O Ábaco: breve histórico

Sabe-se que com o passar do tempo o homem precisou fazer contagem e cálculos cada vez mais complicados. A busca por processos e instrumentos que permitissem registrar e simplificar as contagens e cálculos levou a humanidade a inventar instrumentos e métodos que pudessem agilizar o ato de calcular. Diante disso, para a facilitação da contagem e dos cálculos o homem inventou o ábaco.

O ábaco foi um dos instrumentos de cálculo mais usados pela humanidade até o aparecimento dos algarismos indo-arábico. Ele também foi utilizado pelos contadores do estado para realizar as contas nacionais e até mesmo por comerciantes comuns para o comércio em seu negócio.

Figura 2 – Operadores do ábaco

Fonte: Medler (1556)

A fig. 2 mostra um operador do ábaco de fichas. Na imagem pode ser visto o operador mais duas pessoas que acompanhavam os cálculos. Já na fig. 3 pode ser visto um comerciante e um ábaco sobre uma mesa.

Figura 3 – Comerciante com um ábaco

Fonte: Wikipédia (2014)

O número era registrado no ábaco em notação posicional, o que facilitava as operações aritméticas. A representação não era cifrada como no sistema indo-arábico, mas sim iterada como no sistema babilônico.

As operações no ábaco são análogas às operações feitas em sistemas de agrupamentos simples, o que segundo Fossa (2010, p. 279) traz as seguintes vantagens:

 as operações seriam familiares ao operador pelo seu conhecimento de um sistema numérico de agrupamento simples;

 as operações são mecanizadas através da manipulação de materiais concretos (as fichas).

A desvantagem é que o operador não usufrui das propriedades do sistema posicional e, com isto, perde em eficiência. Em virtude disso, novos procedimentos foram inventados que aproximaram a computação com o ábaco de algoritmos apropriados a sistemas posicionais.

Em relação à origem do ábaco, não se tem muitos registros. Para Almeida (2011), o ábaco pode ter sido construído ainda quando a história não era escrita, começando como simples seixos arranjados em colunas traçadas de areia, evoluindo para caixas de areia ou de poeira, suas precursoras.

Segundo Smith (1958, apud FOSSA, 2010), existem três formas básicas de ábaco: a primeira que é uma mesa coberta de pó, a segunda, uma mesa com fichas soltas e a terceira, uma tábua com contas presas em fileiras de arame ou outro material semelhante. Em síntese, o

primeiro tipo nada mais é do que uma mesa coberta com pó ou com areia, cujas marcas podem ser feitas com o dedo. A partir deste artefato, surgiram pequenas pranchas portáteis com beiras levantadas para conter a areia ou cobertas de cera. Na realidade, a mesa de pó nada mais foi do que um simples instrumento para registrar um escrito ou uma figura, enquanto o ábaco é um instrumento de cálculo.

Portanto, o ábaco de mesa com fichas soltas, segundo Fossa (2010), são os primeiros ábacos verdadeiros, frequentemente denominados de tabuleiros de contagem ou

coutingboards; constituído basicamente de mesas ou pranchas de madeira com várias colunas

verticais, das quais cada uma representa um agrupamento que geralmente está em potencias de base dez. Mais especificamente, dez fichas em uma coluna, neste tipo de ábaco, equivalem a uma na coluna imediatamente à esquerda. Para representar o zero não há uma maneira especial, basta deixar a coluna vazia, pois a ausência de fichas numa coluna faz o papel do zero na notação posicional.

Segundo Fossa (2010), os ábacos romanos, geralmente, tinham a estrutura conforme a fig. 4. Porém, com os numerais do sistema de numeração romano. Inicialmente, as fichas foram feitas de pedra, vidro ou metal, sem nenhuma imagem estampada nelas. Mais tarde, já no Século XIII, na França, foi que as fichas começaram a ser estampadas com várias imagens. Devido ao problema de visualização de unidades grandes, poucos ábacos tinham a estrutura conforme a fig. 4 (a). Para simplificar a sua forma, muitos utilizavam uma sub-base, como mostra a fig. 4 (b). As fichas nas colunas abaixo representam unidades, enquanto as fichas na coluna acima dos números representam cinco unidades.

Figura 4 – Modelo do ábaco romano 10 5 104 10 3 102 101 100 Figura 4 (a) 105 104 103 102 101 100 Figura 4 (b)

Os romanos tiveram ábacos portáteis consistindo em pequenas pranchas de metal, geralmente de bronze com segmentos paralelos, por onde deslizavam pequenas esferas. Estes segmentos estão divididos em duas partes, inferior e superior, como mostra a fig. 5.

Figura 5 – Ábaco portátil romano

Fonte: Smith (1925, p. 167)

Porém, segundo Fossa (2010), durante a Idade Média houve uma grande inovação quando Gerbert d’Aurillac (c. 950 – 1003), que mais tarde se tornou o Papa Silvestre II (999 – 1003), inventou um ábaco com fichas marcadas com símbolos numéricos. Gerbert, ao invés de colocar traços ou marcas em cada coluna, construiu fichas com a numeração hindu-arábica que trouxera da Espanha.

Segundo Ferreira (2008), os nove símbolos da numeração de um a nove que Gerbert usou no ábaco pode ser visto na fig. 6:

Figura 6 – Sistema de numeração usado por Gerbert

Fonte: Ferreira (2008, p. 47)

Segundo Fossa (2010), o único ábaco que tem sobrevivido da Grécia Antiga é o ábaco da fig. 7, um ábaco de tabuleiro de mármore. Segundo Ferreira (2008), Fibonacci refere-se aos ábacos de tabuleiros como ábaco pitagórico.

Figura 7 – Ábaco de tabuleiro

A fig. 8 mostra o operador do ábaco de linha, segundo Smith (1925) esta era a forma mais comum em toda a Europa Ocidental por várias centenas de anos. A linha mais próxima do operador representa unidades, o espaço acima dele, cinco unidades; a segunda linha, dezenas; o segundo espaço, cinquenta; e assim por diante.

Figura 8 – Ábaco de linha

Smith (1925, p. 182)

E o terceiro tipo de ábaco é o ábaco de fichas presas, no qual as fichas corriam sobre um fio vertical, dividido em duas partes por um pedaço de madeira, no qual as contas eram feitas movimentando as fichas de um lado para o outro, dependendo do número.

No ábaco japonês, o soroban, possui cinco fichas na parte inferior e apenas uma na parte superior. Na fig. 9 pode ser vista como é o Soroban, o ábaco japonês.

Figura 9 – Ábaco Japonês (soroban)

Já o suanpan, chinês, possui duas fichas na parte superior. Cada fio do ábaco representa uma potencia de base dez e as fichas são contadas quando são deslocadas para o artefato que separa em partes superiores e inferiores. A fig. 10 mostra como é o suanpan, o ábaco chinês.

Figura 10 – Ábaco chinês (suanpan)

Fonte: Smith (1925, p. 169)

Os ábacos foram instrumentos concretos na qual necessitava da manipulação do mesmo para a representação e realização de qualquer operação nele. A percepção dos números se fazia através de sua disposição no material, o seu uso é uma técnica concreta de representação de números.

Hoje em dia, o ábaco é utilizado durante o ensino das operações aritméticas, entre outras finalidades. Nos tópicos a seguir serão utilizados três trabalhos dos seguintes autores: Núñez (2003), Azevedo (2002) e Saad (1998) para mostrar a representação, adição, subtração e multiplicação. Sendo finalizado com a demonstração de como era usado o ábaco romano nas operações de adição, subtração e multiplicação, com a sua devida representação.