S´ıntese dos Resultados Computacionais - Experiências para Compara¸cão das Formula¸cões e Re

3.4 Experiências para Compara¸cão das Formula¸cões e Resultados Compu-

3.4.5 S´ıntese dos Resultados Computacionais

Os resultados computacionais mostram a seguinte rela¸c˜ao entre os valores obtidos na relaxa¸c˜ao linear

ϑ(MTZL) = ϑ(WMTZL)

ϑ(P-WMTZ+CL) = ϑ(P-CSL) = ϑ(MFL) = ϑ(WEL) = ϑ(ESL)

ϑ(WMST)

Figura 3.14: Rela¸cão entre os valores obtidos pela relaxa¸cão linear das diferentes formula¸cões e procedimentos de introdu¸cão de cortes.

Os valores dos limites inferiores obtidos usando as Formula¸cões MTZ e WMTZ encontram-se mais afastados do valor ótimo e os obtidos usando as Formula¸cões ES, MF e WE e os Procedimentos P-CS e P-WMTZ+C encontram-se mais próximos do valor ótimo.

De entre as duas Formula¸cões MTZ e WMTZ a que, em geral, apresenta tempos médios de execu¸cão da relaxa¸cão linear inferiores é a Formula¸cão WMTZ.

De entre todas as formula¸cões e procedimentos de introdu¸cão de cortes usando separa¸cão, o Procedimento P-WMTZ+C é o que apresenta os melhores resultados em termos de tempo de execu¸cão da relaxa¸cão linear e do Algoritmo Branch and Bound para todos os grupos de instâncias em teste.

Em instâncias Aleatórias e Euclideanas de maiores dimensões, a resolu¸cão da relaxa¸cão linear torna-se lenta, enquanto que nas instâncias Quase Caminhos é bastante rápida.

Cap´ıtulo 4

Algoritmos Lagrangeanos

Neste cap´ıtulo vamos apresentar algoritmos baseados numa relaxa¸cão Lagrangeana que determinam uma solu¸cão aproximada para o Problema WMST. Este tipo de algoritmos são muito comuns para o Problema do Caminho Mais Curto com Restri¸cões de Peso (CSP - Constrained Shortest Path) [13, 33, 40, 41, 64, 65]. Notamos que a forma de resolu¸cão através desta técnica é muito semelhante para ambos os problemas CSP e WMST, de tal modo que é frequente nos artigos referentes ao CSP aparecer a observa¸cão de que o mesmo pode ser aplicado ao Problema WMST. Neste cap´ıtulo, para além de apresentarmos resultados computacionais para algoritmos adaptados do CSP para o WMST, apresentamos três novos algoritmos para o WMST e os respetivos resultados computacionais.

O trabalho de Xue [65] descreve dois algoritmos: um para encontrar solu¸cões aproximadas para o Problema CSP e outro para o Problema WMST. Os resultados computacionais para o primeiro algoritmo mostraram ser bastante bons, encontrando solu¸cões ótimas em mais de 80% dos casos e solu¸cões próximas das ótimas nos restan- tes casos. Não são apresentados quaisquer resultados computacionais para o algoritmo para o WMST. Os autores apenas manifestam o seu interesse em fazê-lo futuramente para grafos aleatórios e comparar com solu¸cões ótimas obtidas usando o Algoritmo k Smallest Spanning Tree [16].

No artigo de Block e Gutin [13] podemos consultar um algoritmo aproximado bastante eficiente para problemas de Otimiza¸cão Combinatória com dois parâmetros associados a elementos combinatórios em geral. Embora o algoritmo não seja polinomial, o autor fornece algumas evidências teóricas e práticas que mostram que o algoritmo pode ser bastante rápido em muitos casos.

Based Agregated Cost) para resolver a relaxa¸cão Lagrangeana proposta para o Pro- blema CSP. Os autores aplicam uma aproxima¸cão algébrica e estabelecem vários resultados relacionados com a estrutura de solu¸cões ótimas da relaxa¸cão Lagrangeana.

J¨uttner [40] provou a complexidade do Algoritmo LARAC. No artigo de Xiao et

al. [64] foi apresentada a equivalência de certos algoritmos, simplesmente designados LARAC, os quais foram apresentados independentemente em alguns trabalhos an- teriores [13, 33, 41]. Este artigo também apresenta um estudo algébrico que esta- belece diversas novas propriedades de solu¸cão ótima e um novo algoritmo chamado LARAC-BIN baseado numa pesquisa binária.

Yamada et al. [66] apresentam um algoritmo baseado numa relaxa¸cão Lagrangeana para o Problema da Árvore de Suporte de Custo Máximo com Restri¸cões de Peso, o qual é semelhante ao Algoritmo LARAC-BIN descrito em [64] para o Problema CSP.

Amado e Barcia [7] apresentam uma relaxa¸cão para o Problema da Mochila Matroi- dal (Matroidal Knapsack ), sendo casos especiais deste problema, o Problema Saco-mochila de Múltipla Escolha e o Problema WMST, sendo este denominado pe- los autores de Problema da Árvore de Suporte de um Grafo com uma Restri¸cão de Capacidade.

Com o objetivo de obter solu¸cões aproximadas para o Problema WMST, na Seçcão 4.1 fazemos uma breve descri¸cão da relaxa¸cão Lagrangeana para o problema. Nas duas seçcões seguintes (Seçcão 4.2 e 4.3) descrevemos um algoritmo genérico baseado na relaxa¸cão Lagrangeana, que denominamos de Algoritmo Lagrangeano Base para o Problema WMST, fazemos uma análise da complexidade e apresentamos a ideia geométrica do algoritmo. Este algoritmo descreve e uniformiza os passos comuns a todos os algoritmos e na Seçcão 4.4 apresentamos vários algoritmos tendo todos como princ´ıpio o mesmo algoritmo base apresentado. Na Seçcão 4.5 descrevemos algumas experiências computacionais realizadas e apresentamos os resultados computacionais, onde se efetua uma compara¸cão entre os vários algoritmos, a n´ıvel de tempo e da qualidade das solu¸cões aproximadas obtidas. Para finalizar o cap´ıtulo apresentamos uma s´ıntese dos resultados computacionais obtidos.

4.1 Relaxa¸c˜ao Lagrangeana para o Problema WMST

Nesta seçcão, considera-se a aplica¸cão da relaxa¸cão Lagrangeana ao Problema WMST, sendo esta uma técnica clássica usada como alternativa à relaxa¸cão de Pro- grama¸cão Linear para calcular limites inferiores para o valor ótimo e encontrar boas solu¸cões para Problemas de Otimiza¸cão com Restri¸cões.

Para obtermos a relaxa¸cão Lagrangeana da formula¸cão genérica para o problema WMST que se encontra na parte introdutória do Cap´ıtulo 3, associamos um multiplicador de Lagrange λ (λ ≥ 0) à restri¸cão de peso (3.3) e inclu´ımos essa restri¸cão, à moda Lagrangeana, na fun¸cão objetivo. Obtemos, deste modo o seguinte problema relaxado. (W M STλ) : −λW + min X (i,j)∈A (cij + λwij)xij s.a. x ∈ XT,

onde x = (xij) ∈ R|A| e XT descrevem o invólucro convexo das solu¸cões inteiras do Problema MST. Para todos os multiplicadores não negativos λ, as solu¸cões com estrutura em árvore para este problema relaxado dão-nos limites inferiores para o valor ótimo, isto é,

ϑ(W M STλ) ≤ ϑ(W M ST ).

O Problema relaxado W M STλ pode ser resolvido usando qualquer algoritmo polinomial conhecido para o Problema MST [6]. Se, para cada multiplicador λ ≥ 0, definirmos os valores ponderados pλ

ij = cij + λwij associados a cada arco (i, j) ∈ A e Tpλ for a correspondente ´arvore de suporte ponderada m´ınima com custo C(T_pλ) e peso

W (Tpλ), ent˜ao a fun¸c˜ao Lagrangeana pode-se escrever do seguinte modo

ϑ(W M STλ) = −λW + P (Tpλ),

onde P (Tpλ) = C(T_pλ) + λW (T_pλ). Seja T_λ∗ a árvore correspondente à solu¸cão ótima

do Problema WMST, com custo C(Tλ∗) e peso W (T_λ∗), ent˜ao consegue-se facilmente

mostrar que o valor da relaxa¸cão Lagrangeana é um limite inferior para o valor ótimo, isto é,

ϑ(W M STλ) = −λW + P (Tpλ)

= −λW + C(Tλ∗) + λW (Tλ∗)

= C(Tλ∗) + λ(W (T_λ∗) − W )

≤ C(Tλ∗)

= ϑ(W M ST ).

Para obter o melhor limite inferior há que resolver o Problema Dual Lagrangeano, isto é, precisamos de maximizar a fun¸cão ϑ(W M STλ) para todo λ ≥ 0, ou seja,

ϑ∗ := max ϑ(W M STλ) s.a. λ ≥ 0. Seja λ∗ _{o valor de λ que maximiza ϑ(W M ST}

λ).

De seguida apresentam-se duas propriedades da fun¸c˜ao ϑ(W M STλ).

Lema 4.1.

Para qualquer λ ≥ 0,dϑ(W M STλ)

dλ = W (Tλ)−W é um subgradiente de ϑ(W M STλ), onde a árvore de suporte Tλ corresponde à solu¸cão ótima do problema relaxado W M STλ.

Lema 4.2.

Para qualquer λ ≥ 0, ϑ(W M STλ) é uma fun¸cão linear por partes e côncava.

A cada árvore de suporte T com custo C(T ) e peso W (T ), podemos fazer corres- ponder a fun¸cão linear ϑ(λ) = C(T ) + λ(W (T ) − W ) com λ ≥ 0, a qual tem ordenada na origem C(T ) e declive W (T ) − W . Quando obtemos uma árvore não admiss´ıvel, temos que W (T ) > W , o que corresponde a um declive positivo. No caso da árvore ser admiss´ıvel, então W (T ) ≤ W , ou seja, W (T ) − W ≤ 0, o que corresponde a um declive negativo ou nulo. O gráfico da Figura 4.1, representa o invólucro superior de todas as retas correspondentes a todas as árvores de suporte do grafo G. Podemos observar que a fun¸cão ϑ(W M STλ) é linear por partes e côncava.

A relaxa¸cão Lagrangeana pode ser resolvida, na grande maioria das vezes, usando o Método do Subgradiente [59]. Este método come¸ca por inicializar o multiplicador de Lagrange, λ0. Depois, iterativamente, resolve o Problema relaxado W M STλk, atualiza,

em cada itera¸cão o multiplicador de Lagrange para λk+1 = max{0, λk+ skdk} usando a dire¸cão dk e o tamanho do passo sk e finalmente verifica se o critério de paragem é satisfeito.

Uma escolha apropriada para a dire¸c˜ao dk e para o tamanho do passo sk produz um m´etodo convergente.

Para a dire¸c˜ao dk podemos usar as ideias de Held, Wolfe e Crowder [36] dk=

X (i,j)∈A

wijxkij − W.

Como `a solu¸c˜ao xk _{= (x}k

ij) do problema relaxado W M STλk, corresponde a ´arvore de

suporte T_pλk, temos que P_(i,j)∈Awijxkij ´e o peso dessa ´arvore. Assim, temos que dk = W (Tpλk) − W.

Podemos usar o tamanho do passo sk de acordo com [59] sk= ρ

C(Tw) − ϑ(W M STλk)

(P_(i,j)∈Awijxkij − W )dk ,

onde 0 < ρ < 2, C(Tw) é um limite superior para aproximar o valor ótimo do Problema WMST e ϑ(W M STλk) = −λkW + P (Tpλk). Portanto, o tamanho do passo sk é dado

por

sk= ρ

C(Tw) − P (Tpλk) + λkW (W (Tpλk) − W )dk

Assim, em cada itera¸c˜ao atualiza-se o multiplicador λk e definem-se os valores ponderados pλk

ij = cij + λkwij associados a cada arco (i, j) ∈ A e obt´em-se uma ´arvore de suporte ponderada m´ınima Tp_λk com valor ponderado P (Tpλk) = C(Tpλk) + λkW (Tpλk).

No documento O problema da árvore de suporte de custo mínimo com restrições de peso (páginas 81-88)