A categoria das coberturas ´ etale finitas

Defini¸c˜ao 3.1.6. Um morfismo de esquemas f ∶ Y ⟶ X ´e dito afim se f⁻¹(U)⊂Y for afim para cada aberto afim U ⊂X. Se f ´e afim e para cada U ⊂X aberto afim ti-vermos queO_Y(f⁻¹(U))´e umOX(U)-m´odulo finitamente gerado (via o homomorfismo canˆonico OX(U)⟶OY(f⁻¹(U))), dizemos que f ´efinito.

Note a diferen¸ca entre os conceitos de morfismo de tipo finito, definido anterior-mente, e de morfismo finito. A condi¸c˜ao de que um homomorfismo de aneis A ⟶ B torna B finitamente gerado como A-m´odulo ´e, em geral, bem mais forte do queB ser finitamente gerado comoA-´algebra.

Estaremos interessados na fam´ılia dos morfismos ´etale finitos f ∶Y ⟶X para um dado esquema conexoX.

Defini¸c˜ao 3.1.7. Seja X um esquema. Definimos FEt_X, a categoria dos esquemas

´etale finitos sobre X, como aquela em que os objetos s˜ao os morfismos ´etale finitos f ∶ Y ⟶ X (quando n˜ao houver d´uvida, nos referiremos simplesmente a Y), e cu-jos morfismos (f ∶ Y ⟶ X) ⟶ (g ∶ Z ⟶ X) s˜ao os morfismos de esquemas f ∶Y ⟶Z tais que f =g◦h, sendo as composi¸c˜oes feitas da maneira usual.

Se f ∶Y ⟶ X em FEt_X ´e sobrejetor, dizemos que Y ´e uma cobertura ´etale finita deX.

Note que a aplica¸c˜ao cont´ınua subjacente a um morfismo ´etale finito f ∶ Y ⟶X

´e aberta (por ser ´etale) e fechada (por ser finita), de modo que a imagem de f ´e uma componente conexa deX. Em particular, seX ´e conexo ent˜ao toda tal f (com Y ≠∅)

´e sobrejetora, de modo que neste caso nos referiremos a FEt_X tamb´em como a categoria dos recobrimentos ´etale finitos de X.

Proposi¸c˜ao 3.1.8. Todo morfismo de esquemas finito ´e fechado como aplica¸c˜ao de espa¸cos topol´ogicos.

Demonstra¸c˜ao. Veja [GroEGA2], p´ag. 112, Prop. 6.1.10.

Corol´ario 3.1.9. Todo morfismo ´etale finito ´e aberto e fechado. Em particular, se f ∶X ⟶S ´e ´etale finito e S ´e conexo, ent˜aof ´e sobrejetor.

Segue que se S ´e conexo, FEt_S ´e simplesmente a categoria das coberturas ´etale finitas de S. Em seguida, enunciamos um resultado de rigidez que justifica a analogia entre Cov(X), a categoria dos recobrimentos de um espa¸co topol´ogico X, e FEt_S para um esquema conexoS. Este resultado permitir´a a caracteriza¸c˜ao de automorfismos de coberturas ´etale finitas atrav´es de permuta¸c˜oes de conjuntos finitos, o que em ´ultima an´alise permitir´a a existˆencia de uma teoria de Galois an´aloga, em termos geom´etricos,

`

a teoria de Galois para espa¸cos de recobrimento.

Proposi¸c˜ao 3.1.10. Sejam f, g ∶X ⟶ Y morfismos de esquemas sobre um terceiro esquema S, com X conexo e Y ´etale finito sobre S. Se existe um ponto geom´etrico x∶Spec(k)⟶ X tal que f ◦x=g◦x, ent˜aof =g.

Demonstra¸c˜ao. Veja [Szam], p´ag. 166, Cor. 5.3.3.

Se φ ∶ A ⟶ B ´e uma extens˜ao de aneis, diremos que um ideal primo q⊲B est´a acima do ideal primo p⊲A se p=φ⁻¹(q) (ou p=q∩A, por abuso de nota¸c˜ao).

Defini¸c˜ao 3.1.11. Dizemos que uma extens˜ao de aneis φ ∶A⟶ B ´e inteira, ou que B ´einteiro sobre A, se todo b∈B ´e zero de algum polinˆomio mˆonico xⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹ +

⋅ ⋅ ⋅ +a₁x+a₀ ∈A[x].

Lema 3.1.12. (Going-up lemma) Se φ ∶ A ⟶ B ´e uma extens˜ao inteira de aneis, ent˜ao:

(a) Dadas cadeias de ideias primos p₁ ⊂p₂ ⊂...⊂p_n em A e q₁ ⊂q₂ ⊂...⊂q_m em B com 0 ≤ m < n e q_i acima de p_i para i ≤ m, ent˜ao ´e poss´ıvel completar a segunda para uma cadeiaq₁ ⊂q₂ ⊂...⊂q_n com q_i acima de p_i para i≤n.

(b) Se ideais primos q₁, q₂⊲B est˜ao acima dep⊲A, ent˜ao q₁ ⊄q₂ e q₂ ⊄q₁. Demonstra¸c˜ao. Veja [AtMac], p´ag. 62, Th. 5.11.

Corol´ario 3.1.13. Se φ ∶ A ⟶ B ´e uma extens˜ao inteira de aneis, ent˜ao para cada primop⊲Aexiste um primoq⊲B acima dep. Al´em disso,q´e maximal se, e somente se, p o ´e. Em outras palavras, Spec(B)⟶Spec(A)´e sobrejetora e leva pontos fechados (resp. n˜ao fechados) em pontos fechados (resp. n˜ao fechados).

Lema 3.1.14. (Prime avoidance lemma) Em um anel A, se um ideal I est´a contido em uma uni˜ao finita de ideais primos ⋃

1≤i≤n

Nesta se¸c˜ao, definiremos para um morfismo afim e sobrejetor f ∶ X ⟶ S e um subgrupo finitoG de Aut(X/S)(∶=Aut_Sch/S(f)) o chamado esquema quociente deX pela a¸c˜ao de G, denotado G\X. Por um lado, este ser´a o an´alogo ´algebro-geom´etrico da constru¸c˜ao topol´ogica do espa¸co quocienteG\Y de um recobrimento Y ⟶X pela a¸c˜ao de um subgrupo G⊂Aut_X(Y). Por outro lado, G\X ser´a uma generaliza¸c˜ao da constru¸c˜ao, para uma extens˜ao separ´avel de corposk ↪le um subgrupoG⊂Aut(l/k), do subcorpol^G⊂l fixado pela a¸c˜ao de G.

Para isso, denotaremos por AfSob(S) a subcategoria plena de Sch/S cujos objetos s˜ao os esquemas X ⟶^f S com f afim e sobrejetor. iso-morfismo canˆonico. Neste caso, denotamos ˜X por G\X.

Teorema 3.1.16. Para todoX ⟶^f S em AfSob(S)eG⊂Aut(X/S)subgrupo finito, existe o quocienteG\X.

Demonstra¸c˜ao. Construiremos G\X explicitamente, seguindo o roteiro abaixo.

Parte (i) Construiremos um espa¸co anelado G\X (j´a assim denotado, por abuso de nota¸c˜ao) munido de um morfismo (de espa¸cos anelados) π ∶X ⟶G\X.

Parte (ii)Provaremos queG\X´e um esquema e queπ´e um morfismo de esquemas afim e sobrejetor.

Parte (iii) Exibiremos ˜f ∶ G\X ⟶ S afim e sobrejetor tal que f = f˜◦ π, e provaremos a propriedade universal.

Parte (i)Como espa¸co topol´ogico, definaG\X como o espa¸co quociente de X pela a¸c˜ao de G, isto ´e, o conjunto das ´orbitas de G em X munido da topologia quociente dada pela proje¸c˜ao canˆonica π ∶ X ⟶ G\X. Obtemos assim o feixe de aneis π_∗OX

sobre G\X. Defina ent˜ao o pr´e-feixe OG\X por

OG\X(U)∶=(π_∗OX(U))^G =OX(π⁻¹(U))^G,

o subanel fixo pela a¸c˜ao de G.¹ Para que seja um feixe, devemos ter a exatid˜ao, para cada cobertura abertaU = ⋃

i∈I

U_i de um aberto U ⊂G\X, da sequˆencia

O_X(π⁻¹(U))^G ∏_iOX(π⁻¹(U_i))^G ∏_i,jOX(π⁻¹(U_i∩U_j))^G,

que ´e precisamente

O_X(π⁻¹(U))^G (∏_iOX(π⁻¹(U_i)))^G (∏_i,jOX(π⁻¹(U_i)∩π⁻¹(U_i)))^G.

Segue assim a exatid˜ao, usando que OX ´e feixe e que (como se verifica facilmente) a exatid˜ao ´e preservada tomando-se os subaneis fixados por G.

Com isso, OG\X ´e feixe e as inclus˜oes

OG\X =OX(π⁻¹(U))^G ⟶OX(π⁻¹(U)) tornamπ um morfismo de espa¸cos anelados.

1Dado um anel munido de uma a¸c˜ao de um grupo, digamos G×A ⟶ A, ´e imediato que o subconjunto fixoA^G´e um subanel deA. Para aneisAeBmunidos de a¸c˜oes deGe um homomorfismo φ∶A⟶B compat´ıvel com elas (isto ´e,gφ(a)=φ(ga)para todosg∈G,a∈A), est´a claro queφse restringe para um homomorfismoφ^G ∶A^G⟶B^G. Isso mostra queOG\X ´e um pr´e-feixe de aneis.

Parte (ii) Mostremos que existe uma cobertura de X por abertos afins da forma V ≅Spec(B) tais que

(a) π(V) ´e aberto em G\X, com π⁻¹(π(V))=V.

(b) (π(V),OG\X∣π(V))≅ Spec(B^G), com o morfismo de esquemas V ⟶ π(V) in-duzido da inclus˜aoB^G ⟶B.

Com isso, seguir´a queG\X´e um esquema e queπ ∶X ⟶G\X ´e um morfismo de esquemas afim e sobrejetor.

A existˆencia de uma tal cobertura seguir´a do fato de que f ∶ X ⟶ S ´e afim:

tome qualquer cobertura de S por abertos afins da forma U ≅ Spec(A), donde os V =f⁻¹(U)≅Spec(B)formam uma cobertura deX. A propriedade (a) segue do fato de que ϕ(V) = V para todo ϕ ∈ G, donde V cont´em inteiramente as ´orbitas de seus elementos, o que implicaπ⁻¹(π(V))=V. Pela defini¸c˜ao de topologia quociente, π(V)

´e aberto.

O item (b) ´e a parte central do teorema. Denote π(V) =G\V, e provemos inicial-mente que existe um diagrama comutativo de espa¸cos topol´ogicos

V =Spec(B) G\V

Spec(B^G),

˜ π

η

comη um homeomorfismo. ComoU eV s˜ao afins, podemos supor queG´e simples-mente um subgrupo finito de Aut(B/A), sendo sua a¸c˜ao em V dada por p ⟼ ϕ(p) para cada p⊲B primo. Com isso, para todop∈X temos p∩B^G=ϕ(p)∩B^G, o que define uma fun¸c˜aoη∶G\X ⟶Spec(B^G) levando a ´orbita dep∈X em p∩B^G. Note queB^G ⟶B ´e uma extens˜ao inteira, pois cadab∈B ´e um zero do polinˆonio mˆonico

∏

ϕ∈G

(x−ϕ(b))∈B^G[x]. Pelo Corol´ario 3.1.13, η ´e sobrejetora. Para que seja injetora, devemos mostrar que se p eq s˜ao ideais primos de B tais que p∩B^G =q∩B^G, ent˜ao existeϕ∈G tal que ϕ(p)=q. Suponha por absurdo que n˜ao exista uma tal ϕ. Ent˜ao

p≠ϕ(q) e portantop⊄ϕ(q)para cadaϕ∈G, pelo Lema 3.1.12, item (b). Pelo Lema 3.1.14, existe b ∈ p com b ∉ ⋃

ϕ∈G

ϕ(q). Seja b^′ = ∏

ϕ∈G

ϕ(b). Por um lado, b^′ ´e invariante porG, dondeb^′∈p∩B^G. Por outro, a hip´otese sobre b implica ϕ(b)∉q para todaϕ, e como q ´e primo segue que b^′ ∉ q, uma contradi¸c˜ao com p∩B^G = q∩B^G. Logo η ´e bijetora. Para que seja um homeomorfismo, note (conforme o diagrama acima) que os fechados deG\V s˜ao (por defini¸c˜ao) aqueles subconjuntos cuja pr´e-imagem em Spec(B)

´e fechada. Mas o mesmo vale para Spec(B^G), usando que Spec(B) ⟶ Spec(B^G) ´e sobrejetora e que a imagem de V(I)⊂Spec(B)´e V(I∩B^G)⊂Spec(B^G).

Mostremos que os feixes η_∗OG\V e OSpec(B^G) sobre Spec(B^G) s˜ao os mesmos, o que implica que G\V ´e um esquema afim. Note que η_∗OG\V = η_∗(π˜_∗OSpec(B))^G = ((η◦π)∗OSpec(B))^G. Mas este ´ultimo ´e, como feixe de grupos abelianos, o n´ucleo do morfismo

θ ∶(η◦π)∗OSpec(B) ⟶⨁

ϕ∈G

(η◦π)∗OSpec(B)

deOSpec(B^G)-m´odulos quasi-coerentes dado pors ⟼(s−ϕ(s))ϕ∈G para toda se¸c˜ao s. (Aqui, (η◦π)_∗OSpec(B) ´e quasi-coerente sobre Spec(B^G) por ser induzido do ho-momorfismo B^G ⟶ B. Como QCoh(Spec(B^G)) ´e abeliana, a soma direta tamb´em

´e quasi-coerente. Para que θ − que ´e um morfismo de feixes de grupos abelianos − seja morfismo deOSpec(B^G)-m´odulos, ´e suficiente verificar que cada(η◦π)∗OSpec(B) ⟶ (η◦π)∗OSpec(B) dado por s ⟼ ϕ(s) ´e um morfismo de OSpec(B^G)-m´odulos. Mas isso segue do fato de que a a¸c˜ao deG sobre o feixe estrutural de Spec(B^G)´e trivial.) Logo OSpec(B^G) ⟶ η_∗OG\V ´e um morfismo de feixes quasi-coerentes (de aneis) induzindo isomorfismo entre se¸c˜oes globais (OSpec(B^G)(G\V) ≅ B^G ≅ η_∗OG\V(G\V)). A equi-valˆencia entre QCoh(Spec(B^G) e B^G-Mod implica que OSpec(B^G) ⟶ η_∗OG\V ´e um isomorfismo, o que conclui o item (b).

Parte (iii)Mostremos que existe ˜f completando o diagrama

X G\X

S.

π

f f˜

Observe que basta mostrar que, para cada aberto afim U ⊂S, ´e poss´ıvel completar de maneiraunica´ o diagrama

f⁻¹(U)≅Spec(B) π(f⁻¹(U))≅Spec(B^G)

U ≅Spec(A),

o que tamb´em implicar´a que ˜f ´e ´unica. (Essencialmente, use que um morfismo de feixes sobre uma base de S estende-se univocamente para um morfismo entre os feixes correspondentes, conforme o Teorema 2.1.16.) Mas isso segue do fato de que G age em B fixando a imagem de A, donde A ⟶ B se fatora de maneira ´unica como A ⟶ B^G ↪ B. ´E imediato que a ˜f obtida ´e afim e sobrejetora. A propriedade universal segue de forma idˆentica, substituindo-se f ∶ X ⟶ S pela φ ∶ X ⟶ Y desejada e notando queφ tamb´em ´e um morfismo afim.

Lema 3.1.17. Sejam g ∶X ⟶S ef ∶Y ⟶X morfismos de esquemas. Se g◦f eg s˜ao ´etale (resp. ´etale finitos), ent˜aof ´e ´etale (resp. ´etale finito).

Demonstra¸c˜ao. Veja [Szam], p´ag. 166, Lem. 5.3.2.

Proposi¸c˜ao 3.1.18. SeS ´e um esquema conexo, ent˜ao um morfismo afim e sobrejetor f ∶ X ⟶ S ´e uma cobertura ´etale finita se, e somente se, existe um morfismo finito, localmente livre e sobrejetor g ∶ Y ⟶ S tal que X ×S Y ´e isomorfo a uma uni˜ao disjunta finita de c´opias de Y, com a mudan¸ca de base X×SY ⟶Y correspondendo

`

a proje¸c˜ao canˆonica. Dizemos que X×SY ´e umacobertura trivial de Y. Demonstra¸c˜ao. Veja [Szam], p´ag. 162, Prop. 5.2.9.

Proposi¸c˜ao 3.1.19. Sejam f ∶ X ⟶ S uma cobertura ´etale finita, com X conexo, e G ⊂ Aut(X/S) um subgrupo finito. Ent˜ao π ∶ X ⟶ G\X e ˜f ∶ G\X ⟶ S s˜ao ambos coberturas ´etale finitas.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 3.1.17, basta provar que ˜f ´e ´etale finito. Pela Proposi¸c˜ao 3.1.18, existeg ∶Y ⟶S finito, localmente livre e sobrejetor tal queX×SY ´e isomorfo aI×Y para algum conjunto finito I, conforme o diagrama

I×Y

X Y

S.

p q

f g

A ideia ´e mostrar que o quociente de X por G induz um quociente de I ×Y por G que permanece sendo uma cobertura trivial deY. Associando a a¸c˜ao de G em X `a sua a¸c˜ao trivial em Y, obtemos uma a¸c˜ao canˆonica de Gem X×SY, que denotaremos ϕ∈G⟼ϕ˜∈Aut(X×SY/S). Por constru¸c˜ao, temos que para cada ϕo diagrama

I×Y I×Y

Y

q

˜ ϕ

q

comuta, donde ˜ϕcorresponde simplesmente a uma permuta¸c˜ao dos elementos deI, e segue facilmente queG\(I ×Y)≅(G\I)×Y, onde G\I ´e o conjunto das G-´orbitas deI. Por outro lado, para cada ˜ϕ o diagrama

X×SY X×S Y

X X

S

p

˜ ϕ

p ϕ

comuta, o que fornece um morfismo, denotadoG\p, tornando

X×SY G\(X×SY)

X G\X

S

p

˜ ϕ

G\p ϕ

comutativo. Obtemos assim um diagrama comutativo

G\(X×SY)

G\X Y

S,

G\p

f˜ g

no qual denotamos η ∶ G\(X ×S Y) ⟶ S. Afirmo que o morfismo canˆonico G\(X×S Y)⟶ (G\X)×SY ´e um isomorfismo. Isso concluir´a a demonstra¸c˜ao, pois (G\X)×S Y ser´a ent˜ao uma cobertura trivial de S, e bastar´a aplicar a rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 3.1.18. Como f eg s˜ao afins, para qualquer aberto afim U ≅Spec(A)de S podemos escreverf⁻¹(U)≅Spec(B)eg⁻¹(U)≅Spec(C). Ent˜ao ˜f⁻¹(U)≅Spec(B^G), de modo que ˜f⁻¹(U)×Ug⁻¹(U)≅Spec(B^G⊗AC). Ainda,

η⁻¹(U)≅G\(f⁻¹(U)×U g⁻¹(U))≅G\Spec(B⊗AC)≅Spec((B ⊗AC)^G). Com isso, o diagrama de esquemas

η⁻¹(U)

f˜⁻¹(U)×Ug⁻¹(U)

f˜⁻¹(U) g⁻¹(U)

U

corresponde ao diagrama canˆonico de aneis (B⊗AC)^G

B^G⊗AC

B^G C

A.

(Usamos aqui que C = C^G, j´a que G age trivialmente em Y.) Assim, para que G\(X ×S Y) ⟶ (G\X)×S Y seja um isomorfismo ´e suficiente que, para alguma cobertura de S por abertos U ≅ Spec(A), o homomorfismo B^G⊗AC ⟶ (B ⊗AC)^G acima seja um isomorfismo. Como g ∶ Y ⟶ S ´e localmente livre, podemos escolher abertos U suficientemente pequenos tais que C seja um A-m´odulo livre. Com isso, em A-Mod temos

(B ⊗AC)^G≅(B⊗A⨁

j∈J

A)^G≅⨁

j∈J

(B^G⊗AA)^G ≅⨁

j∈J

B^G

≅⨁

j∈J

(B^G⊗AA)≅B^G⊗A⨁

j∈J

A≅B^G⊗AC,

logo o homomorfismo de aneis correspondente tamb´em ser´a um isomorfismo. Isto conclui a prova.

No documento Daniel de Almeida Souza Hugo Luiz Mariano (orientador) MAT0148 Introdução ao Trabalho Científico (páginas 78-88)