3. O PROBLEMA DO CONCEITO CAVALO NA OBRA DE FREGE
3.4. A interpretação da proposta de Frege (1892-1895) por Dummett (1973) e Geach (1951,
A sentença ‘O conceito cavalo é um conceito’ parece ser composta por um termo singular – ‘o conceito cavalo’ – e um predicado – ‘ξ é um conceito’. A proposta de Dummett e Geach, contudo, sustenta que essa regimentação é errônea. Decerto, ‘ξ é um conceito’ parece ser um predicado nos mesmos moldes de ‘ξ é um objeto’. Este último predicado produz uma sentença verdadeira sempre que um termo singular não-vazio substitui o marcador de lugar nele presente, não importa qual objeto tal termo singular designe. Desta sorte, espera-se que seja possível utilizar o predicado ‘ξ é um conceito’ para produzir sentenças verdadeiras sempre que seu marcador de lugar seja substituído por uma expressão que designe um conceito. Expressões que designam conceitos, contudo, não são aptas a figurar como argumento desse predicado de primeira-ordem. Ao contrário: o predicado ‘ξ é um conceito’ produz uma sentença falsa sempre que é completado por um argumento que gere uma sentença bem-formada – no caso, um termo singular não-vazio.97
Para Dummett, os problemas que decorrem de se falar de expressões insaturadas começam pelo uso das palavras ‘conceito’, ‘relação’ e ‘função’, de sorte que soluções semelhantes àqueles dadas por ele para o pseudo-predicado ‘ξ é um conceito’ podem ser formuladas também para as duas últimas expressões.98
Geach considera o exemplo do predicado ‘ξ matou César’, equivalente, segundo julga, à expressão ‘o que “ξ matou César” designa’, também um predicado.99 Poder-se-ia
argumentar que essa última expressão, quando substitui ‘ξ matou César’ numa sentença, produz uma expressão malformada. Assim, da sentença ‘Brutus matou César’, obter-se-ia ‘Brutus o que “ξ matou César” designa’. Segundo Geach, no entanto, ‘Brutus é o que “ξ matou César” designa’ é uma sentença bem-formada, e não há nada do ponto de vista lógico que tenha sido alterado ao se atender ao requisito da linguagem natural de se adicionar a cópula ‘é’ para a formação dessa sentença. Se é assim, então as sentenças ‘Marengo é o conceito cavalo’ ou
97 Cf. DILLER, 1993, p. 347.
98 Cf. DUMMETT, 1973, pp. 213, 218.
99 Predicado que aparece de modo mais explícito quando se inserem uma variável e a cópula: ‘ξ é o que “ξ
‘Marengo cai sob o conceito cavalo’ são apenas maneiras alternativas de se expressar a proposição ‘Marengo é um cavalo’.100
Evidentemente, o predicado ‘ξ é um objeto’ é bem-formado e por meio dele se pode dizer de qualquer objeto que ele é um objeto. De maneira análoga, pode-se reconhecer o predicado de segunda-ordem ‘∀𝑥∃𝑦 (Ф(𝑥) = 𝑦)’ (i.e. Ф(𝑥) fornece um valor y para todo x que toma como argumento), o qual é satisfeito por todo predicado de primeira-ordem Ф(x) se assumirmos (como Frege o faz) que tais funções têm por domínio todos os objetos irrestritamente. Lançando mão de tal predicado, pode-se dizer, por exemplo, que a função 2.x³
+ x é uma função de primeira ordem: ∀𝑥∃𝑦 (2𝑥3+ 𝑥 = 𝑦).101
Para que seja possível construir um predicado que produza uma sentença verdadeira sempre que tome por argumento uma expressão cujo referente é um conceito, faz-se necessário formular, novamente, um predicado de segunda-ordem, a saber, ‘∀𝑥 (Ф(𝑥) ∨ ¬Ф(𝑥))’ (i.e. Ф(𝑥) é algo que, dado um objeto x qualquer, ou ele é satisfeito por x ou não o é). Dummett, nesse sentido, pugna pelo banimento do predicado ‘ξ é um conceito’ da linguagem e sua substituição pelo predicado de segunda-ordem mencionado.102
Lançando mão de tal predicado, podemos dizer que o conceito cavalo é um conceito de primeira ordem: ∀𝑥 (𝐶(𝑥) ∨ ¬𝐶(𝑥)). O mesmo procedimento pode ser usado para dizer que uma relação n-ária de primeira-ordem é tal, bem como que uma função de segunda-ordem é tal.103
Quanto a ‘o conceito cavalo’, considerá-lo como sendo um termo singular também é errôneo, segundo Geach e Dummett. Argumenta-se que essa frase nominal é equivalente à oração nominal ‘o que “ξ um cavalo” designa’.104 Segundo Dummett, essa solução foi proposta
pelo próprio Frege posteriormente à publicação de BG, sobretudo em ASB, como já descrevemos no item correspondente a essa obra.105
Note-se, no entanto, que não é possível fazer o mesmo para dizer que um objeto não é uma função de primeira-ordem ou que uma função de primeira-ordem não é um objeto. Se quiséssemos dizer, a título de exemplo, que Sócrates não é uma função, teríamos que
100 Cf. DUMMETT, 1973, p. 214.
101 Cf. NOONAN, 2001, pp. 165-166.
102 Cf. DUMMETT, 1973, pp. 216-217.
103 Cf. NOONAN, 2001, p. 166.
104 Cf. GEACH, 1976, pp. 56-57.
substituir Ф(𝑥) em ¬∀𝑥∃𝑦(Ф(𝑥) = 𝑦) pelo nome próprio ‘Sócrates’. No entanto, é patente que tal nome próprio é uma expressão saturada, ao passo que Ф(𝑥) só pode ser substituído por uma expressão insaturada. Da mesma maneira, não é possível dizer que a função 2.x³ + x não é um objeto, pois seria necessário introduzi-la no lugar de ξ em ‘ξ não é um objeto’, embora saibamos que tal letra grega só admite substituição por um nome próprio.106
Seguindo-se a proposta de Dummett-Geach, destarte, não mais resta possível construir pseudo-sentenças como ‘o conceito cavalo é um conceito’ ou ‘o que “ξ é um cavalo” designa é um conceito’. Aquilo que se pretende expressar por meio dessas pseudo-sentenças deve ser expresso, respectivamente, por ‘um cavalo é algo que todo objeto é ou não é’ e ‘o que “ξ é um cavalo” designa é algo que todo objeto é ou não é’.107 Note-se que, ao menos em ASB,
‘o conceito cavalo não é um conceito’ era tida como verdadeira, ao passo que, sob essa interpretação, ‘o conceito cavalo não é algo que todo objeto é ou não é’ é falso.
3.4.1. Objeções de Diller (1993)
A solução proposta por Dummett funciona, de fato, para os pseudo-predicados ‘ξ é um conceito’ e ‘ξ é uma relação’, contanto que por essas expressões se queira dizer ‘ξ é um conceito de primeira-ordem’ e ‘ξ é uma relação binária de primeira-ordem’. A solução não funciona, contudo, se se quiser entender tais predicados irrestritamente. Por razões semelhantes, a solução não funciona para o predicado ‘ξ é uma função’ se se entendê-lo irrestritamente, mas tão-somente se considerarmos individualmente cada função de aridade n e de ordem m, tais como ‘ξ é uma função binária de primeira-ordem’, ξ é uma função ternária de segunda-ordem’ e assim por diante.108
Far-se-ia necessário, portanto, substituir o pseudo-predicado ‘ξ é uma função unária de primeira-ordem’ por um predicado de segunda-ordem que fosse satisfeito por todas as funções unárias de primeira-ordem. Um possível predicado que satisfaz tal condição é o seguinte: ∀𝑥(Ф(𝑥) = 𝑥 ∨ Ф(𝑥) ≠ 𝑥) (i.e. dado um objeto x qualquer, ou Ф(𝑥) é idêntico a x ou não o é). De maneira análoga, ele teria de substituir o pseudo-predicado ‘ξ é uma função binária de primeira-ordem’ por um predicado de segunda-ordem que fosse satisfeito por todas as funções binárias de primeira-ordem. Um possível predicado que satisfaz tal condição é o
106 Cf. NOONAN, 2001, p. 166.
107 Cf. DUMMETT, 1973, pp. 216-217.
seguinte: ∀𝑥∀𝑦(Ѱ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∨ Ѱ(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑥) (i.e. dado um objeto x qualquer, ou Ѱ(𝑥, 𝑦) é idêntico a x ou não o é).109
De modo análogo, o termo ‘função’ é entendido como sendo aplicável a quaisquer funções, independentemente de suas aridade ou ordem. No entanto, esse sentido irrestrito de função não pode ser captado pela solução proposta por Dummett. Isso porque, para tanto, teria de ser possível substituir o pseudo-predicado ‘ξ é uma função’ em ambas as seguintes sentenças (bem como em infinitas outras que cuidam de funções de quaisquer aridade e ordem): (1) ‘toda função unária de primeira ordem é uma função’, e; (2) ‘toda função binária de primeira-ordem é uma função’. Destarte, em (1), o pseudo-predicado ‘ξ é uma função’ teria de ser substituído por uma expressão da mesma categoria lógica que ‘ξ é uma função unária de primeira ordem’, ao passo que, em (2), tal pseudo-predicado teria de ser substituído por uma expressão da mesma categoria lógica que ‘ξ é uma função binária de primeira ordem’. É manifesto, contudo, que esses dois predicados não podem ser combinados de tal maneira a formar um único predicado de segunda-ordem a satisfazer ambos os usos, uma vez que esses predicados possuem argumentos de tipos lógicos distintos, de sorte que um argumento que satisfizesse uma não poderia satisfazer a outra e vice-versa.110
Disso se segue que não há uma expressão apta a substituir o predicado ‘ξ é uma função’, que parece ser satisfeito por funções de quaisquer aridade e ordem, se tal predicado for entendido genericamente. Logo, ao contrário do que ocorre com um predicado como ‘ξ é uma função unária de primeira ordem’ que pode ser banido da linguagem e substituído por um predicado adequado, o predicado ‘ξ é uma função’ pode até ser banido, porém não pode ser substituído por um predicado adequado.111
No mesmo sentido, não é possível haver um substituto para o predicado ‘ξ é um item’. Não é possível haver o gênero ‘item’ do qual funções de aridades ou ordens diferentes sejam espécies, muito menos do qual funções e objetos sejam espécies. O predicado ‘ξ é um item’ seria algo que transpõe níveis lógicos distintos, de sorte que uma proposição como ‘todo item é ou uma função unária de primeira ordem ou um objeto’ teria de atribuir dois níveis lógicos distintos ao termo ‘item’, o que não é permitido. O máximo que poderia ser asserido
109 Cf. DILLER, 1993, p. 349.
110 Cf. DILLER, 1993, p. 349.
são proposições em que não há tal transposição, tais como ‘alguns itens são objetos’ ou ‘alguns itens são funções unárias de primeira ordem’.112
Tomemos, a título de exemplo, a tese segundo a qual objetos são aqueles itens que não são funções.113 Para que uma tese como esta, que claramente pertence à teoria semântica de Frege, seja formulada em sua linguagem, faz-se necessário que o domínio de quantificação inclua tanto objetos como funções, o que, pelos próprios princípios estipulados por Frege, não é possível.114
Destarte, aceitando-se a solução proposta por Dummett, faz-se necessário promover mudanças radicais quanto ao vocabulário ontológico empregado, uma vez que pseudo- predicados como ‘ξ é uma função’ e ‘ξ é um item’, se entendidos genericamente, devem ser eliminados da linguagem, ao passo que predicados não-genéricos como ‘ξ é uma função unária de primeira-ordem’ devem ser substituídos por predicados de segunda-ordem. Ademais, dever- se-ia também afastar o uso de variáveis cujo domínio inclui itens de tipos lógicos distintos, como ocorre em ‘tudo o que não é um objeto é uma função’.115
3.4.2. Objeções de Priest (1995)
Frege sustentava que predicados deveriam ser compreendidos como orações relativas nominais e que isso geraria uma expressão predicativa. Priest observa, no entanto, que se tomarmos uma sentença como ‘o que “ξ é um cavalo” designa não é um objeto’, a expressão ‘o que “ξ é um cavalo” designa’ nela contida não está sendo usada predicativamente e, por conseguinte, teria de ser considerada malformada, embora seja uma sentença cuja boa-formação Frege certamente desejaria que se seguisse de sua proposta.116
Priest propõe, ademais, que se considere a seguinte sentença: todo conceito é insaturado. A verdadeira forma lógica de tal sentença, segundo Dummett, teria de ser
112 Cf. DILLER, 1993, p. 350.
113 „Objetos contrapõem-se a funções. Aos objetos incluo, destarte, tudo aquilo que não é função, como
números, cursos-de-verdade e cursos-de-valores. Os nomes de objetos, os nomes próprios, não carregam consigo, portanto, lugares para argumentos. Eles são saturados, assim como os próprios objetos.” (FREGE, GG, §2). No original: „Gegenstände stehen den Functionen gegenüber. Zu den Gegenständen rechne ich demnach Alles, was nicht Function ist, z. B. Zahlen, Wahrheitswerthe und (…) Werthverläufe. Die Namen von Gegenständen, die Eigennamen, führen also keine Argumentstellen mit sich, sie sind gesättigt wie die Gegenstände selbst.“
114 Cf. DILLER, 1993, p. 350.
115 Cf. DUMMETT, 1973, p. 217.
∀Ф (∀𝑥(Ф(𝑥) ∨ ¬Ф(𝑥)) → (Ф é 𝑖𝑛𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜)). Essa regimentação, contudo, traz consigo um problema, pois ‘ξ é insaturado’, é um predicado de primeira-ordem, de sorte que sua variável somente pode ter por domínio objetos. Desta sorte, embora tal sentença seja parte integrante da teoria de Frege e tenha sido por ele afirmada por diversas vezes em sua obra, a regimentação proposta por Dummett tem por consequência que tal sentença é malformada e, por conseguinte, destituída de significado.117
Além disso, Priest pede que se considere a tese fregeana de que predicados referem-se a conceitos, i.e. ∀𝑥 (𝑥 é 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 → ∃Ф (𝑥 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒 − 𝑠𝑒 𝑎 Ф). O mesmo problema reaparece a respeito do predicado ‘ξ refere-se a ζ’, o que parece ser ainda mais problemático, uma vez que é manifesto que tal predicado é lícito se tiver como argumentos um termo singular e um objeto, tratando-se de um predicado de primeira-ordem. Ainda que se sustente que exista uma relação de primeira ordem ‘ξ refere-se a ζ’ e uma relação distinta de segunda ordem ‘Ф refere-se* a Ѱ’, isso tornaria necessário negar a tese de Frege segundo a qual para cada predicado ou termo singular corresponde, via de regra, um sentido e uma referência.118
Por fim, Priest sugere não ser possível fazer qualquer generalização sobre conceitos e objetos – embora Frege constantemente o faça –, ou até mesmo sustentar que se trata de itens distintos, uma vez que qualquer paráfrase de segunda-ordem para o predicado ‘ξ é um conceito’ resulta em uma expressão malformada.119