II.3.1 Revisão e categorização
Foi essencialmente nas décadas de 80 e 90 que surgiram as propostas de métodos interactivos para PLIMO e PLIMMO e, como podemos observar na lista apresentada na figura II.11, a investigação nesta área não é vasta. Sem pretensão de exaustividade, julgamos serem estes os principais métodos, ou pelo menos os mais divulgados pela comunidade científica da área.
(* Apesar de não interactivo, o método de SOLANKI (1991) poderia facilmente ser enquadrado num protocolo interactivo e por isso é aqui incluído).
Fig. II.11 – Métodos interactivos para PLIMO e PLIMMO mais divulgados.
Métodos interactivos para problemas de programação linear... inteira inteira-mista biobjectivo biobjectivo multiobjectivo multiobjectivo • Ramesh et al. (1990) • Shin e Allen (1994) • Marcotte e Soland (1980, 1986) • White (1985) • Gonzalez et al. (1985) • Gabbani e Magazine (1986) • Walker (1978) • Aksoy (1990) • Solanki (1991)*
• Ferreira et al. (1996), Ferreira (1997)
• Villareal et al. (1980), Karwan et al. (1985), Ramesh et al. (1986)
• Steuer e Choo (1983), Steuer (1986)
• Durso (1992)
• Karaivanova et al. (1993)
• Vassilev e Narula (1993), Narula e Vassilev (1994)
Dos métodos interactivos que se aplicam a problemas de PLIMO e/ou PLIMMO, podemos distinguir aqueles que se dedicam a problemas em que todas as variáveis são inteiras (PLIMO) e aqueles que se aplicam também ao caso inteiro-misto (PLIMMO) ou até a problemas mais genéricos (como por exemplo, o método de STEUER E CHOO, 1983). É esta a distinção que
fazemos na taxonomia apresentada na figura II.11, pelo que todos os métodos incluídos na classe ‘inteira-mista’ também tratam problemas da classe ‘inteira’. Não distinguimos o caso particular de variáveis binárias porque não encontrámos nenhum método interactivo dedicado exclusivamente a este tipo de problemas. Distinguimos ainda o caso ‘biobjectivo’ e o caso
‘multiobjectivo’, já que o primeiro é naturalmente de aplicabilidade mais limitada. Resta ainda
salientar o facto de que todos estes métodos se aplicam a problemas lineares, podendo alguns deles também tratar problemas não lineares. Estes casos serão explicitamente assinalados no resumo que se segue de cada um dos métodos.
De acordo com o exposto na secção II.1, o uso de somas pesadas das funções objectivo não permite alcançar soluções eficientes não suportadas, mas a consideração de restrições adicionais, designadamente nos valores das funções objectivo, já permite ultrapassar esta dificuldade. Alguns autores utilizam processos de cálculo que se enquadram neste tipo (grupo I). Muitos nem sequer consideram parametrização ao nível dos pesos mas apenas nas restrições adicionais, como veremos a seguir. Um outro tipo de processo de cálculo de soluções eficientes baseia-se na métrica de Tchebycheff (pesada e/ou aumentada) ou, mais genericamente, usa funções escalarizantes de realização que projectam pontos de referência no conjunto das soluções não dominadas (grupo II). As abordagens que usam este segundo tipo de processo de cálculo são em geral mais abrangentes, adequando-se a problemas inteiros, inteiros-mistos, lineares ou não lineares. Nestes dois grupos incluem-se quase todos os métodos interactivos. Exclui-se o método de SHIN E ALLEN (1994) que usa uma técnica particular de cálculo para problemas
biobjectivo.
Alguns dos métodos pressupõem uma função utilidade implícita, ou pelo menos uma estrutura de preferências pré-existente estável. Outros são orientados para a aprendizagem assumindo um protocolo de comunicação aberta com o AD.
Na breve descrição de cada um dos métodos tentaremos caracterizá-los segundo dois aspectos: processo de cálculo e tipo de protocolo interactivo. Dentro de cada classe definida na taxonomia da figura II.11, os métodos surgirão por ordem cronológica.
II.3.1.1 Programação linear inteira biobjectivo
RAMESH ET AL. (1990)
RAMESH ET AL. (1990) propõem um método interactivo dedicado a problemas de programação linear inteira biobjectivo (PLIB). Assume-se a existência de uma função utilidade implícita do AD, pseudo-côncava e não decrescente.
A metodologia emprega uma versão modificada do método de Zionts-Wallenius para problemas de PLMO (ZIONTS E WALLENIUS, 1983) num contexto de branch-and-bound. O
método de Zionts-Wallenius (de PLMO) usa somas pesadas das funções objectivo para o cálculo de soluções eficientes, reduzindo progressivamente o conjunto dos pesos através de restrições impostas a partir de informação de preferências do AD. Esta informação resulta da comparação de pares de soluções não dominadas e da avaliação de vectores de compensação (tendências de variação unitária das funções objectivo ao longo de arestas que têm origem numa solução não dominada e conduzem a outras soluções não dominadas).
O método de PLIB de Ramesh et al. começa por relaxar as condições de integralidade e aplicar o método de Zionts-Wallenius à relaxação linear do problema de PLIB. Se a solução considerada ‘óptima’ (para a função utilidade implícita) for inteira, então será também ‘óptima’ para o problema original. Caso contrário, é conduzida uma pesquisa de branch-and-bound. Partindo de uma solução incumbente inteira inicial z1 =
( )
12 1 1, z
z , obtida heuristicamente, a região
admissível relaxada é partida em 2 subconjuntos, mutuamente exclusivos. Estes subconjuntos são obtidos, respectivamente, pela adição das restrições f1(x)≥z1
1 e (f 1(x)≤z1
1− ε ∧ f
2(x)≥z2 1),
sendo ε um valor positivo pequeno. A pesquisa é então conduzida separadamente em cada subconjunto. Os problemas candidatos a investigação na pesquisa branch-and-bound são gerados através da imposição de limitações superiores ou inferiores em variáveis com valor não inteiro. Cada problema associado a um nodo da árvore de branch-and-bound é um problema biobjectivo relaxado linearmente que será resolvido usando a estratégia do método de Zionts-Wallenius. Além das restrições habituais do método de Zionts-Wallenius no conjunto dos pesos, podem também ser impostas outras restrições num problema candidato (biobjectivo relaxado). São restrições no espaço dos objectivos resultantes da comparação de um par de soluções não dominadas ou outras restrições de índole global que permitem excluir a avaliação de soluções adjacentes e vectores de compensação. Um nodo não será ramificado se a solução ‘óptima’ do respectivo problema candidato for preterida relativamente à solução incumbente ou se, pelo contrário, for inteira e preferida à incumbente, procedendo-se neste caso à actualização da solução incumbente.
Esta metodologia insere-se naquele que designámos de grupo I no que diz respeito à geração de soluções eficientes.