Apesar de as formas de caracterização do conjunto das soluções eficientes constituírem importantes resultados teóricos, elas não oferecem um meio explícito de apoio à decisão em problemas com objectivos múltiplos, em particular problemas de PLIMO e de PLIMMO.
Nas últimas décadas tem sido desenvolvido muito trabalho no sentido de criar métodos dedicados a problemas com múltiplos critérios. Mas, não podemos deixar de referir a pouca atenção que a programação inteira e inteira-mista multiobjectivo, e os problemas combinatórios multicritério em geral, tem merecido por parte dos investigadores, principalmente se comparada com a programação linear multiobjectivo com variáveis contínuas (PLMO) ou os modelos multiatributo (onde o conjunto das alternativas é definido explicitamente). Este facto é bem reconhecido no artigo de revisão de ULUNGU E TEGHEM (1994), em que os autores referem que o “espírito multiobjectivo” não prevalece ainda na optimização combinatória e há ainda muito a fazer nesta direcção. As dificuldades inerentes a estes problemas não são fáceis de lidar, o que constitui uma segunda razão para que a optimização combinatória multiobjectivo tenha sido substancialmente ignorada em comparação com a vasta literatura sobre problemas combinatórios monocritério.
De facto, as dificuldades resultantes da complexidade computacional destes problemas agravam-se com a passagem do mono ao multicritério. É que, enquanto o caso monocritério se resume a um problema de optimização, o conhecimento de soluções eficientes de um problema multiobjectivo envolve, em geral, a optimização de vários problemas escalarizantes de igual ou maior complexidade.
No contexto da programação matemática multiobjectivo, a atenção dos investigadores tem recaído essencialmente na PLMO. A introdução de fenómenos discretos em modelos lineares multiobjectivo conduz a problemas de PLIMO ou PLIMMO que não podem, em geral, ser tratados pelos métodos de PLMO. A construção de metodologias adequadas a problemas de PLIMO e PLIMMO envolve mais do que uma simples combinação de métodos de PLMO com técnicas de programação inteira. Esta questão acentua-se no caso de PLIMMO porque, além do conjunto das soluções admissíveis não ser convexo (tal como em PLIMO) não se pode usufruir das vantagens de uma situação em que todas as soluções são discretas. Existem, pois, abordagens multiobjectivo para problemas de PLIMO que não são aplicáveis a problemas de PLIMMO (exemplos dessas abordagens são o método de KLEIN E HANNAN (1982) que gera todas a
soluções eficientes do problema e o método interactivo de MARCOTTE E SOLAND (1980, 1986), que abordaremos mais à frente).
Os métodos multicritério podem classificar-se de acordo com o tipo de intervenção que é requerida do agente de decisão (AD). Podem distinguir-se três grandes classes de métodos conforme a articulação das preferências do AD é feita a priori, a posteriori, ou progressivamente.
No primeiro tipo, toda a informação de preferências é indicada pelo AD antes do tratamento computacional do problema. Apesar de existir modelação multiobjectivo, o problema é depois tratado através de um sistema de relações consolidadas, por exemplo, através da construção de uma função utilidade.
No segundo tipo, todo o conjunto das soluções eficientes (ou um subconjunto deste) é calculado e apresentado ao AD para avaliação. Estes métodos são habitualmente nomeados de métodos geradores.
No terceiro tipo, através da interacção com o AD há uma captura progressiva das suas preferências. Como moderador no diálogo pode existir um analista que auxilia o AD na interpretação de resultados e exposição das suas preferências, no caso de este não estar familiarizado com a metodologia ou o sistema computacional usado. Estes métodos – vulgarmente designados por métodos interactivos – alternam fases de cálculo com fases de diálogo com o AD. Nas fases de cálculo são construídas propostas (uma ou mais soluções) que são depois submetidas ao AD. O AD deve então reagir e indicar informação acerca das suas preferências que será incorporada na fase de cálculo seguinte.
A dificuldade em utilizar métodos do primeiro tipo reside na obtenção a priori de informação de preferências do AD para se poder construir um sistema de relações que agregue, numa única dimensão, todos os critérios explicitamente considerados no modelo.
Também os métodos geradores têm sido alvo de numerosas críticas devido ao elevado esforço computacional envolvido no cálculo exaustivo das soluções eficientes. É ainda relevante o facto de o AD ser “inundado” de alternativas no final do processo (eventualmente algumas delas com valores próximos entre si), o que dificulta a análise e uma escolha final.
No âmbito da PLIMO/PLIMMO, foi nas décadas de 70 e 80 que foi desenvolvida a maioria dos métodos geradores. Sem preocupação de exaustividade, referimos os seguintes métodos que julgamos serem os mais conhecidos:
– métodos de PASTERNAK E PASSY (1973), BITRAN (1977, 1979), DECKRO E WINKOFSKY
(1983), KIZILTAN E YUCAOGLU (1983) e WHITE (1984) para problemas de PLIMO com variáveis 0-1;
– métodos de KLEIN E HANNAN (1982), VILLAREAL E KARWAN (1981) e CHALMET ET AL. (1986) para problemas de PLIMO.
Observamos que grande parte dos métodos geradores de PLIMO se restringem a problemas com variáveis binárias, o que facilmente se compreende pela maior facilidade em usar técnicas de enumeração face a outros problemas inteiros ou inteiros-mistos. Este facto é visível no artigo de revisão de RASMUSSEN (1986) dedicado à programação 0-1 multiobjectivo. Há métodos que
tiram partido do caso bicritério, como por exemplo os métodos de PASTERNAK E PASSY (1973)
e CHALMET ET AL. (1986).
Alguns dos métodos referidos usam um processo construtivo, acrescentando iterativamente novas soluções ao conjunto eficiente. É o caso dos métodos de PASTERNAK E PASSY (1973), BITRAN (1977, 1979), KLEIN E HANNAN (1982), WHITE (1984) e CHALMET ET AL. (1986). Por exemplo, o método de KLEIN E HANNAN (1982) calcula todas as soluções eficientes de um problema usando um processo iterativo que restringe sucessivamente a região admissível através de restrições que não são satisfeitas pelas soluções eficientes anteriores. Estas restrições resultam de condições dos tipos ‘e’ e ‘ou’. Como a formalização de condições ‘ou’ é feita à custa de variáveis auxiliares binárias, a complexidade do problema monocritério que se resolve em cada iteração vai aumentando.
Outros métodos trabalham com soluções ‘potencialmente’ eficientes, e só quando termina o processo de cálculo é que se conhece quais são as soluções realmente eficientes – VILLAREAL E
KARWAN (1981), DECKRO E WINKOFSKY (1983) e KIZILTAN E YUCAOGLU (1983).
Grande parte dos métodos geradores que mencionámos estão resumidos no artigo de TEGHEM E KUNSCH (1986A) sobre metodologias de caracterização do conjunto eficiente em problemas de
PLIMO. As principais características destes métodos encontram-se também descritas no recente estudo de FERREIRA (1997) sobre métodos de PLIMO/PLIMMO. TEGHEM E KUNSCH (1986A)
concluem que não será errado dizer que nenhum destes métodos tem apetência para lidar convenientemente com problemas de grandes dimensões. Tal afirmação não constitui surpresa se atendermos à complexidade dos problemas de PLIMO. Importa ainda referir que nenhum destes métodos se aplica ao caso inteiro-misto. Apenas recentemente MAVROTAS E
DIAKOULAKI (1998) propuseram um método gerador para o caso 0-1 misto. A técnica consiste
em gerar e guardar soluções ‘potencialmente’ não dominadas e eliminar sucessivamente as dominadas através de comparações par a par, até que no final restem apenas as não dominadas. Os resultados computacionais apresentados neste artigo ilustram bem o esforço computacional envolvido na geração completa do conjunto eficiente: problemas aleatórios com 50 restrições, 25 variáveis contínuas, 25 variáveis binárias e 2 funções objectivo requereram um tempo computacional médio de 1 h 5 min num computador Pentium a 150 MHz. Reconhecendo a impraticabilidade desta abordagem para problemas maiores, os autores sugerem a intervenção do AD para restringir o âmbito da pesquisa, nomeadamente impondo limitações nos valores das funções objectivo e estipulando uma grelha de filtros no processo gerador.
Atendendo às dificuldades, já referidas, dos métodos geradores e o elevado número de soluções não dominadas que um problema pode ter, os métodos interactivos têm tido um desenvolvimento crescente. Eles ilustram a tendência actual da programação multicritério – uma evolução no sentido do apoio à decisão, ou seja, no sentido de ajudar o AD a encontrar uma solução de compromisso satisfatória. A classificação de um método como interactivo ou não interactivo nem sempre é inequívoca. Existem métodos que têm como intenção gerar um subconjunto representativo de soluções não dominadas – métodos geradores de acordo com a definição atrás – mas que poderiam ser facilmente incorporados numa estrutura interactiva. O método biobjectivo de SOLANKI (1991), que introduziremos adiante, é um bom exemplo de uma abordagem desse tipo.
Foi essencialmente no início da década de 80 que os investigadores começaram a dedicar-se ao desenvolvimento de métodos interactivos para PLIMO e PLIMMO. Cedo se aperceberam das vantagens dos métodos interactivos neste tipo de problemas, já reveladas anteriormente em outros problemas (como por exemplo, em problemas de PLMO) e que, por maioria de razão, se afiguram promissores nos problemas com variáveis inteiras. Este tipo de métodos permite reduzir o esforço computacional, especialmente relevante em problemas de PLIMO e de PLIMMO de grandes dimensões, e apoiam o AD na escolha da sua solução preferida. TEGHEM E KUNSCH (1986B), não reclamando exaustividade, fazem uma revisão de métodos interactivos
para PLIMO e PLIMMO publicados até ao final de 1985. Dos métodos apresentados, seis ao todo, o primeiro data de 1980 (VILLAREAL ET AL., 1980). Abrangendo o mesmo período de tempo, uma outra revisão deve-se a RASMUSSEN (1986), que se debruçou sobre a programação 0-1 multiobjectivo. Este trabalho classifica 27 métodos, não se confinando aos métodos interactivos. Na verdade, de entre os métodos apresentados e de acordo com a classificação de Rasmussen, menos de metade são interactivos e, enquanto que os não interactivos se aplicam, na sua maioria, exclusivamente ao caso 0-1, os métodos interactivos destinam-se a PLIMO e aplicam-se ao caso 0-1 por ser um caso particular desse. Uma revisão mais recente da área encontra-se na obra de FERREIRA (1997), onde se adopta a taxonomia dos métodos proposta
por CLÍMACO ET AL. (1997). Um outro trabalho de revisão específico à programação multiobjectivo inteira-mista deve-se a ALVES E CLÍMACO (1998A). Este trabalho inclui resumos
daqueles que julgamos serem os principais métodos interactivos de PLIMMO, classificando-os segundo o processo de cálculo das soluções eficientes e o tipo de interacção com o AD.
Nos métodos interactivos o conjunto das soluções não dominadas é progressivamente explorado através da alternância entre fases de cálculo e fases de diálogo, até que uma proposta seja considerada satisfatória pelo AD ou pelo algoritmo. Apesar de terem uma estrutura formal comum, podem distinguir-se algumas concepções que justificam o uso da interactividade.
Importa, pois, introduzir os maiores paradigmas seguidos pelos autores dos métodos interactivos.
Alguns autores admitem que as preferências do AD podem ser representadas por uma função
utilidade implícita. Por conseguinte, o processo interactivo tem como intenção descobrir o
‘óptimo’ (ou uma aproximação deste) de uma função utilidade implícita do AD. A convergência para esse ‘óptimo’ requer que o AD não se contradiga nas suas respostas ao longo do processo interactivo.
Em contraste com este tipo de abordagens, existem aquelas que têm como intenção permitir uma aprendizagem progressiva do conjunto das soluções não dominadas e das preferências do AD. Este tipo foi chamado de comunicação aberta em ALVES E CLÍMACO (1998A), designação esta
inspirado no conceito de ‘open exchange’ definido por FEYERABEND (1975). Estas abordagens não procuram a convergência para o ‘óptimo’ de uma função utilidade implícita, mas apenas ajudar o AD a evitar a pesquisa de soluções não dominadas que não são interessantes para ele, concentrando-se naquelas que vão ao encontro das suas preferências. Não há, assim, decisões irrevogáveis durante o processo de decisão, podendo o AD voltar atrás sempre que o desejar. O AD é chamado em cada interacção para dar algumas indicações para a pesquisa de novas soluções não dominadas, podendo eventualmente introduzir restrições adicionais (por exemplo, restrições temporárias nos valores das funções objectivo). O processo termina quando o AD entender que já conhece o suficiente acerca do conjunto das soluções não dominadas e encontrou uma solução de compromisso satisfatória. Usando a terminologia de ROY (1987), a “convergência” dá lugar à “criação”. O processo interactivo é um processo construtivo e não a busca orientada por algo pré-existente.
VANDERPOOTEN (1992) defende um modelo que se inicia com uma fase de aprendizagem, na
qual o AD aprende acerca do seu problema e das suas preferências através de uma exploração livre. Quando a estrutura de preferências estiver bem estabilizada, o AD pode prosseguir para uma fase
de procura onde a exploração é dirigida e tem como intenção detectar a melhor solução de
compromisso. Este processo pode ser retroactivo pelo que deve ser visto como uma sucessão de fases de aprendizagem e fases de procura. Segundo Vanderpooten, a maior parte dos procedimentos propostos na literatura favorecem, ou a fase de procura, ou a fase de aprendizagem. Esta distinção nas duas concepções do uso da interactividade não difere muito da que apresentámos no parágrafo anterior. Os procedimentos orientados para a fase de procura são aqueles em que é claramente assumido que a estrutura de preferências do AD é pré-existente e representada por uma função utilidade implícita ou, não se assumindo especificamente o tipo de estrutura preferencial, supõe-se que ela permanece estável. Ou seja, a concepção orientada para a procura ajuda o AD a determinar uma prescrição. Os procedimentos orientados para a fase de
estável. Projectados, acima de tudo, para apoiar a aprendizagem das preferências, estes procedimentos auxiliam o AD a explorar o conjunto das alternativas sob a forma de tentativa- erro. VANDERPOOTEN (1992) observa que é interessante a mistura dos dois tipos podendo ser
implementada por um mecanismo de “orientar por omissão”, livremente interrompido e re- orientado pelo AD.
Na secção seguinte introduziremos os métodos interactivos de PLIMO e PLIMMO encontrados na bibliografia consultada, caracterizando-os segundo o tipo de protocolo com o AD e o processo usado para o cálculo das soluções eficientes.