Formula¸c˜ao de Peso Miller-Tucker-Zemlin

Nesta formula¸cão além das variáveis binárias xij ((i, j) ∈ A), que definem a topo- logia da solu¸cão, consideramos as variáveis pi, (i = 0, . . . , n − 1), as quais especificam o estado de peso do nodo i na árvore, isto é, indicam o valor do peso do caminho entre a origem e o nodo i, dado pela soma dos pesos dos arcos no caminho. A Formula¸cão de Peso Miller-Tucker-Zemlin (WMTZ) é a que se segue:

min X (i,j)∈A cijxij s.a. X i∈V xij = 1, j ∈ V \{0} (3.32) wijxij + pi ≤ pj+ W (1 − xij), (i, j) ∈ A (3.33) X (i,j)∈A wijxij ≤ W (3.34) 0 ≤ pi ≤ W, i ∈ V (3.35) xij ∈ {0, 1}, (i, j) ∈ A. (3.36)

As restri¸cões (3.32), (3.34) e (3.36) são as mesmas da formula¸cão anterior. As restri¸cões (3.33) são baseadas nas conhecidas restri¸cões de elimina¸cão de subcircuitos dadas em Miller et al. [46] para o Problema TSP. As restri¸cões (3.35) impõem limites nas variáveis pi, isto é, asseguram que a soma dos pesos no caminho entre o nodo origem e o nodo i é não negativo e nunca excede o limite W .

Proposi¸c˜ao 3.1.

As restri¸cões (3.33) evitam a existência de circuitos. Demonstra¸cão.

Somando as restri¸c˜oes (3.33) para os arcos de um circuito C (xij = 1, (i, j) ∈ C) obtemos P_(i,j)∈Cwij ≤ 0, o que contradiz o facto dos pesos wij serem positivos.

Para qualquer árvore de suporte de peso admiss´ıvel podemos sempre encontrar valores para as variáveis pj, ∀j ∈ V, tais que (3.33) e (3.35) são satisfeitas. Se pj é o peso do caminho da origem a qualquer nodo j, pj = pi+ wij para todos os arcos (i, j) tal que xij = 1 e p0 = 0. As restri¸cões (3.33) e (3.35), para todos os arcos (i, j) tal que xij = 0, estão impl´ıcitas pela restri¸cão de peso (3.34). Assim, as restri¸cões (3.33) e (3.35) são válidas para o Problema WMST.

Se xij = 1, ent˜ao wij + pi ≤ pj ⇒ pi < pj. Se xij = 0, ent˜ao pi ≤ pj+ W . 0 1 2 6 3 4 5 3 10 2 1 5 4 0 1 2 6 3 4 5 0 1 2 6 3 4 5 0 p0 = 0 1 p1 = 3 2 p2 = 10 6 p6 = 2 3 p3 = 15 4 p4 = 14 5 p5 = 4

Figura 3.3: Exemplo do c´alculo dos estados dos pesos dos nodos na ´arvore.

Na Figura 3.3 podemos observar como são obtidos os estados dos pesos de cada nodo na árvore. Por exemplo, o estado de peso do nodo 3 corresponde à soma dos pesos dos arcos (0, 2) e (2, 3), p3 = p2+ w23 = 10 + 5 = 15.

Se a solu¸cão do exemplo dado na Figura 3.3 for um caminho, com nodo origem 0 e nodo destino 6, o estado de peso do último nodo do caminho é igual ao peso da árvore de suporte obtida, p6 = W (T ) ≤ W .

Note-se que para a formula¸cão do Problema WMST não é necessário conhecer os estados de peso dos nodos na árvore, o que é importante é que se o arco (i, j) está na solu¸cão, a diferen¸ca máxima entre os estados de peso pj e pi seja superior ou igual a wij, isto é,

pj − pi ≥ wij, (i, j) ∈ A.

Substituindo as restri¸c˜oes de integralidade (3.36) por:

xij ≥ 0, (i, j) ∈ A, (3.37)

obtemos a relaxa¸cão linear da Formula¸cão WMTZ que designamos por WMTZL. Note que não é necessário incluir as restri¸cões xij ≤ 1 ((i, j) ∈ A), pois estas restri¸cões estão impl´ıcitas por (3.32).

Notamos que as Formula¸cões MTZLe WMTZLsão incomparáveis e para comprovar este facto apresentamos o seguinte exemplo.

Exemplo 3.1.

Na Tabela 3.1 podemos observar os valores obtidos pela relaxa¸cão linear das For- mula¸cões MTZ e WMTZ em algumas instâncias de 10 e 20 nodos dos três grupos de instâncias, Quase Caminhos, Aleatórias e Euclideanas.

Instˆancia MTZL WMTZL QC10-1 70,850 68,087 R10-2 11856,200 11861,700 E10-1 29161,700 29076,100 QC20-1 1004,530 1017,800 R20-1 25226,500 25308,900 E20-1 40383,700 40368,600

Tabela 3.1: Compara¸c˜ao dos valores obtidos usando as Formula¸c˜oes MTZL e WMTZL.

Nas instâncias QC10-1, E10-1 e E20-1 o valor obtido pela Formula¸cão MTZL é superior ao valor obtido pela Formula¸cão WMTZL, mas nas instâncias R10-2, QC20-1

e R20-1 verifica-se o contrário, ou seja, o valor obtido pela Formula¸cão MTZLé inferior ao valor obtido pela Formula¸cão WMTZL. Deste modo verificamos que as Formula¸cões MTZL e WMTZL não são comparáveis em termos de valor da relaxa¸cão linear.

Tal como foi feito anteriormente para as restri¸cões (3.22) da Formula¸cão MTZ, as restri¸cões (3.33) também podem ser fortalecidas (ver Desrochers e Laporte [15] e Gouveia [24]) da seguinte forma:

Desigualdades Levantadas 1 - WMTZl1

wjixji+ wijxij + pi ≤ pj + W (1 − xij), (i, j) ∈ A (3.38)

A validade destas restri¸cões decorre do facto das variáveis xij e xji não poderem tomar simultaneamente o valor 1. Se xji = 0, as restri¸cões (3.38) estão impl´ıcitas por (3.33) e no caso de xji = 1, temos que xij = 0, o que significa que existe um arco direcionado que liga os dois nodos j e i, sendo que a diferen¸ca máxima entre os estados de peso dos nodos i e j é inferior ou igual a W − wji, o que se verifica nas restri¸cões (3.38), pois para este caso pi− pj ≤ W − wji.

Desigualdades Levantadas 2 - WMTZl2

(W − wji)xji+ wijxij + pi ≤ pj + W (1 − xij), (i, j) ∈ A (3.39)

Temos que as variáveis xij e xji não podem tomar simultaneamente o valor 1. Se xji = 0, as restri¸cões (3.39) estão impl´ıcitas por (3.33) e no caso de xji = 1, temos que xij = 0, o que significa que existe um arco direcionado que liga os dois nodos j e i, sendo que a diferen¸ca máxima entre os estados de peso dos nodos i e j não excede o peso do arco (j, i), o que se verifica nas restri¸cões (3.39), pois para este caso pi − pj ≤ wji. Portanto, estas restri¸cões são válidas para o Problema WMST.

Desigualdades Levantadas 3 - WMTZl3 X

k∈V \{i,j}

wkjxkj+ wijxij + pi ≤ pj + W (1 − xij), (i, j) ∈ A (3.40)

Das restri¸c˜oes (3.32) temos que P_{k∈V \{i,j}}xkj ≤ 1. No caso de P

k∈V \{i,j}xkj = 0, entãoP_{k∈V \{i,j}}wkjxkj = 0 e as restri¸cões (3.40) estão impl´ıcitas por (3.33). Caso para algum k ∈ V \{i, j}, xkj = 1, P_{k∈V \{i,j}}wkjxkj = wkj e xij = 0, o que significa que existe um arco direcionado que liga os nodos k e j, e desta forma a diferen¸ca máxima entre os estados de peso dos nodos i e j não pode ser superior a W − wkj, o que está de acordo com as restri¸cões (3.40), onde para este caso se obtém pi− pj ≤ W − wkj < W . Portanto, estas restri¸cões são válidas para o Problema WMST.

Desigualdades Levantadas 4 - WMTZl4 X

k∈V \{i,j}

(wkjxkj+ wikxik) + wjixji+ wijxij + pi ≤ pj + W (1 − xij), (i, j) ∈ A (3.41)

Das restri¸c˜oes (3.32) temos que P_{k∈V \{i,j}}xkj ≤ 1 e da restri¸c˜ao (3.34) temos que P

k∈V \{i,j}wikxik < W , pois o nodo i pode ligar a todos os nodos exceto ao nodo j. Deste modo temos que o somat´orio P_{k∈V \{i,j}}(wkjxkj+ wikxik) toma valores inferiores ou iguais a W + wkj para algum k ∈ V \{i, j}.

SeP_{k∈V \{i,j}}(wikxik+ wkjxkj) = 0, as restri¸cões (3.41) estão impl´ıcitas por (3.38). SeP_{k∈V \{i,j}}(wikxik+ wkjxkj) = q ≤ W + wkj com q ∈ Z+, ao substituir nas restri¸cões (3.41) o somatório por q, obtemos q +wjixji+wijxij+pi ≤ pj+W (1−xij). Caso P

k∈V \{i,j}xkj = 1 temos que para algum k ∈ V \{i, j}, xkj = 1,P_{k∈V \{i,j}}wkjxkj = wkj e xij = 0, temos que q + wjixji+ pi ≤ pj+ W . Se xji = 0, ent˜ao pi− pj ≤ W − q < W e se xji = 1 temos que pi− pj ≤ W − q − wji < W . No caso de

k∈V \{i,j}xkj = 0, então xij = 1 e xji = 0, pelo que temos pj − pi ≥ q + wij. Assim, estas restri¸cões são válidas para o Problema WMST.

As relaxa¸c˜oes lineares das Formula¸c˜oes WMTZl1, WMTZl2, WMTZl3 e WMTZl4 designamos por WMTZl1L, WMTZl2L, WMTZl3L e WMTZl4L, respetivamente.

No documento O problema da árvore de suporte de custo mínimo com restrições de peso (páginas 41-46)