A integral estocástica de Ito para processos simples

com

y_i=1

2(t_i−1+t_i), i=1...n,

possuem limite pelo quadrado da média igual a 0.5B_t²(você poderá verificar este fato com os mes-mos argumentos e ferramentas utilizadas para o casoS_n). Esta quantidade pode ser interpretada como o valor de outra integral estocástica,Rt

0B_s◦d B_s, digamos. As somas de Riemann-Stieltjes P_k

i=1B_y

i∆_iB,k=1...n, não constituem um martingal, e nem o processo limite 0.5B_t².¹No

en-1Verifique-o!

tanto, o último processo satisfaz a uma bela propriedade. A relação Z t

0 B_s◦d B_s =1

2B²_t (2.9)

indica quea regra da cadeia clássicaé válida.

Para sermos mais precisos, sejab(t)uma função diferenciável determinística, satisfazendo a relaçãob(0) =0. Sabemos que

1 2

d b²(s)

d s =b(s)d b(s) d s .

Integrando ambos os membros, obtemos as regras clássicas do cálculo:

1 2

Z t 0

d b²(s) d s d s=1

2b²(t) = Z t

0

b(s)d b(s) d s d s=

Z t 0

b(s)d b(s).

Se substituirmosformalmentea funçãob(t)pelo movimento brownianoB_t, obteremos o mesmo valor obtido no caso da integral estocástica (2.9). No entanto, trata-se de uma substituição for-mal, uma vez que esta regra da cadeia é aplicável somente para funções diferenciáveis, e não para caminhos amostrais brownianos.

A integral estocástica, que é obtida com um limite pelo quadrado da média das somas de Riemann-Stieltjes, calculadas nos pontos médios dos intervalos[t_i−1,t_i]é denominadaintegral de Stratonovich. Iremos considerá-la na seção 2.4. Ela resultará em uma ferramenta bastante útil para resolvermos as equações diferenciais estocásticas de Ito.

Assim, conseguimos estudar mais um fato a ser utilizado:

A fórmulaRt

0B_sd B_s =0.5(B²_t−t)sugere que a clássica regra da cadeia da integração não é válida para as integrais estocásticas de Ito. Na seção 2.3 acharemos uma forma da regra da cadeia adequada à integração de Ito: é olema de Ito.

2.2. A integral de Ito

No que se segue, consideraremos que todos os processos estão sobre um mesmo intervalo fixado[0,T].

Primeiramente, introduziremos uma classe apropriada de processos Ito integráveis.

O processo estocásticoC = (C_t,t ∈[0,T])é ditosimplesse satisfizer às seguintes propriedades:

Existe uma partição

τ_n: 0=t₀<t₁<...,t_n−1<t_n=T, e uma seqüência(Z_i,i=1...n)de variáveis aleatórias tais que

C_t=

(Z_n, se t=T,

Z_i, se t_i−1≤t<t_i, i=1...n.

A seqüência(Z_i)é adaptada a(F_ti−1,i =1...n), i.e., Z_i é uma função do movi-mento browniano até o instantet_i−1, e satisfazEZ_i²<∞para todoi.

Exemplo 2.2.1. (Alguns processos simples) A função determinística

f_n(t) = (_n−1

n , se t=T,

i−1

n , se ⁱ⁻¹_n ≤t<_nⁱ, i=1...n,

é uma função do tipo escada, e portanto trata-se de um processo simples. Defina agora o processo

Fig. 2.3 — Duas aproximações de um caminho amostral browniano por meio de processos simplesC(linhas interrompidas), dadas por(2.10)

C_t=

(Z_n= B_tn−1, se t=T,

Z_i = B_ti−1, se t_i−1≤t<t_i, i=1...n, (2.10) para uma dada partiçãoτ_nde[0,T]. Trata-se de um processo simples: os caminhos são constantes por trechos, eC_té uma função de movimento browniano até o instantet. Para uma ilustração do processoC para duas partições distintas, veja a figura 2.3

Aintegral estocástica de Ito de um processo simples C sobre[0,T]é dado por Z T

0

C_sd B_s=:Xⁿ

i=1

C_t

i−1(B_t

i−B_t

i−1) = Xn

i=1

Z_i∆_iB.

Aintegral estocástica de Ito de um processo simples C sobre[0,t],t_k−1 ≤ t ≤ t_k é dada por

Z t 0

C_sd B_s := ZT 0

C_sI_[0,t](s)d B_s = Xk−1

i=1

Z_i∆_iB + Z_k(B_t − B_t

k−1), (2.11) ondeP₀

i=1Z_i∆_iB=0.

Assim, os valores da integral estocástica de Ito Rt

0C_sd B_s é a soma de Riemann-Stieltjes de um caminho deC, calculada nos pontos extremantes esquerdos dos intervalos[t_i−1,t_i], com respeito ao movimento browniano. Se t < t_n, o ponto t pode ser formalmente interpretado como o último ponto da partição de[0,t].

Fig. 2.4 — A integral estocástica de ItoRt

0C_sd B_scorrespondente aos caminhos deCeBdados na figura 2.3

Exemplo 2.2.2. (Continuação do exemplo 2.2.1)

Recorde-se dos processos simples f eCdo exemplo 2.2.1. As correspondentes integrais estocásti-cas de Ito são dadas por

Z t 0

f_n(s)d B_s= Xk−1

i=1

i−1

n (B_i/n−B_(i−1)/n) +k−1

n (B_t−B_(k−1)/n), parat∈[(k−1)/n,k/n], e por

Z t 0

C_sd B_s= Xk−1

i=1

B_t

i−1∆_iB+B_t

k−1(B_t−B_t

k−1), (2.12)

2.2. A integral de Ito

parat∈[t_k−1,t_k]. Veja as figuras 2.3 e 2.4 para uma visualização dos caminhos amostrais deB,C e as correspondentes integrais estocásticas de Ito.

Já sabemos pelo exemplo 2.1.2 que

n→∞lim Zt

0

f_n(s)d B_s(ω) = Z t

0

s d B_s(ω),

onde o segundo membro da equação é uma integral de Riemann-Stieltjes com respeito a um dado caminho amostral browniano. Nós também estudamos na seção 2.1.2 que as somas de Riemann-Stieltjes que aparecem em (2.12) em geral não convergem, quando a m.a.p.(τ_n)→0, para um dado caminho amostral de movimento browniano.

A forma da integral estocástica de Ito para processos simples nos trazem à memória a transformada martingal. Na página 67 foi introduzido o conceito de transformada martingalCe•Y), onde

(Ce•Y)₀=0, (Ce•Y)_n= Xn

i=1

Ce_iY_i, n=1,2,....

Aqui,Y = (Y_n)é uma seqüência de diferenças de martingais com respeito à dada filtração eCe= (Ce)_n)é uma seqüência previsível. Neste sentido, a seqüência das integrais estocásticas de Ito

‚Zt_k 0

C_sd B_s, k=0...n

Œ

de processos simples(C_s,s≤t)é uma transformada martingal com respeito á filtração(Ft_k,k= 0...n).

Mais ainda, a asserção seguinte é verdadeira:

O processo estocásticoI_t(C) =Rt

0C_sd B_s,t∈[0,T], é um martingal com respeito á filtração natural browniana(F_t,t∈[0,T]).

Verificamos aqui as propriedades definidoras de martingais expressas na página 65. Por conveniên-cia, relembrá-las-emos em termos deI(C):

• E|I_t(C)|<inf para todot∈[0,T].

• I(C)está adaptado a(Ft).

•

E(I_t(C)|Fs) =I_s(C) s<t (2.13) A primeira propriedade é conseqüência, por exemplo, da propriedade da isometria (2.14) dada abaixo.

A adaptação de I(C)ao movimento browniano pode ser facilmente vista: no instantet, as variáveis aleatóriasZ₁...Z_ke∆₁B...∆_k−1B,B_t−B_tk−1, que ocorrem na relação definidora (2.11), são todas funções de movimento browniano até o instantet.

Falta verificar a relação crucial (2.13). Trata-se de um bom exercício de utilização das regras da esperança condicional, que sugerimos para você fazer por si próprio. Não indicamos quais as regras a serem usadas, já que estamos assumindo que você já as conheça.

Primeiramente, suponha ques<tes,t∈[t_k−1,t_k]. Observe que I_t(C) = I_tk−1(C) +Z_k(B_s−B_tk−1) +Z_k(B_t−B_s)

= I_s(C) +Z_k(B_t−B_s),

ondeI_s(C)eZ_ksão funçoes de movimento browniano até o instanteseB_t−B_s é independente deF_s. Portanto,

E(I_t(C)|F_s) =I_s(C) +Z_kE(B_t−B_s) =I_s(C).

Isto prova (2.13) neste caso.

O caso em que s∈[t_l−1,t_l]et ∈[t_k−1,t_k]para valores l <k, podem ser tratados analoga-mente. Verifique (2.13); faça uso da decomposição

I_t(C) = [I_t

i−1(C) +Z_l(B_s−B_t

i−1)] +



Z_l(B_t

l−B_s)

Xk−1 i=l+1

Z_i∆_iB+Z_k(B_t−B_t

k−1)





= I_s(C) +R(s,t), e mostre queE(R(s,t)|F_s) =0.

Propriedades da integral estocástica de Ito para processos simples

É fácil verificar que E I_t(C) =0 uma vez queZ_i e∆_iB na definição (2.11) são independentes, e E(Z_i∆_iB) =EZ_iE∆_iB=0. Assim,

A integral estocástica de Ito possui esperança zero.

De forma alternativa, poderíamos argumentar da seguinte maneira: uma vez queI(C)é um mar-tingal, possui uma função de esperança constante. Além disto, I₀(C) =0, e portantoE I_t(C) = E I₀(C) =0.

Outra propriedade da integral estocástica de Ito para processos simples acabará sendo crucial para a definição geral da integral estocástica de Ito.

A integral estocástica de Ito satisfaz àpropriedade da isometria:

E

‚Z _t

0 C_sd B_s

Œ2

= Zt

0 EC_s²d s, t∈[0,T]. (2.14)

Nós mostramos então esta propriedade. Para o caso que está sendo apresentado, supomos que t =t_k, para algumk. De fato, se t_k−1 <t <t_k, observe que 0= t₀ <...< t_k−1 <t_k⁰ =t é

2.2. A integral de Ito

uma partição de[0,t], de modo que você poderá considerar formalmentet como um ponto da partição. Temos, paraW_t=Z_i∆_iB,

E[I_t(C)]²= Xk

i=1

Xk j=1

E(W_iW_j). (2.15)

Você poderá verificar que, para i > j, as variáveis aletóriasW_i eW_j são não correlacionadas:

observe queW_j eZ_i são funções do movimento browniano até o instantet_i−1, e portanto são independentes de∆_iB. Concluímos que

E(W_iW_j) =E(W_jZ_i)E(∆_iB) =0.

Assim, os termos deE(W_iW_j)em (2.15) se anulam parai6=j, e portanto obtemos

E[I_t(C)]²= Xk

i=1

E(Z_i∆_iB)²= Xk

i=1

EZ_i²E(∆_iB)²= Xk

i=1

EZ_i²(t_i−t_i−1).

O segundo membro nada mais é do que a integral de RiemannRt

0 f(s)d s da função em escada f(s) = EC_s², que coincide comEZ_i² para t_i−1 ≤ t < t_i. (Verifique isto!) Assim, provamos a propriedade da isometria da integral estocástica de Ito.

A integral estocástica de Ito possui várias propriedades em comum com as integrais de Riemann e Riemann-Stieltjes.

A integral estocástica de Ito élinear:

Para constantesc₁ec₂e processos simplesC⁽¹⁾eC⁽²⁾sobre[0,T], Z t

0

”c₁C_s⁽¹⁾+c₂C_s⁽²⁾—

d B_s=c₁ Z t

0

C_s⁽¹⁾d B_s+c₂ Zt

0

C_s⁽²⁾d B_s. A integral estocástica de Ito é aditiva em intervalos adjacentes:

para 0≤t≤T,

ZT

0 C_sd B_s = Z t

0 C_sd B_s+ ZT

t

C_sd B_s.

A prova da linearidade não é difícil; tente você mesmo. Antes de começar, você precisa definirC⁽¹⁾ eC⁽²⁾sobre uma mesma partição. Isto é sempre possível: seτ⁽¹⁾_n é uma partição correspondente aC⁽¹⁾, eτ⁽²⁾_m a partição correspondente aC⁽²⁾, você poderá obter uma partição comum τ com no máximon+m pontos distintos tomando a união deτ⁽¹⁾_n eτ⁽²⁾_m. Claramente, trata-se de um refinamento das duas partições originais. Os valores dos I(C⁽ⁱ⁾)s permanecem os mesmos com esta nova partição. A linearidade é conseqüência da linearidade das somas de Riemann-Stieltjes subjacentes.

A aditividade em intervalos adjacentes é conseqüência da linearidade, uma vez que ZT

0

C_sd B_s= ZT

0

”C_s⁽¹⁾+C_s⁽²⁾— d B_s, ondeC_s⁽¹⁾=C_sI_[0,t](s)eC_s⁽²⁾=C_sI_(t,T](s)são dois processos simples Finalmente enunciamos a seguinte propriedade:

O processoI(C)possui caminhos amostrais contínuos.

Isto sai da definição deI(C): a relação

I_t(C) =I_ti−1(C) +Z_i(B_t−B_ti−1), t_i−1≤t≤t_i. é satisfeita e os caminhos amostrais do movimento browniano são contínuos.

No documento 1.3. Movimento browniano (páginas 82-88)