2.3 Algumas constru¸c˜ oes na categoria dos esquemas
2.3.3 Morfismos planos, n˜ ao-ramificados e ´ etale
Nesta se¸c˜ao, introduziremos alguns conceitos fundamentais ao estudo local de um es-quema. Inicialmente, definiremos os conceitos de cone tangente e espa¸co tangente a um ponto de uma variedade sobre um corpo algebricamente fechadok. Ambos podem ser definidos de diversas maneiras, adequadas a diferentes aplica¸c˜oes. Uma abordagem geom´etrica tradicional, como veremos, apesar de intuitiva depende de escolhas artificiais e portanto impossibilita um tratamento unificado de grandes classes de variedades. Por outro lado, ´e poss´ıvel dar defini¸c˜oes alg´ebricas simples (ainda que n˜ao imediatamente intuitivas) em termos do anel local do ponto em quest˜ao. Essa abordagem ´e devida-mente funtorial, fornecendo facildevida-mente, a partir de um morfismoX ⟶Y comx⟼y, morfismos entre os cones (e espa¸cos) tangentes axe ya partir de OY,y ⟶OX,x. Com isso, tamb´em ´e poss´ıvel obter uma inclus˜ao canˆonica do cone tangente no espa¸co tan-gente correspondente. Uma singularidade ser´a definida como um ponto para o qual esta inclus˜ao n˜ao ´e um isomorfismo. O espa¸co tangente, apesar de mais grosseiro, possui ambas uma estrutura de esquema e uma dek-espa¸co vetorial. Outra vantagem not´avel das defini¸c˜oes alg´ebricas ´e que, al´em disso, elas podem aplicadas em qualquer esquema.
Constru¸c˜ao 2.3.18. Sejam X uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado kex∈X um ponto fechado. Escolha uma vizinhan¸ca aberta afimU dex, de modo que podemos expressar U ≅ Spec(k[x1,...,xI n]) com x correspondendo (via Nullstellensatz) a um ideal maximal (X1 −a1, ..., Xn−an) (onde Xi =xi+I). Podemos supor que a1 = ...= an = 0, fazendo uma transla¸c˜ao se necess´ario. (Isto ´e, tomamos J⊲k[x1, ..., xn] obtido substituindo-sexi porxi+ai em cada elemento deI, e utilizamos o isomorfismo
k[x1,...,xn] Em princ´ıpio, n˜ao sabemos se um tal objeto independe (a menos de isomorfismo) das escolhas de U e de k[x1,...,xI n]. Isto seguir´a a partir de uma defini¸c˜ao intr´ınseca do cone tangente, e de uma demonstra¸c˜ao de que ele ´e isomorfo a qualquer outro esquema constru´ıdo pelo procedimento acima.
Antes, relembramos brevemente uma importante constru¸c˜ao da ´algebra comutativa.
Dados um anelA e um ideal pr´oprioI⊲A, oanel graduado associado aAcom respeito aI, denotado gr(A, I), ´e a soma direta (de grupos abelianos)
munida da estrutura de anel induzida canonicamente de A. Consideramos para gr(A, I) a grada¸c˜ao cujos elementos homogˆeneos de grau n s˜ao aqueles na imagem de
In gr(B, J) a partir dos homomorfismos de grupos abelianos In
In+1 ⟶ J
n
Jn+1. Em parti-cular, a opera¸c˜ao (A,m) ⟼ gr(A,m) define um funtor da categoria dos aneis locais
(com morfismos os homomorfismos locais) na categoria dos aneis.
Defini¸c˜ao 2.3.19. Sejam X uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado k e x ∈X um ponto fechado. O cone tangente a X em x, denotado CxX, ´e o esquema Spec(gr(OX,x,mx)).
Pela observa¸c˜ao anterior `a defini¸c˜ao, um morfismo f ∶ X ⟶ Y de variedades so-bre k induz, para cada ponto fechado x ∈ X, um morfismo Spec(gr(OX,x,mx) ⟶ Spec(gr(OX,f(x),mf(x)) entre cones tangentes. Al´em disso, tal morfismo ´e funtorial so-bre a categoria das variedades soso-brek com um ponto fechado distinguido.
Proposi¸c˜ao 2.3.20. Sejam X uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado k e x∈X um ponto fechado. Ent˜ao o cone tangente CxX, como definido em 2.3.19, ´e isomorfo a qualquer esquema Spec(k[xI1,...,xn]
hom ) dado pela Constru¸c˜ao 2.3.18.
Demonstra¸c˜ao. Veja [Mumf], p´ag. 154.
Constru¸c˜ao 2.3.21. Sejam X uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado k e x ∈ X um ponto fechado. Como na Constru¸c˜ao 2.3.18, escolha uma vizinhan¸ca aberta afimU ≅Spec(k[x1,...,xI n])dexemX, comxcorrespondendo (via Nullstellensatz) ao ideal maximal (x1, ..., xn).
Para cada f ∈ k[x1, ..., xn], denote por flin o termo linear f (note que por cons-tru¸c˜ao, o termo constante de f ´e nulo). Seja Ilin = (flin ∶ f ∈ I)⊲ k[x1, ..., xn]. Gostar´ıamos de definir oespa¸co tangente a X em x como Spec(k[x1I,...,xn]
lin ).
Como no caso do cone tangente, n˜ao sabemos se um tal objeto independe (a menos de isomorfismo) das escolhas de U e de k[x1,...,xn]
I .
Para a defini¸c˜ao intr´ınseca do espa¸co tangente, relembramos que a´algebra sim´etrica associada a um espa¸co vetorial V sobre um corpo k qualquer, denotada sym(V), ´e o anel obtido introduzindo-se a opera¸c˜ao de produto canˆonica no quociente do grupo abeliano
∞
⨁
n=0
V⊗n=k⊕V ⊕(V ⊗V)⊕(V ⊗V ⊗V)⊕...
pelo subgrupo gerado pelos tensores da forma x⊗y−y⊗x. A ideia por tr´as da necessidade deste conceito na discuss˜ao dos espa¸cos tangentes ´e simples. Gostar´ıamos
de expressar osk-espa¸cos vetoriais de forma canˆonica na categoria dos esquemas, sem quaisquer escolhas artificiais de sistemas de coordenadas. Ocorre que para um tal V, a ´algebra sim´etrica sym(Homk(V, k)) sobre seu espa¸co dual ´e isomorfa ao anel de polinˆomios sobrektendo como vari´aveis os elementos de uma base arbitr´aria deV. Isto
´e, sym(Homk(V, k))pode ser identificado com ak-´algebra de fun¸c˜oes polinomiais sobre V em qualquer sistema de coordenadas. Com isso, definimos oesquema associado a um k-espa¸co vetorial V comoVSch =Spec(sym(Homk(V, k))). Observe que tal constru¸c˜ao
´e funtorial em V.
Defini¸c˜ao 2.3.22. Como sugerido acima, definiremos duas vers˜oes intr´ınsecas, uma como espa¸co vetorial e outra como esquema, das no¸c˜oes de espa¸co tangente e espa¸co cotangente. SejamX uma variedade sobre um corpo algebricamente fechadok ex∈X um ponto fechado.
Chamaremos de espa¸co cotangente a X em x ambos o OX,x
mx
≅ k-espa¸co vetorial T˜xX ∶= mx
m2x e o esquema ˜TxXSch =Spec(sym(Homk(mmx2 x, k)).
Chamaremos de espa¸co tangente a X em x ambos o k-espa¸co vetorial TxX ∶= Homk(mmx2
x
, k) e o esquema TxXSch =Spec(sym(mmx2 x)).3
Observe que um morfismo f ∶ X ⟶ Y de variedades sobre k induz, para cada ponto fechado x∈X, uma aplica¸c˜aok-linear
T˜f(x)Y = mf(x)
m2f(x) ⟶T˜xX = mx m2x
entre espa¸cos cotangentes. A passagem aos espa¸cos duais fornece uma aplica¸c˜ao k-linear TxX ⟶ Tf(x)Y. Como os funtores Spec e de dualiza¸c˜ao s˜ao ambos contrava-riantes, obtemos morfismos de esquemasTxXSch ⟶Tf(x)YSch e ˜Tf(x)YSch ⟶T˜xXSch. Como no caso dos cones tangentes, tal morfismo ´e funtorial sobre a categoria das vari-edades sobrek com um ponto fechado distinguido.
Proposi¸c˜ao 2.3.23. Sejam X uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado k e x∈X um ponto fechado. Ent˜ao o espa¸co tangente TxX, como definido em 2.3.22,
´e isomorfo a qualquer esquema Spec(k[x1I,...,xn]
lin )dado pela Constru¸c˜ao 2.3.21.
3Utilizamos aqui o fato de que X ´e uma k-variedade, o que implica que mmx2
x tem dimens˜ao finita sobreke portanto ´e canonicamente isomorfo ao seu bidual.
Demonstra¸c˜ao. Veja [Mumf], p´ag. 166.
Para cada ponto fechadox∈X, o cone tangente aX em xpode ser imerso canoni-camente no espa¸co tangente correspondente. Note que j´a no contexto das constru¸c˜oes 2.3.18 e 2.3.21, uma escolha de I ⊲k[x1, ..., xn] determina uma inclus˜aoIlin ⊂Ihom, e portanto um morfismo
Spec(k[x1, ..., xn]
Ihom )⟶ Spec(k[x1, ..., xn] Ilin ). Com as defini¸c˜oes intr´ınsecas, a inclus˜ao k-linear mx
m2x
⟶ ⨁∞n=0 mnx
mn+1x induz um k-homomorfismo sobrejetor
sym(mx
m2x)⟶gr(OX,x,mx), e portanto um morfismo
CxX=Spec(gr(OX,x,mx))⟶TxX =Spec(sym(mx m2x)).
Defini¸c˜ao 2.3.24. Dizemos que um ponto fechado x∈ X ´e regular se CxX ⟶TxX
´e um isomorfismo. Caso contr´ario, x´esingular. Se todo ponto fechado deX ´e regular, dizemos que X ´e um esquema regular. Caso contr´ario, X ´e dito singular.
Defini¸c˜ao 2.3.25. Dizemos que um morfismo f ∶Y ⟶X entre variedades sobre um corpo algebricamente fechadok´e´etale em um ponto fechadoy∈Y seCyY ⟶ Cf(y)X
´e um isomorfismo. Se f ´e ´etale em todo y∈Y fechado, dizemos simplesmente quef ´e
´etale.
O conceito de morfismo ´etale ´e sutil, admitindo uma s´erie de caracteriza¸c˜oes e ana-logias com constru¸c˜oes da topologia, da geometria diferencial, da geometria anal´ıtica e at´e mesmo da teoria dos n´umeros. Dado o escopo deste trabalho, n˜ao discutiremos a fundo essas poss´ıveis rela¸c˜oes. Ser´a fundamental, contudo, termos uma defini¸c˜ao de morfismo ´etale v´alida para esquemas quaisquer (n˜ao apenas variedades sobre corpos algebricamente fechados) e que possa ser expressa algebricamente em uma forma con-cisa, adequada a demonstra¸c˜oes−ainda que n˜ao t˜ao pr´oxima da intui¸c˜ao que motivou
o conceito em um primeiro momento. Para obtermos uma tal defini¸c˜ao geral, que coin-cidir´a com aquela dada acima para variedades sobre corpos algebricamente fechados, introduziremos alguns conceitos preliminares.
Defini¸c˜ao 2.3.26. Um homomorfismo de aneis φ ∶ A ⟶ B ´e dito plano se com isto B se torna um A-m´odulo plano. Mostra-se facilmente que f ´e plano se, e somente se, para todop⊲B primo o homomorfismo Aφ−1(p) ⟶Bp´e plano; ou ainda, se, e somente se,Aφ−1(m) ⟶Bm ´e plano para todo m⊲B maximal.
Dizemos que um morfismo de esquemas f ∶ Y ⟶ X ´e plano se dados abertos U ≅ Spec(A) ⊂ X, V ≅ Spec(B) ⊂ Y com f(V) ⊂ U, o homomorfismo A ⟶ B ´e plano. Dizemos que f ´e plano em y ∈Y se OX,f(y) ⟶OY,y ´e plano. Das observa¸c˜oes acima, f ser´a plano se, e somente se, for plano em cada y∈ Y, se, e somente se, o for em cada y fechado.
Defini¸c˜ao 2.3.27. (Generaliza¸c˜ao da Defini¸c˜ao 2.3.1) Seja φ ∶ A ⟶ B um homo-morfismo de aneis. Dizemos que φ ´e
(i) De tipo finito se φ torna B uma A-´algebra finitamente gerada. (Isto ´e, existe um isomorfismo B ≅ A[x1,...,xn]
I , para algum ideal I, pelo qual φ corresponde ao homo-morfismo canˆonico A⟶ A[x1,...,xn]
I ).
(ii) De apresenta¸c˜ao finita se for de tipo finito e, na nota¸c˜ao de (i), for poss´ıvel tomarI =(f1, ..., fm) para certosf1, ..., fm ∈A[x1, ..., xn].
Note que se A for noetheriano, ent˜ao pelo teorema da base de Hilbert (1.0.1) A[x1, ..., xn] tamb´em o ´e, de modo que todo f ∶ A ⟶ B de tipo finito ser´a auto-maticamente de apresenta¸c˜ao finita.
Defini¸c˜ao 2.3.28. Dizemos que um morfismo de esquemas f ∶ Y ⟶ X ´e quasi-compacto se, para todo U ⊂X aberto quasi-compacto, f−1(U)for quasi-compacto.
As pr´oximas defini¸c˜oes s˜ao generaliza¸c˜oes naturais dos conceitos de ´algebra comu-tativa definidos acima para a categoria dos esquemas (onde a ´algebra comutativa ´e entendida como uma instˆancia local dos morfismos de esquemas).
Defini¸c˜ao 2.3.29. Seja f ∶Y ⟶X um morfismo de esquemas. Dizemos que f ´e (i) De tipo finito em y ∈ Y (resp. de apresenta¸c˜ao finita em y) se existem V ≅ Spec(B) vizinhan¸ca aberta de y e U ≅ Spec(A) vizinhan¸ca aberta de f(y) em X tais que f(V) ⊂ U e o homomorfismo correspondente A ⟶ B ´e de tipo finito (resp. de apresenta¸c˜ao finita).
(ii) Localmente de tipo finito (resp. localmente de apresenta¸c˜ao finita) se ´e de tipo finito (resp. de apresenta¸c˜ao finita) em todo y∈Y.
(iii)Detipo finito (resp. deapresenta¸c˜ao finita) se ´e localmente de tipo finito (resp.
localmente de apresenta¸c˜ao finita) e quasi-compacto.
Note que todo morfismo de variedades sobre um corpok qualquer ´e de apresenta¸c˜ao finita. De fato, fixe um tal morfismo f ∶ Y ⟶ X. Localmente, podemos expressar f por V ⟶ U, onde f(V) ⊂ U e V ≅ Spec(B), U ≅ Spec(A) s˜ao abertos afins. A e B s˜ao k-´algebras finitamente geradas. Em particular, B ´e noetheriano e finitamente gerado comoA-´algebra, dondeA ⟶B´e de apresenta¸c˜ao finita. Para quef seja quasi-compacto, basta notar que toda variedade ´e um esquema noetheriano, o que implica que todo aberto deX ´e quasi-compacto.
Defini¸c˜ao 2.3.30. Um homomorfismo local de aneis locais φ ∶ (A,m) ⟶ (B,n) ´e dito n˜ao-ramificado se A
m ⟶ B
φ(m)B ´e uma extens˜ao finita e separ´avel de corpos (equi-valentemente,φ(m)B =n e A
m ⟶ B
n ´e uma extens˜ao finita e separ´avel de corpos).
Dizemos que um morfismo de esquemas f ∶Y ⟶X ´e n˜ao-ramificado em y∈Y se o homomorfismo OX,f(y) ⟶ OY,y ´e n˜ao-ramificado. Dizemos que f ´e n˜ao-ramificado se ´e localmente de tipo finito e n˜ao-ramificado em todo y ∈ Y. Novamente, basta que isto valha para cada y ∈ Y fechado. Se al´em disso f for localmente de apresenta¸c˜ao finita, dizemos que ´eG-n˜ao-ramificado. Como toda ´algebra de tipo finito sobre um anel noetheriano ´e de apresenta¸c˜ao finita, temos que, na nota¸c˜ao acima, para X localmente noetheriano f ser´a n˜ao-ramificado se, e somente se, for G-n˜ao-ramificado. Este caso ser´a o de maior interesse.
Fornecemos ent˜ao uma defini¸c˜ao puramente alg´ebrica de morfismo ´etale, que coin-cidir´a com a primeira no caso de variedades sobre k algebricamente fechado.
Defini¸c˜ao 2.3.31. Dizemos que um morfismo de esquemas f ∶ Y ⟶ X ´e ´etale em y∈Y sef ´e plano emye n˜ao-ramificado emy. Dizemos quef ´e´etale se for localmente de apresenta¸c˜ao finita e ´etale em cada y ∈ Y (equivalentemente, em cada y fechado).
Das defini¸c˜oes acima, segue que f ´e ´etale se e somente for plano e G-n˜ao-ramificado.
Dizemos que um homomorfismo de aneisφ∶A ⟶B ´e ´etale se Spec(B)⟶Spec(A)
´e ´etale.
Proposi¸c˜ao 2.3.32. Sejam f ∶ Y ⟶ X um morfismo entre variedades sobre um corpo k algebricamente fechado e y ∈ Y fechado. Ent˜ao f ´e ´etale em y ∈ Y como morfismo de variedades (Defini¸c˜ao 2.3.25) se, e somente se, o ´e como morfismo de esquemas (Defini¸c˜ao 2.3.31). Em particular, como todo morfismo de variedades ´e de apresenta¸c˜ao finita, segue que f ´e ´etale como morfismo de variedades se, e somente se, o ´e como morfismo de esquemas.
Demonstra¸c˜ao. Veja [MilLect], p´ag. 20, Prop. 2.9.
Em seguida, enunciamos uma s´erie de importantes propriedades satisfeitas pelos morfismos ´etale.
Proposi¸c˜ao 2.3.33. Para todo corpo k, um morfismo f ∶ Y ⟶ Spec(k) ´e ´etale se, e somente se, Y ≅ ∐i∈ISpec(ki), onde {ki}i∈I ´e uma fam´ılia (possivelmente infinita) de extens˜oes finitas e separ´aveis de k, com f fornecida pelo coproduto dos morfismos canˆonicos Spec(ki)⟶Spec(k).
Demonstra¸c˜ao. Se Y ⟶f Spec(k) tem a forma acima, ´e imediato que f ´e ´etale. Re-ciprocamente, suponha que f seja ´etale. Podemos ent˜ao cobrir Y por abertos afins da forma U ≅Spec(A), onde A ´e umak-´algebra finitamente gerada tal que todas as suas localiza¸c˜oes Ap em ideais primos s˜ao extens˜oes finitas e separ´aveis de k. Por um lado, o fato deAp ser um corpo para todo⊲A primo implica quep´e minimal entre os ideais primos de A (pois os ideais primos de Ap est˜ao em bije¸c˜ao com os ideais primos de A contidos em p, veja [AtMac], p´ag. 41, Prop. 3.11). Por outro, A ´e um anel noethe-riano (teorema da base de Hilbert, 1.0.1), e portanto possui uma quantidade finita de ideais primos minimais, digamos p1, ..., pn (Corol´ario 2.3.10). Segue assim que U se
decomp˜oe como uma uni˜ao finita de pontos abertos-fechados. Cada um deles ´e ´etale sobre Spec(k), logo da forma Spec(l), ondel´e uma extens˜ao finita e separ´avel de k.
Proposi¸c˜ao 2.3.34. Todo morfismo ´etale f ∶Y ⟶X ´e aberto como aplica¸c˜ao entre espa¸cos topol´ogicos.
Demonstra¸c˜ao. Veja [Stacks], Prop. 54.26.2 (9).
Proposi¸c˜ao 2.3.35. Se f ∶ Y ⟶ X, g ∶ Z ⟶ X s˜ao ´etale e h ∶ Y ⟶ Z ´e um morfismo qualquer tal quef =g◦h, ent˜ao h´e ´etale.
Demonstra¸c˜ao. Veja [Stacks], Prop. 54.26.2 (10).
Proposi¸c˜ao 2.3.36. Se f ∶Y ⟶ X ´e ´etale e g ∶Z ⟶ X ´e um morfismo qualquer, ent˜ao a mudan¸ca de base ˜f ∶Y ×X Z ⟶ Z ´e ´etale.
Demonstra¸c˜ao. Veja [Stacks], Prop. 54.26.2 (4).
Cap´ıtulo 3
Teoria de Galois e o grupo fundamental
Neste cap´ıtulo, introduziremos o conceito de grupo fundamental alg´ebrico − ou ´etale
−associado a um esquema noetheriano conexo X, e veremos como ele classifica as co-berturas ´etale finitas deX. Sua constru¸c˜ao ´e an´aloga `a do grupo fundamental absoluto de um corpo, na teoria de Galois, e tamb´em `a do grupo fundamental via espa¸cos de recobrimento, na topologia. Em um certo sentido, pode-se dizer que o grupo funda-mental ´etale reflete, por um lado, a estrutura alg´ebrica do esquema de maneira an´aloga
`
a teoria de Galois sobre um corpo e, por outro, a estrutura topol´ogica do esquema de maneira an´aloga ao grupo fundamental de um espa¸co topol´ogico.