Na se¸c˜ao anterior obtivemos uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao para o caso da lei de Sku- manich. Para generalizar, o procedimento ´e bem simples: generalizamos o fator de freio para o caso geral xj. Assim, partindo da Eq. (2.24), encontramos uma express˜ao para xj
em fun¸c˜ao do tempo
xj = [( j − 1)ajt]1/1−j, (2.35)
assumindo que a velocidade inicial ´e nula. Para o caso de uma velocidade inicial qualquer x0, a express˜ao muda para
xj = x0[1+( j − 1)xj−10 ajt]1/1−j. (2.36)
A express˜ao acima ´e semelhante `a exponencial generalizada denotada por expq(−x). Recorrendo `a equa¸c˜ao integral (2.27) e resolvendo nos limites estabelecidos encontra-
mos que a vari´avel xa pode ser expressa de uma forma geral por: xa(xj) = x 1 −xxj j−11/j−1 (2.37)
Com a equa¸c˜ao acima vemos claramente que no limite xj → ∞ temos que a vari´avel
para condi¸c˜ao t = 0, isto ´e, xa, ´e a pr´opria vari´avel aleat´oria x.
De posse da Eq. (2.37) podemos substitu´ı-la na Eq. (2.32) e obtermos uma fun¸c˜ao q-Maxwelliana com v´ınculo para rota¸c˜ao verdadeira em um caso mais geral, que fica:
Fq(x, xj) = 4πAq x2 1 −x xj j−12/(j−1) 1 − (1 − q) x2 σ2 1 −x xj j−12/(j−1) 1/(1−q) (2.38) De forma semelhante a nossa fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao para as rota¸c˜oes projetas genera- lizadas para qualquer lei de decaimento ´e dada por:
Φq(y, xj) = Bq y 1 −xyj j−11/(j−1) 1 − (1 − q) y2 σ2 1 −xyj j−12/(j−1) 1/(1−q) (2.39)
Com isso obtemos uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao no contexto n˜ao-extensivo, que leva em conta o v´ınculo f´ısico respons´avel pela perda de momento angular, o que torna essas fun¸c˜oes estatisticamente mais robustas e fisicamente mais adequadas.
Tabela 2.1: Algumas leis de decaimento presentes na literatura escritas em fun¸c˜ao do expoente j.
Soderblom et al. (1991) t−2/3 j = 5/2
Pace e Pasquini (2004) t−5/2 j = 7/5
Reiners e Mohanty (2012) t−1/4
j = 5
Na tabela 2.1 mostramos algumas leis de decaimentos presentes na literatura. Desse modo, podemos verificar o comportamento da fun¸c˜ao q-Maxwelliana com v´ınculo (Eq. (2.39)) generalizado para essas leis.
A Fig 2.6 representa o comportamento da q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Soderblom et al. (1991). Nesse caso, fixamos o valor do ´ındice
entr´opico q em 1.9 e variamos o valor do fator de freio para essa lei de decaimento (j = 5/2). Nela ´e poss´ıvel verificar o papel do fator de freio sobre a cauda da distri- bui¸c˜ao. J´a na Fig 2.7 fixamos o valor do fator de freio em 20 e variamos o valor do q por um fator 0.5, verifica-se que a fun¸c˜ao tem um comportamento esperado para valores de q menores que a unidade (Tsallis, 1988). Verifica-se tamb´em que a fun¸c˜ao q-Maxwelliana com v´ınculo generalizada tende a Maxwelliana padr˜ao para q ∼ 1. Esse comportamento tamb´em ´e verificado para as leis de freio propostas por Pace e Pasquini (2004) e Reiners e Mohanty (2012) (Ver as Fig 2.9 e Fig 2.11).
Figura 2.6: q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Soderblom et al. (1991). Variando o fator de freio e mantendo q fixo em 1.9.
Na Fig 2.8 ´e apresentado o comportamento da fun¸c˜ao q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de freio proposta por Pace e Pasquini (2004). Nesse caso tamb´em fixamos o ´ındice entr´opico q em 1.9 e variamos o valor do fator de freio. Mais uma vez ´e visto o papel do fator de freio sobre a cauda da distribui¸c˜ao. Nela podemos notar que ao mudar o valor do fator de freio em 10 unidades, h´a uma mudan¸ca consider´avel na cauda. Esse compor- tamento j´a n˜ao ´e verificado para o caso da lei de freio proposta por Reiners e Mohanty (2012), nesse caso a mudan¸ca no valor do fator de freio n˜ao exerce um papel t˜ao forte sobre a cauda quanto no caso de Pace e Pasquini (2004), isso ´e visto na Fig 2.10.
Figura 2.7: q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Soderblom et al. (1991). Variando o ´ındice entr´opico q por um fator de 0.5. Fator de freio fixo em 20.
Figura 2.8: q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Pace e Pasquini (2004). Variando o fator de freio. O ´ındice entr´opico q fixo em 1.9.
Figura 2.9: q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Pace e Pasquini (2004). Variando o ´ındice entr´opico q por um fator 0.5. Fator de freio fixo em 20.
Figura 2.10: q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Reiners e Mohanty (2012). Variando o fator de freio. O ´ındice entr´opico q fixo em 1.9.
Figura 2.11: q-Maxwelliana com v´ınculo para a lei de decaimento proposta por Reiners e Mohanty (2012). Fator de freio fixo em 20. O ´ındice entr´opico q variando por um fator 0.5.
porta de maneira satisfat´oria, o que a torna uma boa ferramenta no estudo da rota¸c˜ao estelar. Ela tem como principal caracter´ıstica o fato de levarmos em conta o v´ınculo f´ısico respons´avel pela perda de momento angular na estrela. Algo que n˜ao foi levado em conta at´e o presente momento. Obviamente, podemos pensar que ganhamos mais um parˆametro livre xj e, consequentemente, as distribui¸c˜oes se tornar˜ao mais complexas e um
maior tempo de processamento ´e necess´ario para obter os valores dos parˆametros. Nesse sentido, as q-Maxwellianas oriundas do trabalho de Soares et al. (2006) parecem respon- der melhor ao famoso princ´ıpio da Navalha de Occam. Est´a claro que a argumenta¸c˜ao de Guilherme de Occam “Se em tudo o mais forem idˆenticas as v´arias explica¸c˜oes de um fenˆomeno, a mais simples ´e a melhor” n˜ao permite que sejam agregados muitos fatores que possam confundir ao inv´es de ajudar a entender um dado fenˆomeno. No entanto, nossa teoria agrega outras premissas, assim como, mais uma entidade ou parˆametro, mas n˜ao polui a teoria, ao contr´ario, enriquece o conhecimento dos diferentes efeitos que est˜ao associados `a rota¸c˜ao estelar. Assim, antes o ´ındice entr´opico q absorvia todos esses efeitos, i.e., a extens˜ao da cauda e o efeito temporal que podemos trazer do decaimento rotacional. Agora, podemos separar esses dois efeitos e verificar nitidamente a varia¸c˜ao sofrida pelo ´ındice q quando j entra em cena. Finalmente, verificamos que ´e de suma importˆancia incorporar os efeitos do freio magn´etico, um fenˆomeno insepar´avel e necess´ario para en- tender o comportamento da evolu¸c˜ao da rota¸c˜ao estelar.