Sabe-se que os sinais/imagens obtidos nas sondagens s´ısmicas do subsolo tem um forte componente de ru´ıdo e o objetivo das an´alises utilizadas para limpar essas imagens ´e remover esse ru´ıdo que ´e gerado por ondas de superf´ıcie e ´e chamado de ru´ıdo de rolamento superficial.
A an´alise curvelet implementada para se analisar dados s´ısmicos no trabalho desta tese de doutorado, mostrou-se eficiente para recuperar o sinal s´ısmico, eliminando o ru´ıdo de rolamento superficial, em um dado sint´etico, como mostrado no cap´ıtulo anterior.
Vamos agora mostrar e explicar a extra¸c˜ao seletiva do ru´ıdo de rolamento superficial utilizando curvelets em um dado real. O resultado obtido est´a resumido na figura 5.2, onde ´e mostrado o dado original real que foi analisado (figura 5.2.a), o dado filtrado que ´e o sinal de interesse j´a sem o ru´ıdo e obtido como resultado de nossa an´alise (figura 5.2.b) e o padr˜ao referente ao ru´ıdo de rolamento superficial que foi exclu´ıdo do dado em nossa an´alise (figura 5.2.c).
Neste passo, escrevemos o sinal ou fun¸c˜ao como uma combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes curvelets.
A decomposi¸c˜ao desses dados s´ısmicos ´e feita aplicando-se a transformada r´apida dis- creta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no dom´ınio de Fourier, como descrito no cap´ıtulo anterior para o dado sint´etico. O procediemnto ´e exatamente o mesmo.
Ap´os a decomposi¸c˜ao do sinal s´ısmico no espa¸co curvelet, fazemos a sua an´alise em cada escala para determinarmos quais os coeficientes correspondentes ao ru´ıdo de rolamento superficial e, desta forma, zer´a-los no espa¸co curvelet para que, ao reconstruirmos o sinal, este ru´ıdo tenha sido completamente atenuado.
A figura 5.3, mostra a an´alise visual feita para alguns conjuntos de ˆangulos da escala j = 2. Nesta figura ´e mostrado, na parte superior da figura, um gr´afico na forma de pizza
Figura 5.2: Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado filtrado (sinal de interesse); e (c) o padr˜ao referente ao ru´ıdo de rolamento superficial que foi exclu´ıdo do dado.
com o conjunto de ˆangulos selecionados destacados em vermelho e, na parte inferior da figura, ´e mostrada a distribui¸c˜ao de padr˜oes ou estruturas do sinal referentes aos ˆangulos escolhidos para essa escala.
Nessa figura (figura 5.3) vemos, por exemplo, que o ru´ıdo de rolamento superficial ´e dominante nessa escala, para ˆangulos pr´oximos `a horizontal. Portanto, nessa escala, os ˆangulos pr´oximos `a horizontal ter˜ao seus coeficientes zerados para a reconstru¸c˜ao do sinal analisado.
Essa conclus˜ao pode ser corroborada pela an´alise de energia feita nessa escala, como podemos ver na figura 5.4. Nessa figura percebemos que, embora o ru´ıdo de rolamento superficial seja dominante para os ˆangulos pr´oximos `a horizontal, em rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao de energia nessa escala, o ru´ıdo n˜ao ´e dominante nessa escala. Veja comparando a energia
Figura 5.3: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para esses ˆangulos nessa escala.
dos ˆangulos 6, 7, 14 e 15 com a energia dos outros ˆangulos da escala 2.
Na verdade, a contribui¸c˜ao de energia para a escala nos ˆangulos pr´oximos `a horizontal (ˆangulos 6, 7, 14 e 15), que s˜ao os ˆangulos correspondentes ao ru´ıdo de rolamento super- ficial, ´e de apenas 7,9% em rela¸c˜ao `a contribui¸c˜ao para a energia das ondas nos outros ˆangulos (ondas refletidas por estruturas geol´ogicas) que ´e de 92,1%.
A contribui¸c˜ao da energia em cada ˆangulo dessa escala foi calculada via equa¸c˜ao (4.4) e, para a energia do ru´ıdo de rolamento superficial foram somadas as energias dos ˆangulos 6, 7, 14 e 15 e dividiu-se o valor pela energia total da escala. Enquanto que para a energia correspondente `as reflex˜oes em estruturas geol´ogicas foi somada a energia dos
outros ˆangulos da escala, dividindo-se o resultado obtido pela energia total da escala.
Figura 5.4: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 2.
Assim, o conjunto de ˆangulos selecionados na escala 2 para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real s˜ao os ˆangulos marcados em vermelho na figura 5.5.
Para a escala j = 3, temos, na figura 5.6, a an´alise visual feita para alguns conjuntos de ˆangulos. Na parte superior desta figura s˜ao mostrados os gr´aficos na forma de pizza que representam os conjuntos de ˆangulos selecionados (marcados em vermelho) para cada co- luna e, na parte inferior da figura, s˜ao mostradas as distribui¸c˜oes de padr˜oes ou estruturas do sinal referentes aos ˆangulos escolhidos em cada gr´afico-pizza correspondente.
Nessa figura (figura 5.6) vemos, assim como para a escala 2, que o ru´ıdo de rolamento superficial ´e dominante na escala 3, para ˆangulos pr´oximos `a horizontal. Portanto, tamb´em nessa escala, os ˆangulos pr´oximos `a horizontal ter˜ao seus coeficientes zerados para a recontru¸c˜ao do sinal analisado.
Figura 5.5: Conjunto de ˆangulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real.
Da an´alise de energia, mostrada na figura 5.7, e dos c´alculos de contribui¸c˜ao de ener- gia do ru´ıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia correspondente ao ru´ıdo de rolamento superficial nesta escala ´e subdominante em rela¸c˜ao `a contribui¸c˜ao de energia das ondas refletidas por estruturas geol´ogicas. Numericamente, temos que 17,6% da energia da escala ´e referente ao ru´ıdo de rolamento superficial, en- quanto 82,4% corresponde ao sinal de interesse. Na tabela 5.1 temos esses percentuais de energia do ru´ıdo e do sinal nas escalas estudadas.
Assim, o conjunto de ˆangulos selecionados na escala 3 para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real s˜ao os ˆangulos marcados em vermelho na figura 5.8.
Repetindo o procedimento acima descrito para a escala 4, temos na figura 5.9 a dis- tribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para os ˆangulos correspondentes nessa escala.
Nessa figura (figura 5.9) vemos, novamente, que o ru´ıdo de rolamento superficial est´a presente somente para ˆangulos pr´oximos `a horizontal. Portanto, tamb´em nessa escala, os
Figura 5.6: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para esses ˆangulos nessa escala.
ˆangulos pr´oximos `a horizontal ter˜ao seus coeficientes zerados para a recontru¸c˜ao do sinal analisado.
Da an´alise de energia, mostrada na figura 5.10, e dos c´alculos de contribui¸c˜ao de energia do ru´ıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia correspondente ao ru´ıdo de rolamento superficial nesta escala ´e dominante em rela¸c˜ao `a contribui¸c˜ao de energia das ondas refletidas por estruturas geol´ogicas. Numericamente, temos que 68,1% da energia da escala 4 ´e referente ao ru´ıdo de rolamento superficial, enquanto 31,9% corresponde ao sinal de interesse. Como j´a foi dito, na tabela 5.1 reunimos esses percentuais de energia do ru´ıdo e do sinal nas escalas estudadas.
Figura 5.7: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 3.
Assim, o conjunto de ˆangulos selecionada na escala 4 para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real s˜ao os ˆangulos marcados em vermelho na figura 5.11.
Considerando a an´alise feita para a escala j = 5, temos a figura 5.12 onde ´e mostrada a distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior da figura temos, assim como nos casos anteriores, os ˆangulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos, novamente, a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para os ˆangulos correspondentes nessa escala.
Nessa figura (figura 5.12) vemos que, tamb´em na escala 5, o ru´ıdo de rolamento superfi- cial est´a presente somente para ˆangulos pr´oximos `a horizontal. ´E importante ressaltarmos que, embora na escala 5 o n´umero de ˆangulos (64 ˆangulos) seja o dobro do n´umero de ˆangulos das escalas 3 e 4 e quatro vezes o n´umero de ˆangulos da escala 2, o n´umero de ˆangulos pr´oximos `a horizontal onde h´a contribui¸c˜ao do ru´ıdo de rolamento superficial
Figura 5.8: Conjunto de ˆangulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real.
para o sinal ´e o mesmo das escalas anteriores. Isto porque, embora o ru´ıdo de rolamento superficial apare¸ca nos sismogramas como uma estrutura triangular bastante inclinada quando olhamos para uma escala mais fina do espa¸co das curvelets este ru´ıdo aparece quase como linhas verticais (linhas pr´oximas `a horizontal no gr´afico de pizza da an´alise angular). O car´ater direcional da transformada curvelet permite apagar estes setores quase verticais. Destacamos ainda que o setor angular do ru´ıdo de rolamento superficial pode mudar dependendo da distˆancia entre os geofones, e o tempo de amostragem no eixo vertical.
Da an´alise de energia, mostrada na figura 5.13, e dos c´alculos de contribui¸c˜ao de energia do ru´ıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia correspondente ao ru´ıdo de rolamento superficial nesta escala ´e dominante em rela¸c˜ao `a contribui¸c˜ao de energia das ondas refletidas por estruturas geol´ogicas. Numericamente, temos que 76,3% da energia da escala 5 ´e referente ao ru´ıdo de rolamento superficial, enquanto 23,7% da energia corresponde ao sinal de interesse.
Figura 5.9: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados (marcados em ver- melho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para os ˆangulos correspondentes nessa escala.
s´ısmico real s˜ao os ˆangulos marcados em vermelho na figura 5.14.
Nesta an´alise de um sinal s´ısmico real, implementada e realizada no trabalho original desta tese, excluimos o ru´ıdo de rolamento superficial de um sismograma a partir da decomposi¸c˜ao desse sinal no espa¸co das curvelets. Na figura 5.15 ´e mostrada a componente do ru´ıdo de rolamento superficial que foi removida, em cada escala, pela an´alise e que, somando-se, d´a a contribui¸c˜ao total desse ru´ıdo que foi extra´ıda do sinal. Na parte superior da figura temos os ˆangulos correspondentes ao ru´ıdo de rolamento superficial em cada escala (c´ırculos cheios) e na parte inferior da figura temos a estrutura correspondente
Figura 5.10: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 4.
ao ru´ıdo de rolamento superficial em cada escala.
Vale ressaltar novamente que a simetria angular do ru´ıdo de rolamento superficial no espa¸co das curvelets ´e completamente diferente da simetria angular relacionada `as reflex˜oes por estruturas geol´ogicas, por isto torna-se f´acil a remo¸c˜ao desse ru´ıdo do sismograma via an´alise curvelet.
Referente ao balan¸co energ´etico entre o ru´ıdo de rolamento superficial e as ondas refletidas em estruturas geol´ogicas, na tabela 5.1 temos o resumo desse balan¸co, em termos percentuais, para as escalas de j = 2 a j = 5, onde a energia foi separada em dois grupos: GR, a energia do ru´ıdo de rolamento superficial (sigla da express˜ao em inglˆes Ground Roll); e RW, a energia das ondas refletidas (da express˜ao em inglˆes Reflected Waves).
Figura 5.11: Conjunto de ˆangulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real.
Escala 2 3 4 5
GR 7.9 17.6 68.1 76.3
RW 92.1 82.4 31.9 26.7
Tabela 5.1: Balan¸co de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR representa a energia do ru´ıdo de rolamento superficial; e RW a energia das ondas refletidas.
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E interessante neste sistema considerar a rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo para comparar as ampli- tudes do ru´ıdo de rolamento superficial com as amplitudes do sinal de interesse que ´e refe- rente `as ondas refletidas que est˜ao espalhadas nas interfaces entre as camadas geol´ogicas. Para realizar esta an´alise, usamos a energia do sinal como a soma do quadrado dos coefi- cientes curvelet, como explicitado na equa¸c˜ao (4.4) aqui reproduzida:
Ej =
∑
k,l
|⟨f, φj,k,l⟩|2 (5.1)
Figura 5.12: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 5. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para os ˆangulos correspondentes nessa escala.
escalas j = 2 e 3, enquanto as informa¸c˜oes referentes ao ru´ıdo de rolamento superficial domina o sinal para j = 4 e 5. N´os n˜ao colocamos na tabela 5.1 a escala j = 1 porque o ru´ıdo de rolamento superficial domina as informa¸c˜oes nesta escala e como s´o h´a um ˆangulo para esta escala, as informa¸c˜oes dessa escala s˜ao removidas pela an´alise.
Na tabela 5.2 temos a distribui¸c˜ao de energia (em porcentagem) para as cinco escalas. Nesta tabela, mostramos, tamb´em, a energia para os dois padr˜oes: GR, para a energia do ru´ıdo de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na ´ultima linha dessa tabela mostramos a porcentagem de energia em cada escala. Na ´ultima coluna da
Figura 5.13: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 5.
tabela mostramos a energia total dos dois padr˜oes, o ru´ıdo de rolamento superficial soma quase 60% da energia total da imagem s´ısmica.
Scale 1 2 3 4 5 Total
GR 1.9 1.1 2.4 12.3 40.5 58.1
RW 0 12.4 11.1 5.7 12.6 41.9
Total 1.9 13.5 13.5 18.0 53.1 100
Tabela 5.2: Distribui¸c˜ao de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O GR representa a energia do ru´ıdo de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na ´ultima coluna ´e representada a energia total destes dois padr˜oes.
Figura 5.14: Conjunto de ˆangulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico real.
Pelas informa¸c˜oes da tabela 5.2, percebemos que a distribui¸c˜ao de energia ´e bastante impressionante quando pensamos que 60% da energia do sinal original deve ser removida para revelar o verdadeiro conte´udo geol´ogico da imagem. Al´em disso, cerca da metade do total de energia est´a concentrada na escala j = 5, que ´e dominado pelo ru´ıdo de rolamento superficial.