Dierential invariants and invariant dierential equations // Lie Groups and their Appl. 1994.¹. P. 177{192.

8] Olver P.J. Dierential invariants // Acta Applicandae Math. 1995.⁴¹. P. 271{284.

9] Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 541 p.

10] Olver P.J. Pseudo-stabilization of prolonged group actions. I. The order zero case //

J. Nonlin. Math. Phys. 1997.⁴, N 3{4. P. 271{277.

DIFFERENTIAL INVARIANTS

of ONE-PARAMETER GROUP

of LOCAL TRANSFORMATION

and INTEGRABLE RICCATI EQUATIONS

R.O. Popovych, V.M. Boyko²

A new tool to construction of dierential invariants for a one-parameter group of local transformations in the space of one independent and m dependent variables is proposed. It is proved that if its universal invariant is known then the complete set of functionally independent dierential invariants can be constructed via one quadrature and dierentiation. Relation of rst-order dierential invariants to Riccati equations is analysed.

2Popovych Roman O., Boyko Vyacheslav M., Institute of Mathematics of NAS Ukraine, 3 Tereshchenkivs'ka Str., 01601 Kyiv 4, Ukraine, E-mail: rop@imath.kiev.ua, boyko@imath.kiev.ua